atnasyan-gdz-7-2005 (546184), страница 13
Текст из файла (страница 13)
115' 2 О т в е т: 57'30', 57'30' и 65' или 65', 65' и 50'. 235. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса АР. Найдите углы этого треугольника, если '.АРВ = 110'. Ре ш е н и е. Угол АРВ является внешним углом треугольника АСР (рис. 149), поэтому он равен сумме двух углов этого треуголь- Э 2.
Соотноьиенил между сторонами и углами треугольника ?? и 33'20'. ф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника 236. Сравните углы треугольника АВС и выясните, может ли быть угол А тупым, если: а) АВ ) ВС ) ЛС; б) ЛВ = АС ( ВС. Ре ш е н ив. В тупоугольном треугольнике тупой угол больше каждого их двух других углов, поэтому против тупого угла лежит наибольшая из трех сторон. Следовательно: а) поскольку сторона ВС не является наибольшей, то угол А не может быть тупым; б) поскольку сторона ВС является наибольшей, то угол А может быть тупым. Ответ.
а) Не может; б) может. 237. Сравните стороны треугольника АВС, если: а) кЛ ) кВ ) кС; б) с Л > г'В = кС. Решение. В треугольнике против большего угла лежит ббльшая сторона. Поэтому: а) ВС>СА>АВ; б) ВС> СА=АВ. 238. Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания, отличную от вершины, с противоположной вершиной, меньше боковой стороны. Р е ш е н и е. Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС, на основании АС которого взята точка Р, отличная от вершины (рис. 150).
Смежные углы АРВ и СРВ составляют в сумме 180', поэтому один из них тупой или прямой. Пусть, например, угол АРВ тупой или прямой. Тогда в треугольнике АРВ против этого угла лежит наибольшая сторона. Следовательно, АВ > ВР, Л с Рис. 150 Рис. !49 ника, не смежных с ним. то г'САР = — — '. Таким кС 2 = 73'20'. Следовательно, — 73'20' = 33'20'. Ответ. 73'20', 73'20' Кроме того, поскольку АР— биссектриса, кС образом, кС+ — = 11О', откуда г'.С = 2 г'А = кС = 73'20', кВ = 180' — 73'20'— 78 Рл.
4. Соотношения между сторонами и углами треугольника 239. Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведенной нз той же вершины. Решение. Рассмотрим треугольник АВС, в котором проведены высота ВН и медиана ВЛХ (рис. 151). Если точки Н и ЛХ совпадают, то высота равна медиане. Если же точки Н и М не совпадают, то в прямоугольном треугольнике ВНМ гипотенуза ВЛХ больше катета ВН, т. е. медиана больше высоты. 240. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОС— равнобедренный.
Решение. Углы А и С треугольника АОС в два раза меньше углов А и С треугольника .4ВС (рис.!52). Следовательно, углы А А Мн С Рис. 1о1 Рис. 152 241. Прямая, параллельная основанию равнобедренно~о треугольника АВС, пересекает боковые стороны АВ и АС в точках М и Х. Докажите, что треугольник АЛХЛ' — равнобедренный. Решение.
Углы ЛХ и )у треугольника АЛХЛХ (рис. 153) равны углам В и С треугольника АВС как соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых ВС и ЛХХт' секущими АВ и АС. Следовательно, углы М и Лг треугольника АЛХЛг равны друг другу, а значит, этот треугольник — равнобедренный. А Рис. 153 242.
Докажите, что если биссектриса внешне~о угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный. Решение. Рассмотрим треугольник АВС, биссектриса ВВ внешнего угла которого параллельна стороне АС (рис. 154). Углы СВО и АСВ равны как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых АС и ВО секущей ВС, поэтому внешний и С треугольника АСС равны друг другу, а значит, этот треугольник равнобедренный.
у 2. Соотноьиения между сторонами и углами треугольника ?9 угол при вершине В треугольника АВС в два раза больше угла С этого треугольника. С другой стороны, указанный внешний угол равен сумме углов А и С треугольника АВС. Следовательно, '.А .= г'С, а значит, треугольник АВС вЂ” равнобедренный. 243. Через вершину С треугольника АВС проведена прямая, параллельная его биссектрисе АА~ и пересекающая прямую АВ в точке Р. Докажите, что АС = АР.
Решение. Углы А1АС и АСР (рис.155) равны как накрест Рис. ! 55 Рис. 154 лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых АА1 и СР секущей АС, поэтому внешний угол при вершине А треугольника АСР в два раза больше угла С этого треугольника. С другой стороны, указанный внешний угол равен сумме углов С и Р треугольника АСР. Следовательно, г'.С = кР, а значит, АС = АР. 244. Отрезок АР— биссектриса треугольника АВС. Через точку Р проведена прямая, параллельная АС и пересекающая сторону АВ в точке Е. Докажите, что треугольник АРŠ— равнобедренный.
Решение. Углы САР и АРЕ (рис. 156) равны как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых АС и РЕ секущей АР. Следовательно, в треугольнике АРЕ лА = с'.Р, а значит, треугольник АРŠ— равнобедренный. 245. Через точку пересечения биссектрис ВВ~ и СС~ треугольника АВС проведена прямая, параллельная прямой ВС и пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках М и Лг Докажите, что Л174 = ВЛ1 + СХУ. Решение.
Пусть точка Π— точка пересечения биссектрис ВВ~ и СС| (рис. 157). Углы ВОЛХ и СВО равны как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых ОЛХ и ВС секущей ВО. Следовательно, в треугольнике ВОЛХ г'В = г'.О, а значит, ОЛХ =- ВЛХ. Углы ЛгОС и ОСВ равны как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых Ойг и ВС секущей СО. Следовательно, в треугольнике СОХт' лС = г'.О, а значит, ОЛг = Сгу. 80 Рл 4. Соотиоатаиия между стаороиалти и углама лгреугольиика Рис. 157 Рис.
! 56 Итак, ОМ = ВМ, ОХ = СХ. Поэтому МХ = ОМ+ ОХ = ВМ+ СХ. 246. На рисунке 158 (рис. 129 учебника) лучи ВО и СΠ— биссектрисы углов В и С' треугольника А130', ОЕ !! А13, ОР !~ АС. Докажите, что периметр треугольника ЕРО равен длине отрезка ВС. Решение. Углы ВСЕ и АВО равны как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых ОЕ и АВ секущей ВО. Следовательно, в треугольнике ВОЕ аВ = г'О, а значит, ОЕ = ВЕ. Углы РОС и АСС равны как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых ОР и АС секущей СО.
Следовательно, в треугольнике СОР л'.С = аО, а значит, ОР = СР. Итак, ОЕ = ВЕ, ОР = СР. Поэтому ОЕ+ ЕР+ РО = ВЕ+ ЕР+ СР = ВС. 247. На рисунке 159 (рис. 130 учебника) АВ =- АС, АР =- АЯ. Докажите, что. а) треугольник ВОС вЂ” равнобедренный; б) прямая ОА проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему.
Ре ш е н не, а) Поскольку АВ = АС и АР = АЯ, то ВР .= Сб„). Следовательно, треугольники СВР и ВСЯ равны по первому признаку равенства треугольников (ВР = СО, сторона ВС у них общая, а углы СВР и ВССьз равны как углы при основании равнобедренного В Е 33 Рис. 158 Рис 159 Э 2 Соотношения между сторонами и углами треугольника 81 треугольника АВС). Поэтому углы В и С треугольника ВОС равны, а значит, этот треугольник — равнобедренный. б) Из рассуждений, приведенных в части а) решения, следует, что ВО = ОС.
Следовательно, треугольники АВО и АСО равны по третьему признаку равенства треугольников. Поэтому луч АО является биссектрисой угла А. Но в равнобедренном треугольнике АВС биссектриса угла А является медианой и высотой. Таким образом, прямая ОА проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему. 248. Существует ли треугольник со сторонами а) 1 и, 2 м и 3 м; б) 1,2 дм, 1 дм и 2,4 дм? Р е ш е н и е. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Имеем: а) 1 м + 2 м = 3 м, поэтому треугольника со сторонами 1 м, 2 м и 3 м не существует; б) 1,2 дм + 1 дм = 2,2 дм < 2,4 дм, поэтому треугольника со сторонами 1,2 дм, 1 дм и 2,4 дм не существует. Ответ. а) Нет; б) нет. 249. 8 равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, а другая равна !О см. Какая из них является основанием? Р е ш е н и е. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Поэтому если предположить, что основанием является сторона, равная 25 см, то получится противоречие: 10 см + 10 см = = 20 см < 25 см. Следовательно, основанием является сторона, равная 1О см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
