makarytchev-gdz-9-2000 1-670 (542433), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Система примет вид:x + y −12x − y + 354a − 5b + 2 = 03a + b + 7 = 05754a − 5(−3a − 5 ) = − 2b = −3a − 751919a = − 2b = −3a − 75 x + y − 1 = −2Значит, 2 x − y + 3 = 10Заменим первое уравнение суммой первого и второго:1141a = − 2b = 1103 x = 6x = 2 y = 2 x − 7  y = −3Решение (2; −3).§ 7. Системы уравнений как математические моделиреальных ситуаций143.Пусть скорости поездов равны u и v соответственно, тогда скорость их700=5.сближения равна u+v, значитu+vЕсли 2-й поезд отправится на 7 часов раньше первого, то в моментначала движения 1-го поезда между ними будет 700−7v километров, отсюда700 − 7v2-е уравнение:=2. Получим систему:u+v 700 u + v = 5700 = 5u + 5v u = 140 − v 700 − 7v700 = 2v + 9v 700 = 2u + 9v=2  u + v700=280−2v+9v, 7v=420 ⇒ v=60⇒ u=80.Ответ: 60 км/ч, 80 км/ч.144.Пусть u −скорость лодки, v − скорость течения реки, тогда имеем 14=214 = 2u + 2vu = 7 − vсистему:  u + v70 = 144 − 14v 70 = 144 − 14v14= 2,8  u − v70=98−14v−14v, 28v=28⇒ v=1⇒u=6.Ответ: 6 км/ч, 1 км/ч.145.Пусть u − скорость лодки5 10 u − v = 4Получим систему:  9 =3 u + v 4Ответ: 10 км/ч, 2 км/ч.в стоячей воде, v − скорость течения реки.8 = u − v 2u = 20 u = 1012 = u + v v = 4 − 8 v = 2146.a + b = 12 a = 12 − bПусть a и b искомые числа, тогда: ab = 35ab = 35115(12−b)b=35, b2−12b+35=0по теореме Виета: b1=5, b2=7.Т.

к. а=12−b, то а1=7, а2=5.Ответ: 5 и 7.147.a + b = 46a = 46 − bПусть а и b − искомые числа, тогда:  2 222a + b = 1130 a + b = 11302222(46−b) +b =1130, 2b −92b+2116−1130=0. b −46b+493=0.D = (−46) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 493 = 144 ,46 + 1246 − 12b1==29, b2==17.22a1 = 46 − 29 = 17; a2 = 46 − 17 = 29Ответ: 17 и 29.148.a − b = 24 a = 24 + bПусть а и b − искомые числа, тогда: a ⋅ b = 481 a ⋅ b = 4812b +24b−481=0. D1=144+481=625. b1=−12−25=−37, b2=−12+25=13.Т. к. по условию задачи b натуральное число, то b1 не подходит, значитb=13⇒а=37.Ответ: (37, 13).149.Пусть а и b − искомые натуральные числа, тогда:a − b = 16a = 16 + b22 22+=+ab553abab + 553 = a + bb2+16b=256+b2+32b+b2−553.

b2+16b−297=0. D1=64+297=361.b1=−8−19=−27, b2=−8+19=11. Т. к. b∈N, то b=11⇒а=27.Ответ: (27, 11).150.Пусть а и b − искомые натуральные числа, тогда:a + b = 50a = 50 − b22 222+=−ab11ab50b − b + 11 = 2500 + b − b − 100bb2−150b+2489=0. D1=752−2489=3136=562.b1=75−56=19, b2=75+56=131. Тогда а1=31, а2<0⇒а=31, b=19.151.Пусть a b − искомое 2-значное число, тогдаb = 2ab = 2a10a + b = 4( a + b) 6a − 3b = 010a + b = 3ab10a + b − 3ab = 0 2210a + 2a − 6a = 0 2a = a116Решениями полученной системы является пара чисел (0, 0), (2, 4), нопоскольку число 0 не принято считать двузначным, то ответом задачиявляется число 24.Ответ: 24.152.Пусть a b − искомое 2-значное число, тогда10a + b = 6a + 6b 4a = 5b10a + b − ab = 34 40a + 4b − 4ab − 136 = 050b+4b−5b2−136=0.

5b2−54b+136=0. D=729−680=49=72.27 − 7 2027 + 7 39b1===4, b2==.5555По смыслу задачи b∈N⇒b=4⇒а=5.Ответ: 54.153.Пусть a b − искомое 2-значное число, тогдаa + b = 12a = 12 − b10a + b + 36 = 10b + a 9a + 36 = 9b108−9b+36=9b.18b=144.b=8⇒а=4.Ответ: 48.154.a− искомая дробь, тогдаba +1 1=2a + 2 = b + 1 b = 2a + 1 2 2b +1 22222a + b = 136 a + b = 136 a + b = 136a2+4a2+4a+1−136=0.

5a2+4a−135=0. D1=16–4⋅5(–135)=2716.В условии задачи опечатка.Пусть155.Пусть а и b − стороны прямоугольника, тогдаa + b = 14a = 14 − b 2 222+=100aba + b = 100196+b2−28b+b2=100. b2−14b+48=0. D1=49−48=1.b1=6, b2=8, тогда а1=8, а2=6.Ответ: 6 и 8 см.156.Пусть а и b − катеты, тогда117a + b = 49a = 49 − b 2 222a + b = 1681 a + b − 1681 = 0222b −98b+2401−1681=0. b −49b+360=0. D=2401−1440=961=312.b1=49−31=18, b2=49+31=60.49 + 3149 − 31b1 == 40 ; b2 ==9;22a1 = 49 − 40 = 9 ; a2 = 49 − 9 = 40 ;1⋅ 40 ⋅ 9 = 180 (м2).2Ответ: 180 см2.S=157.Пусть а и b −катеты, с – гипотенуза, тогда:a − b = 23a = 23 + b 2 222+=1369aba + b − 1369 = 0529+2b2+46b−1369=0.

b2+23b−420=0. D=529+1680=2209=472.−23 + 47b1 == 12 ;2−23 − 47b2 == −35 – не подходит по смыслу задачи;2a = 23 + 12 = 35 ; c = 352 + 122 = 37 ; р=12+35+37=84 (дм).Ответ: 84 дм.158.Пусть а и b − катеты, тогдаa + b + 37 = 84 a = 47 − b 2 222a + b = 1369 a + b − 1369 = 02209+2b2−94b−1369=0. b2−47b+420=0. D=2209−1680=529=232.47 − 2347 + 23=12, b2=35. a1=35, a2=12.b1=2211S= ab= ⋅35⋅12=210 (см2).22Ответ: 210 см2.159.Пусть u − скорость лодки в стоячей воде и v − скорость течения реки,20 20+=7 u − v u + vтогда  2 = 5 u − v u + v118По смыслу задачи на u−v и u+v не равны нулю. поэтому можноумножить обе части каждого из уравнений на u2−v2, получаем:20u + 20v + 20u − 20v = 7u 2 − 7v 2 7u 2 − 7v 2 − 40u = 02u + 2v = 5u − 5v7v = 3u77 ⋅ 40v73 v 2u = v=0.−7v2−393227u − 7v − 40u = 049v2−9v2−120v=0.

v(v−3)=0. По смыслу задачи v≠0⇒v=3.Ответ: 3 км/ч.160.Пусть u − скорость первого пешехода, v − второго, тогда имеемсистему: 24 24 u = v − 2 2424=−2 u + 2 v + 1По смыслу задачи ни один из знаменателей не равен нулю, поэтомуумножим 1-е уравнение на uv, и 2-е на (u+2)(v+1), получим равносильную24v − 24u + 2uv = 0систему: 24v + 24 − 24u − 42 + 24v + 24 + 4v + u = 0Учитывая 1-е уравнение системы, 2-е можно переписать в виде:24−42+24+4v+4=0, т. е. получим систему:24v − 24u + 2uv = 0 u = 10 − 2v4v + 2u − 20 = 024v − 24u + 2uv = 024v−240+48v+20v−4v2=0; v2−23v+60=0; D=529−240=289=172;23 + 17 40==20; u1=4, u2<0.v1= 23 − 17 = 6 =3, v2=2222Ответ: 4 км/ч, 3 км/ч.161.Пусть в первом зале х мест в ряду, а во втором − у, тогда имеемсистему: 350 480=+5y x y = x + 10По смыслу задачи и х и у отличны от нуля, поэтому:350 y − 480 x − 5 xy = 0 y = x + 10350х+3500−480х−5х2−50х=0; х2+36х−700=0; D = 1296 + 2800 = 642 ;119−36 + 64= 14 ;2−36 − 64x2 == −50 – не подходит по смыслу задачи.2y = 14 + 10 = 24 .Ответ: 14 и 24 места.x1 =162.Пусть в красном зале х рядов, а в синем − у, тогда получим систему:x = y + 2 320 360x = y + 2=− 4 320 y − 360 x + 4 xy = 0 xyD=16+180=196=142;320у−360у−720+4у2+8у=0; у2−18у−180=0;4у1=4+14=18, у2<0; х1=20.Ответ: 20 − в красном, 18 − в синем.163.Пусть х человек должно было сдавать экзамен по математике, тогда400листов бумаги, получиликаждому человеку предполагалось выдатьx400400+1=.уравнение:xx − 20D400х−8000+х2−20х−400х=0; х2−20х−8000=0;=100+8000=8100=902.4х1=10+90=100, х2<0.Так как отсеялось 20 человек, то экзамен по математике сдавало100 – 20 = 80 человек.Ответ: 80 человек.164.Пусть 1-й комбайн работая один может выполнить задание за х часов, авторой за у, примем объем всей работы за 1, тогда получим систему: 1 1 1 = 6  xy = 6  xy = 6 x + 6 yx+ y x+ y x = y − 5  y = x + 5 x = y − 5х2+5х=6х+6х+30; х2−7х−30=0; D=49+120=169=132;7 + 13=10, х2<0.х12Ответ: за 10 часов.120165.Пусть 1-я бригада может выполнить работу за х часов, а вторая − за у.Примем весь объем работы за 1.

Получим систему: 1=8 1 1 xy = 8 x + 8 y y = x + 12 x+ y x = y − 12х2+12х=8х+8х+96; х2−4х−96=0; D1=4+96=102; х1=2+10=12, х2<0.Ответ: 12 часов.166.Пусть 1-му экскаватору требуется х часов, а 2-му − у часов. Приняввесь объем работы за 1 получим систему уравнений:15 1 1 1 = 4 4 xy = 15 x + 15 yy = x − 4 x+ y x = y − 44 x 2 − 16 x − 15 x − 15 x + 60 = 0 , 2 x 2 − 23x + 30 = 0 ,D = 529 − 4 ⋅ 2 ⋅ 30 = 28923 + 1723 − 17 3x1 == 10; x2 ==4423y1 = 10 − 4 = 6; y2 = − 4 < 0 – не подходит по смыслу задачи.2Ответ: за 10 ч. и 6 ч.167.Пусть 1-й кран наполняет чан за х часов, а 2-й − за у, тогдаx = 2 yx = 2 y 1x = 2 y 1 1 = 1  xy = 1  xy = x + y x + y + x y332у2=3у; у(2у−3)=0; у= =2х=3.

x = 2 ⋅ = 3223Ответ: первый − за 3, второй − зачаса.2168.Пусть х часов потребовалось бы 1-й машинистке и у ч. − второй.Примем весь объем работ за 1 и получим систему уравнений:12120 1= 1 13 3 xy = 20 x + 20 yy = x − 3 x+ y x = y − 33у2−9у=20у−60+20у; 3у2−49у+60=0; D=2401−720=1681=412;49 − 41 449 + 41= , у2==15; х1<0, х2=12.у1=536Ответ: 12 часов − первой, 15 − второй.169.Пусть 1-й тракторист вспахивает поле за х часов, а второй − за у.Приняв весь объем работы за 1, получим: 1 1 1 = 48 +x y xy = 48 x + 48 y  xy = 96001 1 x + y = 200 x + y = 2002 2+=1001 1yx200у−у2−9600=0; у2−200у+9600=0; D1=10000−9600=400=202;у1=100−20=80, у2=120; х1=120, х2=80.Ответ: 120 часов: 80 часов.170.Пусть первый рабочий может выполнить задание за х часов, а второй −за у.

Приняв весь объем работ за 1 получим систему уравнений: 11 1 = 2 +x y2 xy = 4 x + 4 y 20 y − 3 y 2 = 40 − 6 y + 4 y2 32 x + 3 y = 20 2 x = 20 − 3 y5 51 + 1 =4yx3у2−22у+40=0; D = 484 − 4 ⋅ 3 ⋅ 40 = 422 − 2 1022 + 2= 4 , у2==; х1=4, х2=5.у1=663Т. к по условию задачи х≠у, тоответ: 5 ч., 3ч.

20 мин.171.Пусть a b − искомое 2-е число, тогда получим:a 2 + b 2 = 139a − 9b = 9 a = 1 + b 2 222a+b−=b+a10910a + b = 13 a + b = 131221+b2+2b+b2=13; 2b2+2b−12=0;b2+b−6=0. По т. Виета b1=−3, b2=2.По смыслу задачи b>0⇒b=2⇒а=3, искомое число 10 ⋅ 3 + 2 = 32 .Ответ: 32.172.Пусть a b − искомое 2-е число, тогда получим систему:10a + b + 10b + a = 143 11a + 11b = 143 a = 13 − b 2 22222a + b = 97a + b = 97169 + b − 26b + b = 97b2−13b+36=0по теореме Виета: b1=4, b2=9; a1=9, a2=4.Ответ: 94; 49.173.Пусть a b − искомое 2-е число, тогдаa − b = 5b(10a + b) = 37610a + b − 10b − a = 45 210ab + b − 376 = 0D50b+11b2−376=0;=625+4136=4761=692;4−25 + 69=4, b2<0; a1=9.b1=11Ответ: 94.174.Пусть a b − искомое число, тогдаa = b − 23ab = 10a + ba − b = −210a + b + 18 = 10b + a 3ab = 10a + b  23b − 6b = 10b − 20 + b3b2−17b+20=0; D=289−240=49=72;17 − 7 5= , b2=4;b1=63a1<0, a2=2.Ответ: 24.175.ab = 720Пусть а и b − искомые натуральные числа, тогда: a = 3b + 33b2+3b−720=0; b2+b−240=0; D=1+960=961=312−1 + 31b1==15, b2<0; a1=48.2Ответ: 48 и 15.123176.Пусть m и n − искомые натуральные числа, тогда имеем систему:m 2 − n 2 = 1000m = 2 n + 54n2+20n+25−n2−1000=0; 3n2+20n−975=0; D1=100+2925=3025=55210 + 55n1==15, n2<0; m1=35.3Ответ: 35 и 15.177.Пусть a b − искомое 2-е число, тогдаb = 2a − 110a + b = 4(a + b) + 3 6a − 3 = 3b10a + b = 3ab + 510a + b = 3ab + 5 210a + 2a − 1 = 6a − 3a + 52222a −5a+2=0; D=25−16=9 −35−3 1a1== , a2=2; b2=3.42Ответ: 23.178.Пусть a b − искомое 2-е число, тогда10a + b = 7(a + b) + 6 3a − 6b = 6 a = 2 + 2b = 810a + b = 3ab + a + b 9a = 3abb = 3Ответ: 83.179.Пусть имеется х рельсов по 25 м и у рельсов по 12,5 м, тогдаy25 x + 2 ⋅ 12,5 = 20000 100 x + 25 y = 8000012,5 y + 2 x ⋅ 25 = 20000 75 y + 100 x = 120000380000 − 25 yx=100 x = 80000 − 25 y10075 y + 80000 − 25 y = 12000  y = 4000050 x = 600 y = 800 Общее количество: 600 + 800 = 1400 (штук)Ответ: 1400 штук.180.Пусть u − скорость велосипедиста, v − скорость мотоциклиста, тогда12411v−u = 0,60u = v − 36 60v − u = 366040v = 40u + uv 120 120240v = 40v − 1440 + v − 36v=+3 uvv2−36v−1440=0; D = 1296 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−1440) = 842 ;36 + 84v1 == 60; v2 < 0 – не подходит по условию задачи.2u = 60 − 36 = 24 (км/ч).Ответ: 60 км/ч, и 24 км/ч.181.Пусть u м/с − скорость 1-й модели, v м/с − 2-й, тогда имеем систему:20 = 7u + 12 − 34u = 260 = 21u + 6v20 = 7u + 2v v = 345u + 30v = 180 12 − 3u = 2v v = 12 − 342Ответ: 2 м/с, 3 м/с.182.Пусть u и v − скорости лыжников, тогда:2 2 u = v + 0,1 v = 2u2v = 2u + 0,1uv4 2 = v u4u = 2u + 0,1 ⋅ 2u 2 ; u 2 − 10u = 0 ;u1 = 0 – не подходит по смыслу задачи.u2 = 10 (км/ч); v = 2 ⋅ 10 = 20 (км/ч).Ответ: 10 и 20 км/ч.183.Пусть скорость велосипедиста v км/ч и t − время, через которое из Авыехал мотоциклист, тогда получим систему 20 201 1 v = 50 + tt = 20( − )v 5010 70 6 70 − 3 v 10 50t + 70 + 30 + 70 − 10 v = 100++=33t +503 50 1030015t−v+1=0;−6−v+1=0; v2+5v−300=0; D=25+1200=1225=352;v−5 + 35−5 − 35v1 == 15 (км/ч), v2 == −20 – не подходит по смыслу22задачи.Ответ: 15 км/ч.125184.Пусть вторая встреча произошла на расстоянии а км.

от пункта А. Тогдарасстояние от места второй встречи до пункта В – (а + 4) км. ⇒aСкорость 1-го пешехода v1 = = a (км/ч).1a + 4 2( a + 4)(км/ч).=Скорость 2-го пешехода v2 =2,55АВ = 2а + 42-й пешеход пришел в пункт В на 1,5 ч. позже, чем 1-й пешеход в пункт2 AB 2 ABА, поэтому−= 1,5 ч., т.е.v2v12(2a + 4) ⋅ 5 2(2a + 4)−= 1,5 ⇒ 9a 2 − 20a − 64 = 02(a + 4)a16– не подходит по смыслу задачи.92( a + 4)v1 = a = 4 (км/ч); v2 == 3,2 (км/ч).5Отвте: v1 = 4 (км/ч), v2 = 3,2 (км/ч).⇒ a1 = 4; a2 = −185.Пусть v км/ч − скорость поезда, выходящего из А и S км − расстояниемежду А и В, тогда4SSS=11 2v = 2(v + 40) + 2 −v v + 4015 S=15S= v + (v + 40) 4 2v + 40 44v(v + 40)15154010==v(v + 40)42v + 4042v + 404v(v+40)=150(2v+40); 4v2+160v−300v−6000=0;4v2−140v−6000=0;D1=702+24000=4900+24000=28900=170270 + 170 240v1===60 км/ч, v2<0.4415(v + 20) 15 ⋅ (60 + 20)v+40=100 км/ч. S === 600 (км).22Ответ: 60 и 100 км/ч, 600 км.126186.Пусть х м/с и у м/с − скорость точек.

Характеристики

Список файлов книги