makarytchev-gdz-9-2000 1-670 (542433), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

D(f)=(−∞; −6)∪(2; +∞). x2 = −62. у=f(x); f(x)=2− x⋅x−7x−4;x −53. Е(f)={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.4. f(x)=y=3х3+4х+5, х∈[0; +∞).Возьмем произвольные х1 и х2 из [0; +∞), такие, что х1<х2. Тогдах13<х23⇔3х13<3х23⇔3х13+4х1<3х23+4х2⇔3х13+4х1+5<3х2+4х2+5.f(x1)<f(x2). Функция возрастает.5. h(x)=−2x−1.6. х−2=4х+3.189Один корень.7. f(x)=y=(x+2)4−2 на [−1; 4]унаим=f(−1)=−1; унаиб=f(4)=64−2=1294.8.а) х=1;б) 0<x≤1;в) х>1.9. f(x)=х−2, g(х)=х4f (4 x)2f (x )=( 4 x) −22 −2(x )=x −216 x−4=x2 1=16 4x4 1=16 4(x2 4 1) =42| x |, если x < 22(− x − 3) , если x ≥ 210.

f(x)= При р>3 − одно решение.При р=3 и р=0 − 2 решения.При 0<p<3 − 3 решения.При р<0 − одно решение.ВАРИАНТ 2.1. f(x)=y=62− x + 5 x − 24; −х2+5х−24>0; х2−5х+24<0;D=25−24⋅4=25−96=−71<0.Таких х не существует. D(f)=∅.190xy( )22. у=f(x); f(x)=3− x⋅x+4x −1x+23. Е(f)={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}4. f(x)=y=−х4−х2+8, х∈[0; +∞).Возьмем произвольные х1 и х2 из [0: +∞), такие, что х1<х2.

Тогдах14<х24⇔−х14<−х24; х12<x22⇔−х12>−х22Складывая два последних неравенства, получим:−х14−х12>−х24−х22; −х14−х12+8>−х24−х22+8; f(x1)>f(x2). Функцияубывает.5. h(x)=−(х+1)2+16. х−3=2−3х.Корней нет.7. f(x)=y=(1−х)3+3 на отрезке [2; 3]унаим=f(3)=−5; унаиб=f(2)= 2.8.а) х=3, х=−3; б) х>3, x<−3; в) 0<x≤3; −3≤х<0.9. f(x)=х4, g(х)=х−1При х<0,−1−1 −14 f ( x) +2(g(x)) =2 x 2 +2(x ) =2|x|+2x=−2x+2x=0.210. f(x)= ( x + 4) + 2, если x < −3| x |, если x ≥ −3191При р<0 корней нет.При р=0 − один корень.При 0<p<2 − 2 корня.При р=2 и р≥3 − 3 корня.При 2<р<3 − 4 корня.192Глава 4. Прогрессии§ 17.

Определение числовой последовательностии способы ее задания366.а) Нет, не является.в) Нет, не является.б) Нет, не является.г) Да, является.367.а) Нет, не является.в) Нет, не является.б) Нет, не является.г) Да, является.368.Пусть х − число минут, а у − число капель, упавших на землю.Тогда моделью задачи будет функция у=5х, х∈N.Эта математическая модель является числовойпоследовательностью.369.а) Да, уn=n2; y1=1, y2=4, y3=9, y4=16, y5=25.б) Да, уn=n3; y1=1, y2=8, y3=27, y4=64, y5=125.в) Да, уn=7; y1=7, y2=7, y3=7, y4=7, y5=7.г) Нет.370.а) уn=n2.б) Последовательность четных чисел.в) у1=0, уn=уn−1+5.371.Последовательность натуральных чисел, кратных пяти: 5, 10, 15, 20, 25...у6=30, у21=105, уn=5n.372.Последовательность натуральных чисел, кратных семи: 7, 14, 21, 28, 35...у8=56, у10=70, у37=259, уn=7n.373.а1=1, а2=8, а3=27, а4=64, а5=125, аn=n3.374.с1=2, с2=4, с3=8, с4=16, сn=2n.193375.а) За у31 следует у32, за уn − yn+1, за уn+9 − yn+10, за у2n − у2n+1;б) члену у91 предшествует у90, у639 − у638,уn−1 − yn−2,y3n − y3n−1.376.а) а639, а640, а641, а642, а643, а644;в) аn+4, an+5, an+6, an+7, an+8, an+9;б) а1003, а1004, а1005, а1006, а1007;г) аn−1, an, an+1.377.а) an=4n+1; a1=5, a2=9, a3=13, a4=17, a5=21;б) сn=−7n+3; c1=−4, c2=−11, c3=−18, c4=−25, c5=−32;в) bn=5n+2; b1=7, b2=12, b3=17, b4=22, b5=27;г) an=−3n−7; a1=−10, a2=−13, a3=−16, a4=−19, a5=−22.378.111111; а1= , а2= , а3= , а4= , а5= ;n+5791068−2б) dn=; d1 = −1, d 2 = −2, d3 – не существует; d 4 = 2; d5 = 13−n113333в) сn=; с1= , с2= , с3= , с4= , с5= ;2n + 421041483133−3г) аn=; а1=−1, а2=− , а3=− , а4=− , а5=− .4n − 1711195а) аn=379.а) хn=n2+1; х1=2, х2=5, х3=10, х4=17, х5=26;б) уn=−n3−10; y1=−11, y2=−18, y3=−37, у4=−74, у5=−135;в) zn=−n3+5; z1=4, z2=–3, z3=−22, z4=−59, z5=−120;г) wn=n2−15; z1=−14, z2=−11, z3=−6, z4=1, z5=10.380.а) yn=n; б) yn=n−3;в) yn=n+5;г) yn=−n.381.а) yn=2n−1;б) yn=3n;382.а) yn=n2;б) yn=(n+1)2;в) yn=n2+1;г) yn=n3.383.а) х1=1, х2=4, х3=1, х4=4, х5=1, х6=4;б) х1=–5, х2=5, х3=15, х4=25, х5=35, х6=45;194в) yn=2n+2;г) yn=4n.в) х1=1, х2=3, х3=5, х4=7, х5=9, х6=11;г) х1=–3, х2=1, х3=−3, х4=1, х5=−3, х6=1.384.а) х1=1, х2=2, х3=6, х4=24, х5=120, х6=720;б) х1=–3, х2=3, х3=−3, х4=3, х5=−3, х6=3;в) х1=–512, х2=−256, х3=−128, х4=−64, х5=−32, х6=−16;г) х1=1, х2=10, х3=100, х4=1000, х5=10000, х6=100000.385.а) уn=3n+4; yn+1=3(n+1)+4=3n+4+3>3n+4=yn.Последовательность возрастающая.б) уn=5n−3; yn+1=5(n+1)−3=5n−3+5>5n−3=yn.Последовательность возрастающая.в) уn=7n−2; yn+1=7(n+1)−2=7n−2+7>7n−2=yn.Последовательность возрастающая.г) уn=4n−1; yn+1=4(n+1)−1=4n−1+4>4n−1=yn.Последовательность возрастающая.386.а) уn=−2n−3; yn+1=−2(n+1)−3=−2n−3−2<−2n−3=yn.Последовательность убывающая.б) уn=−3n+4; yn+1=−3(n+1)+4=−3n+4−3<−3n+4=yn.Последовательность убывающая.в) уn=4−5n; yn+1=4−5(n+1)=4−5n−5<4−5n=yn.Последовательность убывающая.г) уn=−n+8; yn+1=−(n+1)+8=−n+8−1<−n+8=yn.Последовательность убывающая.387.х1=4, х2=9, х3=25, х4=49, х5=121, х6=169, х7=289.388.а) хn=(−2)n; х1=−2, х2=4, х3=−8, х4=16, х5=−32;б) сn=(−1)n+1−(−1)n; х1=2, х2=−2, х3=2, х4=−2, х5=2;в) bn=2(−3)n−1; b1=2, b2=−6, b3=18, b4=−54, b5=162;г) dn=(−2)n+(−2)n+1; d1=−1, d2=2, d3=−4, d4=8, d5=−16.389.а) уn=(−1)n+(−2)n+1, y2=−7, y4=−31, y6=−127;б) хn=(−2)n+1−(−2)n−1, x2=−8+2=−6, x4=−32+8=−24, x6=−128+32=−96;в) zn=(−2)n−(−2)n+1, z2=4+8=12, z4=16+32=48,z6=164+128=192 − ответ в задачнике неверен;г) wn=(−1)n+1−(−2)n, w2=−1−4=−5, w4=−1−16=−17,195w6=−1−64=−65 − ответ в задачнике неверен.390.а) уn=(−1)n+2n, y1=1, y3=7, y5=31;б) хn=(−2)n+16, x1=14, x3=8, x5=−16;в) уn=(−2)n+4n, y1=2, y3=4 − ответ в задачнике неверен; y5=−12;г) уn=(−1)n−1, y1=−2, y3=−2, y5=−2.391.а) хn=1;2n − 1б) хn=11n; в) хn= 2 ; г) хn=.n +1n( n + 10)n392.а) хn=(−1)nn2n − 1n22nn+1 2n; б) хn=;в)(−1);г)(−1).3n − 15nn(n + 1)( 2 )n393.х1=−3, х2=−2, хn=2 (хn−2+xn−1); х3=−10, х4=−24, х5=−68, х6=−184.394.а) хn+1=xn, x1=2; б) xn=xn−1+2, x1=2;г) xn=−xn−1, x1=5.в) xn=xn−1 - 2, x1=9;395.а) xn =3xn-1, x1=2;б)xn=xn-1+7,x1=1;1212в)xn= xn-1,x1= ;г)xn= -3xn-1,x1=3;396.а) 1; 1,7; 1,73; 1,732;б) 2, 1,8;1, 74; 1,733.397.an − последовательностьа1+а2+а3+а4+а5+а6+а7=0,1+0,11+0,111+0,1111+0,11111+0,111111+0,1111111==0,7654321.398.n +1хn=;3n + 255n +1а);=⇔15n+10=14n+14; n=4;14 14 3n + 214 14n +1б);=⇔42n+28=41n+41; n=13;41 41 3n + 219666n +1;=⇔18n+12=13n+13;13 13 3n + 215n=1, т.

е. n= , чего, очевидно, быть не может, так как n∈N;58n +18г);= ; 23n+23=24n+16; n=7.23 3n + 2 23в)399.аn(2n−1)(3n+2)а) 0=(2n−1)(3n+2)n=12или n=− , чего, очевидно, быть не может, так как n∈N.23Такого n не существует, значит 0 − не член последовательности.б) 24=(2n−1)(3n+2)6n2+n−26=0;D=1+624=625;−1 + 25=2;12−1 − 25n2=<0 − не подходит, так как n−натуральное.2n1=Итак, n=2. 24 − второй член последовательности.в) 153=(2n−1)(3n+2);6n2+n−155=0;D=1+3720=3721=612;−1 + 61=5;12−1 − 61n2=<0, не подходит, так как n∈N.12n1=Итак, n=5.153 − пятый член последовательности.г) −2=(2n−1)(3n+2)Оба множителя в правой части положительны (так как n∈N), а леваячасть отрицательна.

Такого быть не может.Таких n нет, (−2) − не член последовательности.400.а) х1=3, хn=xn−1+5; xn=3+5(n−1)=5n−2;б) х1=2, хn=3⋅xn−1; xn=2⋅3n−1;в) х1=11, хn=xn−1−4; xn=11−4(n−1)=15−4n;197г) х1=3, хn401.а)б)в)198x n −13; xn= ( n−1) .22г)402.а) хn=2n−5, A=10; 2n−5>10; 2n>15n>15; Начиная с n=8;2б) хn=3n−1, A=27,3n−1>27,n−1>3,n>4.Начиная с n=5;в) хn=n2−17, A=−2n2−17>−2,n2>15,n> 15 (n<− 15 отбрасываем, так как n∈N).Начиная с n=4;г) хn=2n−5, A=1,5,2n−5>1,5,322n−5> ,2n−4>3.Начиная с n=6.403.а) хn=3−2n, A=−9,3−2n<−9,2n<12,n>6.Начиная с n=7;б) хn=34−n, A=0,5,19934−n <0,5.Начиная с n=5.в) хn=2−3n2, A=−25,2−3n2<−25,3n2<28,n2>28.3Начиная с n=4;г) хn=25−n, A=1,25−n<1,5−n<0,n>5.Начиная с n=6.404.1n −1а) аn==1− ;nn11an+1=1−>1− =an;n +1nan+1>an. Последовательность возрастает.1;2n11bn+1=1−>1− =bn;2(n + 1)2nб) bn=1−bn+1>bn.

Последовательность возрастает.в) сn=1−сn+1=1−12n12 n +1;>1−12n=сn;сn+1>сn. Последовательность возрастает.5n5n + 5 − 55==5−;n +1n +1n +155dn+1=5−>5−=dn;n+2n +1г) dn=dn+1>dn. Последовательность возрастает.405.1а) аn= ;2n11an+1=< =an;2n + 2 2 n200an+1<an..Последовательность убывает.б) сn=1+an+1=1;3n11< =cn;3n + 3 3ncn+1<cn..Последовательность убывает.1n +1=1+ ;nn11bn+1=1+<1+ =bn;n +1nв) bn=bn+1<bn..Последовательность убывает.г) dn=dn+1=13n1;3 n +1<13n=dn;dn+1<dn..Последовательность убывает.§ 18. Арифметическая прогрессия406.а) Да, является.

б) Да, является.в) Да, является. г) Нет, не является.407.а) Да, является.б) Нет, не является.в) Нет, не является.г) Нет, не является.408.а) а1=3; d=−4;б) a1=7; d=−3;в) a1=0,7; d=0,2;г) a1=−1; d=0,1.409.а) а1=3; d=7,а1=3, а2=10, а3=17, а4=24, а5=31, а6=38;201б) a1=10; d=−2,5,а1=10, а2=7,5, а3=5, а4=2,5, а5=0, а6=−2,5;в) a1=−21; d=3,а1=−21, а2=−18, а3=−15, а4=−12, а5=−9, а6=−6;г) a1=−17,5; d=−0,5.а1=−17,5, а2=−18, а3=−18,5, а4=−19, а5=−19,5, а6=−20.410.а) a1=−2; d=4, n=5; −2; 2; 6; 10; 14;б) a1=1; d=−0,1, n=7; 1; 0,9; 0,8; 0,7; 0,6; 0,5; 0,4;в) a1=2; d=3, n=6; 2; 5; 8; 11; 14; 17г) a1=−6; d=1,5, n=4; −6; −4,5; −3; −1,5.411.31а) a1= ; d= , n=5773 4 5 6; ; ; ; 1;7 7 7 7б) a1=13; d=− 5 , n=413; 13− 5 ; 13−2 5 ; 13−3 5 ;в) a1=7,5; d=0,5, n=47,5; 8; 8,5; 9;г) a1=−1,7; d=0,15, n=5−1,7; −1,55; −1,4; −1,25; −1,1.411.а) а1=3456; а2= ; а3= ; а4= ; а5=1;7777б) а1=13, а2=13- 5 ; а3=13-2 5 ; а4=13-3 5 ;в) а1=7,5; а2=8; а3=8,5; а4=9;г) а1=-1,7; а2=-1,55; а3=-1,4; а4=-1,25; а5=-1,1.412.а) d=a2-a1=3-1=2; a10=a1+9d=1+9⋅2=19;б) d=a2-a1=6+ 5 - 5 =6; a10=a1+9d= 5 +9⋅6=54+ 5 ;в) d=a2-a1=90-100=-10; a10=a1+9d=100+9⋅(-10)=10;г) d=a2-a1=3- 2 -3=- 2 ; a10=a1+9d=3+9(- 2 )=3-9 2 .413.Такие натуральные числа, представляются в виде n=3+5k, где k=1, 2,3 ...

, так что они составляют арифметическую прогрессию: а1=3; d=5.Опечатка в ответе задачника.202414.Такие натуральные числа, представляются в виде n=11k, где k=1, 2,3 ... , так что они составляют арифметическую прогрессию: а1=11;d=11.415.Данные числа не являются арифметической прогрессией, так кака2-а1=32-31, а а3-а2=33-32=18, и 3≠18.416.а) х1=4; d=3; б) не является арифметической прогрессией; в) неявляется арифметической прогрессией; г) х1=1; d=4.417.а) an=2n+1; an=(n-1)⋅2+3=(n-1)⋅d+a1, где а1=3 и d=2;б) an=0,5n-4; an=(n-1)⋅0,5-3,5=(n-1)⋅d+a1, где а1=-3,5 и d=0,5;в) an=-3n+1; an=(n-1)⋅(-3)-2=(n-1)⋅d+a1, где а1=-2 и d=-3;1313г) an=- n-1; an=(n-1)( - )-441=(n-1)⋅d+a1, где а1=- и d=- .333418.а) аn=3n-1; б) an=n-0,5; в) an=-2n+9; г) an=-n 6- .7 7419.а) аn=-6n+10; б) аn=-0,2n-0,5; в) аn=5n-12; г) аn= 5 n-3 5 .420.а6=а1+5d=4+5⋅3=19; б) а15=а1+14d=-15+14(-5)=-85;в) а17=а1+16d=-12+16⋅2=20; г) а9=а1+8d=101+8⋅1=105.2421.a5 − a1 40 − 12==7;4430 − ( −30 )a −aб) а16=а6+10d, d= 16 6 ==6;1010a −a−28 − ( −8 )в) а11=а1+10d, d= 11 1 ==-2; опечатка в ответе1010а) а5=а1+4d, d=задачникаг) а36=а11+25d, d=a36 − a11 54 ,6 − 4 ,6==2.2525203422.а) а7=а1+6d, а1=а7-6d=9-6⋅2=-3;б) а37=а1+36d, а1=а37-36d=-69-36(-2,5)=21;в) а26=а1+25d, а1=а26-25d=-71-25(-3) =4;г) а14=а1+13d, а1=а14-13d=-6 5 -13(- 5 )=7 5 .423.а) а1=1; d=3; б) а1=-41; d=- ; в) а1=2,9; d=-0,1; г) а1=3; d=-2.33424.У данной прогрессии а1=9 и d=2, тогда если аn=29, то 29=9+2(n-1),29=7+2n, n=11.425.а) а1=-1,5; d=0,5, так что 4,5=а1+12d, то есть 4,5 - 13-й членпрогрессии;б) а1=7,5; d=3,5, так что если 43,5=а1+nd, то n=43,5 − a1 36 72== ,3,5 7dтак что 43,5 - не является членом прогрессии.426.41=-7+12⋅4=а1+12d, так что 41 - 13-й член данной прогрессии.427.23; 19; 15.428.а) аn=a1+(n-1)⋅d=1+10⋅2=21;1+20⋅(-3,75)=-76,5;2232в) аn=a1+(n-1)⋅d= +16⋅ =12 ;3431г) аn=a1+(n-1)⋅d=0,2+12⋅ =4,2.3б) аn=a1+(n-1)⋅d=-1429.an − a1+1;d5− 0( 67 − 1 ) ⋅ 3а) n=+1=100; б) n=+1=11;0,5210,5 − ( −6 )100 − ( −4 ,5 )в) n=+1=23; г) n=+1=20.0,755,5аn=a1+(n-1)⋅d, так что n=204430.аn=a1+(n-1)⋅d; а1=аn-(n-1)d:а) а1=-10-14⋅2=-38; б) а1=1011-6⋅ =9;24в) а1=9,5-16⋅(-0,6)=19,1; г) а1=-2,94-14⋅(-0,3)=1,26.431.an − a1:n −139 − 3−18,4 − ( −0,2 )а) d==3,6; б) d==-1,3;11 − 115 − 1151 −510 − 3,648в) d==- ; г) d==-0,1.837 − 136 − 1аn=a1+(n-1)⋅d, d=432.b − a1+1, если b - является членом прогрессии:d21,2 − 50,65 − 3+1=55; б) n=+1≈7,7 - так b - не является членома) n=0,3− 0,35b=a1+(n-1)d, n=прогрессии;в) n=44 − ( −7 )−0,01 − ( −0,13 )+1=11; г) n=+1=7.510,02,433.а) an=a1+(n-1)d, an=2+(n-1)(-0,1)=2,1-0,1n, an<0 при 2,1-0,1<0, n>21,n=22;б) an=16,3-0,4n, an<0,9, при 16,3-0,4n<0,9, n>38,5, n=39;в) an=120-10n, an<15, при 120-10n<15, n>10,5, n=11;г) an=-0,25-0,75n, an<-16,3, при -0,25-0,75n<-16,3, n>21,4, n=22.434.а) an=-12+(n-1)⋅3=-15+3n, an>141, при -15+3n>141, n>52, n=53;20, n=2;11129в) an=1,8+2,2n, an>14,7, при 1,8+2,2n>14,7, n>, n=6;22б) an=-10+5,5n, an>0, при -10+5,5n>0, n>г) an=13,8+0,7n, an>22,9, при 13,8+0,7n>22,9 n>13, n=14.205435.a + 2d = 7a1 + a5 = 14 a1 + a1 + 4d = 14,, 1,a2a4 = 45 ( a1 + d )( a1 + 3d ) = 45 ( 7 − d )( 7 + d ) = 45a1 = 7 − 2d a1 = 7 − 2d,, так как d>0 по условию, то d=2.49 − d 2 = 45 d 2 = 4Тогда а6=а1+5d=3+10=13.436.a2 + a5 = 18 a2 + a2 + 3d = 17 2a2 + 3d = 17,,,a2 ⋅ a3 = 21 a2 ( a2 + d ) = 21 a2 ( a2 + d ) = 21так как а2 - натуральное число, то а2=3 и d=4, тогда а1=-1 ипрогрессия: -1, 3, 7, 11, 15 ...437.a1 + a2 + a3 = −21, и а1, а2, а3, а4 - арифметическая прогрессия, такa2 + a3 + a4 = −6чтоa1 + a1 + d + a1 + 2d = −21a + d = −7,  1, а1=-12, d=5,a1 + d + a1 + 2d + a1 + 3d = −6 a1 + 2d = −2эти числа: -12, -7, -2, 3.

Характеристики

Список файлов книги