makarytchev-gdz-9-2000 1-670 (542433), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

(опечатка в ответе задачника)438.a1 + an⋅n:2−1 + 8641 − 16а) S30=⋅30=1275; б) S20=⋅20=250;22−13 − 517 + 31в) S10=⋅10=-90; г) S25=⋅25=600.222 + 1470,5 − 97 ,5439. а) S50=⋅50=3725; б) S50=⋅50=-2425;22−10 + 137−1,7 − 8,1в) S50=⋅50=3175; г) S50=⋅50=245.22Sn=440.Sn=a1 + an2a + ( n − 1 )d⋅n= 1⋅n, S100=100a1+4950d:22а) S100=100⋅(-12)+4950⋅2=8700; б) S100=100⋅(1,5)+4950⋅0,5=262;в) S100=100⋅73+4950(-1)=2350; г) S100=100⋅(-1,7)+4950⋅(8,1)=-40265.206441.2a1 + ( n − 1 )d⋅n:2−3 ⋅ 2 + 15 ⋅ 15,2 ⋅ 121 + 24 ⋅ ( −31, )а) S16=⋅16=132; б) S25=⋅25=2095;222 ⋅ ( −2 ,5 ) + 39 ⋅ ( −0,5 )2 ⋅ 4 ,5 + 99 ⋅ 0,4в) S40=⋅40=-490; г) S100=⋅100=2430.22Sn=442.S30=a1 + a30⋅30=15(а1+а30):2а) S30=15(4+3+4⋅30+3)=1950;б) S30=15(0,5-3+0,5⋅30-3)=142,5;в) S30=15(-2+8-2⋅30+8)=-690; г) S30=15(-2,5-6-2,5⋅30-6)=1342,5443.а1725629d42-352an5580268721n134011187Sn4031640451801105444.а4=10, а10=19, а10-а4=6d=9, d=1,5, а1=а4-3d=10-3⋅1,5=5,5,S10=a1 + a105,5 + 19⋅10=⋅10=122,5.22445.a11 + a13 122==61; б) а18+а20=2⋅а19=2⋅5=10;22a +a−2в)а6+а8=2а7=2⋅4=8; г) а16= 15 17 ==-1.22а) а12=446.а) а2+а19=а1+а20=64; б) а1+а19=а3+а17=-40;в) а1+а16=а2+а15=25; г) а10+а16=а1+а25=-10.447.а10+а20=a9 + a11 a19 + a21 44 104+= +=74.2222207448.а15+а30=a14 + a16 a29 + a31 −20 40+=+ =10.2222449.Если х, 2х-1,5х - члены прогрессии, тоx + 5x=2х-1, то есть 3х=2х-1, х=-1.2450.Если 2у+5, у, 3у-8 - члены прогрессии, то2 y + 5 + 3y − 8=у, 5у-3=2у, у=1.2451.Если 5t+2, 7t=1, 3t-6 - образуют прогрессию, то5t + 2 + 3t − 6=7t+1,24t-2=7t+1, t=-1.452.а) an=-n +111, a1=- ,d=- ;424б) an=2 3 − 5n2 3 −55, a1=, d=- ;333в) an=3n − 2137n − 5, a1= , d= ; г) an=, a1=55557 −55, d=75453.а) d1=a12 − a5 29 − 15==2, а1=а5-4d=15-4⋅2=7,77an=а1+(n-1)d=7+(n-1)⋅2=2n+5;б) d=a19 − a9 −4 ,5 − ( −30 )==-1,5, а1=а9-8d=-30-8(-1,5)=-18,1010an=а1+(n-1)d=-18+(n-1)(-1,5)=-1,5n-16,5;в) d=a15 − a7 40 − 20==2,5, а1=а7-6d=20-6⋅2,5=5,88an=а1+(n-1)d=5+(n-1)⋅2,5=2,5n+2,5;г) d=a16 − a5 −7 ,5 − 0,2==-0,7, а1=а5-4d=-0,2–4(–0,7)=2,6,1111an=а1+(n-1)d=2,6+(n-1)(-0,7)=-0,7n+3,3.208.454.a9 − a7 8 − ( −2 )a +a8 + ( −2 )==5, а8= 7 9 ==3;2222a +a4 + ( −4 )б) а8= 9 7 ==0, d=а9-а8=-4;22a +a−7 + ( − 1 )в) а8= 7 9 ==-4, d=а9-а8=-1-(-4)=3;22a +a−0,9 + ( −0,7 )г) а8= 7 9 ==-0,8, d=а8-а7=-0,8-(-0,7)=-0,1.22а) d=455.а1=-8, а4=-35, тогда d=a4 + a1 −35 − ( −8 )==-9 и33а2=а1+d=-17, а3=а4-d=-26.-8, -17, -26, -35, d=-9.456.

an=a1+(n-1)d:а) а7=- 2 +6⋅(1+ 2 )=5 2 +6; б) а15=3- 5 +14⋅2 5 =27 5 +3;в) а12=9 3 -2+11⋅(2- 3 )=20-2 3 ; г) а9=5 3−73−2-8⋅=3- 3 .33457.a −an= n 1 +1:dа) n=в) n=6− 3 −5 31− 3+1=7; б) n=13 − 5 5 − 5 + 52− 513 2 − 2 − 5 22 2 −1+1=8;5 3−73+1=5; г) n=+1=6.3−2−31−458.а1=аn-(n-1)d:а) а1=10 3 -4-23⋅в) а1=2 3 +5-203 − 1 15 − 3 3=; б) а1=28+27q-27(1+q)=1;223=5-8 3 ; г) а1=l-21(1-3l)=64l-21.2459.a −ad= n 1 :n −1209а) d=m − 5 − 3 + 7m−2 3 +3− 2 3 −32 3=; б) d==m-1,2 ⋅ 17178в) d=0 − 5 +1 1− 52 p + 3 − 13 + 8 p=; г) d==р-1.5510460.а) 13-0,4n=4,6, n=21; б) 5n-104=21, n=25;в) 3n-5,7=69,4, n=75,1, так что b - не член прогрессии;3г) 21,3-1,7n=4,3, n=10.461.а) an<-41 при 12-3n<-41, n>53, n=18;37б) an<-7 при 3 3 -n 3 <-7, n>3+в) an<-10 при 117-5,5n<10, n<3, n=8;107, n=20;5,5г) an<-1 при 15 2 -n( 2 -1)<-1, n>15 2 + 12 −1, n=49.(опечатка в ответе задачника)462.а) an> 3 при 7n-121> 3 , n>121 + 3, n=18;7б) an>21 при n 2 -4 2 >21, n>21 + 4 22в) an>2+3 5 при 5n-17,7>2+3 5 , n>г) an>5 при n( 5 -1)-3 5 >5, n>, n=19;19,7 + 3 5, n=6;55+ 3 55 −1, n=10.463.an=6n-306:а) an>-12 при 6n-306>-12, n>49, n=50;б) an>0 при 6n-306>0, n>51, n=52;в) an≥0 при 6n-306≥300, n≥101, n=101;г) an>-6 при 6n-306>-6, n>50, n=51.464.а1=42, d=-0,5, an=a1+(n-1)d=42+(n-1)(-0,5)=-0,5n+42,5:210а) an>0 при -0,5n+42,5>0, n<85, n=1, 2, ...

, 84;б) an<0 при -0,5n+42,5<0, n>85, n=86, 87, ...;в) an∈(-∞, 3] при -0,5n+42,5≤3, n≥79, n=79, 80, 81…;г) an∈[-4,5, 5,5] при -4,5≤-0,5n+42,5≤5,5; -47≤-0,5n≤-37; 74≤n≤94,n=74, 75, ... , 93, 94.465. a9 a1 + 8d a1 + 8da = 5 a +d =5  a +d =5 2, 1, 1,a5aa + 12d − 55−1313= 2+=2  1=2 a6 a1 + da6  a1 + da1 + 8d = 5a1 + 5da1 + 12d − 5 = 2a1 + 10dd =44a1 = 3d, .a1 − 2d + 5 = 0 a1 = 3,466.a1 + a2 + a3 + a4 = 16 4a1 + 6d = 16, ,− 2d = 4a1 − a3 = 4d = −2.a1 = 7а1=7, а2=5, а3=3, а4=1.Искомое число: 1357.467.а7=-100, а9=-78.

Тогда d =a9 − a7 −78 + 100==1122и а15=а7+8D=-100+8⋅11=-12.Далее а1=а7-6⋅d=-100=6⋅11=-166, а20=а15+5d=-12+5⋅11=43.Так что S20=a1 + a20−166 + 43⋅20=⋅20=-1230.22468.ak - число штрафных очков за k-й промаха1=1, а2=1,5, а3=2, ...Известно, что Sn=7, тогда2 ⋅ a1 + ( n − 1 )⋅n=7,2n⋅(2+0,5(n-1))=14,0,5n2+1,5n-14=0, n2+3n-28=0, n=4 (так как n>0).Так что стрелок совершил 4 промаха, а значит попал в цель 21 раз.469.ak - число капель, принятых в k-1 день:а1=5, а2=10, ...

, аn=40, an+1=40, an+2=40, an+3=40, an+4=35, an+5=30, ... ,am=5.211n=an − a1+1=8.5Тогда а1=5, а2=10, ... , а8=40, а9=40, а10=40, а11=40,а12=35, а13=30, ... , аm=5.m=11+am − a11, m=18.−5Тогда общее число капельS=а1+а2+ ... +а8+3⋅40+а12+ ... +а18==2(а1+ ... +а7)+4⋅40=(а1+а7)⋅7+4⋅40=40⋅7+4⋅40=440.Так что больной надо купить 2 пузырька с каплями.470.ak - количество сантиметров, пройденное за k-ю минуту.а1=30, а2=35, а3=40, ...Sn=525, тогда2a1 + ( n − 1 )d⋅n=525,2(60+5(n-1))⋅n=1050, 5n2+55n-1050=0, n2+11n-210=0, n=10 (так какn>0).Так что за 10 минут улитка достигнет вершины дерева.471.ak - количество метров, пройденных за k-й день.а1=1400, а2=1300, а3=1200, ...Sn=5000, тогда2a1 + ( n − 1 )d⋅n=5000,2n(2800+(n-1)(-100))=10000, 100n2-2900n+10000=0,n2-29n+100=0, n=4 (так как 4<25).Так что за 4 дня альпинисты покорили высоту.472.Пусть ak - количество у.е., заплаченных за k-е кольцо, тогда:а1=26, а2=24, а3=22, ...Общая сумма S=Sn+40=n2.По условию2a1 + ( n − 1 )d⋅n+40=n(26-(n-1))+40=40+24n2S4 40 + 27n − n24=22 ,=22 , 9n2-243n-360=-202n,n9n99n2-243n-360=-202n, 9n2-41n-360=0, n=9 (так как n>0).

Так что былоустановлено 9 колец.473.Если х-4,212x − 3 , х-6 образуют арифметическую прогрессию, тоx−4+ x−6= x − 3 , х-5= x − 3 , х2-10х+25=х-3, х2-11х+28=0,2х=4 и х=7, но х-5>0, так что х=7.474.1 1 1, , образуют прогрессию, тоa b c1 1+1 a+c 1а) a c = ,= , ab+bc=2ac, ab+bc+ac;b 2ac b2b bб) ab+bc=2ac|:ac, + =2. Что и требовалось доказать.c aЕсли475.Если111,,- образуют арифметическую прогрессию,a +b a +c c+b11+abcb = 1 , c+b+a+b = 1 ,++то2a + c 2(a + b)(c + b) a + c(2b+a+c)(a+c)=2(a+b)(b+c), 2ab+a2+ac+2bc+ac+c2=2ab+2ac+2b2+2bc,то естьa 2 + c2=b2, так что а2, b2, с2 - также образуют прогрессию,2что и требовалось доказать.§ 19.

Геометрическая прогрессия476а) b1=-1, b2=-3, b3=-9, b4=-27, b5=-81, b6=-243;б) b1=-2, b2=1, b3=-1111, b4= , b5=- , b6= ;24816в) b1=-1, b2=3, b3=-9, b4=27, b5=-81, b6=243;г) b1=20, b2=20 5 , b3=100, b4=100 5 , b5=500, b6=500 5 .477.b1=3, b2=32=9, b3=33=27, ...Это геометрическая прогрессия со знаменателем q=3.478.b1=111, b2=, b3=, ...101001000Это геометрическая прогрессия со знаменателем q=1.10213479.а), в) и г).480.а), в) и г).481.а) и г) - возрастающие, в) - убывающая.482.а) - возрастающая, б) - убывающая..483.а) q=12317; в) q= ; г) q= .432; б) q=484.а) q=b3:b2=(-32):8=-4; b1=b2;q=-2;111):1=- ; b1=b4;q3=1:(- )3=-8;2223 3 1в) q=b3:b2= : = ; b1=b2;q=3;4 2 211г) q=b6:b5=3:6= ; b1=b5;q4=6:( )4=96.22б) q=b5:b4=(-485.а) b4=b1⋅q3=-2⋅(-3 3 27) = ; б) b5=b1⋅q4= 6 ⋅( 2 )4=4 6 ;241в) b4=b1⋅q3=3⋅(-−3 3 811) =- ; г) b6=b1⋅q5=5 5 ⋅( 5 2 )5=5-1= .4645486.а) bn=5n-1, bn=b1⋅qn-1, b1=1, q=5;356565б) bn= ⋅2n, bn= ⋅2n-1, b1= , q=2;3 1 n-131⋅( ) , b1=, q= ;242455 151г) bn= n +1 , bn= ( )n-1, b1= , q= .4 2422в) bn=487.b1=18, b3=2, тогда b22 =b1⋅b3=36 и так как b2>0 (по условию), то b2=6.То есть 18, 6, 2.214488.а) bn=5⋅2n-1, 640=5⋅2n-1, 2n-1=128, n=7, так что А=640 - членпрогрессии;б) bn=-77( 3 )n, -37,8=- ( 3 )n, ( 3 )n=27, n=6, так что А=-37,8 55член прогрессии;nnnв) bn=-2⋅ 5 2 , -1250=-2⋅ 5 2 , 5 2 =625, n=8, так что А=b8 - членпрогрессии;г) bn=3,5(12)n+3, -0,218=3,5⋅(12)n+3, (- 2 )-n-3=0,436, n - не7является натуральным числом, так что А - не член прогрессии.489.а) bn=4⋅3n-1, bn>324 при 4⋅3n-1>324, 3n-1>81, n>5, n=6;б) bn=3,5⋅( 2 )n-2, bn>14 при 3,5⋅( 2 )n-2>14, ( 2 )n-2>4, n>6, n=7;в) bn=2⋅5n-1, b4>253 при 2⋅5n-1>253, 5n-1>г) bn=253, n=5;222( 3 )n+3, bn>84 при ( 3 )n+3>210, n=7.55490.а) bn=3⋅2n-1; б) bn=-2,5⋅(12)n-1; в) bn=2,5⋅(-0,2)n-1; г) bn=3 3 ⋅(1 n-1) .3491.1 n-1111) ; б) bn=- ⋅(- )n-1=(- )n;24441в) bn=4⋅( )n-1; г) bn= 2 ⋅( 2 )n-1=( 2 )n.4а) bn=8⋅(492.а) b5=b1⋅q4;б) b41=b1⋅q40;в) bk=b1⋅qk-1;г) b2n=b1⋅q2n-1.493.а) b4=b1⋅q3=128⋅(151 3) =-16;2в) b8=b1⋅q7= ⋅( 5 )7=25 5 ;110;3311г) b6=b1⋅q5=625⋅(- )5=- .55б) b5=b1⋅q4=270⋅( )4=215494.bn=b1⋅qn-1:111⋅(- )5=;2348611405в) b5=b1⋅q4=8⋅ 4= ; г) b5=b1⋅q4=2,5⋅(1,5)4=.2232а) b10=b1⋅q9=1⋅39=39; б) b6=b1⋅q5=495.11 111= ⋅( )n-1,= ( )n, n=6;729 3 372931 n-1 1 n-1 1б) 2=256⋅( ) , ( ) =, n=8;22128111в) 4⋅10-3=2,5⋅( )n-1,=( )n-1, n=5;562551г) -2401=⋅(-7)n-1, (-7)n-1=-823543, n=8.343а)496.а) bn=3n-1, 3n-1<729 при n≤7, n=1, 2, ...

, 6, 7;1 n-111) , 3( )n-1<0,003 при ( )n-1<0,001, n>10, n=11, 12, 13…;2221 n-11 n-110,1в) bn=243⋅( ) , 243( ) <0,1 при ( )n-1<, n>8, n=9, 10, 11... ;3332431 n-11 n-11 n-1 1б) bn=3⋅(г) bn=16⋅(2) , 16(2) <1 при (2) <24, n>9, n= 10, 11... .497.а) q2=b7 192==4, q>0, так что q=2 и b1=b5:q4=48:16=3;48b581 2733= , q= и b1=b2:q=24: =16;24 82213 13 1132 13 1в) q =b6:b3=- : =- , q=- , b1=b3:q = : =13;32 4824 4б) q3=b5:b2=г) q2=b5:b3=48:12=4, q<0, так что q=-2 и b1=b3:q2=12:4=3.498.18b1=1, b4= , тогда q= 3 b4 :b1 =1111 1 1и b2= , b3= .

То есть 1, , , .2242 4 8499.Рk - периметр k-го вписанного треугольника216Р1=3⋅32=96, Р2=3⋅32=48, Р3=24, ...2Так что Р1, Р2, Р3 ... - геометрическая прогрессия.Рn=96⋅(1 n-1) .2500.Sn=b1 ( q n − 1):q −13(44 − 1)1(24 − 1)=15; б) S4==255;2 −14 −1111(( ) 4 − 1)4 ⋅ ((− )4 − 1) 4 ⋅ 2 ⋅ 15 53 80 4032в) S4== ⋅ = ; г) S4=== .112 81 273 ⋅ 162− −1−123а) S4=501.118 ⋅ (( )6 − 1) 18 ⋅ 3 ⋅ 728 7283а) S6===;12 ⋅ 72927−13215 ⋅ (( )6 − 1) 15 ⋅ 3 ⋅ 665 33253б) S6===;272981−131− 12 ⋅ ((− ) 6 − 1)12 ⋅ 2 ⋅ 63 632в) S6===- ;13 ⋅ 648− −12г) S6=− 9 ⋅ (( 3 )6 − 1)3 −1=-2343 −1.502.5(26 − 1)− 1((−1,5)8 − 1) 1261=315; б) S8==;− 1,5 − 12 −112811− 4(( )13 − 1)4,5(( )8 − 1) 1640819123в) S13==; г) S8==.111024243−1−132а) S6=217503.а) b1=3, q=2, S5=3(2 5 − 1)=93;2 −1− 1((−2) 5 − 1)=-11;− 2 −11− 3(( ) 5 − 1)1932в) b1=-3, q= , S5==- ;1216−12б) b1=-1, q=-2, S5=г) b1= 2 , q=3, S5=2 (35 − 1)=121 2 .3 −1504.а) q=b5:b4=320:160=2, b1=b4:q3=160:8=20, S5=20( 25 − 1 )=620;2 −1б) q= b9 : b7 = 16:8 = 2 , b1=b7:q6=8:23=1,S5=1(( 2 ) 5 − 1)2 −1=(4 2 -1)(2 +1)=7+3 2 ; опечатка в ответезадачника.в) q= b5:b3 =1 2112: 1 = , b1=b3:q =1:( ) =9,93319 ⋅ (( )5 − 1) 9 ⋅ 3 ⋅ 242 1213S5===;12 ⋅ 2439−13г) q= 3 b7 :b4 = 3S5=1(( 3 )5 − 1)3 −19 3= 3 3 = 3 , b1=b4:q3=3 3 :3 3 =1,3=(9 3 − 1)( 3 + 1)=13+4 3 .2505.218b115q16-3 239 + 3 23713n3bnSn21321318252313131263494(3+ 3 )21732689961513658122b1qSn1351n4bn151693925131047642252 64638817( 6 + 1 )3506.а) b4= b3 ⋅ b5 = 36 ⋅ 49 =42; б) b4=- b3 ⋅ b5 =- 36 ⋅ 49 =-42;в) b8= b7 ⋅ b9 = 16 ⋅ 25 =20; г) b8=- b7 ⋅ b9 =- 16 ⋅ 25 =-20.507.а) b3= b4 ⋅ b2 = 16 ⋅ 4 =8; q=b3:b2=8:4=2;б) b6=- b5 ⋅ b7 =- 3 ⋅ 12 =-6; q=b6:b5=-6:12=-1;2в) b26=- b25 ⋅ b27 =- 7 ⋅ 21 =-7 3 ; q=b26:b25=- 3 ;г) b7= b6 ⋅ b8 = 15 ⋅ 5 =5 3 ; q=b8:b7=5: 5 3 =3.

Характеристики

Список файлов книги