makarytchev-gdz-9-2000 1-670 (542433), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Тригонометрические функции углового аргумента631.11π2πа). б).935π1в). г) 4 π .43247632.5π7πа). б).6611π11πв). г).63633.128π43πа). б).453635π171πв). г).1836634.а) 135°. б) 660° . в) 216°. г) 920°.635.а) 480°. б) 315°. в) 324°. г) 555°.636.а) 300°. б) 675°. в) 375°.

г) 280°.637.а) sin αб) sin αв) sin αг) sin α= 1; cos α = 0; tg α − не существует ; ctg α = 0.= 1; cos α = 0; tg α − не существует ; ctg α = 0.= 0; cos α = 1; tg α = 0; ctg α − не существует.= −1; cos α = 0; tg α − не существует ; ctg α = 0.638.а) sin α =22; cos α = −; tg α = −1; ctg α = −1.22б) sin α = −22; cos α =; tg α = −1; ctg α = −1.22в) sin α = −22; cos α =; tg α = −1; ctg α = −1.22г) sin α =22; cos α = −; tg α = −1; ctg α = −1.22639.а) sin α = −311; cos α =; tg α = −; ctg α = − 3 .223б) sin α = −131; cos α = −; tg α =; ctg α =2232483.в) sin α = −311; cos α =; tg α = −; ctg α = − 3 .223г) sin α = −131; cos α = −; tg α =; ctg α =2233.640.а) sin α =131; cos α = − ; tg α = − 3 ; ctg α = −.223б) sin α =311; cos α = − ; tg α = − 3 ; ctg α = −.223в) sin α = −113; cos α = ; tg α = − 3 ; ctg α = −.223г) sin α = −113; cos α = ; tg α = − 3 ; ctg α = −.223641.а) х = 5 sin α .б) x = 4 cos α .3.в) x =cos αг) x =1= ctgα .tgα642.22.= 4 . б) x = 1 ⋅ sin 45 =sin 302245=.г) x = 5 ⋅ cos 60 = .в) x =sin 6023а) x =643.31= 6 3 , b = c cos α = 12 ⋅ = 6 .22ab1Площадь: S == 18 3 , r = c = 6 .22а) Катеты: a = c sin α = 12 ⋅б) Катеты: a = c sin α = 6 ⋅Площадь: S =22= 3 2 , b = c cos α = 6 ⋅=3 2 .22ab=9.212Радиус описанной окружности r = c = 3 .249в) Катеты: a = c sin α = 4 ⋅Площадь: S =13=2 3 .= 2 .

b = c cos α = 4 ⋅22ab=2 3.212Радиус описаной окружности r = c = 2г) Катеты: a = c sin α = 60 ⋅Площадь: S =31= 30 3 . b = c cos α = 60 ⋅ = 30 .22ab= 450 3 .212Радиус описаной окружности r = c = 30 .644.sin 160, sin 40, sin 120, sin 80.645.cos 160, cos 120, cos 80, cos 40.646.sin 570, sin 210, cos 70, sin 110.647.∆АВС − прямоугольный (т.к. он вписан в окружность и одна егосторона является диаметром).Тогда АВ = АС cosα = 2R cos α .648.Рассмотрим выпуклый четырехугольник ABCD, диагонали АС и BDразбивают этот четырехугольник на четыре треугольника: ∆АВО,∆ВСО, ∆CDO и ∆DAO, где О — точка пересечения диагоналей АС иBD.

Пусть α — угол между диагоналями, т.е. ∠СОВ = ∠AOD = α(как вертикальные).11AO ⋅ OB ⋅ sin(180° – α) = AO ⋅ OB ⋅ sinα;221S∆BCO = BO ⋅ OC ⋅ sinα;211S∆CDO = CO ⋅ OD ⋅ sin(180° – α) = CO ⋅ OD ⋅ sinα;221S∆DAO = AO ⋅ OD ⋅ sinα;2S∆ABO =SABCD = S∆ABO + S∆BCO + S∆CDO + S∆DAO =2501sinα(AO ⋅ OB + BO ⋅ OC + CO ⋅ OD + AO ⋅ OD) =21= BD ⋅ AC ⋅ sinα (поскольку BO + OD = BD; AO + OC = AC).2=Что и требовалось доказать.649.Из того, что сумма углов треугольника равна 180°, следует, что∠В = 180° –∠А – ∠С = 180° – 45° – 30° = 105°.По теореме синусов имеем:ABACBC4 2 1AB, откуда BC =⋅ sin A =⋅= 8 (см).==1sin Csin C sin B sin A2По теореме косинусов имеем:ВС2 = АВ2 + АС2 – 2 ⋅ АВ ⋅ АС ⋅ cosA;164 = 32 + AC2 – 8 2 ⋅ AC ⋅AC2 – 8AC – 32 = 0;22;( )2D = 64 + 128 = 192 = 8 3 ;8±8 3, откуда АС = 4(1 + 3 ) (см).2111S∆ABC = AC ⋅ BC ⋅ sin∠C = ⋅ 8 ⋅ 4((1 + 3 ) ⋅ = 8((1 + 3 ) (см2).222AC =Ответ: АС = 4(1 + 3 ) см; S∆ABC = 8(1 + 3 ) см2.§ 26.

Функции y = sin x, y = cos x, их свойства и графики650.Боковая сторона данного треугольника, прилежащая к углу в 60°,равна5510(см), а прилежащая к углу в 45° равна==sin 60°33255== 5 2 (см). Угол при вершине треугольника, из1sin 45°2которой опущена высота, равен 180° – 45 ° – 60° = 75°.Следовательно, площадь треугольника равна:25125 2 (1 + 3 ) 25 3 ⋅ (1 + 3 )1 10⋅⋅ 5 2 ⋅ sin 75° =⋅=(см2).62 332 2Ответ:25 3 ⋅ (1 + 3 )см2.6651.а) 0; б)33; в) 0; г) −.22652.π6а) y = 2 sin x −  + 1 , x =π414π 4π , f =− .332 π2 π 2б) y = − sin x +  , x = − , f  −  = 1y = 2 ⋅ −  +1 = 0 22.2653.Точка принадлежит графику тогда и только тогда, когда еекоординаты (х , у) удовлетворяют уравнению у = sin x. π 2а) −1 = sin  −  − верно.Принадлежит.б)1π= sin − неверно.22Не принадлежит.в) 1 = sin π − неверно.Не принадлежит.г) −1 = sin3π− верно.2Принадлежит.654.а)б)в)252г)655.а)б)в)г)656.а)б)в)253г)657.а)б)в)г)658.π232 −3π  5π  π; г) ƒ  −  = = 0 ; в) ƒ   = −22 2  6  4а) ƒ   = 0 ; б) ƒ 659.Точка (х, у) принадлежит графику тогда, кода y = cos x. π 2а) −1 = cos  −  − неверно.

Не принадлежит.б) −2545π3= cos− верно. Принадлежит.62в) −12π− верно. Принадлежит.= cos23г) 1 = sin 2π − верно. Принадлежит.660.а)б)в)г)661.а)б)в)г)255662.а)б)в)г)663.а)б)в)г)256664.а)б)в)г)665.а) sin x =2x,πРешения: 0;ππ; − .22б) cos x = x2 + 1.Решение: 0.в) sin x = x + π.257Решение: x = −π.г) sin x = 3 −4x.πy10x1–3Решение: x =π.2666.а) f (x ) = x 5 sin xРассмотрим: f(−x) = (−x)5sin(−x) = x5sin x = f(x).Причем, D( f ) = (−∞; + ∞) .

Функция четная.б) f (x ) =sin 2 xx 2 − cos xФункция не определена в тех точках, где х2 = cos x. Очевидно, чтокорни этого уравнения симметричны относительно О. (т.к. если х −корень, то (−х) − тоже корень). Значит область определениясимметрична относительно О.f (− x ) =sin 2 (− x )(− x )2 − cos(− x )=sin 2 (x )x 2 − cos x= f (x )Функция четная.в) f (x ) =cos 5 x + 1,| x|D( f ) = (−∞; 0)∪(0; + ∞) − симметрична относительно О.f (−x) =cos(−5 x ) + 1 cos 5 x + 1== f (x ) ,| −x ||x|Функция четная.г) f (x) = sin2x − x4 + 3 cos 2 x .D ( f ) = (−∞; + ∞) − симметрична относительно О.f (−x) = sin2(−x) − (−x)4 + 3cos (−2x) = sin2x − x4 + 3cos 2x = 0.258667.а) f (x ) = x − sin xD ( f ) = (−∞; + ∞) − симметрична относительно О.f (− x ) = − x + sin (− x ) = −(x + sin x ) = − f (x )Функция нечетна.б) f (x ) = x 3 ⋅ sin x 2D( f ) = (−∞; + ∞) − симметрична относительно О.f (− x ) = (− x )3 ⋅ sin (− x )2 = − x 3 sin x = − f (x ) .Функция нечетна.(в) f (x ) =x 2 sin xx2 − 9),D( f ) = (−∞; −3)∪(−3; 3)∪(3; + ∞) − симметрична относительно О.f (− x ) =(− x )2 sin (− x ) = − x 2 sin x = − f (x ) .x2 − 9(− x )2 − 9Функция нечетна.г) f (x ) =x 3 − sin x,2 + cos xD( f ) = (−∞; + ∞) − симметрична относительно О.f (− x ) =(− x )3 − sin (− x ) = − x 3 − sin x = − f (x ) .2 + cos(− x )2 + cos(− x )Функция нечетна.668.f (x) = 2x2 − 3x − 2, −f(cos x)=− 2cos2x + 3cos x + 2 = 2(1 − cos2x) + 3cosx== 2sin 2x + 3 cos x.669.f (x) = 5x2 + x + 4, f (cos x)=5cos2x + cos x + 4 = −5 (1 − cos2x) + cos x +9== −5 sin2x + cos x + 9.670.f (x) = 2x2 − 5x + 1, f (2 sin x)=2⋅4sin2x−10 sin x+1 = 8 sin2 x − 10 sin x +1== 8(sin2x−1)−10 sin x+9=−8 cos2 x−10 sin x+9=9 − 10 sin x − 8 (1 + tg2x).259Домашняя контрольная работа.ВАРИАНТ № 1.1.96; б).55а)2.а) Третьей; б) Третьей.3.11ππ; −664.sin2π2  16ππcosctg =⋅−  3 = −.4362  245.sin123π, cos ; Знак "+".786.(sin t + cos t )21 + 2 sin t cos t==(sin t + cos t )2(sin t + cos t )2(sin t + cos t )22cos t + 2 sin t cos t + sin 2 t=1, t ≠=3π+ πk , k ∈ Z.47.(sin t + cos t )2 + (sin t − cos t )2 = sin 2 t + 2 sin t cos t + cos 2 t ++ sin 2 t − 2 sin t cos t + cos 2 t = 2 .8.sin t =12 π, < t < π , то есть cos t < 0,13 2cos t = − 1 − sin 2 t = − 1 −tg t =9.а)260−12−5; ctg t =.512144 − 5,=169 13б)10.f (x ) = x 2 − 5 x + 4f (cos x ) = cos 2 x − 5 cos x + 4 = cos 2 x − 1 − 5 cos x + 5 == 5 − 5 cos x − sin 2 x .ВАРИАНТ №2.1.а)π7π; б) .882.а) Четвертой.

б) Третьей.3.4π2π; −334.sin5π3π2 6π 1 .cos3=−⋅ tg = ⋅  −643 2  2 45.cos1511π1511π, sin; cos < 0 , sin> 0 . Знак "−".8158156.(sin t − cos t )2 = (sin t − cos t )21 − 2 sin t cos t (sin t − cos t )2=1, t ≠π+ 2πk , k ∈ Z.47.Доказать: (sin t + cos t )2 − (sin t − cos t )2 = 4 sin t cos t ,Доказательство:(sin t + cos t )2 − (sin t − cos t )2 = 1 + 2 sin t cos t − 1 + 2 sin t cos t =4 sin t cos t .8.cos t = −53π, π<t <, то есть sin t < 0,132261 5 2 = − 12 , tg t = 12 , ctg t = 5 .sin t = − 1 −  13 131259.а)б)10. f (x ) = − x 2 + 4 x + 3 ,f (sin x ) = − sin 2 x + 4 sin x + 3 = 1 − sin 2 x + 2 + 4 sin x == cos 2 x + 2 + 4 sin x .262.

Характеристики

Список файлов книги