makarytchev-gdz-9-2000 1-670 (542433), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

x > y Примем за начальныймомент времени − совпадения точек. тогда через 1 минуту, точка с большейскоростью пройдет на 1 круг больше, т.е. получили систему 60 60=5 −12 x − 12 y = xy 12 y + 12 − 12 y = y ( y + 1)xx = y + 1 y60 x = 60 y + 60  x = y + 1 y 2 + y − 12 = 0  y = 3, y = −4x = 3 + 1 = 4x = y + 1y = −4 – не подходит.Ответ: 3м/с и 4 м/с.187.Пусть на реке он плыл х часов, а пешком шел у часов, тогда получим:x − y = 4x = y + 49yy+4 9010=( ) — = ( ) x  9 y = xy+4y x xyy9у2=у2+8у+16; у2−у−2=0.По т. Виета у1=2, у2=−1.По смыслу задачи у>0, поэтому у=2⇒х=6.Ответ: 6 часов по реке и 2 − пешком.188.Пусть у км/ч − скорость катера, х км/ч − скорость течения, тогдаполучим:96 96 x + y + y − x = 14 48( y − x) + 48( x + y ) = 7( y − x)( y + x)4( x + y ) = 4 ( y − x) ( x + y ) = 3 ( y − x)32848( y − x) + 64( y − x) =( y − x) 23( x + y ) = 4 ( y − x)3 y − x = 12 y + x = 4 ( y − x)3 y − x = 12  y = 14 y + x = 16  x = 2Теперь нетрудно вычислить расстояние до места встречи по формуле:96− столько времени был катер в пути до поворота.x+ y96⋅х − столько за это время проплыл катер.x+ y12796−96 ⋅ x− такое расстояние между ними.x+ y96 −96 xx+ yy96+(x+ y− они проплывут его за столько времени.96 −96 xx+ yy)х − то, что надо найти.96⋅296 − 962+14+14 2 + 14Ответ: 24 км. ⋅ 2 = 24 (км)189.пусть 1-му для уборки требуется х часов, а второму − у часов.

Тогдаx − y = 42 4 4x = y + 4 + + = 1 6 y + 4 x = xy x x y6у+4у+16=у2+4у; у2−6у−16=0.По т. Виета у1=8, у2=−2. По смыслу задачи у>0, поэтому у=8⇒х=12.Ответ: 12 часов и 8 часов.190.Пусть бригаде учеников требуется х часов, тогда бригаде слесарей −у часов. Примем весь объем работ за 1, получим: x − y = 15 y = x − 1518 ⋅ 1 + 6 ⋅ 1 = 0,6 18 y + 6 x = 0,6 xyxy18х−270+6х=0,6х2−9х; х2−55х+450=0;D = 552 − 4 ⋅ 450 = 35255 + 3555 − 35x1 == 45 ; x2 == 10 ;22y1 = 45 − 15 = 30 (ч);y2 = 10 − 15 < 0 – не подходит по смыслу задачи.Ответ: 45 часов.191.Пусть 1-му требуется х дней, а 2-му − у. Приняв весь объем работ за 1,получим систему уравнений:128x − y = 3 1x = 3 + yx − y = 37 ⋅ + (7 − 3 ) 1 = 1 14 y + 14 x − 3 x = 2 xy 14 y + 11x = 2 xy x2 y14у+33+11у=5у+2у2; 2у2−19у−33=0; D=361+466=625=25219 + 25у1==11, у2<0, х1=14.4Ответ: 14 дней − первому, 11 дней − второму.192.Пусть для выполнения работы 1-й бригаде требуется х дней, а 2-й − удней, тогда, приняв всю работу за 1, получим:18 18 x + y =1221 3 ⋅ + (40 − 3 ) ⋅ 1 = 111 xy xx1− часть работы, которую 1-я бригада выполняет за 1 день.x18 y + 18 x = xy18 y + 18 x = xy22x1 + (40 − ) = 1  2 + 40 − 2 x = 1 3 3 y 3 y3 y18 y + 18 x = xy18 y + 18 x = xy2 y + 120 − 2 x = 3 y  y = 120 − 2 x2160−36х+18х=120х−2х2; 2х2−138х+2160=0; х2−69х+1080=0;69 − 2169 + 21D=4761−4320=441=212; х1==24, х2==45.22у1=72, у2=30.Ответ: 24 − первой и 72 − второй или 45 − первой и 30 − второй.Опечатка в ответе задачника.193.Пусть бассейн наполняется за х часов, а опустошается за у часов, тогдаx − y = 2x − y = 21 xyx − y = 2 x = 2 + y=8 1 1= 8  xy = 48  xy = 48 3( − ) 3( x − y ) y xу2+2у−48=0; D1=1+48=49=72; у1=−1+7=6, у2<0⇒х=8.Ответ: за 8 − наполняет, за 6 − опустошает.194.Пусть u и v − скорости точек, тогда имеем систему:129(60 − 3u ) 2 + (80 − 3v) 2 = 4900(60 − 5u ) 2 + (80 − 5v) 2 = 25003600 + 9u 2 + 9v 2 − 360u − 480v + 6400 − 4900 = 025u 2 + 25v 2 − 600u − 800v + 7500 = 09(u 2 + v 2 − 40u − 40v) − 120v + 5100 = 0 2u + v 2 − 40u − 40v = −16u − 8v − 300−144u − 72v − 2700 − 120v + 5100 = 0 22u + v − 40u − 40v = −16u − 8v − 300−144u − 192v + 2400 = 0 22u + v − 40u − 40v = −16u − 8v − 3003u + 4v = 50 22u + v − 40u − 40v = −16u − 8v − 30050 − 4vu =3u 2 + v 2 − 24u − 32v + 300 = 02500+16v2−400v+9v2−3600+288v−288v+2700=0; 25v2−400v+1600=0;v2−16v+64=0; (v−8)2=0⇒v=8⇒u=6.Ответ: 6 и 8 м/с.195.Пусть вкладчик первоначально положил х рублей под у% .

Тогдаполучим x100 ⋅ y = 200 ( x + xy + 1800)( y + 100)100= 4400100 xy = 2000020000 + 200 y + 1800 y + 100 x + 20000 + 180000 = 440000 x = 2200 − 20 y xy = 2000020 y + x = 2200  xy = 20000D=2025=4524у1=55−45=10, у2=55+45=100. х1=2000, х2=200.Ответ: 2000 р. под 10%/год или 200 р. под 100%/год.Опечатка в ответе задачника.−20у2+2200у−20000=0; у2−110у+1000=0;130196.Пусть взяли х г. 40% раствора и у г. 10%-го, тогда x + y = 800 x ⋅ 40 + y ⋅ 10 = 800 ⋅ 21,25100100100 x = 3003 x = 920 x + y = 8004 x + y = 1700  y = 800 − x  y = 500Ответ: 300г − 40%-го раствора и 400 − 10%.197.Пусть было х л 40%-го и у л 60%-го раствора, тогда:yx+ y+5 x⋅ 40 +⋅ 60 =⋅ 20100100100 xyx+ y+55⋅ 40 +⋅ 60 +⋅ 80 =⋅ 701001001001002 x + 3 y = x + y + 5x = 5 − 2 yx = 5 − 2 yx = 14 x + 6 y + 40 = 7 x + 7 y + 35 3 x + y − 5 = 0 15 − 6 y + y − 5 = 0  y = 2Ответ: 1 литр 40%-го и 2 л 60%-го раствора.198.Пусть m кг − масса 3-го слитка, и ω − %-е содержание в нем меди, тогдаm5+m 5100 ⋅ 30 + 100 ⋅ ω = 100 ⋅ 56 150 + ωm = 280 + 56m 390 + ωm = 180 + 60mm3+ m⋅ 30 +⋅ω =⋅ 60 100100100ωm = 130 + 56mm = 10(ђ‹)90 + 130 + 56m = 180 + 60m ω = 69(%)Процентное содержание меди в сплаве всех трех слитков вычислим по5310⋅ 30 +⋅ 30 +⋅ 692100100= 51 % .формуле: 100% 1005 + 3 + 103131Глава 3.

Числовые функции§ 9. Определение числовой функции. Область определения,область значений функции199.а) (−∞; +∞); б) [0; +∞); в) (−∞; +∞); г) (−∞; 0)∪(0; +∞).200.а) (−∞; +∞); б) (−∞; +∞); в) (−∞; +∞); г) (−∞; +∞).201.а) Знаменатель не нулевой при любых х (−∞; +∞);б) Знаменатель не равен 0 ни при каких х. (−∞; +∞);в) Из тех же соображений (−∞; +∞); г) (−∞; +∞).202.а) х≠7, т. е.

(-∞; 7)∪(7; +∞); б) 4х+1≠0⇔х≠−111; (−∞; − )∪( ; +∞);444в) х+3≠0⇔х≠−3; (−∞; −3)∪(−3; +∞);888г) 8+5х≠0⇔5х≠−8⇔х≠− ; (−∞; − )∪(− ; +∞).555203.а) х−2≠0, т. е. х≠2. (−∞; 2)∪(2;+∞);111б) 2х+1≠0, т. е. х≠− . (−∞; − )∪(− ; +∞);222в) 3−х≠0, т. е. х≠3. (−∞; 3)∪(3;+∞);222г) 2+3х≠0, т.

е. х≠− . (−∞;− )∪(− ; +∞).333204.а) х(х+1)≠0, т. е. х≠0, х≠−1. (−∞;−1)∪(−1; 0)∪(0; +∞);б) х2(х−5)≠0, т. е. х≠0, х≠5. (−∞;0)∪(0; 5)∪(5;+∞);в) х(7−х)≠0, т. е. х≠0, х≠7. (−∞; 0)∪(0; 7)∪(7; +∞);г) х2(6+х)≠0 ⇔х≠0, х≠−6. (−∞; −6)∪(−6; 0)∪(0; +∞).205.а) (х−1)(х+2)≠0, т. е. х≠1, х≠−2. (−∞; −2)∪(−2; 1)∪(1; +∞);777б) (х+50)(2х+7)≠0, т. е.

х≠−50, х≠− . (−∞; −50)∪(−50; − )∪( − ; +∞).222111в) (х+12)(6х−3)≠0, т. е. х≠−12, х≠ . (−∞; −12)∪(−12; )∪( ; +∞);222444г) (5х−4)(х−13)≠0, т. е. х≠ , х≠13. (−∞; )∪( ; 13)∪(13; +∞).555132206.а) х2−5х+4≠0по теореме Виета: х1=4, х2=1. х≠4, х≠1. (−∞; 1)∪(1; 4) ∪ (4; +∞);б) х2+2х−3≠0по теореме Виета: х1=1, х2=−3. х≠1, х≠−3, (−∞; −3)∪(−3; 1)∪(1; +∞);9+5 79−5в) 2х2−9х+7≠0, D=81−56=25 х1= ; х2==14247х≠1, х≠277(−∞; 1) ∪ (1; )∪( ; +∞);22г) 3х2−х−10≠0, D=1+120=12151 + 111 − 11х1==2; х2==−663555х≠2; х≠(−∞; − )∪(− ; 2) ∪ (2; +∞).333207.Функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно.а) х−3≥, х≥3; б) х+11≥0, х≥−11; в)x+4≥0, x≥-4; г) 2−х≥0, х≤2208.а) х2+13>0 всегда;в) х2+24>0 всегда;а)−г) (−∞; +∞).б) х2+1>0 всегда;г) 22+х2>0 всегда.209.а) х2−9≥0, х2≥9, |х|≥3, х≥3, -3≥x.

(−∞; −3]∪[3; +∞);б) 7−х2≥0, х2≤7, |х|≤ 7 , − 7 ≤х≤ 7 ;в) х2−144≥0, х2≥144, |х|≥12, х≥12, х≤−12;г) 20−х2≥0, х2≤20, |х|≤ 20 , − 20 ≤х≤ 20 .210.а) 2х−х2≤0, х2−2х≤0, х(х−2)≤0, 0≤х≤21б) х2−3≥0, х2−9≥0, х≥3, х≤−3 (см. 209а)3в) х2−5х≥0, х(х−5)≥0, х≥5, х≤01г) х2−5≥0, х2≥25, х≥5, х≤−55211.а) х2−6х+5≥0по теореме Виета:+–0+2–0+х+х+х5–1+5133х1=5, х2=1, (х−5)(х−1)≥0, х≥5, х≤1;б) −х2+3х+4≥0х2−3х−4≤0по теореме Виета:х1=4, х2=−1, (х−4)(х+1)≤0, −1≤х≤4;в) х2−5х+6≥0по теореме Виета:х1=3, х2=2, (х−2)(х−3)≥0, х≥3, х≤2;г) −2+х+х2≥0х2+х−2≥0по теореме Виета:х1=1, х2=−2, (х−1)(х−2)≥0, х≥1, х≤−2.212.а)x-2>0, x>2;б) х2−6х+8>0по теореме Виета:х1=4, х2=2, (х−2)(х−4)>0х>4, x<2;в) х+3>0, x>−3;г) х2−8х+15>0по теореме Виета:х1=5, х2=3, (х−3)(х−5)>0, х>5, х<3.+––1х+х+х4+–23+––2++1х+–24+х+–35213.а) у=2− x2 − x ≥ 0  x ≤ 2; −2<x≤2;x + 2  x + 2 > 0  x > −24x + 64 x + 6 ≥ 0б) у=; 3 x + 4 3 x + 4 > 0в) y =г) у=3 x ≥ − 24х>− ;43x > −3x + 1  x + 1 ≥ 0  x ≥ −1х≥−1;x + 3  x + 3 > 0  x > −355 − 3 x 5 − 3 x ≥ 053 x ≤ 5  x ≤4 x + 8 > 0 ⇔ 4 x > −8 3 −2<х≤ .34x + 8  x > −2214.а) у=2− x3x + 2+−134+–232хx−22− x2≤0; − <x≤2≥0;233x + 2x+33x + 6б) у=2x + 1x+23x + 61≥0; х>− , х≤−2≥0;122x + 1x++–22+12x + 12x + 12 ≥0;≥0;x+3x+3x+3x+в) у=х≥−–−1, х<−3;2+53( x − )5 − 3x 5 − 3x3 ≤0;г) у=;≥0;2x + 8 2x + 82( x + 4)5x−3 ≤0; −4<x≤ 5 .x+43−+х+х12––4х12––3+53215.а) у=х2; б) у=1x; в) у=1−x; г) у=1x + 10.216.а) у=13 − x x −1;в) у= x(3 − x) ;217.а) у=х;б) у= ( x + 1)(6 − x) ;г) у= (−5 − x)( x + 2) .б) у=х2.218.а)135219. 2− , если ≤ -1f (х)=  xx − 1, если − 1 < x ≤ 3а) D (f)=(−∞; 3];б) f(−2)=1, f(−1)=2, f(8)=−1, f(3)=2, f(7) − не существует.в)г) Е(f)=(−2; 2].220. 1− , если x < 0f(x)=  х− 3x 2 + 6 x − 4, если ≤ x ≤ 21а) D(f)=(−∞; 2]; б) f(−3)= ; f(−1)=1; f(0)=−4; f(2)=−3⋅4+12−4=−4;3f(5) − не существует.в)г) Е(f)=[−4; −1]∪(0; +∞).221. 2а) f(x)=  x , если − 2 ≤ x ≤ 1 .

Найдем f(1). С одной стороны f(1)=1, с x + 1, если 0 < x < 3другой − 2. Задание некорректно. x , если 0 ≤ x ≤ 4б) f(x)=  2 x , если x ≥ 4Подозрения вызывает только точка х=4. С одной стороны f(4)=2, сдругой − 16. Задание некорректно.136222.1; (х+1)(х2−7х−8)≠0;( x + 1)( x 2 − 7 x − 8)по теореме Виета: х1=8, х2=−1, (х+1)2(х−8)≠0, х≠−1, х≠8;x +1; (х2−9)(х2+х−2)≠0;б) у= 2( x − 9)( x 2 + x − 2)по теореме Виета: х1=1, х2=−2, (х−3)(х+3)(х−1)(х+2)≠0.(−∞; −3)∪(−3; −2)∪(−2; 1)∪(1; 3)∪(3; +∞);x; (х2−1)(х2−2х−15)≠0;в) у= 2( x − 1)( x 2 − 2 x − 15)а) у=по теореме Виета: х1=5, х2=−3, (х−1)(х+1)(х+3)(х−5)≠0,(−∞; −3)∪(−3; −1)∪(−1; 1)∪(1; 5)∪(5; +∞);3; (х+5)(х2-5х-6)≠0;г) у=2( x + 5)( x − 5 x − 6)по теореме Виета: х1=6, х2=−1, (х+5)(х−6)(х+1)≠0, х≠−5, х≠−1, х≠6.223.а) у=б) у=3 x − 2 ≥ 0 2x − x + 2 x − x + 2 ≠ 03x − 2222x ≥D=1−8=−7<0; х≥ ;33(−∞;+∞)x 2 − 3x − 4  x 2 − 3x − 4 ≥ 016 − x 2 ≠ 016 − x 2+по теореме Виета:, х1=4, х2=−1–1( x − 4)( x + 1) ≥ 0  x ≤ −1, x ≥ 4 x ≠ ±4 x ≠ ±4х<−4, −4<x≤−1, x>4;x ≥ −2x + 2  x + 2 ≥ 0 3 3в) у=; 3 −2≤х< ; <х;3−2x≠0x≠2 23 − 2x2г) у=4 − x 2 4 − x 2 ≥ 01 − 2 x 1 − 2 x ≠ 0| x |≤ 2x ≠ 12+–х4−2 ≤ x ≤ 21 1−2≤х≤ , <x<2.x ≠ 12 22224.3 − 2x2; 5х+2>0; х>− ;55x + 24 − 3xв) у=; х+3>0; х>−3;x+3а) у=4x + 51; 2−4х>0; х< ;22 − 4xx +1г) у=; 4−х>0; х<4.4− xб) у=137225.а) у=3 x − 4 ≥ 0;  2x2 − 1 x − 1 > 03x − 44x ≥3x2 > 144x ≥х≥ ;33 x > 1, x < −11–1х–3–2б) у=243x2 − 4x+3 x − 4 ≥ 0  x2 ≥ 4 x + 3 > 0  x > −32| x |≥ 2  x ≥ 2, x ≤ −2−3<x≤−2, x≥2; x > −3  x > −3в) у=х–4–32x + 616 − x 22 x + 6 ≥ 0  x ≥ −3216 − x > 0 | x |< 44 x ≥ −3− 4 < x < 4 −3≤х<4;г) у=х–52x − 3 22 x 2 − 50 ≥ 0  x ≥ 2532 x − 3 > 0x > 25322 x 2 − 50 x ≥ 5, x ≤ −5х≥5.x > 32226.++––1ха) у=2x 2 − 36x2 − x − 2х138–6–126 x 2 − 36 ≥ 0 2 x − x − 2 > 0| x |≥ 6( x − 2)( x + 1) > 0 x ≥ 6, x ≤ −6 x > 2, x < −1 х≥6, х≤−6;+х+–б) у=51по теореме Виета:х1=5, х2=+1( x − 1)( x − 5) ≥ 0  x ≤ 1, x ≥ 5| x |< 5− 5 < x < 5x2 − 6x + 525 − x 2 x 2 − 6 x + 5 ≥ 0; 25 − x 2 > 0х–515−5<x≤1;в) у=x2 − 4+6 − x − x2 x 2 − 4 ≥ 0 x 2 ≥ 426 − x − x > 0  x 2 + x − 6 < 0по теореме Виета:х1=2, х2=−3| x |≥ 2 x ≥ 2, x ≤ −2( x − 2)( x + 3) < 0 − 3 < x < 2−3<x≤−2;г) у=x2 + 7 x − 89 − x2по теореме Виета:х1=1, х2=−8( x − 1)( x + 8) ≥ 0| x |< 32–3х–3 x 2 + 7 x − 8 ≥ 0; 9 − x 2 > 0 x ≥ 1, x ≤ −8− 3 < x < 31≤х<3.х+––2+2х+–1–8х–8–313227.7x + 1;x2 − x − 2по теореме Виета:а) f(x)=7 x + 1 ≥ 0 2x − x − 2 ≠ 0x1 = 2, x2 = −113911x ≥ −− ≤х<2, x>2;7 x ≠ 2, x ≠ −1 73x + 7 3x + 7;≥0x+2x+2б) f(x)=+73 ≥0; x≤− 7 , x>−2.3x+2Опечатка в ответе задачника.x+в) f(x)=+–−–273x − 2 ≥ 0;  2x − 5x + 4 x − 5x + 4 ≠ 0x−22x ≥ 2по теореме Виета: х1=4, х2=1; ; 2≤х≤4, х>4; x ≠ 1, x ≠ 4x−2x−2;≥05 − 2x5 − 2xx−25≤0; 2≤х< .52x−2г) f(x)=++–х522228.а) f(x)=б) f(x)=12 x + 1 ≥ 0  x ≥ −; 2 ; х>3;x − 3 x − 3 > 0 x > 32x + 13x + 1 3x + 1;≥07x − 4 7x − 4+1x+3 ≥0; х> 4 , x≤− 1 ;473x−7в) f(x)=2x + 1 2x + 1;≥0x−3x−312 ≥0; х>3, х≤− 1 ;2x−3x+г)140f(x)=3x + 17x − 4;3 x + 1 ≥ 07 x − 4 > 0–−–−12х+х4713++3х1x≥−3 х> 4 .47x >7229.а) у= x − 1 ⋅ 9 − x ⋅ ( x − 5)( x − 7) ;б) у=в) у=г) у=x − 2 ⋅ 10 − x ⋅ ( x − 3)( x − 6);x−31;x + 2 ⋅ 2 − x ⋅ x2 − 1x − 4 ⋅ ( x + 2)( x − 1)x + 5 ⋅ ( x + 2).230. x, если x ≤ 0у=f(x)=  x 2 , если 0 < x < 24, если 2 ≤ x ≤ 4а) D(f)=(−∞; 4];б) f(−2)=−2; f(0)=0, f(2)=4, f(4)=4, f(8) − не существует;в)г) Е(f)=(−∞; 4].231.2 x 2 − 4 x + 1, если x ≤ 2у=f(x)= − 3( x − 2) 2 + 1, если 2 < x ≤ 3а) D(f)=(−∞; 3];б) f(0)=1, f(2)=1, f(3)=−2, f(4), f(5) − не существует;в)141г) Е(f)=[−2; +∞).232. x + 1, если − 3 ≤ x ≤ 0у=f(x)=  x 2 − 4 x + 1, если 0 < x ≤ 22 , если x > 2xа) D(f)=[−3; +∞);б) f(−5) − не существует; f(−2)=−1, f(0)=1, f(2)=−3, f(4)=в)г) Е(f)=[−3; 1].233.1421;2234.§ 10.

Характеристики

Список файлов книги