atnasyan-gdz-7-2005 (546184), страница 14
Текст из файла (страница 14)
О т в е т. Сторона, равная 1О см. 250. Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: а) 5 см и 3 см; б) 8 см и 2 см; в) 1О см и 5 см. Ре ш е н не. а) Если сторона, равная 5 см, является боковой стороной данного треугольника, то неизвестная сторона также равна 5 см; если же боковой стороной данного треугольника является сторона, равная 3 см, то неизвестная сторона также равна 3 см. б) Поскольку данный треугольник равнобедренный, то его неизвестная сторона равна либо 8 см, либо 2 см. Если предположить, что она равна 2 см, то получится противоречие: 2 см -ь 2 см = 4 см < < 8 см (в то время как каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон).
Следовательно, эта сторона равна 8 см. в) Поскольку данный треугольник равнобедренный, то его неизвестная сторона равна либо 10 см, либо 5 см. Если предположить, что она равна 5 см, то получится противоречие: 5 см + 5 см =- 10 см (в то время как каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон). Следовательно, эта сторона равна 1О см. Ответ. а) 5 см или 3 см; б) 8 см; в) 1О см. 82 Рл 4.
Соотношения между сторонами и углами треугольника 252. Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из его сторон равна 16 см. Найдите две другие стороны треугольника. Решение. Смежные углы составляют в сумме 180', поэтому если два внешних угла треугольника при разных вершинах равны, то равны и углы треугольника при этих вершинах, а значит, данный треугольник равнобедренный. Сторона, равная 16 см, может быть либо основанием, либо боковой стороной этого треугольника.
Но боковой стороной она быть не может: иначе стороны треугольника были бы равны 16 см, 16 см и 74 см — 16 см — 16 см = 42 см, а 16 см+ 16 см =- 32 см < 42 см, в то время как каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Следовательно, эта сторона является основанием, а значит, каждая из боковых сторон равна 74 см — 16 см 2 = 29 см.
Ответ. 29 см и 29 см. 253. Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см, разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних углов — острый. Найдите стороны треугольника. Решен не. Смежные углы составляют в сумме 180', поэтому если один из внешних углов треугольника острый, то угол треугольника при этой вершине тупой.
Поскольку данный треугольник равнобедренный, то тупым является угол между его боковыми сторонами (углы при основании равнобедренного треугольника равны, а тупым может быть только один угол треугольника), а значит, основание является наибольшей из его сторон. Таким образом, если каждая из боковых сторон равна х, то сторона основания равна х + 4 см. Периметр треугольника равен х+т+(х+4 см) = 25 см, откуда Зх =- 2! см, х = 7 см, х + 4 = 11 см. Итак, стороны треугольника равны 7 см, 7 см и 11 см. Ответ.
7 см, 7 см и 11 см. ф 3. Прямоугольные треугольники 254. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника. Р е ш е н и е. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90', а поскольку данный треугольник равнобедренный, то его острые углы равны друг другу. Следовательно, углы этого треугольника равны 45', 45' н 90'. О т в е т. 45', 45' и 90'. ф 8.
Вряиоугольньье треугольники 83 255. В равнобедренном треугольнике СРЕ с основанием СЕ проведена высота СЕ. Найдите кЕСГ, если к!Э = 84'. Р е ш е н и е. Поскольку данный треугольник равнобедренный, то 'С =- кЕ, а значит, 2кЕ+ + кР = 180' !рис.160), откуда гŠ— 180' — хР 180' — 84' 3, 2 2 Рис 160 Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника СЕР равна 90', поэтому г'ЕСЕ = 90' — 63' = 27'. Ответ.
27'. 256. Один из у~лов прямоу~ольно~о треугольника равен 60', а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 28,4 см. Найдите гипотенузу треугольника. Ре ш е н не. Один из острых углов данного треугольника равен 60', а значит, другой его острый угол равен 90' — 60' =. 30'. Угол в 30' меньше угла в 60', поэтому меньший катет лежит против угла в 30' и, следовательно, равен половине гипотенузы. Таким образом, если длина гипотенузы равна х, то т, + — = 26,4 см, откуда х =. 17,6 см.
2 Ответ. 17,6 см. 257. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым у~лом С внешний угол при вершине А равен !20', АС+ АВ = !8 см. Найдите АС и,4В Решение. Смежные углы составляют в сумме 180', поэтому угол А треугольника АВС равен 180' — 120' = 60', а значит, его угол В равен 90' — 60' = 30'. Следовательно, катет АС равен половине гипотенузы АВ.
Учитывая, что АС+ АВ = 18 см, получаем: АС = =- 6 см, АВ = 12 см. Ответ. АС' = 6 см, АВ = 12 см. 258. Из середины Р стороны ВС равностороннего треугольника АВС проведен перпендикуляр РМ к стороне АС Найдите АЛХ, если АВ = 12 см. Решение. В равностороннем треугольнике все углы равны 60'. Поэтому в прямоугольном треугольнике РЛХС !рис. 161) угол Р равен 90' — 60' =- 30'. Следовательно, ЛХС = РС ВС АВ =- — = — = — = 3 см, а значит, АЛХ = А 2 4 4 = 12 см — 3 см = 9 см.
Ответ. 9 см. М С Рис. 16! 84 Гл. 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника 269. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120'. Высота, проведенная к боковой стороне, равна 9 см. Найдите основание треугольника. Решение. Каждый из углов при основании данного треугольника 180' — 120' равен, =- 30'. Поэтому проведенная высота является кате- 2 том прямоугольного треугольника, лежащим против угла в 30', а основание данного треугольника — гипотенузой.
Следовательно, искомое основание равно 2 9 см =- !8 см. Ответ. 18 см. 260. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 7,6 см, а боковая сторона треугольника равна 15,2 см. Найдите углы этого треугольника. Р е ш е н и е. Проведенная высота является катетом прямоугольного треугольника, а боковая сторона — его гипотенузой. Поскольку 15,2 см = 2 7,6 см, то гипотенуза этого треугольника в два раза больше катета, а значит, угол, лежащий против этого катета, равен 30'. Но этот угол является углом при основании данного треугольника.
Поэтому углы данного треугольника равны 30', 30' и 180' — 30'— — 30' = 120'. Ответ. 30', 30' и 120'. 26!. Докажите, что в равнобедренном треугольнике две высоты, проведенные из вершин основания, равны. Решение. Указанные высоты являются катетами прямоугольных треугольников с общей гипотенузой — основанием данного треугольника — и равными острыми углами — углами при основании данного треугольника.
Поэтому эти прямоугольные треугольники равны, а значит, равны и указанные высоты. 262. В треугольниках АВС и А~В~С~ углы А и А~ — прямые, ВР и В~Р~ — биссектрисы. Докажите, что гтАВС = ЬА~В~Си если АВ = АВ~ иВР=ВР. Решение. Поскольку 'В = ~В~ и ВР и В~Р~ — биссектрисы (рис. 162), то лРВА = ~Р~В~АН а значит, прямоугольные треугольники АВР и А~В~Р~ равны по гипотенузе и острому углу. А В, А Рис. !62 85 ф 3.
Прямоугольньье треугольники Следовательно, АВ = А!Ви Поэтому треугольники АВС и А!В1С1 равны по катету и прилежащему к нему острому углу. 263. Высоты, проведенные к боковым сторонам ЛВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника ЛВС, пересекаются в точке 51. Найдите углы треугольника, если кВМС = 140'. Решение. Пусть Н вЂ” основание высоты, проведенной из вершины В (рис.
163). Угол ВЛХС, будучи внешним углом прямоугольного треугольника СМН, равен сумме его углов при вершинах С и Н. Поэтому л'НСЛХ = 140' — 90' = 50', а значит, г'.А = 90' — г'.НСйХ = = 40'. Следовательно, каждый из углов В и С треугольника АВС равен 180' — 40' 2 Ответ. 70', 70' и 40'.
264. Высоты ЛЛ~ и ВВ~ треугольника ЛВС пересекаются в точке ЛХ. Найдите кЛйХВ, если лЛ вЂ” — 55', кВ =- 67'. Ре ш е н не, Из прямоугольных треугольников АА!В и АВВ~ (рис.!64) находим; г'А1АВ = 90' — кВ = 90' — 67' = 23', хВ1ВА = = 90' — 55' = 35', Поэтому угол АЛХВ можно найти из треугольника АЛХВ: г'.АЛХВ = 180' — 23' — 35' = 122'. Ответ. 122'. 265. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены биссектриса ЛР и высота ЛН. Найдите углы треугольника ЛНР, если г В = Р е ш е н и е.
В равнобедренном треугольнике АВС угол В равен 180' — 112' 112' (рис. 165), поэтому каждый из углов А и С равен 2 34' = 34'. Следовательно, угол ВАР равен = !7'. Из треугольника 2 ВАГ находим угол Г треугольника АНЕ": г'Е = 180' — г' — г'ВАР = Рис.
164 Рис. 163 86 Рл. 4. Соотноьиения между сторонами и углами треугольника = 180' — 112' — 17' = 51'. Таким образом, углы прямоугольного треугольника АНЕ равны 51', 90' и 90' — 51' .= 39'. Ответ. 90', 39' и 51'. 266. На сторонах угла О отмечены точки А и В так, что ОА = ОВ. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла и пересекающиеся в точке С Докажите, что луч ОС вЂ” биссектриса угла О. Р е ш е н и е, Прямоугольные треугольники ОАС и ОВС (рис. 166) равны: гипотенуза ОС у них общая, а катеты ОА и ОВ равны по условию задачи. Следовательно, л'.АОС = л'.ВОС, а это и означает, что луч ОС биссектриса угла О.
О Рис 165 Рис 166 267. Докажите, что два остроугольных треугольника равны, если сторона и высоты, проведенные из концов этой стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведенным из концов этой стороны, другого треугольника. Р е ш е н и е. Рассмотрим остроугольные треугольники АВС и А~В~С~ с высотами Алл, СЕ и А~ОН С~Е~ (рис.167), у которых АС = А~Си АВ =- А~ОН СЕ = С~ЕР Прямоугольные треугольники С Аь Рис. !6? АСЕ и АтС~Е~ равны по гипотенузе и катету, поэтому углы А и А~ этих треугольников равны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
