atnasyan-gdz-7-2005 (546184), страница 18
Текст из файла (страница 18)
На резки ВЛХ и ЛХВы треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной произвольной прямой отложим последовательно отравные данной медиане (рис.201). Далее, построим треугольник ВСВы стороны ВС и В~С которого равны данным сторонам искомого треугольника. Наконец, проведем отрезок СЛХ и продолжим его за точку ЛХ на отрезок л ЛХА = СЛХ. Поскольку треугольники ЛХСВ~ и ЛХАВ равны (по первому признаку равенства треугольников), то треугольник АВС вЂ” искомый.
Рис 20! 314. Постройте прямоугольный треугольник: а) по гипотенузе и острому углу; б) катету и противолежащему углу; в) гипотенузе и катету. Решение. а) Построим угол, равный данному углу, на одной из его сторон отложим от вершины отрезок, равный данной гипотенузе, и из конца этого отрезка проведем перпендикуляр к другой стороне угла. Построенный треугольник искомый. б) Построим угол 66, равный данному углу, и проведем ту прямую, параллельную 6 и находящуюся от 6 на расстоянии, равном данному катету (см.
задачу 284), которая пересекает луч 6. Из точки пересечения проведем перпендикуляр к лучу 6. Построенный треугольник— искомый. в) Х!остроим прямой угол и отложим на одной из его сторон от вершины отрезок, равный данному катету. Затем проведем окружность радиуса, равного данной гипотенузе, с центром в конце этого отрезка. Соединим точку пересечения окружности и второй стороны прямого угла с ее центром.
Построенный треугольник — искомый. 315. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равныи: а) ЗО', б) 60'! в) ! 5'! г) ! 20'! д) 150'; е) 135'! ж) 165'! з) 75'! и) 105'. Р е ш е н и е. а) Построим равносторонний треугольник со стороной, равной произвольному отрезку. Каждый из его углов равен 60'. Теперь проведем биссектрису одного из этих углов и получим угол, равный ЗО'.
б) См. а). в) Построим угол, равный ЗО' (см. а), и проведем его биссектрису. Получим угол, равный 15'. г) Построим угол, равный 60' (см. б). Тогда смежный с ним угол равен !20'. следовательно, угол В больше угла С. Таким образом, в треугольнике АЛХС угол ЛХ больше угла С, а значит, АС ) АЛХ. Дополнительньге задави 103 д) Построим угол, равный 30' (см. а). Тогда смежный с ним угол равен 150'. е) Построим прямой угол и на его сторонах от вершины отложим равные отрезки. Соединяя концы этих отрезков, получим равнобедренный прямоугольный треугольник, углы при основании которого равны 45'.
Углы, смежные с этими углами, равны 135'. ж) Построим угол, равный 15' (см. в). Тогда смежный с ним угол равен 165'. з) Построим угол, равный 150' (см. д), и проведем его биссектрису. Получим угол, равный 75'. и) Построим угол, равный 75' (см. з). Тогда смежный с ним угол равен !05'.
316*. Постройте треугольник по стороне, высоте, проведенной к ней, и медиане, проведенной к одной из двух других сторон Р е ш е н и е. Построим отрезок АВ, равный данной стороне (рис. 202), и проведем прямую а, параллельную прямой АВ и находящуюся от нее на расстоянии, равном данной высоте (см. задачу 293). За- С тем проведем прямую Ь, параллельную АВ и равноудаленную от прямых АВ и а. Далее построим окружность с центром А, радиус которой равен данной медиане, и отметим точку ЛХ пересечения этой окружности с прямой Ь. Наконец, проведем прямую ВЛХ А до пересечения с прямой а в точке С. Тре- Рис. 202 угольник АВС вЂ” искомый. В самом деле, проведем из точек В и С перпендикуляры ВН~ и СН к прямой Ь и рассмотрим прямоугольные треугольники ВЛХН1 и СЛХНз.
Углы М этих треугольников равны как вертикальные углы, поэтому их углы В и С также равны. Катеты ВН~ и СНз этих треугольников равны по построению. Следовательно, рассматриваемые треугольники равны по первому признаку равенства треугольников, а значит, ВЛХ .= ЛХС, т.
е. отрезок АЛХ вЂ” медиана треугольника АВС. Из построения ясно, что задача может иметь два решения (рис. 203, а), одно решение (рис. 203, б) или не иметь решения (рис.203, в). А А В Рис. 203 !04 Гл 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника А о, С Рис. 205 Рис. 204 317. Дан треугольник АВС.
Постройте отрезок РЕ, параллельный прямой АС, так, чтобы точки Р и Е лежали на сторонах АВ и ВС и РЕ =- АР -Ь -ь СЕ Решение. Построим биссектрисы углов А и С треугольника АВС (рис.204). Через точку пересечения этих биссектрис проведем прямую, параллельную АС, и отметим точки Р и Е пересечения этой прямой с прямыми АВ и ВС. Отрезок РŠ— искомый (см. задачу 245). 318. Даны равносторонний треугольник АВС н точка В1 на стороне АС. Па сторонах ВС н АВ постройте точки А| н С| так, чтобы треугольник А|В~ С1 был равносторонним.
Решение. Отложим на сторонах ВС и АВ отрезки СА! и ВС!, равные АВ! (рис. 205). Точки А! и С! — искомые, поскольку треугольники АВ!С!, А!ВС! и А!В!С равны по первому признаку равенства треугольников 319*. Постройте треугольник по углу, высоте н биссектрисе, проведенным из вершины этого угла. Р е ш е н и е. Построим сначала прямоугольный треугольник АРН (рис.206), гипотенуза АР и катет АН которого равны соответственно данной биссектрисе и данной высоте (см. задачу 314, в). Затем разделим данный угол пополам и отложим от лучаАР по обе стороны углы, равные половине данного угла. Точки пересечения сторон отложенных углов с прямой РН обозначим буквами В и С.
Треугольник АВС вЂ” искомый. 320*. Постройте треугольник по стороне, высоте и медиане, проведенным к этой стороне. Решение, Построим отрезок АВ, равный данной стороне, и найдем его середину М (рис. 207). Проведем пряьиую, параллельную АВ и находящуюся от нее на расстоянии, равном данной высоте (см. задачу 284). Затем проведем окружность с центром ЛХ радиуса, равного данной медиане, и обозначим буквой С точку ее пересечения с проведенной прямой.
Треугольник АВС вЂ” искомый. 105 Задачи новышвнной трудности к главам 3 и 4 Рис. 207 Рис. 206 321*. Дан треугольник АВС с прямым углом Л. На стороне АВ постройте точку М, находящуюся на расстоянии АМ от прямой ВС. Решение. Проведем биссектрису угла С (рис.208). Точка М ее пересечения с отрезком А — искомая. В самом деле, пусть МН— перпендикуляр, проведенный из точки М к прямой ВС, Треугольники АСМ и НСЫ равны по гипотенузе и острому углу, поэтому МА = = МН. Задачи повышенной трудности к главам 3 и 4 333.
Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС, пересекаются в точке О Найдите угол ВОС, если угол Л равен о. Решение. Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны (см. задачу 83), поэтому с'ОВС вЂ” -- 90' —:, хОСВ =- 90'— г'В АС 2 — — (рис. 209), а значит, 2 ~НОС = 180' — (90' — — ) — (90' — — ) = — — = — —,— — = 90' — — = 90' — о. 2 2 2 2 Ответ. 90' — —. 2' 334. Через каждую вершину данного треугольника проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе треугольника, исходящей из этой вершины.
Рис. 209 Рис. 208 !06 Гл 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника Отрезки этих прямых вместе со сторонами данного треугольника образуют три треугольника. Докажите, что углы этих треугольников соответственно равны. Решение. Пусть АВС вЂ” данный треугольник. В ходе решения задачи 333 было установлено, что углы одного из трех образовавшихся а ~В я треугольников равны 90' — — ', 90' -- —, и 90' -. — '.
Аналогично 2 ' 2 2 доказывается, что углы двух других треугольников также равны 90' — ' 90' — и 90'— 2 ' 2 2 335. В каждом из следующих случаев определите вид треугольника: а) сумма любых двух углов больше 90', б) каждый угол меньше суммы двух других углов Решение, а) Сумма трех углов треугольника равна 180', поэтому из условия задачи следует, что каждый угол треугольника меньше 90', а значит, данный треугольник — остроугольный. б) См.
а). О т в е т. а) Остроугольный; б) остроугольный. 336. Докажите, что угол треугольника яв- В ляется острым, прямым или тупым, если меди- М ана, проведенная из вершины этого угла, соответственно больше, равна или меньше половины противоположной стороны. Р е ш е н и е. Пусть АМ вЂ” медиана треРис. 210 угольника АВС (рис. 2!О). Применяя тео- рему о соотношениях между сторонами и углами треугольника к треугольникам АВЛХ и АСЛХ, получим, что если АЛХ > (=, <)ВЛХ, то ~ВАЛХ < (=, >)~В и ~САЛХ < (=, >)~С, а значит, лА = г'.ВАЛХ+ аСАЛХ < (=, >)лВ+ аС = 180' — лА, откуда находим: кА < (=-, >)90'.
337. Внутри равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС взята точка Л1, такая, что аЛХВС = 30', аЛХСВ = !О'. Найдите угол АМС, если ~ВАС = 80'. Ре ше н не. Поскольку угол А равнобедренного треугольника АВС равен 80', то — 80 2 !О? Задачи оовьииенной трудности к главам 3 и 4 Пусть Π— точка пересечения биссектрисы угла А с прямой ВЛХ !рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
