mordkovitch-gdz-8-2002 (542435), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Ответ: − .3258 x + 2918 x + 5б),−=4 x 2 + 1 16 x 4 − 1 8 x3 + 4 x2 + 2 x + 1258 x + 2918 x + 5−−=0,4 x 2 + 1 4 x 2 − 1 4 x 2 + 1 ( 2 x + 1) 4 x 2 + 13х2 – х – 2 = 0, D = 1 + 4⋅3⋅2 = 25, x1 =()()(100 x − 25 − 8 x − 29 − (18 x + 5 )( 2 x − 1)2( 2 x + 1)( 2 x − 1) ( 4 x2 + 1)64х2 – 49 = 0, x2 =)= 0 , 100х2 – 8х – 54 – 36х2 + 8х + 5 = 0,49717, x1,2 = ± , x ≠ ± . Ответ: ± .64828x2 − 2 x + 4x2 + 2 x + 42x + 2,+ 2=2x − 2 x + 4 x − 8 x + 2 x2 + 4 x + 8 x2 − 4в)3x2 − 2 x + 4( x − 2) ( x(x22+4)+x2 + 2 x + 4( x + 2) ( x)(2+4)−2x + 2=0,x−( 2 )( x + 2 ))(− 2 x + 4 ( x + 2 ) + x + 2 x + 4 ( x − 2 ) − ( 2 x + 2 ) x2 + 42( x − 2 )( x + 2 ) ( x2 + 4 ))=0,х3 – 2х2 + 4х + 2х2 – 4х + 8 + х3 –2х2 +2х2 – 4х + 2х – 8 – 2х3 – 8х – 2х2 – 8 = 0,- 2х2 – 8х – 9 = 0, 2х2 + 8х + 8 = 0, х2 + 4х + 4 = 0, (х + 2)2 = 0, х = -2, х ≠ ±2,х = -2 – посторонний корень.
Ответ: нет корней.521−=,x3 − 2 x 2 − 2 x + 1 x3 − 4 x 2 + 4 x − 1 x 2 − 1521−−=0,( x + 1) x2 − 3x + 1 ( x − 1) x2 − 3x + 1 ( x − 1)( x + 1)г)(220)()www.gdz.pochta.ru5 x − 5 − 2 x − 2 − x 2 + 3x − 1(x2)(2)− 3x + 1 x − 1= 0 , х2 – 6х + 8 = 0, D = 36 - 4⋅8 = 4, x1 =6+2=4,2х2 = 2. Ответ: 4; 2.№ 1056.а) (3х – 4)2 – 5(3х – 4) + 6 = 0, 3х – 4 = у, у2 – 5у + 6 = 0, D = 25 - 4⋅6 = 1,y1 =5 +17= 3 , у2 = 2, 3х – 4 = 3, 3х – 4 = 2, 3х = 7, 3х = 6, x1 = ;232х2 = 2;2б) 3(2х + 1) + 10(2х + 1) + 3 = 0, 2х + 1 = у, 3у + 10у + 3 = 0,D = 100 - 4⋅3⋅3 – 64, y1 =x1 = −−10 + 811= − , y2 = -3, 2 x + 1 = − , 2х + 1 = -3,6332; х2 = -2;3в) (5х + 1)2 – 3(5х + 1) – 4 = 0, 5х + 1 = у, у2 – 3у – 4 = 0, D = 9 + 4⋅4 = 25,y1 =3+532= 4 , у2 = -1, 5х + 1 = 4, 5х + 1 = -1, x1 = ; x2 = − ;552г) 2(7х – 6)2 + 3(7х – 6) + 1 = 0, 7х – 6 = у, 2у2 + 3у + 1 = 0, D = 9 - 4⋅2 = 1,y1 =−3 + 1115; x2 = .= −0,5 , у2 = -1, 7х – 6 = -0,5, 7х – 6 = -1, x1 =4147№ 1057.а) (х2 + 2х)2 – 2(х2 + 2х) – 3 = 0, х2 + 2х = у, у2 – 2у – 3 = 0, D = 4 + 4⋅3 = 16,2+4= 3 , у2 = -1, х2 + 2х – 3 = 0, х2 + 2х + 1 = 0, D = 4 + 4⋅3 = 16,2−2 + 4(х + 1)2 = 0, x1 == 1 , х3 = -1; х2 = -3;2y1 =б) 2(х2 + 3)2 – 7(х2 + 3) + 3 = 0, х2 + 3 = у, 2у2 –7у + 3 = 0, D = 49 - 4⋅2⋅3 = 25,y1 =7+511= 3 , y2 = , х2 + 3 = 3, x 2 + 3 = , х = 0, х2 = -2,5 – нет корней.422Ответ: 0.в) (х2 + 1)2 – 6(х2 + 1) + 5 = 0, х2 + 1 = у, у2 – 6у + 5 = 0, D = 36 - 4⋅5 = 16,y1 =6+4= 5 , у2 = 1, х2 + 1 = 5, х2 + 1 = 1, х1,2 = ±2; х3 = 0;2г) 2(х2 + 4х)2 + 17(х2 + 4х) + 36 = 0, х2 + 4х = у, 2у2 + 17у + 36 = 0,D = 289 - 4⋅2⋅36 = 1, y1 =x2 + 4 x +−17 + 19= −4 , y2 = − , х2 + 4х + 4 = 0,429= 0 , (х+2)2=0, 2х2+8х+9=0, х = -2; D = 64 - 4⋅2⋅9 < 0 – нет корней.2Ответ: -2.№ 1058.а) (х2 – 9)2 – 8(х2 – 9) + 7 = 0, х2 – 9 = у, у2 – 8у + 7 = 0, D = 64 - 4⋅7 = 36,y1 =8+6= 7 , у2 = 1, х2 – 9 = 7, х2 – 9 = 1, х1,2 = ±4; x3,4 = ± 10 ;2б) (х2 – 4х + 4)2 + 2(х – 2)2 = 3, (х – 2)4 + 2(х – 2)2 =3, (х – 2)2 = у,221www.gdz.pochta.ruу2 + 2у – 3 = 0, D = 4 + 4⋅3 = 16, y1 =−2 + 4= 1 , у2 = -3,2(х – 2)2 = 1, (х – 2)2 = -3, х – 2 = 1, х – 2 = -1, нет корней; х1 = 3; х2 = 1;в) (х2–3х)2+3(х2–3х) – 28 = 0, х2 – 3х = у, у2 + 3у – 28 = 0, D = 9 + 4⋅28 = 121,y1 =−3 + 11= 4 , y2 = -7,2х2 – 3х – 4 = 0,D = 9 + 4⋅4 = 25,x1 =х2 – 3х + 7 = 0,D = 9 - 4⋅6 < 0 – нет корней;3+ 5= 4 ; х2 = -1;2г) 2(х2 + 2х + 1)2 – (х + 1)2 = 1, 2(х + 1)4 – (х + 1)2 – 1 = 0, (х + 1)2 = у,2у2 – у – 1 = 0, D = 1 + 4⋅2 = 9, y1 =1+ 31= 1 , y2 = − ,4212(х + 1)2 = 1, (х + 1)2 = − - нет корней, х + 1 = 1, х + 1 = -1, х1 = 0; х2 = -2.№ 1059.а) (х2 – 3х + 1)(х2 – 3х + 3) = 3, х2 – 3х = у, (у + 1)(у + 3) = 3, у2 + 4у = 0,у1=0, у2=-4, х2–3х=0, х2–3х + 4 = 0, х1 = 0, х2 = 3, D = 9 - 4⋅4 < 0 – нет корней;б)x2 + 1xx2 + 11y 2 − 2 ,9 y + 1+ 2= 2 ,9 ,= y , y + − 2 ,9 = 0 ,=0,yyxxx +1D = 8,41 – 4 = 4,41, y1 =2,9 + 2,1x2 + 1 5 x2 + 1 2= ,= ,= 2,5 , у2 = 0,4,2x2x55х2 – 2х + 5 = 0,2х2 + 2 = 5х,22х – 5х + 2 = 0, D = 4 - 4⋅5⋅5 < 0 – нет корней;D = 25 - 4⋅2⋅2 = 9, х1 = 4, х2 = 1;в) (х2 – 5х + 7)2 – (х – 2)(х – 3) = 1, (х2 – 5х + 7)2 – (х2 – 5х + 6) = 1,х2 – 5х + 7 = у, у2 – у + 1 = 1, у1 = 0, у2 = 1, х2 - 5х + 7 = 0, х2 – 5х + 7 = 1,D = 25 - 4⋅7 < 0, х2 – 5х + 6 = 0,нет корней;г)D = 25 – 24 = 1, x1 =5 +1= 3 , х2 = 2;23xx2 + x − 53y2 + 4 y + 3x2 + x − 5= y , y+ +4 = 0 ,= 0,+ 2+4 = 0,yyxxx + x−5−4 + 2x2 + x − 5= −1 , х2 + х – 5 = -х,= −1 , у2 = -3,2x2±2 6x2 + x − 5х2 – 2х – 5 = 0, D = 4 + 4⋅5 = 4⋅6, x1,2 == 1± 6 ;= −3 ,2xD = 16 - 4⋅3 = 4, y1 =х2 + 4х – 5 = 0, D = 16 + 4⋅5 = 36, х3 = 1, х4 = -5; Ответ: 1 ± 6 ; 1; -5.1515, х2 + х + 1 = у, y =, у2 + 2у – 15 = 0,+2yx + x+3−2 + 8D = 4 + 4⋅15 = 64, y1 == 3 , у2 = -5,2№ 1060.
а) x2 + x + 1 =2222www.gdz.pochta.ruх2 + х + 1 = 3,х2 + х – 2 = 0,D = 1 + 4⋅2 = 9,x1 =б)х2 + х + 1 = -5,х2 + х + 6 = 0,D = 1 - 4⋅6 < 0 - нет корней;−1 + 3= 1 , х2 = -2;2yy+2x2 − xx2 − x + 2−−1 = 0 ,− 2= 1 , х2 – х = у,y +1 y − 2x − x +1 x − x − 22y ( y − 2 ) − ( y + 2 )( y + 1) − ( y − 2 )( y + 1)( y+1)( y − 2 )= 0 , (у – 2)(у – у – 1) – (у + 2)(у + 1) = 0,2 – у – у2 – 3у – 2 = 0, у2 + 4у = 0, у1 = 0, у2 = -4,х2 – х + 4 = 0,х2 – х = 0,D = 1 - 4⋅4 < 0 – нет корней;х1 = 0, х2 = 1;в) x2 + 3x =y1 =88, х2 + 3х = у, y =, у2 – 2у – 8 = 0, D = 4 + 4⋅8 = 36,y−2x 2 + 3x − 22+6= 4 , у2 = -2, х2 + 3х – 4 = 0, х2 + 3х + 2 = 0,2D = 9 + 4⋅4 = 25,D = 9 - 4⋅2 = 1,−3 + 5x1 ==1 ,2x3 =х2 = -4;х4 = -2;−3 + 1= −1 ,2126126+ 2= 2, х2 – 3х + 3 = у, +−=0,г) 2++21yyyx − 3x + 3 x − 3x + 4 x − 3x + 5у2 + 3у + 2 + 2у(у + 2) – 6у(у + 1) = 0, -3у2 – у + 2 = 0, 3у2 + у – 2 = 0,D = 1 + 4⋅2⋅3 = 25, y1 =х2 – 3х + 3 =2,3−1 + 5 2= , у2 = -1,63х2 – 3х + 3 = -1,3х2 – 9х + 7 – 0, х2 – 3х + 4 = 0,D = 81 - 4⋅3⋅7 < 0, D = 9 - 4⋅4 < 0,нет корней;нет корней;Ответ: нет корней.№ 1061.а) х(х – 1)(х – 2)(х – 3) = 15, (х2 – 3х)(х2 – 3х + 2) = 15, х2 – 3х = у,у(у + 2) = 15, у2 + 2у – 15 = 0, D = 4 + 4⋅15 = 64, y1 =х2 – 3х = 3,х2 – 3х – 3 = 0,х2 – 3х = -5,х2 – 3х + 5 = 0,D = 9 + 4⋅3 = 21,D = 9 - 4⋅5 < 0 – нет корней;−2 + 8= 3 , у2 = -5,2x1,2 =3 ± 21;22111⎞1⎞1⎛⎛+ x+ = 4 , ⎜x+ ⎟ −2+⎜x+ ⎟ = 4 , x+ = y ,xxx⎠x⎠x2⎝⎝−1 + 52у + у – 6 = 0, D = 1 + 4⋅6 = 25, y1 == 2 , у2 = -3,2б) x 2 +223www.gdz.pochta.rux+1=2,xх2 – 2х + 1 = 0,х3 = 1;x+1= −3 ,xх2 + 3х + 1 = 0,D = 9 – 4 = 5,−3 ± 5;2в) (х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 4) = 3, ( x 2 + 5 x + 6 )( x 2 + 5 x + 4 ) = 3 ,x1,2 =x2 + 5 x = y , ( y + 6 )( y + 4 ) = 3 , y 2 + 10 y + 21 = 0 , D = 100 − 4 ⋅ 21 = 16 > 0−10 + 4−10 − 4y1 == −3,y2 == −7 ,22x2 + 5 x = −3 ,x2 + 5 x = −7 ,x2 + 5x + 3 = 0 ,D = 25 − 4 ⋅ 3 = 13 > 0 ,x1,2 =−5 ± 13;2x2 + 5x + 7 = 0 ,D = 25 − 4 ⋅ 7 < 0 ,корней нет;21⎞1⎞1 ⎞ ⎛1⎞1⎛⎛⎟ − 7⎜ x + ⎟ + 9 = 0 , 2⎜ x + ⎟ − 4 − 7⎜ x + ⎟ + 9 = 0 , x + = y ,x⎠x⎠x⎠xx2 ⎠ ⎝⎝⎝7+35у2 – 7у + 5 = 0, D = 49 - 4⋅2⋅5 = 9, y1 == , у2 = 1,421D = 1 − 4 < 0 – нет корней;x + = 1 , x2 − x + 1 = 0,x1 525+3=2,x + = , 2 x + − 5 = 0 , 2х2 – 5х + 2 = 0, D = 25 - 4⋅2⋅2 = 9, x1 =x 2x41x2 = .2⎛⎝г) 2 ⎜ x 2 +§33.
Рациональные уравнения как математические модели№ 1062. 1 этап: Пусть х см – длина прямоугольника. Тогда:28 − 2 x= (14 − x ) см – ширина, х2 и (14–х)2 см2 = площадь квадратов. Мат.2модель: х2+(14–х)2=116.2 этап: х2 + 196 – 28х + х2 – 116 = 0, 2х2 – 28х + 80 = 0, х2 – 14х + 40 = 0,D = 196 - 4⋅40 = 36, x1 =14 + 6= 10 ; х2 = 4.23 этап: В первом случае стороны прямоугольника равны 10 см и14 – 10 = 4 см. Во втором: 4 см и 14 – 4 = 10 см.
Ответ: 10 и 4 см.№ 1063. 1 этап: Пусть х см – гипотенуза. Тогда (х – 8) и (х – 4) см – катеты.Используя теорему Пифагора, получаем: (х – 8)2 + (х – 4)2 = х2.2 этап: х2 – 24х + 80 = 0, D = 576 – 320 = 256,x1 =22424 + 16= 20 , х2 = 4.2www.gdz.pochta.ru3 этап: Второе значение х = 4 нас не устраивает, т.к. в этом случае катетыполучатся 0 и –4 см, чего не бывает. Значит, длина гипотенузы 20см.Ответ: 20 см.№ 1064. 1 этап: Пусть х и (х + 1) – два последовательных натуральных числа.
Тогда: х2 + (х + 1)2 = сумма их квадратов, х(х + 1) – их произведение.Известно, что х2 + (х + 1)2 = х(х + 1) + 307.2 этап: х2 + 2х + 1 = х + 307, х2 + х – 306 = 0, D = 1225, x1 =−1 + 35= 17 ,2х2 = -18.3 этап: Т.к. х это натуральное число, то оно не может быть равно –18. Значит, наши числа 17 и 17 + 1 = 18. Ответ: 17, 18.№ 1065. 1 этап: Пусть х и (х + 1) – два последовательных натуральных числа. Тогда: (х + х + 1)2 - квадрат их суммы, х2 +(х + 1)2 – сумма их квадратов.Получаем (х + х + 1)2 = х2 + (х + 1)2 + 840.2 этап: 4х2 + 4х + 1 = 2х2 + 2х + 840 + 1, 2х2 + 2х – 840 = 0, х2 + х – 420 = 0,D = 1 + 4⋅420 = 1681, x1 =−1 + 41= 20 , x2 = -21.23 этап: Т.к. х – это натуральное число, то оно не может быть равно –21.Значит, наши числа 20 и 20 + 1 = 21.
Ответ: 20 и 21.№ 1066. 1 этап: Пусть в зале было х рядов. Тогда:⎛ 320320– было мест в кажx⎞+ 4 ⎟ – стало мест в каждом ряду.дом ряду. (х + 1) – стало рядов. ⎜⎝ x⎠( x + 1) ⋅ ⎛⎜320⎞+ 4 ⎟ – стало всего мест в зале или 420 мест. Отсюда получаем:⎝ x⎠⎛ 320( x + 1) ⋅ ⎜ + 4 ⎞⎟ = 420 ;⎝ x⎠⎛ 80 ⎞+ 1⎟ = 105 , (х + 1)(80 + х) = 105х, х2 – 24х + 80 = 0,⎝ x⎠24 + 16D = 576 - 4⋅80 = 256, x1 == 20 , х2 = 4.22 этап: ( x + 1) ⋅ ⎜3 этап: Оба значения нам подходят.
Тогда в первом случае стало 21 рядов,во втором 5 рядов. Ответ: 21 или 5.360тетрадей досталось каx360ждому. Но если бы было (х – 3) учащихся, то каждый получил быилиx−3360360 360+ 6 , т.е.=+6.xx−3x60 x − 60 x + 180 − x 2 + 3x360 36060 60= 0,2 этап:− −1 = 0 ,−−6 = 0 ,x ( x − 3)x−3xx−3 x№ 1067. 1 этап: Пусть было х учащихся. Тогдах2 – 3х – 180 = 0, D = 9 + 4⋅180 = 729, x1 =3 + 27= 15 , х2 = -12.2225www.gdz.pochta.ru3 этап: Т.к. число учащихся не может быть отрицательным, то получаем,что было 15 учащихся. Ответ: 15 учащихся.№ 1068. 1 этап: Пусть х км/ч – скорость на втором участке пути. Тогда:(х + 6) км/ч – первоначальная скорость.18ч – проехал первую часть пуx+66ч – затратил на вторую часть. Т.к.
всего он был в пути 1,5 ч, получаемx186 3+ = .x+6 x 262 12 этап:+ − = 0 , 12х + 4х + 24 – х2 – 6х = 0, х2 – 10х – 24 = 0,x+6 x 210 + 14D = 100 + 4⋅24 = 196, x1 == 12 , х2 = -2.2ти,3 этап: Из двух значений неизвестного нас устраивает только первое.Ответ: 12 км/ч.№ 1069. 1 этап: Пусть х км/ч – скорость I пешехода. Тогда: (х+1) км/ч –скорость II.65и– были в пути соответственно I и II. Отсюда получаемx x +165 1=+ .x x +1 26512 этап: −− = 0 , 12х + 12 – 10х – х2 – х = 0, х2 – х – 12 = 0,x x +1 21+ 7D = 1 + 4⋅12 = 49, x1 == 4 , х2 = -3.23 этап: Их двух значений нас устраивает только первое, значит, скорость Iпешехода 4 км/ч. Ответ: 4 км/ч.№ 1070. 1 этап: Пусть х км/ч – скорость I лыжника. Тогда: (х – 3) км/ч –3030скорость II.чич – были в пути соответственно I и II.x−3x30 130Отсюда получаем.+ =x 3 x −330 1 302 этап:+ −= 0 , 90х – 270 + х2 – 3х – 90х = 0, х2 – 3х – 270 = 0,x 3 x−33 + 33D = 9 + 4⋅270 = 1089, x1 == 18 , х2 = -15.23 этап: Т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
