atnasyan-gdz-7-2005 (546184), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Прямоугольные треугольники АСВ и А~С~ТЭ~ также равны по гипотенузе и катету, поэтому углы С и С~ этих треугольников равны. Следовательно, треугольники АВС и А1В~С~ равны по второму признаку равенства треугольников (АС = = А1С1, дА = г'.А1, ЛС = ~С1). у 3.
Нрямоугольньье треугольники 8? 269. Докажите, что 1лЛВС = глЛ~В|Сь если АЛ =- АЛп АВ = АВ~ и ВН = В~ Но где ВН и В|Н~ — высоты треугольников ЛВС' и Л1 В~Со Решение. Прямоугольные треугольники АВН и А1В!Н~ (рис. 169) равны по катету и противолежащему углу (задача 268), А Н С А, Рис. 169 с, и, поэтому АВ = А|ВП Следовательно, треугольники АВС и А|В1С1 равны по второму признаку равенства треугольников.
270. Внутри угла дана точка Л. Постройте прямую, проходящую через точку А и отсекающую на сторонах угла равные отрезки Р е ш е н и е. Построим сначала биссектрису данного угла (рис.170), а затем через точку А проведем прямую, перпендикулярную к этой биссектрисе. Проведенная прямая — искомая.
Рнс. 170 268. Сформулируйте и докажите признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу. Ре ш е п и е. Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу (если, конечно, он имеет место) должен формулироваться так: если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника равен катету и противолежащему ему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рассмотрим прямоугольные треугольники АВС' и А1В~С1 с прямыми углами А и Ан (в) в, у которых АВ = А1ВП ЛС = г'.Сь Приложим треугольник АВС к треугольнику А|В!С1 (рис. !68) так, чтобы вершина А совместилась с вершиной Ан вершина  — с Вы а вершины С и С! оказались по разные сторо- ь (А)А, ны от прямой А1ВП Поскольку углы А и А| прямые, то точки С, А| и С1 окажутся при Рис. 168 этом лежащими на одной прямой. В треугольнике СВ!С~ углы С и С1 равны, поэтому этот треугольник равнобедренный: В1С = В1Св Следовательно, треугольники АВС и А|В1С1 равны по гипотенузе и катету. 88 Рл 4.
Соотношения между сторонами и углами треугольника ф 4. Построение треугольника по трем элементам 271. Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, сумма длин которых равна 1? см, а разность длин равна ! см, Найдите расстояние от точки до прямой. Решение. Пусть х искомое расстояние, или, что то же самое, длина проведенного перпендикуляра. Поскольку перпендикуляр меньше наклонной, то длина наклонной равна х + ! см.
Следовательно, х + х + 1 см = 17 см, откуда х = 8 см. Ответ. 8 см. 272. В равностороннем треугольнике АВС проведена биссектриса,4В. Расстояние от точки В до прямой АС равно 6 см. Найдите расстояние от вершины А до прямой ВС. Р е ш е н и е. Биссектриса равностороннего треугольника является высотой, позтому искомое расстояние — зто длина отрезка АР.
Проведем из точки Р перпендикуляр ВЕ к прямой АС (рис. 171). По условию РЕ = 6 см. Учитывая, что отрезок РЕ является катетом прямоугольного треугольника АРЕ, лежащим против угла в 30', получим: АР = 2. 6 см = 12 см, Ответ. 12 см. 273. Сумма гипотенузы СЕ и катета СВ прямоугольного треугольника СВЕ равна 3! см, а их разность равна 3 см. Найдите расстояние от вершины С до прямой ВЕ.
Р е ш е н и е. Пусть х — искомое расстояние, равное, очевидно, длине катета СР (рис.172). Поскольку катет меньше гипотенузы, то гипотенуза равна х + 3 см. Следовательно, х -1-х + 3 см =. 3! см, откуда х = 14 см. О т в е т. 14 ем. 274. Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон. Решение. Пусть М вЂ” середина основания АВ равнобедренного треугольника АВС (рис.!73), ЛХН и МК вЂ” перпендикуляры, про- с р Рис. !?3 Рис. 172 Рис. 1?1 Э 4 Построение треугольника по трем элементом 89 веденные из точки ЛХ к прямым АС и ВС.
Поскольку отрезок СЛХ является медианой равнобедренного треугольника, а значит, и его биссектрисой, то г.'НСЛХ .= г'КСЛХ. Следовательно, прямоугольные треугольники НСЛХ и КСМ равны по гипотенузе и острому углу, а значит, МН = ЛХК. 275. На основании АВ равнобедренного треугольника .4ВС взята точка М, равноудаленная от боковых сторон Докажите, что СЛХ вЂ” высота треугольника АВС Решение. Пусть ЛХН и ЛХК перпендикуляры, проведенные из точки ЛХ к прямым АС н ВС (см.
рнс. 173). Поскольку МН = ЛХК, то прямоугольные треугольники НСМ и КСЛХ равны по гипотенузе и катету. Следовательно, отрезок СЛХ является биссектрисой треугольника АВС, а значит, и его высотой. 277. Расстояние между параллельными прямыми о, и Ь равно 3 см, а между параллельными прямыми а и с равно 5 см. Найдите расстояние между прямыми Ь н с. Решен не.
Если прямые Ь и г лежат по одну сторону от прямой а, то расстояние между ними равно 5 см — 3 см .= 2 см; если же эти прямые лежат по разные стороны от прямой а, то расстояние между ними равно 5 см+ 3 см = 8 см. Ответ. 2 см или 8 см. 278. Прямая АВ параллельна прямой СВ. Найдите расстояние между этими прямыми, если ЛАРС =- 30', АР =- 6 см. Р е ш е н и е. Пусть АН вЂ” перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой СХ1 (рис. 175). Поскольку в прямоугольном треугольнике АВН угол В равен 30', то АН = АВ =- 3 см.
2 Ответ. 3 см. Рнс. 175 276. Через середину отрезка проведена прямая Докажите, что концы отрезка равноудалены от этой прямой. Решение. Пусть ЛХ середина отрезка В, АВ (рис.174), АА~ н ВВ~ — перпендикуляры, проведенные из концов отрезка к данной прямой. Поскольку углы АЛХА1 и ВЛХВ~ рав- М В ны как вертикальные углы, то прямоугольные треугольники АА~ЛХ и ВВ~Л| равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, АА~ = ВВь Рис. 174 90 Гл 4 Соотношения между сторонами и углами треугольника 279*. Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от нее, лежат на прямой, параллельной данной.
Решение. Пусть а — данная прямая, Л вЂ” одна из тех точек, о которых идет речь в условии задачи, г( — расстояние от точки А до прямой а. Проведем через точку А прямую Ь, параллельную прямой о,(рис.176). Требуется доказать, что если точки А н В лежат по одну сторону от прямой и, причем точка В не лежит на прямой Ь, то расстояние от точки В до прямой а не равно И. Докажем это. Проведем через точку В прямую, перпендикулярную к а, и обозначим буквами Н и К точки пересечения этой прямой с прямыми а и Ь соответственно.
По теореме п.37 КН = г(, а поскольку точки В и К не совпадают (точка В не лежит на прямой Ь), то ВН ф д. Но это и означает, что расстояние от точки В до прямой а не равно И. 280. Даны неразвернутый угол АВС н отрезок Рьг Что представляет собой множество всех точек, лежащих внутри данного угла и удаленных от прямой ВС на расстояние Щ7 Решение. Все точки искомого множества лежат, очевидно, по ту же сторону от прямой ВС, что и точка А. Выберем одну из них и проведем через нее прямую, параллельную ВС (рис. 177). По теореме и. 37 все точки этой прямой удалены на расстояние РСу от прямой ВС, а согласно утверждению задачи 279 все интересующие нас точки лежат на этой прямой.
Таким образом, искомым множеством точек является часть указанной прямой, заключенная внутри угла АВС, т. е. луч с началом на стороне АВ. О т в е т. Луч с началом на стороне ЛВ, параллельный стороне ВС. 281. Что представляет собой множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных параллельных прямыхь Р е ш е н и е. Пусть д — расстояние между данными прямыми. Все точки искомого множества лежат, очевидно, между данными прямыми 4 и удалены от них на расстояние — '. Выберем одну из них и проведем 2' через нее прямую, параллельную данным. По теореме п.37 все точки этой прямой равноудалены от данных прямых, а согласно утверждению Рис 177 Рис 176 91 Задана на настроение задачи 279 точки, не лежащие на этой прямой, искомому множеству не принадлежат.
Таким образом, проведенная прямая и является искомым множеством точек. Ответ. Прямую, параллельную данным прямым и находящуюся на равных расстояниях от ннх. 282. Прямые а н 6 параллельны Докажите, что середины всех отрезков ХУ, где Х Е а, где У Е б, лежат на прямой, параллельной прямым а и б и равноудаленной от этих прямых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
