mordkovitch-gdz-8-2002 (542435), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Ответ: если р = 0, х = -1,5,если р < 0, 0 < p ≤ 1, x1,2 =− p −1± 1− p, если р > 1, нет корней.p№ 1022. х2 – рх + р – 2 = 0, уравнение имеет один корень, если D = 0,D = p2 – 4(p – 2) = p2 – 4p + 8, p2 – 4p + 8 = 0,D1 = 16 - 4⋅8 < 0, значит, уравнение р2 – 4р + 8 = 0 не имеет корней, т.е. несуществует такого р, при котором D = 0. Что и требовалось доказать.207www.gdz.pochta.ru№ 1023. 1 этап: Пусть х команд участвовало в чемпионате, тогда каждаякоманда сыграла (х – 1) матч. Всего было сыграноx ( x − 1)2что всего было сыграно 66 матчей, значит, получаемматча. Известно,x ( x − 1)2= 66 , это ма-тематическая модель.2 этап: х2 – х = 132, х2 – х – 132 = 0, D = 1 + 4⋅132 = 529,x1 =1 + 231 − 23= 12 , x2 == −11 .223 этап: Спрашивается, сколько было команд? Получаем 2 возможности: либо 12, либо –11. Второе значение нас не устраивает.
Значит, было 12 команд.Ответ: 12.№ 1024. 1 этап: Пусть х – количество учеников, обменявшихся фотокарточками. Тогда: х – 1 фотокарточку отдал каждый ученик, х(х – 1) фотокарточек было роздано. Известно, что всего было роздано 210 фотокарточек.Значит, х(х – 1) = 210.2 этап: х2 – х – 210 = 0, D = 1 + 4⋅210 = 0, x1 =1 + 291 − 29= 15 , x2 == −14 .223 этап: Видно, что х = –14 нам не подходит, значит, фотокарточками обменялось 15 учащихся. Ответ: 15.№ 1025. 1 этап: Пусть х – задуманное число. Тогда х2 + 36 – новое число.Известно, что получили число, большее задуманного в 20 раз, т.е. 20х. Отсюда приходим к уравнению: 20х = х2 + 36.2 этап: х2 – 20х + 36 = 0, D = 400 - 4⋅36 = 256,x1 =20 + 1620 − 16= 18 , x2 ==2.223 этап: Мы получили два значения для задуманного числа 2 и 18.
Оба ониподходят. Ответ: 2 или 18.№ 1026. 1 этап: Пусть х км/ч – скорость грузового автомобиля. Тогда:(х + 20) км/ч – скорость легкового автомобиля, 1,5х км – проедет грузовойавтомобиль за 1,5 ч, 1,5(х + 20) км – проедет легковой автомобиль за 1,5 чИзвестно, что автомобили ехали на север и на восток, значит квадрат расстояния между ними может быть найден по теореме Пифагора.
Получаем(1,5х)2 + (1,5(х + 20))2 = 1502, т.к. расстояние между ними составило 150 км.2 этап: 1,52(х2 + х2 + 40х + 400) = 1,52 ⋅ 1002, 2х2 + 40х + 400 = 10000,х2 + 20х + 200 = 5000, х2 + 20х – 4800 = 0, D = 400 + 4⋅4800 = 19600,x1 =−20 + 140−20 − 140= 60 , x2 == −80 .223 этап: Ясно, что скорость не может быть отрицательной, значит, скоростьгрузового автомобиля 60 км/ч, 60 + 20 = 80 (км/ч) – скорость легкового автомобиля. Ответ: 60 км/ч, 80 км/ч.№ 1027.1 этап: Пусть х – первое натуральное число. Тогда (х + 1) – второе число,х2 + (х + 1)2 – сумма их квадратов.208www.gdz.pochta.ruИзвестно, что сумма их квадратов 1201.
Значит, х2 + (х + 1)2 = 1201.2 этап: 2х2 + 2х + 1 – 1201 = 0, 2х2 + 2х – 1200 = 0, х2 + х – 600 = 0,D = 1 + 4⋅600 = 2401, x1 =−1 + 49−1 − 49= 24 , x2 == −25 .223 этап: Т.к. в задаче говорится про натуральные числа, то из двух значенийнеизвестного подходит только первое.24 – первое число, 24 + 1 = 25 – второе число, 252 – 242 = 49 – разности ихквадратов. Ответ: 49.№ 1028. а) x2 +( x)2− 2 = 0 , х2 + х – 2 = 0, D = 1 + 4⋅2 = 9, x1 =−1 + 3=1,2x2 = −2 - посторонний корень.
Ответ: 1.б) x2 − 3x1 =( x)2− 4 = 0 , х2 – 3х – 4 = 0, D = 9 + 4⋅4 = 25,3+ 53−5= 4 , x2 == −1 – посторонний корень. Ответ: 4.22№ 1029. а) x2 +x1 =(x−2)2− 4 = 0 , х2 +х–2–4 = 0, х2 + х – 6 = 0, D = 1 + 4⋅6 = 25,−1 + 5−1 − 5= 2 , x2 == −3 , x2 = -3 – посторонний корень, т.е. выраже22x − 2 не имеет смысла. Ответ: 2.ние2б) x +(x+3)2− 5 = 0 , х2 + х + 3 – 5 = 0, х2 + х – 2 = 0, D = 1 + 4⋅2 = 9,−1 + 3= 1 , x2 = -2. Ответ: -2; 1.26x= 0 , при х ≤ 0 имеем:№ 1030.
а) x2 + 5 x −6x1 =х2 + 5х + х = 0, х2 + 6х = 0, х(х + 6) = 0, х1 = 0, х2 = -6;при х ≥ 0: х2 + 5х – х = 0, х2 + 4х = 0, х(х + 4) = 0, х1 = 0, х2 = -4 – посторонний корень, т.к. < 0. Ответ: -6; 0.б)x3− 7 x + 12 = 0 ,x1) х < 0: –х2 – 7х + 12 = 0, х2 + 7х – 12 = 0, D = 49 + 4⋅12 = 97,−7 + 97−7 ± 97> 0 – посторонний корень;, x1 =227 +12) х > 0: х2 – 7х + 12 = 0, D = 49 - 4⋅12 = 1, x1 == 4 , x2 = 3.2x1,2 =−7 − 97; 3; 4.25x2− 6 = 0 , 1) х < 0: х2 – 5х – 6 = 0, D = 25 + 4⋅6 = 49,в) x2 +xОтвет:x1,2 =5±75+7; x1 == 6 > 0 – посторонний корень; х2 = -1;22209www.gdz.pochta.ru2) х > 0: х2 + 5х – 6 = 0, D = 25 + 4⋅6 = 49,−5 ± 7, x1 = 1 , x2 = -6 < 0 – посторонний корень. Ответ: -1; 1.2г) x x + 7 x + 12 = 0 ,x1,2 =1) х < 0: -х2 + 7х + 12 = 0, х2 – 7х – 12 = 0, D = 49 + 4⋅12 = 97,x1 =7 + 977 − 97;> 0 – посторонний корень, x2 =222) x ≥ 0 : х2 + 7х + 12 = 0, D = 49 - 4⋅12 = 1,−7 + 1= −3 < 0 – посторонний корень, х2 = -4 < 0 – посторонний корень.27 − 97.Ответ:2x1 =§32.
Рациональные уравнения№ 1031.3a − 13a − 13a − 1 − 2aa −1=2,−2 = 0 ,=0,= 0 , а–1=0, а=1, а ≠ 0.aaaaОтвет: 1.443x 2 − 7 x + 4= 7 , 3x + − 7 = 0 ,= 0 , 3х2 – 7х + 4 = 0,xxx7+611D = 49 - 4⋅3⋅4 = 1, x1 == 1 , x2 = 1, х ≠ 0. Ответ: 1; 1 .6332x − 52 x − 5 − 4 x − 202 x + 25−4 = 0 ,=0,=0,б)x+5x+5x+5№ 1032. а) 3x +2х + 25 = 0, х = –12,5, х ≠ –5. Ответ: –12,5.2424x 2 − 10 x − 24, x − 10 − = 0 ,= 0 , х2 – 10х – 24 = 0,xxx10 + 14D = 100 + 4⋅3⋅4 = 196, x1 == 12 , х2 = -2, х ≠ 0.
Ответ: -2; 12.2x2 + 3x2 + 3x2 + 3 − 2 x2 − 2x2 − 1=2, 2−2 = 0 ,=0, 2=0,г) 22x +1x +1x +1x +1в) x − 10 =х2 – 1 = 0, х1,2 = ±1. Ответ: -1; 1.№ 1033.а)x 2 + 3x x − 3 x2x 2 + 3x x − 3x 2+= 2x ,+− 2 x = 0 , 4х2+12х + х – 3х2 – 16х = 0,2828х2 – 3х = 0, х(х – 3) = 0, х1 = 0, х2 = 3;б)2 x + 1 4 x − x2 x2 − 4−=, 24х + 12 – 12х + 3х2 – 4х2 + 16 = 0,3129-х2 + 12х + 28 = 0, х2 – 12х – 28 = 0, D = 144 + 4⋅2⋅8 = 256,x1 =21012 + 16= 14 , х2 = -2;3www.gdz.pochta.rux2 − 4 2 x + 3−= 1 , 5х2 – 20 – 16х – 24 – 40 = 0, 5х2 – 16х – 84 = 0,8516 + 44D = 256 + 4⋅5⋅84 = 1936, x1 == 6 , х2 = -2,8;103x + 4 x2 − 4 x − 3−= 1 , 9х + 12 – 5х2 + 20х + 15 = 15, 5х2 – 29х – 12 = 0,г)5329 ± 1081.D = 841 + 4⋅5⋅12 = 1081, x1,2 =10в)№ 1034.а)x2xx2xx2 − x=,−= 0,= 0 , х2 – х = 0, х1 = 0, х2 = 1, х ≠ -3.x+3 x+3 x+3 x+3x+3Ответ: 0; 1.б)x24x24x2 − 4=−=0,,= 0 , х2 – 4 = 0, х1,2 = ±2,x+2 x+2 x+2 x+2x+2х ≠ -2, х2 = -2 – посторонний корень.
Ответ: 2.в)x22xx22xx2 − 2 x−=0,=,= 0 , х2 – 2х = 0, х1 = 0, х2 = 2, х ≠ 3.3− x 3− x 3− x 3− x3− xОтвет: 0; 2.г)x2xx2 − xx2x,−=0,= 0 , х2 – х = 0, х1 = 0, х2 = 1, х ≠ 1,=x −1x −1 x −1 x −1 x −1х2 = 1 – посторонний корень. Ответ: 0.№ 1035.6x2 − 5x6x2 − 5x6 − x2 + 5 x=−=0,,= 0 , х2 – 5х – 6 = 0,x +1x +1x +1x +1x +15+7D = 25 + 4⋅6 – 49, x1 == 6 , х2 = -1, х ≠ -1, х2 = -1 – посторонний корень.2а)Ответ: 6.x2 − 6xx2 − 6xx2 − 6 − x=,−=0,= 0 , х2 – 6 – х = 0,x−4 x−4 x−4 x−4x−41+ 5D = 1 + 4⋅6 = 25, x1 == 3 , x2 = -2, х ≠ 4.
Ответ: -2; 3.2б)в)1 − x 2 −24 1 − x 2241 − x 2 + 24+=0,,= 0 , х2 = 25, х1,2 = ±5, х ≠ 5,=5− x 5− x 5− x 5− x5− xх1 = 5 – посторонний корень. Ответ: -5.3x2 − x23x2 − x23x2 − x − 2,−=0,= 0 , 3х2 – х – 2 = 0,=1− x1− x1− x1− x1− x1+ 52D = 1 + 4⋅3⋅2 = 25, x1 == 1 , x2 = − , х ≠ 1, х = 1 – посторонний корень.632Ответ: − .3г)211www.gdz.pochta.ru№ 1036.3x2 − 14 x83x2 − 14 x83x 2 − 14 x + 8=,+=0,= 0 , 3х2 – 14х + 8 = 0,4− xx−4x−4x−4x−414 + 102D = 196 – 4⋅3⋅8 = 100, x1 == 4 , x2 = , х ≠ 4,632х = 4 – посторонний корень.
Ответ: .32 x 2 + 6 13x 2 x2 + 6 13x2 x 2 − 13x + 6б)=,−=0,= 0 , 2х2 – 13х + 6 = 0,5+ xx+5x+5x+5x+513 + 11D = 160 – 4⋅2⋅6 = 121, x1 == 6 , х2 = 0,5, х ≠ –5. Ответ: 0,5; 6.42 x22 x2 − 7 x + 6−7 x + 6 2 x2 −7 x + 6в),+=0,= 0 , 2х2 – 7х + 6 = 0,=2− xx−2x−2x−2x−27 +1D = 49 – 4⋅2⋅6 = 1, x1 == 2 , х2 = 1,5, х ≠ 2, х1 = 2 – посторонний корень.4а)Ответ: 1,5.x2 − 15xx2 − 1 5xx2 − 5x − 1−=0,,= 0 , х2 – 5х – 1 = 0,=x+3x + 3 3+ x x + 3 x + 35 ± 295 ± 29, x ≠ –3.
Ответ:.D = 25 + 4 = 29, x1,2 =22г)№ 1037.а)x2 + 4 x 2 x x2 + 4 x 2 x3x2 + 12 x − 2 x 2 − 4 xx2 + 8x=,−= 0,= 0,=0,x+23x+23x+23( x + 2)х2 + 8х = 0, х1 = 0, х2 = -8, х ≠ -2. Ответ: 0; -8.б)x 2 + 3 x − ( 2 x + 3)( x − 3)x + 3 2x + 3x + 3 2x + 3==0,−=0,=0,x ( x − 3)x−3xx−3xx2 + 3x − 2 x2 − 3x + 6 x + 9− x2 + 6 x + 9=0,= 0 , х2 – 6х – 9 = 0,x ( x − 3)x ( x − 3)6±6 2= 3 ± 3 2 , х ≠ 0, х ≠ 3. Ответ: 3 ± 3 2 .29 x 2 − 45 − ( x − 1)( 7 x + 10 )x 2 − 5 7 x + 10 x 2 − 5 7 x + 10=,−=0,= 0,в)x −19x −19x −1D = 36 + 4⋅9 = 2⋅36, x1,2 =9х2 – 45 – (7х2 + 3х – 10) = 0, 2х2 – 3х – 35 = 0, D = 9 + 4⋅2⋅36 = 289,x1 =г)3 + 17−3 − 1777= 5 , x2 == − , х ≠ 1. Ответ: − ; 5 .44222 x 2 + 3x − ( x + 2 )( 3x + 2 )2 x + 3 3x + 2 2 x + 3 3x + 2=,−=0,= 0,x+2xx+2xx ( x + 2)2х2 + 3х – (3х2 + 8х + 4) = 0, -х2 – 5х – 4 = 0, х2 + 5х + 4 = 0, D = 25 - 4⋅4 = 9,x1 =212−5 + 3= −1 , х2 = -4, х ≠ 0, х ≠ -2.
Ответ: -4; -1.2www.gdz.pochta.ru№ 1038.а)( x + 1)( 4 x + 1) − ( x − 3)( 3x − 8) = 0 ,4 x + 1 3x − 8 4 x + 1 3x − 8=,−= 0,x−3x +1x−3x +1( x + 1)( x − 3)4х2 + 5х + 1 – (3х2 – 17х + 24) = 0, х2 + 22х – 23 = 0, D = 484 + 4⋅23 = 576,−22 + 24= 1 , х2 = -23, х ≠ -1, х ≠ 3. Ответ: -23; 1.2( x − 2 )( x − 4 ) − ( x + 3)( x + 2 ) = 0 ,x−2 x+3 x−2 x+3=−=0,б),x+2 x−4 x+2 x−4( x + 2 )( x − 4 )x1 =22, х ≠ -2, х ≠ 4. Ответ:.1111( 2 x − 1)( x − 1) − ( x + 7 )( 3x + 4 ) = 0 ,2 x − 1 3x + 4 2 x − 1 3x + 4=в),−=0,x+7x −1x+7x −1( x − 1)( x + 7 )х2 – 6х + 8 – (х2 – 5х + 6) = 0, 11х = 2, x =(2 x 2 − 3x + 1 − 3x 2 + 25 + 28( x − 1)( x + 7 )) = 0 , –х2 – 28х – 27 = 0, х2 + 28х + 27 = 0,D = 784 – 4⋅27 = 676, x1 =г)−28 + 26= −1 , х2 = -27, х ≠ 1, х ≠ -7. Ответ: -1; -27.231313x − x2 + 2− =0,= , 2= 0 , х2 – 3х + 2 = 0, D = 9 - 4⋅2 = 1,x +2 x x +2 xx x2 + 22x1 =()3 +1= 2 , х2 = 1, х ≠ 0.
Ответ: 1; 2.2№ 1039.x + 1 2 x + 2 ,5 3 x − 8 x + 1 2 x + 2 , 5 3 x − 8+=,+−=0,x+2x +1x−5x+2x +1 x − 5(8 − 3x )( x − 5 )( x + 2 ) + ( x + 1)( x + 2 )( x + 1) + ( 2 x + 2,5)( x − 5)( x + 1)а)( x − 5)( x + 2 )( x + 1)=0,(х + 2)(-3х2 + 23х – 40) + (х + 2)(х2 + 2х + 1) +(х + 1)(2х2 – 7,5х – 12,5) = 0,-3х3– 6х2 + 23х2 + 46х – 40х – 80 + х3 + 2х2 + 2х2 + 4х + х + 2 + 2х3 + 2х2 –– 7,5х2 – 7,5х – 12,5х – 12,5 = 0,15,5х2 – 9х – 90,5 = 0, 155х2 – 90х – 905 = 0, 31х2 – 18х – 181 = 0,D = 324 + 4⋅31 ⋅ 181 = 22768, x1,2 =б)18 ± 4 1423 9 ± 2 1432=;62313x − 9 x + 63x − 9 x + 6+=3,+−3 = 0 ,x −1 x +1x −1 x + 1( 3x − 9 )( x + 1) + ( x + 6 )( x − 1) − 3 ( x2 − 1)= 0 , 3х2–6х–9+х2 + 5х – 6 – 3х2 + 3 = 0,( x − 1)( x + 1)х2 – х – 12 = 0, D = 1 + 4⋅12 = 49, x1 =1+ 7= 4 , х2 = -3, х ≠ ±1.2Ответ: -3; 4.213www.gdz.pochta.ruв)( 3x + 1)( x − 2) − ( x −1)( x + 2) − x2 + 4 = 03x + 1 x − 13x + 1 x − 1−=1,−−1 = 0 ,,x+2 x−2x+2 x−2( x + 2)( x − 2)3х2 – 5х – 2 – х2 – х + 2 – х2 + 4 = 0, х2 – 6х + 4 = 0, D = 36 - 4⋅4 = 20,x1,2 =6±2 5= 3 ± 5 , х ≠ ±2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
