makarytchev-gdz-8-1-1096 (542429), страница 26
Текст из файла (страница 26)
а) х'-2х-2=0; Р, =-(-!)~ — ! (-2) = 3; х = 1 в ~ГЗ ~ 1 * 1,73, х, в 1+ 1,73 = 2,73; х» 1-1„73 = -0,73.„ б) х~ + 5х + 3 = 0; Р=5 -4.!.3=13; — 5143 — 5а361, 2 2 -5+ 3,6! 1.39 х~ * 2 2 — — -0,70; -5- 3,61 хт — ' -4.30 2 в) Зх — 7х+ 3 = 0; Р-(-7) — 4 3.3 13'„ 77а_#_З 77е3,61 х,т= — = — ' 3-2 6 7 - 3,61 3,39 7 + 3,61 х, е — ' = — * я 057; хт ж — ' = -1,77; 6 б * б г) 5хт + 3!х+ 20= О", Р = 31' — 4 5. 20 = 961- 400 = 561; — 31+ Я6$ — 3! ~ 23,69 52 10 -31 — 23,69 54,69 х~ ~ ' =- — '«-5,47; !О !О -31+ 23,69 7,31 хт ' = — — ' - "-0,73. 10 10 № 645. Прн каком значении а один из корней уравнения ах' — Зх-5 О равен !3 ах~ -Зх-5 = О; ах 3 5 . з 3 5 — — х- — =О; х - — х- — =О, а а а а а Пусть х,, х, — корни уравнения.
По условию х, - 1, тогда по теореме Виста 5 5 5 х,.хз — ---, 1 х2-"--, хз =--, а а' а 3 3. 5 3 х~ + х! ° —,' ! + хз . 1- — =— а а а а а-5 3. а-5-3 =О; а-8=О; а=В. а а а )% 646 . Докажите, что олин из корней уравнения ах2 - (а+ с)х+ с О равен 1. 2 (а+с)х+с= О; а+се х= 2а а се а -2ас+с а+с+~(а — с) 2 в Г=7 2а 2а а + с (а - с) 2а а+с+а †а+с-а+с 2с с х = 1„х~ = 2а " 2а 2а а Один из корней данного уравнения ранен 1, что и требовалоеь доказать. № 647'. Докажите, по если уравнение е2з+Ьх+а О„где с 0 и 42: О, имеет корни, то они обратны корням уравнения ах2+ Ья+ е = О. — Ь т 44' - 4 сх2 + Ьх+ а = О; х = 2с -*. 24'-а ах + Ьх + с = О; х = 2а - Ь 242-4 ге ~-Ь ° 44 -4 2-4 — 44 4)~ - 2424 ° 4Ь Ьм) Ь вЂ” (Ь вЂ” 4ае) -2(4+44 -4 ) 224 44 — 4 2 24т т.е.
числа, являюшиеся Ь ° 44' -4 . ' корнями первого и второго уравнений, взаимно обратны, что и требовалось доказать. Для другой пары корней доказательство аналогично. М 643. Выясните, при каких значениях переменной: а) трехчлен а' ~ 7а ° б и лвучлсн а-1 принимают равные значения и найдите этп значения; б) трехчлены Зхз — х + 1 и 2х'+5х-4 принимают равные значения и найдите эти значения. а) а- + 7а+ б = а+1; аз + 7а+ 6 — а — 1 = О; а' + ба + 5 =. О '„П, =- 3 — 1 5 = 4; а~-3 14 = — 3+2; а, =-3 — 2=-5; а, = — 3+ 2=-1; б) Зхз — х+! = 2хз ч 5х — 4; Зх — х+1 — 2х — 5х+4 О; х — бх + 5 О; 27, =. 3' - 1 5 = 4; х = 3 а Г4 = 3 а 2; х, = 3 ~ 2 = 5 „'х, -- 3 — 2 = 1.
№ 649. Найдите пять последовательных чисел, если известно, что сумма квадратов трех первых лысел равна сумме квадратов двух последних. Пусть л — первое число, (п . 1) — второе число, (л + 2) — третье число, (л + 3) — четвертое число, (л ~- 4) — пятое число. По условию задачи составим уравнение: па -(и .1) +(и+2) =(п+3) +(и+4); и +л +2п-~1+ а —.4л+4 = 2 х 2 = па + бл+ 9+ л" + ба а(6," Зла ь ба+ 5 = 2па +14л.~ 25; Зл ~ бп ~ 5 — 2п-' — 14л — 25 = 0; л~ — бл — 20 = 0; Е~, = 4- — 1 (-20) = 16 + 20 = 36; л.=4+Лб =4 6; л, = 10; л, = -2: !) при л=!О: л+1=11; л+2 =12; в+3=!3; и+ 4 =14; 2) при л=-2: л+1=-1; л+2=0; а+3=1; а+4 = 2.
М 650. Найдите три последовательных четных числа, если известно, что сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего числа. Пусть 2л — первое четное число, (2л + 2)— второе четное число, (2л + 4) — третье чет- ное число. По условию задачи составим уравнение: (2п) + (?и + 2) = (2л + 4)~ ", 4л~ + 4п~ + 8л + 4 — 4л — 16л — 16 = О; 4п~ — 8п — !2 = 0; л~ — 2п — Э = О; ?)~ — — (-1)~ -1 (-3) = 4; л = 1 ~ ъГ4 = ! а 2; п~ = 3; пз = — 1; !) при л = 3: 2п = 2 . 3 = 6; 2п + 2 = 8; ?л + 4 = 10; 2) при л=-1: 2л=2 (-1)=-2; 2п+2=0; 2л+4 = 2.
№ б51. Спортивная площадка плошадью 1ЗОО м2 имеет форму прямоугольника, длина которого на 5 м больше ширины. Найдите размеры площадки. Пусть ширина прямоугольника равна х л», тогда длина прямоугольника равна (х+ 5) м, Плошадь прямоугольника Я - 1300 м2. Составим уравнение: х(х~ 5) =1ЗОО, х»+ 5х-1ЗОО = 0; В = 5- — 4 1- (-(ЗОО) -- 25 + 7200 = 7225; — 5 ~ 17225 — 5 х З5 х= 2 2 Ъ -5+ З5 х,= 2 =40; -5 — 85 х, = = -45 не подходит по смыслу за- 2 дачи; х+5=45.
Ширина плошадки 40 м, длина 45 м. )тв б52. Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 112. Найдите этн числа. Пусть и — первое натуральное число, а (и+ 1) — второе натуральное число. По условию задачи составляем уравнение: (2и+1) — 112 = пв +(и+1)т„ 4п + 4п+ 1 — 112 = пв + п~ + 2п+ 1; 4и~ + 4и — !11 — 2п~ — 2п — 1 = О „ 2п +2п — 112=0; 2(п" +и — 5б)=0; из+и 56 0 0 = ! ' — 4 1 (-5б) = ! + 224 = 225 — 1~4225 -1а15 2 2 — 1 + 15 п~ = .= 7, 2 -1 — 15 пт = = -8 (нс подходит по условию за- 2 дачи); и+1= 8. Искомые числа равны 7 и 8. № 653.
Периметр прямоугольника равен 28 см, а сумма плошадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах прямоугольника„ равна 116 смт, Найдите стороны прямоугольника. Пусть Ь вЂ” ширина прямоугольника, т.е.сторона первого квадрата, а — длина прямоугольника, т.е.сторона второго квадрата. По условию задачи сумма плошадей квадратов равна Г, + 8, =11бсм2, периметр прямоугольника Р- 28 см.Имеем Р 2(а+ Ь), Г ат ° Ят Ьт . 28 = 2!а + Ь); 14 = а + Ь; а =!4 - Ь," ат + Ьт = !! 6; (14 — Ь) + Ь~ = !! б,* !96 — 28Ь + Ь~ + Ь~ = 116; 2Ьт — 28Ь + 80 = 0; Ьт — ИЬ+40 0", Ь| = 10„Ь = 4; а, =!4 — Ь, 4; ат =14 — Ьт =!О. Итак, стороны прямоугольника равны 1О см и 4 см.
Ж 654. Фотографическая карточка размером (2 к (8 ем наклеена на лист так, что получилась рамка олинакоаой шнриньь Определите ширину рал1ки, если известно, что фотокарточка вместе с рамкой занимает плошадь 280 смз. Пусть 1 см — искомая ширина рамки„тогда длина и ширина листа соответственно равны ((2+ 21) см и ((8+21) см.По условию задачи фотокарточка вместе с рамкой занимает площадь 280 смз. Составляем уравнение: (! 2 + 21)((8 + 21) - 280: 2 2(6 + 1!(9 + 1! = 280: (б ь!!(9 ~ 1! = 70 - 54 + 61 + 91 + 1Р 70 1з ь(5!+54 — 70 .0; 1з+(51-(6=0; 1, = (; 1, = -(6 не подходит по смыслу задачи.
Итак, ширина рамки равна ! см. М 655+. При розыгрыше первенства школы по футболу было сыграно 36 матчей, причем каждая команда сыграла с каждой по одному разу. Сколько команд участвовало в розы- грышст Пусть « — число команд. Тогда (« — 1) — количество матчей, сыгранных каждой коман«(« — 1) дой. Всего сыграно матчей, откуда 2 «(« ~) . 2 Ф =36 « — «-72 О, По теореме Виета находим «, = 9; «, = -8 не подходит по смыслу задачи. Итак, в розыгрыше участвовали 9 команд. № б56*.
В шахматном турнире было сы!рано 45 партий. Определите число участников турнира, если известно. что каждый участник сыграл с каждым по одной партии Пусть У вЂ” число участников, каждый участник сыграл (Ф- !) партию. Всего сыграно И(И вЂ” !) 2 - 45 партий. Значит, )т'(Ф вЂ” !) = 9б, откуда Ю, = !О; У, =- -9 не подходит по смыслу задачи.
Итак, в турнире участвовало )О шахматистов. М 657. Дно яшика — прямоугольник, ширина которого в два раза меньше его длины. Высота яшика 0,5 м. Найдите объем яжика, если известно, что плошадь его дна на 1,08 мз меньше плошади боковых стенок. Пусть а м и Ь м — соответственно длина и спирина ящика, Площадь боковых стенок 05(2а+ 26) = (а+ ь) мз; площадь дна (аь) ы2. Получаем систему уравнений: с аЬ+ 1,08 = а+ Ь, а = 2Ь; 2Ь'.1,08=3Ь; 2Ь' — 3Ь+1,08=0; 23 ~ Зз — 4-2 1,08 = 0,36; 3 «,~0,36 63 3а О,б, 4 4 Ь, = — '=09; Ьз- ' 0,6; 3+ 0,6 3 — 0.6 4 ' ' 4 Ь, = 0,9, а, = 1,8, К~ = а, .
Ь, 0,5 0,81(мз); Ьз - -0,6, аз .: 1,2, $~т= аз -Ьз -0,5 = 0.36(мЗ). Итак, обьем ящика равен 0,8! м3 или 0,36 мз. М 658. Имеется лист картона прямоугольной формы, длина которого в 1,5 раза больше его ширины. Из него можно изготовить открытую коробку объемом 6080 смз, вырезав по углам картона квадраты со стороной 8 см. Найдите размеры — длину и ширину листа картона.
Пусть а и Ь вЂ” длина и ширина листа соответственно, где а 1,5Ь.Так как сторона вырезанного квадрата равна 8 см, то объем получаемой коробки равен 8(а — 16)(Ь вЂ” 16) = =- 8(1,5Ь -1б)(Ь вЂ” 16) смз. Составляем уравнение; 8(1.5Ь вЂ” 16)(Ь вЂ” 16) = 6080; ЗЬ - 80Ь вЂ” 1008 = 0; Р, = (-40)~ - 3 (-1008) = 1600 + 3024 = 4624; Ь вЂ” 40 ~ Г4624 40 68 3 3 40- 68 28 -- — — не подходит по смыслу за- 3 3 дачи; 40+ 68 = 36 ", а = 1,5 - Зб = 54. 3 Итак„36 см — ширина листа, 54 см — длина листа.
йй 659. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: а) х'-5.Г?х+!? 0; в) у'-бу~7=0; б) х~+21ГЗх-7?=0; е) р~-10р+7юО. а) х' — 5~Г?х+ 12 = О; 0 = (- 5 Г2) — 4 .1.12 =?5. 2 — 48 = 2; 51Г2 х 1Г2 . 2 5Л2+ 1Г2 бЛ 2 2 5Л вЂ” Г2 4/2 Л 2 2 П роверка: 1) х, + х, = 5Л„ ЗЛ+?Г?=5Л; 5Ле5Л; 2) х, -, = 12; ЗЛ ?Л = 6(Л)' = 12; 12 = 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
