1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ýòîñîîòíîøåíèå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïðèáëèæåííîå ïðåäñòàâëåíèå òåîðåìû äëÿ òåëà.Îíî áóäåò òåì òî÷íåå, ÷åì ÷åì áîëüøå ÷èñëî N ðàçáèåíèé òåëà è ÷åì ìåíüøå ðàçìåðû(äèàìåòðû) ÷àñòåéλk .Çà ïðåäñòàâëåíèå òåîðåìû äëÿ òâåðäîãî òåëà ïðèíèìàþò ïðåäåë, ê êîòîðîìó ñòðå-N → ∞ (λ = max λk → 0):XXX2limh2k ∆mk = limh02∆mkk ∆mk + d limìèòñÿ ðàâåíñòâî (43.5) ïðèN →∞èëèN →∞kZZ2h dm =N →∞kkh02 dm + md2 (Jlo = Jlc + md2 ),(43.6)mmò.å. ìîìåíò èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîé îñè ðàâåí ìîìåíòó îòíîñèòåëüíîïàðàëëåëüíîé öåíòðàëüíîé îñè, ñëîæåííîìó ñ ïðîèçâåäåíèåì ìàññû òåëà íà êâàäðàòðàññòîÿíèÿ ìåæäó îñÿìè.Èç òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ñèñòåìû ïàðàëëåëüíûõ îñåéìîìåíò èíåðöèè òåëà áóäåò ìèíèìàëåí îòíîñèòåëüíîé òîéèç íèõ, êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç åãî öåíòð ìàññ.Ðàññìîòðèì, äàëåå, ìîìåíò èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíîîñèOl ïðîèçâîëüíîãî íàïðàâëåíèÿ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç ïîëþñòåëà.
Ýòîò ìîìåíò, îêàçûâàåòñÿ, ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåçêîìïîíåíòû îðòà îñè è íåêîòîðóþ âåëè÷èíó, îïðåäåëåííóþÐèñ. 95â ïîëþñåO.Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü îñülñ îðòîì¯lo = P ˆln ênïðîõîäèòn÷åðåç ïîëþñ O ñîïóòñòâóþùåé ñèñòåìûOy1 y2 y3 ,ñâÿçàííîéñ òåëîì (Ðèñ.95). Ïðåäñòàâèì ðàññòîÿíèå h ïðîèçâîëüíîãîȳ =Pyn ên è ïðîåêöèþ yl ýòîãîP ˆyl = ȳ · ¯l =yk lk . Òîò ôàêò, ÷òîýëåìåíòà ìàññû dm äî îñè ÷åðåç âåêòîð-ðàäèóñ ýëåìåíòànâåêòîðà íà îñülïî òåîðåìå Ïèôàãîðàh2 = y 2 − yl2 ,k35îðò¯l ÿâëÿåòñÿåäèíè÷íûì âåêòîðîì, âûðàæàåòñÿ ðàâåíñòâîìXXXXˆlêk ) · (ˆln ên ) =1 = ¯l · ¯l = (êk ên ˆlk ˆln =δkn ˆlk ˆln .nkÑ ó÷åòîì ýòèõ ðàâåíñòâh2 = y 2Xh2k,nk,nìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåδkn ˆlk ˆln − (Xk,nyk ˆlk ) · (Xyn ˆln ) =nkX(y 2 δkn − yk yl )ˆlk ˆln ,k,nè îñåâîé ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî ýòîé îñè îïðåäåëèòñÿ âûðàæåíèåìJloZ=h2 dm =Xc ˆˆJˆknlk ln .(43.7)k,nmÇäåñü ó÷òåíî, ÷òî êîìïîíåíòû îðòà îñè íå çàâèñÿò îò ýëåìåíòà ìàññû (òàê ÷òî èõ ìîæíîâûíåñòè çà çíàê èíòåãðàëà) è ïîëîæåíîoJˆknZZ2(y δkn − yk yn )dm ==m3◦ 2(y1 + y22 + y32 )δkn − yk yn ρdV.(43.8)VÒåíçîð èíåðöèè.Ðàñøèðèì òåïåðü êðóã èñïîëüçóåìûõ èíâàðèàíòíûõ âåëè÷èí (âåëè÷èí, íåçàâèñÿùèõîò âûáîðà ñèñòåìû êîîðäèíàò).
Íàðÿäó ñî ñêàëÿðîìñèñòåìåCy1 y2 y3îäíèì ÷èñëîìf,ñèñòåìå òðîéêîé ÷èñåë-êîìïîíåíòf,îïðåäåëÿåìûì â êîîðäèíàòíîéè íåêîòîðûì âåêòîðîì(âk ),ā,îïðåäåëÿåìûì â òîé æåáóäåì ðàññìàòðèâàòü íîâóþ âåëè÷èíóA òàêíàçûâàåìûé òåíçîð âòîðîãî ðàíãà, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ â ýòîé æå ñèñòåìå êâàäðàòíîéìàòðèöåé äåâÿòè âåëè÷èí-êîìïîíåíò(Âkn ).Ðàíãîì òåíçîðà íàçûâàþò ÷èñëî èíäåêñîâó åãî êîìïîíåíò.
Òåíçîð âòîðîãî ðàíãà íàçûâàþò ñèììåòðè÷íûì (àíòèñèììåòðè÷íûì),åñëè ñèììåòðè÷íà (àíòèñèììåòðè÷íà) åãî ìàòðèöà. Èçâåñòíî, ÷òî äîñòàòî÷íûì êðèòåðèåì âåêòîðíîé ïðèðîäû îäíîèíäåêñíîé âåëè÷èíûg ñóììûPˆ(lk ): g =âk ˆlk .ñêàëÿðó(âk )ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå ðàâåíñòâàïðîèçâåäåíèé åå êîìïîíåíò íà êîìïîíåíòû ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðàkÑîîòâåòñòâåííî, äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì òåíçîðíîé ïðèðîäû äâóõèíäåêñíîãî îáúåêòà(Âkn ) ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå ðàâåíñòâà ñêàëÿðó f äâîéíîéïðîèçâåäåíèé åãî êîìïîíåíòP ñóììûíà êîìïîíåíòû ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà (ˆlk ): f =Âkl ˆlk ˆln .knÏîëó÷åííîå ðàíåå ñîîòíîøåíèå (43.7) êàê ðàç ïîñëåäíåãî òèïà: îñåâîé ìîìåíò èíåðoöèè Jˆl ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðîì, ˆlk êîìïîíåíòàìè ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà ¯l îðòà îñè ïðîoèçâîëüíîãî íàïðàâëåíèÿ, à ñîâîêóïíîñòü âåëè÷èí (Jˆkn ) íåêîòîðûì äâóõèíäåêñíûìîáúåêòîì. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî òåíçîðíîìó êðèòåðèþ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà äåâÿòèoâåëè÷èí (Jˆkn ) îïðåäåëÿåò òåíçîð âòîðîãî ðàíãà Jo , íàçûâàåìûé òåíçîðîì èíåðöèè òåëàâ òî÷êå O.
Ïîñêîëüêó ïîëþñ ìîæåò áûòü âûáðàí â òåëå ïðîèçâîëüíî, òî òåíçîð èíåðöèèîïðåäåëåí â êàæäîé òî÷êå òåëà.Jc , îïðåäåëåííûé äëÿ öåíòðà ìàññ, íàçûâàþò öåíòðàëüíûì òåíçîðîì èíåðöèè.ooâûðàæåíèÿ (43.8) ñëåäóåò, ÷òî Jˆkn = Jˆnk , ïîýòîìó òåíçîð èíåðöèè ÿâëÿåòñÿÒåíçîðÈçñèììåòðè÷íûì òåíçîðîì âòîðîãî ðàíãà, ó êîòîðîãî òîëüêî øåñòü íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíò. Äèàãîíàëüíûå êîìïîíåíòû êîìïîíåíòû ñ îäèíàêîâûìè èíäåêñàìè ñîãëàñíî36(43.8) ñîâïàäàþò ñ îñåâûìè ìîìåíòàìè èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàòíûõ îñåéOy1 , Oy2 , Oy3 :RRoJˆ11= (y22 + y32 )dm = h21 dm = J1o ,mmRRo= (y32 + y12 )dm = h22 dm = J2o ,Jˆ22mmRR 22oˆJ33 = (y1 + y2 )dm = h23 dm = J3o ;(43.9)mmà íåäèàãîíàëüíûå êîìïîíåíòû êîìïîíåíòû ñ ðàçíûìè èíäåêñàìè ñîîòâåòñòâåííî ðàâíûoo=−= Jˆ21Jˆ12oo=−= Jˆ32Jˆ23ooJˆ31= Jˆ13=−Ry1 y2 dm,mRmRy2 y3 dm,(43.10)y3 y1 dm;mýòè êîìïîíåíòû íàçûâàþò öåíòðîáåæíûìè ìîìåíòàìè èíåðöèè.Åñëè ââåñòè â ðàññìîòðåíèå ñïåöèàëüíûå òåíçîðû âòîðîãî ðàíãà åäèíè÷íûé òåíçîðδè äèàäóȳ ȳ , îïðåäåëåííûå ìàòðèöàìè δ = (δkn ),ȳ ȳ = (yk yn ), òî òåíçîð èíåðöèè (43.8)ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ñèìâîëè÷íîì âèäåZZ2(y δ − ȳ ȳ)dm =Jo =m(y 2 δ − ȳ ȳ)ρdV.(43.11)VÔîðìóëà (43.7) óñòàíàâëèâàåò, ÷òî èíåðöèîííûé ìîìåíò òåëà îòíîñèòåëüíî ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ïîëþñ O îñèlïðîèçâîëüíîãî íàïðàâëåíèÿ ðàâåí êâàäðàòè÷íîé ôîðìå êîì-ïîíåíòîâ îðòà îñè, êîýôôèöèåíòàìè êîòîðîé ñëóæàò êîìïîíåíòû òåíçîðà èíåðöèè äëÿoýòîãî öåíòðà.
Òåì ñàìûì, äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìîìåíòà Jl äîñòàòî÷íî çíàòü òåíçîð èíåðöèèâ òî÷êå O è íàïðàâëåíèå îñè.Ðàññìîòðèì ãåîìåòðè÷åñêèå îáðàçû âåêòîðíûõ è òåíçîðíûõ âåëè÷èí. Âåêòîðóāâêà÷åñòâå ãåîìåòðè÷åñêîãî îáðàçà ìîæíî ñîïîñòàâèòü ïëîñêîñòü (Ðèñ.96). Äåéñòâèòåëüíî,óðàâíåíèå ýòîé ïëîñêîñòè ìîæíî ïîëó÷èòü èç âåêòîðíîãî êðèòåðèÿg=Pâk ˆlkâ âèäåkPâk yk = 1,ãäå ïîëîæåíîyk = ˆlk /g .kÀíàëîãè÷íûì ïóòåì óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêèì îáðàçîì ñèììåòðè÷íîãîòåíçîðà âòîðîãî ðàíãà A ñëóæèò öåíòðàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü âòîðîãî ïîðÿäêà. Óðàâíåíèåýòîé ïîâåðõíîñòè ñëåäóåò èç òåíçîðíîãî êðèòåðèÿf =Pknãäå ïîëîæåíîpyk = êk / |f |.Ðèñ. 9637Ânl ˆlk ˆllâ âèäå1=PklÂkl yk yl ,Äëÿ òåíçîðà èíåðöèè òåíçîðíûé êðèòåðèé è òåíçîðíàÿ ïîâåðõíîñòü èìåþò âèäJlo =XXo ˆˆJˆknlk ln ,k,nÏîñêîëüêó∞Jlo > 0,oJˆknyk yn = 1,pyk = ˆlk / Jlo .(43.12)k,nìîäóëü âåêòîð-ðàäèóñà ëþáîé òî÷êè ýòîé ïîâåðõíîñòè êîíå÷åí:|ȳ| =6(ó ïîâåðõíîñòè íåò áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷åê), ñëåäîâàòåëüíî ïîâåðõíîñòü (43.12)ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñîèäîì, íàçûâàåìûì ýëëèïñîèäîì èíåðöèè.
Çíàíèå ýëëèïñîèäà èíåðöèèïîçâîëÿåò íàéòè ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî ëþáîé îñèl,ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ïîëþñO: îí âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ðàññòîÿíèå y = |ȳ| îò öåíòðà O äî òî÷êè P ïåðåñå÷åíèÿ îñè l ñJlo = 1/y 2 (Ðèñ.96).000Îñè ñèììåòðèè ýëëèïñîèäà èíåðöèè y1 , y2 , y3 íàçûâàþò ãëàâíûìè îñÿìè èíåðöèèýëëèïñîèäîì ôîðìóëîé:òåëà â òî÷êå O (Ðèñ.96). Ýòè îñè îðòîãîíàëüíû äðóã äðóãó. Óðàâíåíèå ýëëèïñîèäà âãëàâíûõ îñÿõ èìååò âèäJˆl0o y102 + Jˆ20o y202 + Jˆ30o y302 = 1.(43.13)Jˆ10o , Jˆ20o , Jˆ30oíàçûâàþò ãëàâíû0 0 0ìè ìîìåíòàìè èíåðöèè. Öåíòðîáåæíûå ìîìåíòû èíåðöèè â ãëàâíûõ îñÿõ Oy1 y2 y3 , î÷åoâèäíî, ðàâíû íóëþ.
Òåì ñàìûì ìàòðèöà êîìïîíåíò òåíçîðà èíåðöèè (Jˆkn ) ïîâîðîòîìêîîðäèíàòíûõ îñåé äî ñîâïàäåíèÿ ñ ãëàâíûìè îñÿìè èíåðöèè ïðèâîäèòñÿ ê äèàãîíàëü0oíîìó âèäó (Jˆk δkn ).Èíåðöèîííûå ìîìåíòû òåëà îòíîñèòåëüíî ãëàâíûõ îñåé:Èçâåñòíî, ÷òî, ñêàæåì, îñüy1áóäåò îñüþ ñèììåòðèè ýëëèïñîèäà èíåðöèè òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà åãî óðàâíåíèå (43.12) íå ñîäåðæèò ÷ëåíîâ ñ ïðîèçâåäåíèÿìè y1 y2 èooy1 y3 . Ýòî áóäåò â ñëó÷àå, êîãäà Jˆ12= 0, Jˆ13= 0.
Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû êîîðäèíàòíàÿ îñü,ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íà÷àëî O, áûëà ãëàâíîé îñüþ èíåðöèè äëÿ ýòîãî öåíòðà, íåîáõîäèìîè äîñòàòî÷íî îáðàùåíèå â íóëü öåíòðîáåæíûõ ìîìåíòîâ èíåðöèè, ñîäåðæàùèõ èíäåêñýòîé îñè.4◦Èíåðöèîííûå õàðàêòåðèñòèêè òåëà.Òåíçîð èíåðöèè ìîæåò áûòü âû÷åñëåí äëÿ ëþáîé òî÷êè òåëà. Òåíçîð èíåðöèè, ýë-ëèïñîèä èíåðöèè, ãëàâíûå îñè è ìîìåíòû èíåðöèè äëÿ öåíòðà ìàññ íàçûâàþò öåíòðàëüíûìè. Çíàíèå ìàññû, öåíòðà ìàññ è öåíòðàëüíîãî òåíçîðà èíåðöèè, ò.å. äåñÿòè âåëè÷èí:cm, ykc , Jˆkn(k, n = 1, 2, 3)(43.14)ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü ìîìåíò èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîé îñèùåé÷åðåçëþáóþòî÷êóPòåëà,íåïðèáåãàÿl,ïðîõîäÿ-êèíòåãðèðîâàíèþ.0Äåéñòâèòåëüíî, ïî òåîðåìå Ãþéãåíñà-Øòåéíåðà èìååì l || l(Ðèñ.97):Jlp = Jlc + md2 , Jlc =Xc ˆˆJˆknlk ln ,k,nd2 = (ȳ − ȳc )2 − (ȳ − ȳc ) · ¯l2.Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà ñëàãàåòñÿ èç ïîñòóïàòåëüíîãî äâèÐèñ. 97æåíèÿ âìåñòå ñ ïîëþñîì P è èç âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿâîêðóã ìãíîâåííîé îñè l , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ïîëþñ.
ÈíåðöèÿJlp .Äëÿ âû÷èñëåíèÿ æå ïîñëåäíåãî, êàê âûÿñíåíî, òðåáóåòñÿ çíàíèå äåñÿòè âåëè÷èí (43.14),â ïåðâîì äâèæåíèè îïðåäåëÿåòñÿ ìàññîé m, à âî âòîðîì èíåðöèîííûì ìîìåíòîìâ îòëè÷èå îò îäíîé âåëè÷èíû ìàññû äëÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Òåì ñàìûì âåëè÷èíû(43.14) íàçûâàþò èíåðöèîííûìè õàðàêòåðèñòèêàìè òåëà.38441◦Ìåðû äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà.Êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ, êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò è êèíåòè÷åñêàÿýíåðãèÿ òåëà.Ïðåäñòàâèì òâåðäîå òåëî ïðèáëèæåííî â âèäå ñèñòåìûñòåé, òðàêòóåìûõ êàê ìàòåðèàëüíûå òî÷êè.
Äëÿ òî÷êè{Pk }áîëüøîãî ÷èñëà N ÷à-Pk îáîçíà÷èì ÷åðåç ∆mk , v̄k , ȳk , v̄k0åå ìàññó, àáñîëþòíóþ ñêîðîñòü, à òàêæå ðàäèóñ-âåêòîð è ñêîðîñòü îòíîñèòåëüíî öåíòðàìàññ. Òîãäà êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ , öåíòðàëüíûé êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò è êèíåòè÷åñêóþýíåðãèþ ïîëó÷åííîé ñèñòåìûK̄∗ =Xv̄k ∆mk , L̄c∗ =XkX v2ȳk × v̄k0 ∆mk , T∗ =kkk2∆mk(44.1)ìîæíî ðàññìàòðèâàòü â êà÷åñòâå ïðèáëèæåííûõ ìåð äâèæåíèÿ òåëà. Ýòî ïðèáëèæåíèåòåì òî÷íåå, ÷åì áîëüøå ÷èñëî äåëåíèé òåëà è ÷åì ìåíüøå ðàçìåðû ÷àñòåé.
Ïîýòîìó çàìåðû äâèæåíèÿ òåëà ïðèíèìàþò ïðåäåëûN → ∞,K̄, L̄c , Tâåëè÷èí (44.1), êîãäà ÷èñëî äåëåíèéà ðàçìåðû ÷àñòåé (ìàêñèìàëüíûé äèàìåòð)PRv̄dm,RL̄c = limȳk × v̄k0 ∆mk = ȳ × v̄ 0 dm,N →∞ kR v2 mP vk2T = lim∆mk = 2 dm2K̄ = limN →∞ kPv̄k ∆mk =λ → 0:mN →∞ k(44.2)mè íàçûâàþò ñîîòâåòñòâåííî êîëè÷åñòâîì äâèæåíèÿ, öåíòðàëüíûì êèíåòè÷åñêèì ìîìåíòîì è êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé òåëà.2◦Ñâîéñòâà ìåð äâèæåíèÿ òåëà.Êàê è äëÿ âñÿêîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëàK̄ñîâ-ïàäàåò ñ êîëè÷åñòâîì äâèæåíèÿ åãî öåíòðà ìàññ, íàäåëåííîãî ìàññîé òåëà, à åãî êîìïîíåíòû â íåïîäâèæíûõ îñÿõOx1 x2 x3ïðîïîðöèîíàëüíû êîìïîíåíòàì ñêîðîñòè ýòîãîöåíòðàK̄ =Rv̄dm =mRmdx̄dmdt=Kn = mvncddtRx̄dm =md(mx̄c )dt= mv̄c ,(44.3)(n = 1, 2, 3).Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ öåíòðàëüíîãî êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòàL̄cìîæíî óñòàíîâèòü àíà-ëîãè÷íûå ôîðìóëû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
