makarytchev-gdz-9-2000 1-670 (542433), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

х2 ≥ 0. x 2 = 25  x = ±52020  y = x  y = xпри x = 5, y = 4при x = −5, y = −4Решения: (5; 4), (–5; –4) x 2 − 2 y = 3  x 2 = 3 + 2 y x 2 y = 27(3 + 2 y ) y − 27 = 0а) D = 9 + 216 = 225 = 1529y1 = 3; y2 = −2 x 2 = 3 + 2 y 22 y + 3 y − 27 = 0x 2 = 3 + 2 y9 y = 3; y = − 2117приy = 3; x 2 = 9; x = ±3при92y = − ; x 2 = −6 < 0, – не верно, т.к. х ≥ 0.2Решения (3; 3), (–3; 3). x 2 + y = 10 y = 10 − x 2 y = 10 − x 2  y = 1 x = ±3 242422 x + x y = 90  x + x 10 − x = 90  x = 9(б) )Решения (3; 1), (–3; 1). x + y 2 = 2 y 2 = 2 − x y 2 = 2 − x y 2 = 2 − x222222 y + x = 3 4 − 2 x + x = 3  x − 2 x + 1 = 0 (x − 1) = 0в)  y 2 = 1  y = ±1x = 1 x = 1Решения (1; 1), (1; –1). x 2 + y 4 = 5г)  2 xy = 2x2 + y4 = 5 2 2y = x , x ≠ 0 x 4 − 5 x 2 + 4 = 0, x 2 ≠ 0 2 2y = x( ) 2 4 x + 2 = 5x2y = 2 , x ≠ 0x x4 − 5x2 + 4=0x2 y2 = 2x( )по теореме Виета: x 2 1 = 4; x 2 2 = 1 x 2 = 4, x 2 = 1 2 2y = xРассмотрим 4 системыx = 22y = 11.

 x = −22 y = −12. x = 12y = 23.  x = −12 y = −24. Вторая и четвертая системы решений не имеют.Решенияпервой: (2; 1), (2; –1)третьей: 1; 2 , 1;− 2( )()( )()Решения: (2; 1), (2; –1), 1; 2 , 1;− 2 .134. x 2 + y 2 + x + y = 2а)  22 x − y 2 + 2 x − y = 4Заменим первое уравнение суммой первого и второго1183 x 2 + 3x = 6 22 x − y 2 + 2 x − y = 4 x 2 + x = 2 22 x + x − y 2 − y = 4()по теореме Виета: x 2 + x − 2 = 04 − y 2 − y = 4x1 = 1  x = 1; x = −2  x = 1; x = −2x2 = −2  y ( y + 1) = 0  y = 0; y = −1Решения: (1; 0), (1; –1), (–2; 0), (–2; –1). x 2 + y 2 − 2 x + 3 y = 31 x 2 + y 2 − 2 x − y = 15б) Умножим первое уравнение на (–1) и заменим суммой полученногои второго.−4 y = −16y = 4 2 22+−2−=15xyxyx − 2x − 3 = 0x =3по теореме Виета: 1x2 = −1y = 4 x = −1, x = 3Решения: (–1; 4), (3; 4). x 2 + y 2 − 5 x + y = 25 x 2 + 5 y 2 + x + 5 y = 36в) Умножим первое уравнение на –5.− 5 x 2 − 5 y 2 + 25 x − 5 y = −10 25 x + 5 y 2 + x + 5 y = 36 x 2 + y 2 − 5 x + y = 2;225 y + 5 x + x + 5 y = 36в)  x 2 + y 2 = 2 + 5x − y;10 + 25x − 5 y + x + 5 y = 363x 2 + y 2 + 3 x + y = 18; x 2 − y 2 + x − y = 6г)  x 2 + y 2 = 2 + 5 x − y; 25( x + y 2 ) + x + 5 y = 3626x = 26; 2 2 x + y = 2 + 5x − y4 x 2 + 4 x = 24; 2 x − y 2 + x − y = 6x = 224 − y + 2 − y = 6или x = 2 y ( y + 1) = 0x = −3или x = 2y = 0x = 1x =1; .21+y=2+5−y y = −3 x 2 + x − 6 = 0⇒ 2 x − y 2 + x − y = 6 x = −329 − y − 3 − y = 6 y ( y + 1) = 0x=2или  y = −1x = −3x = −3или или .y = 0 y = −1119Ответ: (2; 0); (2; –1); (–3; 0); (–3; –1).135.2а) ( x + y ) − ( x − y ) − 8 = 0( x + y ) 2 + ( x − y ) − 10 = 0Введем новые переменные t=x+y, p=x−yt 2 − p − 8 = 02t + p − 10 = 0Заменим второе уравнение суммой первого и второгоt 2 − p − 8 = 0  p = t 2 − 8  p = 1 22t = ±32t = 18t = 9x + y = 3 x = 3 − y x = 2Для пары (3; 1): . x − y = 1 3 − 2 y = 1  y = 1x + y = −3  x = −3 − yДля пары (−3; 1): x − y = 1 x = −1− 3 − 2 y = 1  y = −2Решения (2; 1); (−1; −2). x y 10 + =x3 x − y = 6б)  yПусть р=р+x.

Первое уравнение примет вид:y1 10 3 р 2 − 10 р + 3D= ;=0; 3р2−10р+3=0; р≠0;=25−9=16;р33р4р1=5+45−4 1=3; р2== .333x =3 x = 3 y, y ≠ 0  x = 9y = 3 x − y = 6 2 y = 6при р=3:  y13x 1 = y = 3 x, y ≠ 0  x = −93 y = −3 x − y = 6 − 2 x = 6при р= :  yРешения (9; 3), (−3; −9).2 x + y + ( x − 2 y ) 2 = 3 x 2 − 4 xy + 4 y 2 = 9 − 3(2 x + y )в) Пусть р=2х+у, t=х−2у120(2 x + y ) + ( x − 2 y ) 2 = 3( x − 2 y ) 2 = 9 − 3(2 x + y ) p + t 2 = 3t 2 = 9 − 3 pТогда система примет вид:  p = 3 − t 2p = 32t = 9 − 9 + 3t 2 t = 0y=2 x + y = 3 2 x + y = 3 5 y = 3 Возвращаясь к х и у: x − 2 y = 0 x = 2 yx = 2 y x =3565Решение (1,2; 0,6) x y 17x + =4 Пусть =р.

Первое уравнение примет вид:xy x + y = 101 17р+ = .р4г)  yРешим его.4 р 2 + 4 − 17 р=0, 4р2−17р+4=0, р≠0, D=289−64=225,р17 + 1517 − 15 1=4; р2== ;884x =4 x = 4 y, y ≠ 0  x = 8Для р=4:  yy = 2 x + y = 10 5 y = 10р1=14x 1 = y = 4 x, y ≠ 0  y = 84x = 2 x + y = 10 5 x = 10Для р= :  yРешения (8; 2); (2; 8).121136. x 2 − 3x − 2 y = 4а)  2 x + x − 3 y = 18x2 3− x−2y =2 22 x 2 + x − 3 x + 9 x + 6 = 1822x2 3− x−2y =2 2 2− x + 11 x − 12 = 0 22x2 311 + 511 − 5y =− x−2D=121−96=25, х1==8, х2==3,2 222 x 2 − 11x + 24 = 064 3 ⋅ 89 9−−2=18.при х=3, у= − −2=−2.222 2Решения (8; 18); (3; −2). xy + x = 56б)  xy + y = 54Умножим второе на (−1) xy + x = 56− xy − y = −54Заменим второе уравнение суммой первого и второго. xy + x = 56  x( x − 2) + x = 56  x 2 − x − 56 = 0y = x − 2y = x − 2y = x − 2при х=8, у=1 + 151 − 15=8, х2==−7.22при х=8; у=8–2=6; при х=−7; у=–7−2=−9.Решения (8; 6); (−7; −9). x 2 + 2 x + 3 y = 3в)  2 x + x + 2 y = 4D=1+224=225, х1=Умножим второе уравнение на (−1) и заменим его суммой первого и 2 2 2второго:  x + 2 x + 3 y = 3  x + 2 x − 3 − 3 x = 3  x − x − 6 = 0 x + y = −1 y = −1 − x y = −1 − xпо теореме Виета: х1=3; х2=−2.при х=3: у=−4; при х=−2: у=1.Решения (3; −4); (−2; 1).3 x − xy = 10г)  y + xy = 6Заменим первое уравнение суммой первого и второго. y = 16 − 3 x3 x + y = 16  y = 16 − 3 x y + xy = 6 16 − 3 x + x(16 − 3 x) = 6  23 x − 13 x − 10 = 0108213 + 1713 − 17=5, х2==− ;66322при х=5; у=1; при х=− ; у=18.

Решения (5; 1); (− ; 18).33 x + y = −2 x + y = −2 x + y = −2137. а)  222 x + 2 xy + y = 1 − xy ( x + y ) = 1 − xy  xy = −3D=169+120=289, х1= x = −2 − y x = −2 − y 22− 2 y − y = −3  y + 2 y − 3 = 0по теореме Виета: у1=1, у2=−3,при у=−3; х=−2+3=1, при у=+1; −2−1=−3.Решения (−3; 1); (1; −3).2 x − y = 32 x − y = 32 x − y = 3б)  22 x + 3 y = 9224x−4xy+y=2x+3y(2x−y)=2x+3y9 x = 4y = 329 3Решение ( ; ).4 22 x = y + 34 y = 622 2x − y = 1в)  x − 6 xy + 9 y = x − y ( x − 3 y ) = x − y  x − 3 y = −1 x − 3 y = −1( x − 3 y ) = −1x = y + 1x = y + 1 y + 1 − 3 y = −1 − 2 y = −2Решение (2; 1).x + 2 y = 2г)  22x + 4 y + 4 y = 2 y + 4xy=2 y = 2 − x 3 x = 2x =2323x = 2y = 1x + 2 y = 2x + 2 y = 22 y + 4 x = 42(x+2y)=2y+4xОтвет: (2 2; ).3 3138. xy − 2 x + 3 y = 6  xy − 2 x + 3 y = 6  y 2 − y − 2 y + 2 + 3 y = 6а) 2 xy − 3x + 5 y = 11  x − y = −1x = y − 1 y2 = 4при у=2, х=2−1=1, при у=−2, х=−2−1=−3.x = y − 1Решения (1; 2), (−3; −2).109 y 2 + 3 x − y = 1 3 x = 1 + y − y 2б)  2 y + 6 x − 2 y = 1  y 2 + 2 + 2 y − 2 y 2 − 2 y = 111при у=1; х= ; при у=−1; х=− .3311Решения ( ; 1); (− ; −1).33 x 2 + 3 x − 4 y = 20в)  2 x − 2 x + y = −53 x = 1 + y − y 2 2 y = 1 x 2 + 3 x − 8 x + 4 x 2 + 20 = 20 y = 2 x − x 2 − 55 x 2 − 5 x = 0 y = 2 x − x 2 − 5 x( x − 1) = 0при х=0; у=−5; при х=1; у=2−1−5=−4.2 y = 2x − x − 5Решения (0; −5); (1; −4). x + xy + y = 5( x + y ) = 5 − xy( x + y ) = 5 − xyг)  xy − 2 x − 2 y + 4 = 0  xy − 2( x + y ) + 4 = 0  xy − 10 + 2 xy + 4 = 0( x + y ) = 5 − xy  x + y = 3  x = 3 − y 2 xy = 2 xy = 2y − 3y + 2 = 0по теореме Виета: у1=2, у2=1.

при у=2; х=3−2=1; при у=1; х=3−1=2.Решения (1; 2); (2; 1).139.( x − 2)( y − 3) = 1( x − 2) 2 = 1  x − 2 = ±1( x − 2)( y − 3) = 1а)  x − 2=1 x − 2 = y − 3, y ≠ 3  y − 3 = x − 2  y = x + 1 y − 3при х−2=1; х=3; у=3+1=4; при х−2=−1; х=1; у=1+1=2.Решения (3; 4), (1; 2).( x − 3)( y − 2) = 33( x − 3) 2 = 3  x − 3 = ±1( x − 3)( y − 2) = 3б)  y − 2 y = 3x − 7( y − 2) = 3( x − 3), x ≠ 3  y = 3 x − 7 x − 3 = 3при х-3=1; х=4; у=12−7=5; при х−3=−1; х=2; у=6−7=−1.Решения (4; 5), (2; −1). x +1 x + 1 = y − 3, y ≠ 3  x = y − 4=1в)  y − 3 y − 3 = ±22( x + 1)( y − 3) = 4 ( y − 3) = 4при у−3=2; у=5; х=5−4=1; при у−3=−2; у=1; х=−3.Решения (1; 5), (−3; 1).( x + 3)( y − 1) = 8( y − 1) 2 = 4( x + 3)( y − 1) = 8г)  x + 3( x + 3) = 2( y − 1), y ≠ 1 =2 x + 3 = 2( y − 1), y ≠ 1 y − 1110 y − 1 = ±2x = 2 y − 5при у−1=2; у=3; х=1; при у−1=−2; у=−1; х=−7.Решения (1; 3), (−7; −1).140.22а) ( x + 2 y ) + ( y − 2 x) = 90xyyx(+2)+(−2)=12Пусть х+2у=t, у−2х=р.

Система примет вид:t 2 + p 2 = 90 t 2 + 144 + t 2 − 24t = 90 t 2 − 12t + 27 = 0t + p = 12 p = 12 − t p = 12 − tt1=9, t2=3,при t=9; р=3 (1); при t=3; р=9 (2);Рассмотрим первую пару x + 2 y = 9  x = 9 − 2 y  x = 0,6 y − 2 x = 3 5 y = 21 y = 4,2Рассмотрим вторую пару x + 2 y = 3  x = 3 − 2 y  x = −3y = 3 y − 2 x = 9 5 y = 15Решения (−3; 3), (0,6;4,2).x x + y + y = 15б)  ( x + y ) x = 56y p + t = 15  p = 15 − tПусть х+у=р, x =t. Система примет вид: 2 pt = 56yt − 15t + 56 = 0по теореме Виета: t1=8, t2=7,при t=8; р=7 (1), при t=7; р=8 (2).Рассмотрим (1)56xx= =8 x = 8 y, y ≠ 0 9y9 y = 77 x + y = 7y =9Рассмотрим (2)x =7 x = 7 y, y ≠ 0  x = 7y = 1y x + y = 8 8 y = 811156 7; ), (7; 1).9 9x x + y + y = 9xв) Пусть х+у=р, =t. Система примет вид:(x+y)xy= 20yРешения: (p + t = 9 p = 9 −t pt = 20  2t − 9t + 20 = 0по теореме Виета: t1=5, t2=4,при t=5, p=4 (1), при t=4, р=5 (2).рассмотрим (1)10xx= =5 x = 5 y, y ≠ 0 3y2 x + y = 4 6y = 4y =3Рассмотрим (2)x =4x = 4 y x = 4y x + y = 5 5 y = 5  y = 1Решения: (10 2; ); (4; 1).3 31 1y−xy−x1x − y = 2 xy = 2 xy = 2  x −г)  ( y − x)( y + x)x+ y111 −= 16 = 16 =8  +22 xy xxy ⋅ xy xyЗаменим первое уравнение суммой первого и второго211= 10= 5  x = x x51 11 + = 8  = 3 y = 1 x y y31 1Решение ( ; ).5 3141.( x + y ) 2 + 2 x = 35 − 2 yа) ( x − y ) 2 − 2 y = 3 − 2 x( x + y ) 2 + 2( x + y ) − 35 = 0( x − y ) 2 + 2( x − y ) − 3 = 0112( x + y ) 2 + 2 x = 35 − 2 y( x − y ) 2 + 2 x = 3 + 2 y1=2y1=8yПусть х+у=р, х−у=t; p 2 + 2 p − 35 = 02t + 2t − 3 = 0 p = 5, p = −7по теореме Виета: р1=5, р2=−7, t1=1, t2=−3; t = 1, t = −3Всевозможные пары: (5, 1) (1), (−7; 1) (2), (5; −3) (3), (−7; −3) (4).x + y = 5 x = 5 − y x = 31.

 x − y = 1 − 2 y = −4  y = 2 x + y = −7  x = −7 − y  x = −32.  x − y = 1 − 2 y = 8  y = −4x + y = 5 x = 5 − y x = 13.  x − y = 1 − 2 y = −8  y = 4 x + y = −7  x = −7 − y  x = −34.  x − y = −3 − 2 y = 4  y = −2Решения (3; 2), (−3; −4), (1; 4), (−5; −2).12( x + y ) 2 + x = 2,5 − y 12( x + y ) 2 + ( x + y ) − 2,5 = 0б) 6( x − y ) 2 + x = 0,125 + y 6( x − y ) 2 + ( x − y ) − 0,125 = 0Пусть р=х+у, t=х−у. Система примет вид12 р 2 + р − 2,5 = 0 26t + t − 0,125 = 0Найдем р: D=1+120=1211−1 + 11 5−1− 11р1==; р2==−2412242Найдем t: D=1+3=4−1 + 2 1−1 − 21t1==; t2==−121212451 p = 12 , p = − 2t = − 1 , t = 1412Получим 4 случая:115  x = 12 x + y = 12 2 x = 61) ; 2)x − y = − 1  y = x + 1  y = 134 4 5 x + y = 12x − y = 11212 x = 2y = x − 112 x =y =14161131x+ y = −23) x − y = − 1432x = −4y = x + 143x=−8 ; 4)y = − 181x+ y = −2x − y = 11252x = −12y = x − 1125x=−24y = − 7241  57  1 1 1 1  3Решения:  ; ,  ; ,  − ; − ,  − ; − 8   2424  12 3   4 6   8142.41 5+=− 26 x − xy y 2 − xy 736−= x 2 − xy y 2 − xy 511=р, 2=t.Пусть 2x − xyy − xyСистема примет вид1 1 41 45 р + 4t = − 6  p = − 30 − 5 t p = − 30 − 5 t7 p − 3t = 6 − 7 − 28 t − 3t = 6 − 43 t = 435  5305  30 51 p = 10t = − 16 x 2 − xy = 10 ( x − y )( x − y ) = 4  x − y = ±2То есть  2 y( x − y) = 6 y − xy = −6  y ( x − y ) = 6x − y = 2 x = 51) ;y ⋅ 2 = 6 y = 3Решения (5; 3); (−5; −3).45 x + y − 1 − 2 x − y + 3 +б) 31++ x + y − 1 2 x − y + 3Пусть а= x − y = −2  x = −52)  y ( −2) = 6  y = −35=027=0511, b=.

Характеристики

Список файлов книги