makarytchev-gdz-9-2000 1-670 (542433), страница 12
Текст из файла (страница 12)
х13<х23⇔ −х13<−х232. −2х1>−2х2Складывая неравенства, получаем −х13−2х1>−х23−2х2;f(x1)>f(x2). Функция убывает.б) у=х6−0,5х, х≤0.151Для произвольных неположительных х1 и х2, х1<х2 имеем:х16>х26; −0,5х1>−0,5х2Складывая эти неравенства, получаемх16−0,5х1>х26−0,5х2. f(x1)>f(x2). Функция убывает.в) у=х4−5х, х≤0.Для произвольных неположительных х1 и х2, х1<х2 имеем:х14>х24;−5х1>−5х2Сложим эти неравенства.х14−5х1>х24−5х2; f(x1)>f(x2).
Функция убывает.г) у=−3х5−х.Для произвольных х1 и х2, х1<х2 имеем: −3х15>−3х25; −х1>−х2Сложим эти неравенства.−3х15−х1>−3х25−х2; f(x1)>f(x2). Функция убывает.270.x−55− x4− x111а) у==−()=−(+)=−1−=−1+, х>4.4− x4− x4− x 4− x4− xx−4Для произвольных х1 и х2, х1<х2 из промежутка (4; +∞) имеем:0<х1−4<х2−4;1111>; −1+>−1+. f(x1)>f(x2). Функция убывает.x1 − 4 x2 − 4x1 − 4x2 − 4б) у=2 − 3x3x − 23x + 688=−()=−(+)=−2+, х<−2.2+ x2+ xx+2x+2x+2Для произвольных х1 и х2, х1<х2 из промежутка (−∞;−2) имеем:х1+2<х2+2<0;8888>; −2+>−2+.x1 + 2 x2 + 2x1 + 2x2 + 2f(x1)>f(x2).
Функция убывает.в) у=x+31− x4−3 − x−4=−()=−(+)=−1+, х>1.1− x1− x1− x 1− x1− xДля произвольных х1 и х2, х1<х2 из промежутка (1; +∞) имеем:1 − x1 > 1 − x24444< −1 +; −1+;<1 − x11 − x1 1 − x21 − x2f ( x1 ) < f ( x2 ) – функция возрастает задача некорректна.Функция убывает.г) у=1526 − 3x3x − 63x + 91515=−()=−(−)=−3+, х<−3.3+ x3+ xx+3x+3x+3Для произвольных х1 и х2, х1<х2 из промежутка (−∞; −3) имеем:х1+3<х2+3<0;15151515>; −3+>−3+.x1 + 3 x 2 + 3x1 + 3x2 + 3f(x1)>f(x2). Функция убывает.271.а) у=х2+4х−3.
Пусть (х0, у0) − вершина параболы.х0=−4=−2. ymin = у0=4−8−3=−7. Наибольшего не существует.2б) у=−4х2−12х+1.Пусть (х0, у0) − вершина параболы.х0=−−12393=− . ymax = у0=−4⋅ +12⋅ +1=10.−8242Наименьшего не существует.в) у=9х2+6х−5.Пусть (х0, у0) − вершина параболы.х0=−1161=− .
ymin = у0=9⋅ −6⋅ −5=−6.18393Наибольшего не существует.г) у=−х2+8х−12.Пусть (х0, у0) − вершина параболы.х0=−−8=4. ymax = у0=−16+32−12=4. ymin не существует.−2272.а) у=|x|+3, х∈[−5; 1].у будет наименьшим (наибольшим) при |x| наименьшем(наибольшем)|x|наим=0; |x|наиб=5; унаим =3; унаиб=8.б) у=−|4x|+1, х∈(−6; 2].у будет наибольшим (наименьшим) при |4x| наименьшем(наибольшем).|4x|наиб − не существует; |4x|наим=0унаим − не существует; унаиб=1.в) у=−|2x|−1, х∈[−1; 1].у будет наибольшим при |2x| наименьшем |2x|наим=0, унаим =−3.г) у=|x|+3, х∈[−5; 1).у будет наибольшим (наименьшим) при |x| наибольшем(наименьшем)|x|наиб=5, унаиб=8, |x|наим=0, унаим =3.153273.2, если − 3 ≤ x ≤ 1f(x) = x , если 1 < x ≤ 4( x − 5) 2 + 1, если 4 < x ≤ 61) D(f) =[−3; 6]2) На [−3; −1] постоянна.На [3; 4] и на [5; 6] возрастает.На [4; 5] убывает.3) Ограничена.4) унаиб=2, унаим=1.5) Непрерывна на [−3; 1).Непрерывна на (1; 6].6) Е(f)=[1; 2].7) На [1; 4] выпукла вверх.
На [4; 6] выпукла вниз.На [−3; 1] можно считать выпуклой как вверх так и вниз.274.3 x , если x < 0f(x)= − x 2 + 2 x + 2, если 0 ≤ x ≤ 2 x, если 2 < x ≤ 41) D(f) =[−∞; 4]2) На [−∞; 0] и на [1; 2] убывает.На [0; 1] и на [2; 4] возрастает.3) Ограничена сверху, неограничена снизу.4) унаиб=4; унаим − не существует.5) Непрерывна на (−∞; 0). Непрерывна на (0; 4].6) Е(f)=(−∞; 0)∪[2; 4].7) На [−∞; 0] и на [0; 2] выпукла вверх.На [2; 4] выпукла как вверх, так и вниз.§ 12. Четные и нечетные функции275.а) Да, симметрично.в) Нет, не симметрично.б) Да, симметрично.г) Нет, не симметрично.276.а) Нет, не симметрично.154б) Нет, не симметрично.в) Нет, не симметрично.г) Нет, не симметрично.277.а) f(x)=3x2+x4.
D(f)=(−∞; +∞) − симметрично.f(−x)=3(−х)2+(−х)4=3х2+х4=f(x). Функция четная.б) f(x)=4x6−x2. D(f)=(−∞; +∞) − симметрично.f(−x)=4(−х)6−(−х)2=4х6−х2=f(x). Функция четная.в) f(x)=2x8−x6. D(f)=(−∞; +∞) − симметрично.f(−x)=2(−х)8−(−х)6=2х8−х6=f(x). Функция четная.г) f(x)=5x2+x10. D(f)=(−∞; +∞) − симметрично.f(−x)=5(−х)2+(−х)10=5х2+х10=f(x). Функция четная.278.а)f(x)=x2(2x2−х3). D(f)=(−∞; +∞) − симметрично.f(−x)=(−х)2(2(−х)2−(−х)3)=х2(2х2+х3).В точке х=1 f(x)=1(2−1)=1; f(−x)=1(2+1)=3; f(x)≠ f(−x), f(−x)≠− f(x).Функция ни четная, ни нечетная. Задание не корректно.б) f(x)=f(−x)=x4 + 12 x3; D(f)=(−∞; 0)∪(0; +∞) − симметрично.(− x) 4 + 12(− x)3=−x4 + 12 x3=−f(x). Функция нечетная.в) f(x)=х(5−х2); D(f)=(−∞; +∞) − симметрично.f(−x)=−х(5−(−х)2)=−х(5−х2)=−f(x).
Функция нечетная.г) f(x)=f(−x)=3x; D(f)=(−∞; +∞) − симметрично.x6 + 23( − x)6(− x) + 2=−36x +2=−f(x). Функция нечетная.279.f(x)=х2+х; D(f)=(−∞; +∞) − симметрично.f(−x)= (−х2)−х=х2−х, при x = 1 : f (1) = 2, f (−1) = 0f(−x)≠ f(x)? f(−x)≠− f(x). Функция ни четная, ни нечетная.280.а) f(x)=у=х2; D(f)=(−∞; +∞) − симметрично.f(−x)= (−х)2=х2 =f(х). Функция четная.б) f(x)=у=х7; D(f)=(−∞; +∞) − симметрично.f(−x)= (−х)7=−х7=f(х). Функция нечетная.в) f(x)=у=х6; D(f)=(−∞; +∞) − симметрично.f(−x)= (−х)6=х6=f(х). Функция четная.г) f(x)=у=х3; D(f)=(−∞; +∞) − симметрично.155f(−x)= (−х)3=−х3=f(х). Функция нечетная.281.а) f(x)=у=|х|, х∈[−1; 1]; D(f)= [−1; 1] − симметрично.f(−x)= |−х|=|х|=f(х).
Функция четная.б) f(x)=у=х5, х∈[−3; 3); D(f)= [−3; 3) − не симметрично.Функция ни четная, ни нечетная.в) f(x)=у=|х|, х∈[−2; 2); D(f)= (−2; 2) − не симметрично.Функция ни четная, ни нечетная.г) f(x)=х5, х∈[−4; 4]; D(f)= [−4; 4] − симметрично.f(−x)= (−х)5=−х5=−f(х). Функция нечетная.282.а) f(x)=у=2х3, х∈[−2; 2]; D(f)= [−2; 2] − симметрично.f(−x)=2(−x)3=−2x3=−f(x). Функция нечетная.б) f(x)=у=−х2, х∈[−1; 0]; D(f)= [−1; 0] − не симметрично.Функция ни четная, ни нечетная.в) f(x)=−х2, х∈(−∞; +∞); D(f)= (−∞; ∞) − симметрично.f(−x)=−(−x)2=−x2=−f(x).
Функция четная.г) f(x)=у=2х3, х∈[−3; 3); D(f)= [−3; 3) − не симметрично.Функция ни четная, ни нечетная.283.а) Четная.в) Нечетная.б) Нечетная.г) Четная.284.а) Нечетная.в) Четная.б) Ни четная, ни нечетная.г) Ни четная, ни нечетная.285.а)б)в)г)156286.а) График f(x) симметричен относительно оси ординат. Значитнаправления монотонности при х>0 и х<0 противоположны.То есть при х<0 функция убывает.б) Из тех же соображений, что и в п.
а) функция возрастает при х<0.в) Возьмем произвольные х1 и х2, х1<х2<0, и рассмотрим f(x1) и f(x2)f(x1)= −f(−x1); f(x2)= −f(−x2).Но 0<−х2<−х1, а функция возрастает при х >0.Значит, f(−x1)> f(−x2)⇔ −f(−x1)<−f(−x2)⇔ f(x1)<f(x2).Функция возрастает при х<0.г) Возьмем произвольные х1 и х2, х1<х2<0.Так как функция нечетная, то f(−x1)= −f(x1); f(−x2)= −f(x2).Так как 0<−х2<−х1, и функция убывает при х >0, то f(−x1)> f(−x2);−f(x1)< −f(−x2).
f(x1)>f(x2). Функция убывает при х<0.287.а) Можно.б) Нельзя.288.а) Можно.б) Нельзя. Ответ в задачнике неверен.289.а) Нельзя. Ответ в задачнике неверен. б) Можно.290.а) Нельзя.б) Можно.291.Четная.157292.Ни четная, ни нечетная.293.Нечетная.294.а) f(x)=y= x + 1 ; D(f)=[−1; +∞) − не симметрично.Ни четная, ни нечетная.б) f(x)=y=f(−x)=x−2x2 − 1−x − 2(− x) 2 − 1; D(f)=[−∞; −1)∪(−1; 1)∪(1; +∞) − симметрично.=−x − 2x2 − 1.При х=2, f(−x)=−4, f(x)=0. f(−x)≠ f(x), f(−x)≠ −f(x).Ни четная, ни нечетная.в) f(x)=y= x − 5 ; D(f)=[5; +∞) − не симметрично.Ни четная, ни нечетная.г) f(x)=y=x+2x 2 − 16; D(f)=[−∞; −4)∪(−4; 4)∪(4; +∞) − симметрично.Возьмем х=2.
f(2)=41=− .−82f(−2)=0, f(2)≠ f(−2), f(−2)≠− f(2). Функция ни четная, ни нечетная.295.а) f(x)=4х−2х3+6х5. D(f)=(−∞; +∞) − симметрично.f(−x)=4(−х)−2(−х)3+6(−х)5=−(4х−2х3+6х5)= −f(x). Функция нечетная.158б) f(x)=y=x−2x2 + 4; D(f)=(−∞; +∞) − симметрично.48Возьмем х=2. f(2)=0; f(−2)=− =−1.2f(−2)≠f(2), f(−2)≠− f(2).
Функция ни четная, ни нечетная.в) f(x)= x ; D(f)=[0; +∞) − не симметрично.Функция ни четная, ни нечетная.г) f(x)=y=f(−х)=x2 + 8x2 − 9(− x) 2 + 82(− x) − 9; D(f)=(−∞; −3)∪(−3; 3)∪(3; +∞) − симметрично.=x2 + 8x2 − 9=f(x). Функция четная.296.f(x)=4х4−х3+2х2−х+5. f(x)= f1(x)+ f2(x), где f1(x)=4х4+2х2+5 − четная,f2(x)=−х3−х − нечетная.297.2 x + 4, если − 2 ≤ x ≤ −1f(x)= 2 x 2 , если − 1 < x ≤ 1− 2 x + 4, если 1 < x ≤ 21) D(f)=[−2; 2].2) Четная.3) Возрастает на [−2; −1] и на [0; 1].Убывает на [−1; 0] и на [1; 2].4) Ограничена.
5) унаим=0; унаиб=2.6) Непрерывна. 7) Е(f)=[0; 2].8) На [−1; 1] выпукла вниз. На [−2; 1] и на [1; 2] функцию можносчитать выпуклой как вверх, так и вниз.298.1, если − 2 ≤ x ≤ −1f(x) 2 x 2 − 1, если − 1 < x ≤ 11, если 1 < x ≤ 21) D(f)=[−2; 2].2) Четная.3) Возрастает на [0; 1]. Убывает на [−1; 0].Постоянна на [−2, −1] и на [1; 2]4) Ограничена.1595) унаим=−1; унаиб=1.6) Непрерывна.7) Е(f)=[−1; 1].8) На [−1; 1] выпукла вниз. На [−2; −1] и на [1; 2] функцию можносчитать выпуклой как вверх, так и вниз.299.2, если x ≤ −1f(x)= − 2 x3 − 1, если − 1 < x ≤ 1− 2, если x > 11) D(f)=(−∞; +∞).2) Ни четная, ни нечетная.3) Убывает на [−1; 1].На (−∞; −1] и на (1; +∞) функция постоянна.4) Ограничена.5) унаим=−3; унаиб=2.6) Непрерывна на (−∞; −1), на (−1; 1) и на (1; +∞).7) Е(f)=[−3; 1]∪{2}.8) На (−1; 0) выпукла вниз.
На (−∞; −1] и на [1; +∞) функцию можносчитать выпуклой как вверх, так и вниз.300.а) Четная.h(−x)=f(−x) g2(−x)=f(x) (−g(x))2=f(x) g2(x)=h(x);б) h(−x)=f(−x)−g(−x)=f(x)− g(x)=h(x), четная;в) h(−x)=f(−x)+g(−x)=−f(x)− g(x)=−h(x), нечетная;г) h(−x)=f(−x)⋅ g(−x)=−f(x)⋅(−g(x))=f(x)g(x)=h(x), четная.301.h(x)=3+х2.302.h(x)=−4−3х2. Ответ в задачнике неверен.303.а) h(x)=3−2х2.304.б) h(x)=−3+2х2.а) h(x)=1+х2;б) не существует, т.к. f(0) должно быть равным 0 (в данном случае).160§ 13. Функции у = хn (n ∈N), их свойства и графики305.а) f(x)=у=х6.1) D(f)=(−∞; +∞).2) Четная.3) Возрастает на (0; +∞).Убывает на (−∞; 0).4) Ограничена снизу, не ограниченасверху.5) унаим=0, унаиб − не существует. 6) Функция непрерывна.7) Е(f)=[0; +∞).
8) Выпукла вниз.б) f(x)=−х10.1) D(f)=(−∞; +∞).2) Четная.3) Возрастает на (−∞; 0).Убывает на (0; +∞).4) Ограничена сверху, не ограниченаснизу.5) унаиб=0, унаим − не существует.6) Функция непрерывна.7) Е(f)=(−∞; 0]. 8) Выпукла вверх.в) f(x)=х8.Свойства в точности такие же, что и в пункте а).г)у=х12.Свойства в точности такие же, что и в пункте а).306.а) f(x)=y=−x31) D(f)=(−∞; +∞).2) Нечетная.1613) Убывает.4) Не ограничена ни сверху, ни снизу.5) унаиб, унаим − не существует.6) Непрерывна.7) Е(f)=(−∞; +∞).8) Выпукла вниз на (−∞; 0].Выпукла вверх на [0; +∞).б) f(x)=у=х71) D(f)=(−∞; +∞).2) Нечетная.3) Возрастает.4) Не ограничена ни сверху, ни снизу.5) унаиб, унаим − не существует.6) Непрерывна.7) Е(f)=(−∞; +∞).8) Выпукла вниз на (−∞; 0].Выпукла вверх на [0; +∞).в) f(x)=у=х5Свойства в точности те же. что и в предыдущем пункте.г) f(x)=у=−х9Свойства в точности те же.
что и в пункте а.162307.а)б)в)г)308.а)б)в)г)163309.1, унаиб − не существует;64а) унаим=0, унаиб=1;б) унаим=в) унаим=0, унаиб=64;г) унаим=729, унаиб − не существует.310.а) унаим=−1, унаиб=1; б) унаиб=0, унаим − не существует;в) унаим − не существует, унаиб=243; г) унаим=−1, унаиб − не существует.311.а)б)Точка пересечения (1; 1);Точка пересечения (−1; −1);в)г)Точка пересечения (0; 0).Точка пересечения (0; 0) и (1; 1).312.а) Построим графики обеих частей уравнения.Точка пересечения (−1; 1). х=−1;164б)Точки пересечения (1; 1) и (−1; −1), х=1, х=−1;в)Точки пересечения (1; 1), (−1; −1), х=1, х=−1;г)х=1, х=−1, х=0.313.Будем определять количество решений по графикам.а)б)2 решения.1 решение.165в)г)Нет решений.1 решение.314.а)б)2 решения.1 решение.в)г)1 решение.1 решение.166315. x 4 , если x < 0 x , если x ≥ 0а) f(x)= 1) D(f)=(−∞; +∞).2) Ни четная, ни нечетная.3) Убывает на (−∞; 0].Возрастает на [0; +∞).4) Не ограничена сверху, ограничена снизу.5) унаим=0, унаиб − не существует.6) Непрерывна.7) Е(f)=[0; +∞).8) Выпукла: вниз на (−∞; 0], вверх на [0; +∞).− x , если x < 0 x5 , если x ≥ 0б) f(x)= 1) D(f)=[0; +∞).2) Ни четная, ни нечетная.3) Возрастает.4) Не ограничена сверху,ограничена снизу.5) унаим=0, унаиб − не существует.6) Непрерывна на области определения.7) Е(f)=[0; +∞).8) Выпукла вниз. x6 , если x ≤ 1 x , если x > 1в) f(x)= 11) D(f)=(−∞; +∞).2) Ни четная, ни нечетная.3) Возрастает на [0; 1].Убывает на [−∞; 0] и на [1; +∞).4) Не ограничена сверху, ограничена снизу.5) унаим=0, унаиб − не существует.6) Непрерывна.7) Е(f)=[0; +∞).8) Выпукла вниз на (−∞; 1] и на [0; +∞). 7г) f(x)= x , если x ≤ −1− 2 − x, если − 1 ≤ x ≤ 21) D(f)=(−∞; 2].1672) Ни четная, ни нечетная.3) Возрастает на (−∞; −1].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
