atnasyan-gdz-7-2005 (546184), страница 19
Текст из файла (страница 19)
211). Треугольники АОВ и АОС равны по первому признаку равенства треугольников. Поэтому ~АСО = БРАВО = 50' — 30' = 20', ЛАОВ = л'.АСС = 180' — 40' — 20' = 120'. Обратимся теперь к треугольникам АОС и ЛХОС. В этих треугольниках л'ЛХОС = 360' — !20' — 120' = 120' = л'АОС, лОСЛХ = 50' — 10' — 20' = 20' = л'ОСА. Следовательно, рассматриваемые треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, а значит, АС = ЛХС. В равнобедренном треугольнике АСЛХ угол С, противоположный ! 80' . - 40' основанию АЛХ, равен 40', поэтому ЛАЛХС = =- 70'.
2 Ответ. 70'. 338. Докажите, что любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей нз сторон треугольника. Решение. Рассмотрим треугольник АВС, на сторонах АВ и ВС которого взяты точки ЛХ и Х !рис.212), Если одна из этих точек совпадает с вершиной В или отрезок ЛХ?ч' совпадает со стороной АС, то утверждение, сформулированное в задаче, очевидно. Случай. когда один из концов отрезка ЛХЛг совпадает с вершиной А или С, рассмотрен в задаче 312.
Осталось рассмотреть случай, когда оба конца отрезка ЛХХ не совпадают ни с одной из вершин треугольника. В треугольнике ВЛХХ один из углов — острый. Пусть, например, острым является угол М. Тогда смежный с ним угол АМ?ч' — тупой. Согласно утверждению, сформулированному в задаче 3!2, отрезок А?ч' меньше большей из сторон АВ и АС. С другой стороны, этот отрезок лежит против тупого угла треугольника АЛХЛг, поэтому ЛХЛг ( АХ.
Следовательно, отрезок ЛХХ также меньше большей из сторон АВ и АС, а значит, он меньше наибольшей из сторон треугольника АВС. Рис 2!2 Рис. 2! ! !08 Гл 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника Рис. 213 Рис. 214 339. Отрезок ВВ1 — биссектриса треугольника АВС. Докажите, что ВА > В|А и ВС > В1С. Решение. Внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника, не смежных с ним (см.
задачу 173). Поэтому ~В лВ АГАВ!В > — (рис.213) и аСВ!В > —. Применяя теорему о соот- 2 2 ношениях между сторонами и углами треугольника к треугольникам АВВ! и СВВ!, получим: ВА > В1А и ВС > В!С. 340. Внутри треугольника АВС взята точка Р, такая, что АР = АВ. Докажите, что АС > АВ. Р е ш е н и е. Пусть Š— точка пересечения прямой АР и отрезка ВС (рис.
214). Поскольку точка Р лежит внутри треугольника АВС, то АЕ > АР = АВ. С другой стороны, согласно утверждению, сформулированному в задаче 312, отрезок АЕ меньше большего из отрезков АВ и АС. Следовательно, ббльшим нз этих отрезков является отрезок АС. 341. В треугольнике АВС, в котором сторона АВ больше АС, проведена биссектриса АР. Докажите, что аАРВ > аАРС и ВР > СР. Р е ш е н и е. Отметим на стороне АВ В такую точку С!, что АС! =- АС (рис. 215). Треугольники АРС и АРС! равны по первому признаку равенства треугольников. Следовательно, Рис. 215 л'.АРС = ЛАРС! < л'АРВ. В треугольнике ВРС! угол С! равен 180' — лС = лА + ЛВ > аВ, поэтому РВ > С!Р = СР.
Задачи ноеышенной трудности к главам 3 и 4 342. Докажите теорему: если е треугольнике биссектриса является медианой, то треугольник — равнобедренный Решение. Рассмотрим треугольник АВС, биссектриса АР которого является медианой: ВР = ХЗС. Допустим, что АВ ) АС. Тогда согласно утверждению, сформулированному в задаче 341, ВВ ) Х7С, что противоречит условию задачи. Предполагая, что АВ ( АС, мы придем к аналогичному противоречию. Следовательно, АВ = АС. 343. Две стороны треугольника не равны друг другу Докажите, что медиана, проведенная из их общей вершины, составляет с меньшей из сторон больший угол.
Р е ш е н и е. Рассмотрим треугольник АВС, в котором ВС < АВ. Продолжим его медиану ВЛХ за точку ЛХ на отрезок ЛХЕ =- = ВМ (рис. 216). Треугольники ВСМ и АЕЛХ равны по первому признаку равенства треугольников, поэтому АЕ = ВС и г'.АЕЛХ = = г'.СВМ. В треугольнике АВЕ сторона АЕ =- ВС Е меньше стороны АВ. Следовательно, угол АЕЛХ, а значит, и равный ему угол СВЛХ, Рис.
216 больше угла АВМ. 344. В треугольнике АВС, где АВ ф АС, проведен отрезок АМ, соединяющий вершину А с произвольной точкой ЛХ стороны ВС Докажите, что треугольники АЛХВ и АЛХС не равны друг другу. Решение. Если угол АМВ прямой (рис.217, а), то смежный С д б Рис. 2!7 с ним угол АМС также прямой.
В этом случае прямоугольные треугольники АЛХВ и АЛХС не равны друг другу, поскольку их гипотенузы АВ и АС не равны друг другу. Если угол АЛХВ тупой (рис. 217, б), то смежный с ним угол АЛХС острый. Допустим, что треугольники АМВ и АМС равны. Тогда треугольник АМС вЂ” тупоугольный с тупым углом А или С. Но углы А и С меньше тупого угла ЛХ треугольника АЛХВ (см. задачу 173), !10 Гл 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника поэтому тупоугольные треугольники АЛХВ и АЛХС не могут быть равными друг другу.
Наконец, если угол АЛЛВ острый, путем аналогичных рассуждений мы придем к тому же выводу. 345. Через вершину А треугольника АВС проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, а из вершины В проведен перпендикуляр ВН к этой прямой. Докажите, что периметр треугольника ВСН больше периметра треугольника АВС Ре ш е н и е. Продолжим отрезок ВА за точку А на отрезок ЛР = аА = АС (рис.
218). Каждый из углов НЛС и НАР равен 90' + —, где 2 л'.А — угол треугольника АВС. Следовательно, треугольники АСН и ЛРН равны по первому признаку равенства треугольников, а значит, СН = РН. Применяя теорему о неравенстве треугольника к треугольнику ВРН, получим: ВН+ РН > ВР, или ВН+ СН > ВА+ АР =- ВА+ АС, откуда ВН+ СН+ ВС > ВА + АС + ВС. 346. В треугольнике АВС, где АВ ( АС, проведены биссектриса АР и высота ЛН. Докажите, что точка Н лежит на луче РВ. Ре ш е н не.
Из утверждения, сформулированного в задаче 341, следует, что угол АРС тупой (рис. 219). Тем самым отрезок АН является высотой тупоугольного треугольника АРС, проведенной из вершины острого угла. Поэтому согласно утверждению, сформулированному в задаче 300 (см. также решение этой задачи), точка Н лежит на луче РВ. 347. Докажите, что в иеравнобедренном треугольнике основание биссек трисы треугольника лежит между основаниями медианы и высоты, проведенных из этой же вершины Н В Рис. 218 Рис.
219 Задачи аовьииенной трудности к главам 3 и 4 Решение. Пусть АР, АЛХ и АН биссектриса, медиана и высота треугольника АВС, сторона АВ которого меньше АС (рис. 220). Согласно утверждению, сформулированному в задаче 341, СР ) ВР, поэтому середина ЛХ отрезка ВС лежит на луче РС. С другой стороны, точка Н лежит на луче РВ (см. задачу 346).
Следовательно, точка Р лежит между точками ЛХ и Н. В ХХРЛХ С Рнс. 220 349. Медиана и высота треугольника, проведенного из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части. Докажите, что треугольник — прямоугольный. Решение. Пусть АЛХ и АН вЂ” медиана и высота треугольника АВС, делящие угол А на три равные части (рис.222).
Прямоугольные треугольники АВН и АЛХН равны по первому признаку равенства ВС треугольников, поэтому ВН =- НМ =- 4 Проведем из точки ЛХ перпендикуляр ЛХР к прямой АС. Прямоугольные треугольники АЛХН и АРМ равны по гипотенузе и острому ВС углу, а значит, РМ = НМ = 4 В НРМ Рис 221 Рнс 222 348. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой н медианой, проведенными из той же вершины, пополам. Р е ш е н и е. Пусть АР, АЛХ и АН вЂ” биссектриса, медиана и высота треугольника АВС с прямым углом А (рис.221).
Из утверждения, сформулированного в задаче 336, следует, что АЛХ = ВЛХ. В самом деле, если АМ < ВМ, то угол А тупой, а если АЛХ ) ВЛХ, то этот угол острый. И то и другое противоречит условию задачи, поэтому АМ = ВМ. Треугольник АВЛХ равнобедренный, поэтому углы при его основании АВ равны.
В треугольнике АВС углы В и С составляют в сумме 90', а в треугольнике АСН углы А и С составляют в сумме 90'. Следовательно, л'.САН = л'.ЛХВА = аВАМ. Биссектриса АР делит пополам угол ВАС, следовательно, она делит пополам и угол МАН. !12 Гл 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника В прямоугольном треугольнике Т?ЛХС катет Т?М равен половине гипотенузы, поэтому угол С равен 30'. Следовательно, в прямоугольном треугольнике АСВ угол САН равен 60', а значит, угол А треугольника АВС равен — 60' =- 90'. 2 350.
В треугольнике ЛВС высота АЛ1 не меньше стороны ВС, а высота ВВ~ не меньше стороны АС. Докажите, что треугольник АВС вЂ” равнобедренный и прямоугольный. Решение. Имеем: АА~ > ВС (рис.223, а). С другой стороны, поскольку гипотенуза прямоугольного треугольника больше его катета, то АС > ААи причем знак равенства возможен только в том случае, когда точки А~ и С совпадают, Итак, АС > АА1 > ВС, причем знак равенства возможен только в том случае, когда точки А1 и С совпадают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
