atnasyan-gdz-7-2005 (546184), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Решение. На рисунке 125 углы, указанные в условии задачи, обозначены цифрами. Рис. 125 Рис. 124 Рис. 123 Воспользуемся теоремами об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Имеем: л! = л'5, ЛЗ =. л7 как соответственные, а л5 = лЗ как накрест лежащие углы при пересечении прямых а и Ь секущей с.
Следовательно, л! = лЗ = л5 = л7. Аналогично получим: (2) л2 =- л4 = лб =- л8. а) По условию один из углов равен 150'. Пусть, например, л1 =- = 150'. По свойству смежных углов л1+ л'.2 = 180', откуда Л2 = 30'. Из равенств (1) и (2) находим: Л1 = лЗ = л5 = л7 = 150', л2 = л4 = =- л'6 = л8 = 30'. 3 Л.С. Атаньсян н лр. 66 7л. 3. Парпллельныв прямые б) По условию один из углов на 70' больше другого. Поэтому если один из них фигурирует в равенстве (1), то другой должен фигурировать в равенстве (2). Пусть, например, к'.1 = 70'+ к'.2.
По свойству смежных углов к'! + к2 = 180'. Следовательно, к1 = 125', к'.2 = 55'. Из равенств (1) и (2) получаем: к! = к3 = к5 = к7 =- 125', к2 = к4 = =- к'.6 =- '.8 =- 55'. Ответ. а) Четыре угла по 150', четыре угла по 30'! б) четыре угла по 125', четыре угла по 55'. 204. Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и Ь. Прямая, проходящая через середину О этого отрезка, пересекает прямые а н Ь в точках С и Р Докажите, что СО =- ОР. Ре ш е н не. Рассмотрим треугольники АОС и ВОР (рнс.
126). Имеем: АО = ОВ, так как точка Π— середина отрезка АВ; к'! = к'.2, так как углы 1 и 2 — вертикальные; к'3 = к'4, так как углы 3 и 4 — накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых а и Ь секущей АВ. Следовательно, треугольники АОС и ВОР равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому СО = ОР. 205.
По данным рисунка ! 27 (рис. 117 учебника) найдите к1. Рнс. 127 Рнс. 126 Решение. Так как кВРЕ и к2 — смежные углы, то л2 = = 180' — ~ВРЕ = 73', следовательно, ~АВК = ~2. Углы АВК и 2— соответственные при пересечении прямых СВ и ЕР секущей АГ, поэтому СВ й ЕР. Угол 1 равен углу КРЛД так как эти углы соответственные при пересечении параллельных прямых ВК и РЛХ секущей КР. По условию к'КРЛТ = 92', поэтому к'! = 92'. Ответ. к'1 = 92'.
206. Угол .4ВС равен?О', а угол ВСР равен 110' Могут лн прямые АВ и СР быть: а) параллельными; б) пересекающимися? Решение. Возможны два случая: точки А и Р лежат по одну сторону от прямой ВС (рис.128, а); точки А и Р лежат по разные стороны от прямой ВС' (рис.!28, б). В первом случае углы 6? я 2. Аксиома париллсльяых прямых В С а б Рис. 128 АВС и ВСР односторонние углы при пересечении прямых АВ и СР секущей ВС, а так как с'АВС+ ЕВСР = 70' +! 10' = 180', то АВ ~ СР.
Во втором случае углы АВС и ВСР— накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и СР секущей ВС, а так как с'.АВС ф лВСР, то прямые АВ и СР не параллельны, т. е. перегекаютгя Ответ. а) Да; б) да. 207. Ответьте на вопросы задачи 206, если кАВС = 65', а лВСР = = 105'. Р е ш е н и е. Решение задачи аналогично решению задачи 206. В первом случае прямые АВ и СР не параллельны (рис. 129, а), так как хАВС + с'.ВСР ~ 180'. Во втором случае прямые АВ 65" 105* В С а Рис. 129 и СР не параллельны, так как лАВС ф лВСР (рис.129, б). Таким образом, и в том, и в другом случае прямые АВ и СР пересекаются. Ответ.
а) Нет; б) да. 208. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50'. Найдите эти углы. Решен не. Пусть с'.1 и л'.2 — односторонние углы при пересечении параллельных прямых а и 5 секущей с. Тогда л! + л2 = 180'. По условию '! — ''2 = 50', следовательно, с'.! — — 115', /2 =- 65'. О т в е т.
115' и 65'. з* 68 Рл. 3. 1?араллельные прямые 209. На рисунке 130 (рис. ! !8 учебника) а !! 6, с !! г(, л4 = 45'. Найдите углы 1, 2 и 3. Решение. 1) л'3 и л'4 — смежные углы, поэтому ЛЗ = 180' — а4 = 135'. 2) к! и а3 — накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых с и г( секущей а, следовательно, а! = '3 = !35'. 3) а2 и а4 соответственные углы при Рис. 130 пересечении параллельных прямых а и 5 секущей ь(, следовательно, к2 = к4 = 45'. Ответ. л'! = ЛЗ = 135' л'2 = 45' 210.
Два тела Р1 и Рз подвешены на концах нити, перекинутой через блоки Л и В (рис. 131, рис. 119 учебника). Третье тело Рз подвешено на той же нити в точке С и уравновешивает тела Р1 и ?зз. (При этом Л?-'~ !! В!-'з ) СРз). Докажите, что лЛС13 = аСЛР1 Ч- лСВР. Ре ш е н не. Пусть прямая СРз пересекает отрезок АВ в точке Р. Углы 1 и 2 — накрест ! 24 3' лежащие углы при пересечении параллельных прямых АР! и СРз секущей АС, поэтому а! = а2. Углы 3 и 4 — накрест лежащие Рз ! углы при пересечении параллельных прямых Й Р ВРа и СРз секущей ВС, поэтому л'3 = л'4.
2 Так как луч СР проходит внутри угла АСВ, то ПАСВ =- '2-~- к4. а значит, ПАСВ = Рис. 13! = кСАР! + ЛСВРз. 211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажи~с, что: а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны; б) биссектрисы соответственных углов параллельны; в) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны. Решение. а) Пусть АВ !~ СР и лучи ВЕ и СР— биссектрисы накрест лежащих углов АВС и ВСР соответственно (рис.132, а). Углы АВС и ВСР— накрест лежащие углы при пересечении парал- Рис. !32 лельных прямых АВ и СР секущей ВС, поэтому лАВС = кВСР.
Лучи ВЕ и СР— биссектрисы углов АВС и ВСР, поэтому Л! = Дооолниогельньге задачи 69 = л'.2. Равные углы 1 и 2 являются накрест лежащими углами при пересечении прямых ВЕ и СЕ секущей ВС, следовательно, ВЕ ~~ СЕ, т. е. биссектрисы накрест лежащих углов параллельны. б) Пусть АВ ~ СР, лучи АЕ и СŠ— биссектрисы соответственных углов ЛХАВ и АСР (рис. !32, б), а АК продолжение луча АЕ. Так как АŠ— биссектриса угла ЛХАВ, то луч АК вЂ” биссектриса вертикального с ним угла В~АС. Г1оэтому АЕ ~ СЕ (см. задачу а). в) Пусть лучи АЕ и СЕ биссектрисы односторонних углов при пересечении параллельных прямых АВ и СР секущей АС (рис. 132, в).
Поскольку л'ВАС + л'АСР = 180ь (эти углы односторонние), то ~1 +,2 л-ВАС, е-АЕ"Р 9Оо 2 2 Следовательно, треугольник АЕС вЂ” прямоугольный с прямым углом Е. Но это и означает, что биссектрисы односторонних углов перпендикулярны. Дополнительные задачи 213. На рисунке 133 (рис 121 учебника) СЕ = ЕР, ВЕ = ЕЕ и КЕ АР Докажите, что КЕ ,'~ ВС. Р е ш е н и е. Треугольники ВЕС и ЕЕР равны по двум сторонам и углу между ними (ВЕ = ЕЕ, СЕ = ЕР по условию Хг Е и л'ВЕС = и ЕЕР, так как эти углы вертикальные).
Из равенства треугольников следует, что л'.! = л'2. Но углы 1 и 2 — накрест лежащие при пе- ресечении прямых ВС и АР секущей СР, поэтому ВС ~ АР. Итак, по условию КЕ ~ АР, по доказанному ВС ~ АР. Следовательно (со- гласно следствию 2' из аксиомы параллельных прямых), КЕ ~~ ВС.
Рис. 133 214. Прямая, проходящая через середину биссектрисы АР треугольника АВС и пер- 8 пендикулярная к АР, пересекает сторону АС в точке ЛХ. Докажите, что ЛХР ~~ АВ. Ре ш е н и е. В треугольнике АЛХР 0 (рис.!34) отрезок МО является медиа- О ной (так как прямая ЛХО проходит через середину отрезка АР) и высотой (так как С ЛХО Г АР), поэтому треугольник АМР— равнобедренный с основанием АР, а зна- Рис. 134 чит,л2 = л'.3. Поскольку АР -- биссектриса угла А, то л'2 =- Г!. Но Г2 = г'3, поэтому л'! =- ГЗ. Углы 1 и 3— накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и РЛХ секущей АР.
Следовательно, АВ ~~ РМ. 70 )л. 3. Париллельные прямые с 215. По данным рисунка 135 (рис. 122 учебника) найдите угол !. Решен не. Углы ГСР и ВСР смежные, поэтому дВСР = 180'— — 115' = 65'. Отсюда следует, что Е 115' с'.АВС = с'ВСР = 65'. Углы АВС и ВС — накрест лежащие при пеРис. 135 ресечении прямых АВ и СР секущей ВС, поэтому АВ !! СР.
Углы ЕРС и ЕРМ вЂ” смежные, следовательно, г'ЕРС = 180' — 121' = 59'. Углы 1 и ЕРС вЂ” соответственные углы при пересечении параллельных прямых АВ и СР секущей ЕВ, поэтому с'! = с'ЕРС = 59'. Ответ. 59'. 216. На рисунке 1Зб (рис. 123 учебника) РŠ— биссектриса угла АВЕ. По данным рисунка найдите углы треугольника АРЕ.
Решение. Углы МАВ и СВА — односторонние углы при пересечении прямых АЕ и ВЕ секущей ЛВ и сг)ХАВ+ РСВА = 78' 9 + 102' = 180', следовательно, ЛЕ !! ВГ. с! = дл(РВ = 48', так как д! и с'АР — накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АЕ и ВР секущей АР. Углы АРВ и АРŠ— смежные, поэтому САРЕ = 180' — 48' =- 132'. Так как по условию луч РЕ биссектриса угла ЛРЕ, то с'.2 = = с4 = 66'. Углы 3 и 4 — накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АЕ и ВЕ секущей РЕ. Следовательно, д3 = л'4 = 66'. Итак, в треугольнике АВЕ с'А = 48', к'Р = ЛŠ— бб'.
Ответ. 48', бб', 66'. 217. Прямые а и Ь параллельны прямой с Докажите, что любая прямая, пересекающая прямую а., пересекает также и прямую Ь. Ре ш е н не. По условию а !! с и Ь (! с, следовательно (согласно следствию 2' из аксиомы параллельных прямых), а !! Ь (рис. 137). По условию прямая гп пересекает прямую и, а значит (согласно следствию 1' Рис. 137 Рис. 136 из аксиомы параллельных прямых), она пересекает и параллельную ей прямую Ь. Дополнительные задачи ?1 218. Прямые а и Ь пересекаются.
Можно ли провести такую прямую, которая пересекает прямую а и параллельна прямой Ь? Ответ обоснуйте. Решение. На прямой а отметим точку ЛХ, не лежащую на прямой Ь, и проведем через нее прямую с, параллельную прямой Ь (рис. 138). Прямые и и с не совпадают, так как прямая а пересекает прямую Ь, а с ~ Ь. Таким образом, прямая с пересекает прямую а и параллельна прямой 6. Ответ. Да. Рис. !38 219*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
