mordkovitch-gdz-8-2002 (542435), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Ответ: 8.№ 1003.I этап: Пустьх см – ширина прямоугольника,(х+5) см – длина прямоугольника, тогда х(х+5) см2 – его площадь или 84 см2.Уравнение: x(х + 5) = 84.II этап: х2 + 5х – 84 = 0, D = 25 + 4⋅84 = 361,x1 =−5 + 19−5 − 19= 7 , x2 == −12 .22III этап: x 2 = −12 < 0 – не удовлетворяет условию задачи. Так что7 см – ширина прямоугольника, 7 + 5 = 12 (см) – длина прямоугольника.Ответ: 7 см и 12 см.№ 1004.I этап: Пустьх – первое число, (х + 2) – второе число, х(х + 2) – их произведение или 120.Уравнение: х(х + 2) = 120.II этап: х2 + 2х – 120 = 0, D = 4 + 4⋅120 = 484,x1 =−2 + 22−2 − 22= 10 , x2 == −12 .22III этап: 10 – первое число, 10 + 2 = 12 – второе число, или –12 – первоечисло; –12 + 2 = –10 – второе число.Ответ: 10 и 12 или –12 и –10.№ 1005.I этап: Пустьх м – длина первого катета, (х + 31) м – длина второго катета, тогда1x ( x + 31) м2 – площадь треугольника или 180 м2.21Уравнение: x ( x + 31) = 180 .2II этап: х2 + 31х – 360 = 0,D = 961 + 4⋅360 = 2401,x1 =−31 + 49−31 − 49= 9 , x2 == −40 .22III этап: x2 = −40 < 0 – не удовлетворяет условию.
Так что9 м – длина первого катета,9 + 31 = 40 (м) – длина второго.Ответ: 9 м и 40 м.202www.gdz.pochta.ru№ 1006.I этап: Пустьх см – длина АВ, тогда AD = x см иАН = (х – 3) см. Тогдах(х – 3) см2 = площадь АВЕН или 70 см2.Уравнение: х(х – 3) = 70.II этап: х2 – 3х – 70 = 0, D = 9 + 4⋅70 = 289,x1 =BECxx3 + 173 − 17= 10 , x2 == −7 .22A x-3H 3 DIII этап: x 2 = −7 < 0 – не удовлетворяет условию задачи.
Так что 10 см – длина АВ, т.е. первоначальный размер листа.Ответ: 10 см.№ 1007.I этап: Пустьх – первое натуральное число, тогда х + 1 – второе число,х + х + 1 = 2х + 1 – их сумма, х(х + 1) – их произведение или 2х + 1 + 271Уравнение: х(х + 1) = 2х + 1 + 271.II этап: х2 + х – 2х – 272 = 0, х2 – х – 272 = 0, D = 1 + 4⋅272 = 1-89,1 + 331 − 33= 17 , x2 == −16 .22III этап: x2 = −16 < 0 – не удовлетворяет условию. Так чтоx1 =17 – первое число, 17 + 1 = 18 – второе число. Ответ: 17 и 18.№ 1008.I этап: Пустьх – первое натуральное число, тогда х + 1 – второе число,х + х + 1 = 2х + 1 – их сумма, х(х + 1) – их произведение или 2х + 1 + 109.Уравнение: х(х + 1) = 2х + 1 + 109.II этап: х2 + х – 2х – 110 = 0, х2 – х – 110 = 0, D = 1 + 4⋅110 = 441,1 + 211 − 21= 11 , x2 == −10 .22III этап: x2 = −10 < 0 - не удовлетворяет условию.
Так чтоx1 =11 – первое число, 11 + 1 = 12 – второе число. Ответ: 11 и 12.№ 1009.I этап: Пустьх – первое натуральное число, тогда х + 1 – второе число,х + 2 – третье число, х2 + (х + 1)2 + (х + 2)2 – сумма их квадратов или 1589.Уравнение: х2 + (х + 1)2 + (х + 2)2 = 1589.II этап: х2 + х2 + 2х + 1 + х2 + 4х + 4 – 1589 = 0, 3х2 + 6х – 1584 = 0,х2 + 2х – 528 = 0, D = 4 + 4⋅528 = 2116, x1 =−2 + 46−2 − 46= −24 .= 22 , x2 =22III этап: x2 = −24 < 0 – не удовлетворяет условию задачи. Так что22 – первое число, 22 + 1 = 23 – второе число,22 + 2 = 24 – третье число.Ответ: 22, 23, 24.203www.gdz.pochta.ru№ 1010.I этап: Пустьх см – гипотенуза, тогда (х – 32) см – первый катет,(х – 9) см – второй катет.
Используя теорему Пифагора, получаемуравнение: х2 = (х – 32)2 + (х – 9)2.II этап: х2 = х2 – 64х + 1024 + х2 – 18х + 81, х2 – 82х + 1105 = 0,D = 6724 - 4⋅1105 = 2304, x1 =82 + 4882 − 48= 65 , x2 == 17 .22III этап: x2 = 17 – не удовлетворяем условию задачи, т.к. длина первого катета в этом случае равна 17-32 < 0. Так что 65 см – гипотенуза,65 – 32 = 33 (см) – первый катет, 65 – 9 = 56 (см) – второе катет.Ответ: 33, 56 и 65 см.№ 1011.I этап: Пустьх см – гипотенуза, тогда (х – 3) см – первый катет, (х – 6) см – второй катет.Используя теорему Пифагора, получаем уравнение: х2 = (х – 3)2 + (х – 6)2.II этап: х2 = х2 – 6х + 9 + х2 – 12х + 36, х2 – 18х + 45 = 0,D = 324 - 4⋅45 = 144, x1 =18 + 1218 − 12= 15 , x2 ==3.22III этап: x 2 = 3 – не удовлетворяет условию задачи, т.к.
длина второго катета в этом случае равна 3 – 6 < 0. Так что 15 см – длина гипотенузы.Ответ: 15 см.№ 1012.I этап: Пустьх см – гипотенуза, тогда (х–5) см – первый катет, (х – 10) см – второй катет.Используя теорему Пифагора, получаем уравнение: х2 = (х – 5)2 + (х – 10)2.II этап: х2 = х2 - 10х + 25 + х2 – 20х + 100, х2 – 30х + 125 = 0,D = 900 - 4⋅125 = 400, x1 =30 + 2030 − 20=5.= 25 , x2 =22III этап: x2 = 5 – не удовлетворяет условию, т.к.
длина второго катета вэтом случае равна 5 – 10 < 0. Тогда 25 см – гипотенуза.Ответ: 25 см.№ 1013.1 21x + x + = 0 , 4х2 + 12х + 3 = 0, D = 144 - 4⋅4⋅3 = 96,34−12 ± 96 −12 ± 4 6 −3 ± 6x1,2 ===;88219б) x2 + 5 x + 2 = 0 , x2 + 5 x + = 0 , 4х2 + 20х + 9 = 0, D = 400 - 4⋅4⋅9 = 256,44−20 + 16−20 − 16x1 == −0,5 , x2 == −4,5 ;881в) x2 + 3x − 1 = 0 , 2х2 + 6х – 3 = 0, D = 36 + 4⋅2⋅3 = 60,2а)204www.gdz.pochta.ru−6 ± 60 −6 ± 2 15 −3 ± 15==;44211г) x 2 − x + = 0 , 3х2 – 6х + 2 = 0, D = 36 - 4⋅3⋅2 = 12,236 ± 12 6 ± 2 3 3 ± 3x1,2 ===.6634 3№ 1014.
а) x2 + 4 3x + 12 = 0 , D = 48 - 4⋅12 = 0, x = −= −2 3 ;2−2 2 ± 2= − 2 ±1 ;б) x 2 + 2 2 x + 1 = 0 , D = 8 – 4 = 4, x1,2 =2−2 5 ± 10= − 5 ±5 ;в) x2 + 2 5 x − 20 = 0 , D = 20 + 4⋅20 = 100, x1,2 =24 2±4= 2 2±2.г) x2 + 3 2 x + 4 = 0 , D = 32 - 4⋅4 = 16, x1,2 =2x1,2 =№ 1015. а) x2 + 3 2 x + 4 = 0 , D = 18 - 4⋅4 = 2,x1 =−3 2 + 2 −2 2−3 2 − 2 −4 2== − 2 , x2 === −2 2 ;2222б) 4 x 2 + 4 3x + 1 = 0 , D = 48 - 4⋅4 = 32,x1,2 =−4 3 ± 32 −4 3 ± 4 2 − 3 ± 2==;882в) 9 x 2 − 6 5 x + 2 = 0 , D = 180 - 4⋅9⋅2 = 108,x1,2 =6 5 ± 108 6 5 ± 6 35± 3==;18183г) 4 x 2 − 2 7 x + 1 = 0 , D=28–4⋅4 = 12, x1,2 =2 7 ± 12 2 7 ± 2 3==887± 3.4№ 1016. а) (2х – 1)(2х + 1) + х(х – 1) = 2х(х + 1), 4х2 – 1 + х2 – х – 2х2 – 2х = 0,3х2 – 3х – 1 = 0, D = 9 + 4⋅3 =21, x1,2 =3 ± 21;6б) (3х + 1)2 – х(7х + 5) = 4, 9х2 + 6х + 1 – 7х2 – 5х – 4 = 0, 2х2 + х – 3 = 0,D = 1 + 4⋅3⋅2 = 25, x1 =−1 + 5−1 − 5= −1,5 ;= 1 , x2 =44в) (3х – 1)(3х + 1) – 2х(1 + 4х) = -2, 9х2 – 1 – 2х – 8х2 + 2 =0, х2 – 2х + 1 = 0,(х – 1)2 = 0, х – 1 = 0, х = 1;г) (2х + 1)2 + 2 = 2 – 6х2, 6х2 + 4х2 + 4х + 1 =0, 10х2 + 4х + 1 = 0,D = 16 - 4⋅10 < 0, значит, нет корней.№ 1017.а)x2 − x 2 x − 4, 5х2 – 5х = 6х – 12, 5х2 – 11х + 12 = 0,=35D = 121 - 4⋅5⋅12 < 0, значит, нет корней;205www.gdz.pochta.ru2 x2 + x 4 x − 2, 6х2+3х=20х – 10, 6х2–17х + 10 = 0, D = 289 – 4⋅6⋅10 = 49,=5317 + 717 − 7 5x1 == 2 , x2 == ;12126x2 − 3− 6 x = 5 , х2 – 3 – 12х – 10 = 0, х2 – 12х – 13 = 0, D = 144 + 4⋅13 = 196,в)212 + 1412 − 14= −1 ;x1 == 13 , x2 =224 x 2 + x 5 x − 1 x2 + 17, 24х2 + 6х – 15х + 3–2х2–34 = 0, 12х2 – 9х – 31 = 0,−=г)3699 + 53 62 319 − 53D = 81 + 4⋅22⋅31 = 2809, x1 ===, x2 == −1 .4444 2244б)№ 1018.
Уравнение имеет 2 корня, если D > 0а) х2 + рх = 0, D = p2 – 4, р2 – 4 > 0, если p ∈ ( −∞; −2 ) U ( 2; −∞ ) ,т.е. D > 0 не для любого р;б) х2 – рх – 5 = 0, D = p2 + 4⋅5 = p2 + 20 > 0 для любого р, значит, уравнениеимеет два корня при любом р;в) х2 + рх + 5 = 0, D = p2 - 4⋅5 = p2 – 20, D > 0 не для любого р;г) рх2 – 2 = 0, D = 4⋅2⋅p = 8p, D > 0 не для любого р.Ответ: х2 – рх – 5 = 0.№ 1019. а) х2–(2р–2)х+р2–2р=0, D=(2p–2)2–4⋅(p2–2p)=4p2–8p+4–4p2 + 8p = 4,2p −2+ 22p −2− 2= p , x2 == p−2 ;222p +3pб) x2 −x + = 0 , 6х2 – (2р + 3)х + р = 0,66x1 =D = (2p + 3)2 - 4⋅6⋅p = 4p2 + 12p + 9 – 24p =4p2 – 12p + 9 = (2p – 3)2,x1 =2p +3+ 2p −3 p2p +3− 2p +3= 0 ,5 ;= , x2 =12312в) х2 – (1 + р)х + р = 0, D = (1 + p)2 – 4p = (p – 1)2,1 + p + p −11+ p − p +1= p , x2 ==1 ;223p + 2pг) x2 +x + = 0 , 6х2 + (3р +2)х + р = 0,66x1 =D = (3p + 2)2 – 4⋅6⋅p = 9p2 + 12p + 4 – 24p = 9p2 – 12p + 4 = (3p - 2)2,x1 =−3 p − 2 + 3 p − 21−3 p − 2 − 3 p + 2p=− .= − , x2 =123122№ 1020.а) x 2 − 2 px + p 2 − 1 = 0 , D = 4p2 – 4(p2-1)=4,x1 =2p + 22p −2= p + 1 , x2 == p −1 ;22б) рх2 – 4х + 1 = 0, если р = 0, то – 4х + 1 = 0, х = 0,25,если р ≠ 0, то D = 16 – 4p, если 16 – 4р = 0, т.е.
р ≤ 4, то206www.gdz.pochta.rux1,2 =4 ± 16 − 4 p 4 ± 2 4 − p 2 ± 4 − p==,2p2ppесли 16 – 4р < 0, т.е. р < 4, то нет корней.Ответ: если р = 0, x =1,4если p < 0, 0 < p ≤ 4, x1,2 =2± 4− p, если p > 4, нет корней.pв) х2 – 4рх + 4р2 – 1 = 0, D = 16p2 – 4(4p2 – 1) = 4,x1 =4p + 24p −2= 2 p + 1 , x2 == 2 p −1 ;22г) рх2 – 12х + 4 = 0, если р = 0, то –12х + 4 = 0, x =1,3если р ≠ 0, то D = 144 - 4⋅4⋅p = 144 – 16p2,если D ≥ 0, т.е. 144 – 16р2 ≥ 0, р2 – 9 ≤ 0, -3 ≤ р ≤ 3, тоx1,2 =12 ± 4 9 − p 2 6 ± 2 9 − p 2=,p2pесли D < 0, т.е. p < -3, p > 3, то нет корней.Ответ: x =x1,2 =1, если р = 0,36 ± 2 9 − p2, если –3 ≤ р < 0, 0 < p ≤ 3, нет корней, если p < -3, p > 3.p№ 1021.а) (р – 4)х2 + (2р – 4)х + р = 0, если р – 4 = 0, р = 4, то (2⋅4 – 4)х + 4 = 0,4х = -4, х = -1, если р ≠ 4, D = 4p2 – 16p – 4p(p – 4) = 16,x1 =4−2p + 4 4− p4−2p −4p== −1 , x2 ==.p−42 ( p − 4)2 ( p − 4) 4 − pОтвет: если р = 4, х = -1, если р ≠ 4, х1 = -1, x2 =p.4− pб) рх2 + 2(р + 1)х + р + 3 = 0, если р = 0, то 2х + 3 = 0, х = -1,5,если р ≠ 0, D=4(p+1)2 – 4p(p + 3) = 4p2 + 8p + 4 – 4p2 – 12p = –4p + 4,если –4р + 4 ≥ 0, 4р ≤ 4 р ≤ 1, тоx1,2 =−2 p − 2 ± 4 − 4 p −2 p − 2 ± 2 1 − p − p − 1 ± 1 − p==,2p2ppесли –4р + 4 < 0, p > 1, то нет корней.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
