1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295), страница 11
Текст из файла (страница 11)
ñèëà òðåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà äàâëåíèþ è íàïðàâëåíà ïðîòèâ ñêîëüæåíèÿ; ìîìåíòûòðåíèÿ êà÷åíèÿ è âåð÷åíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíû äàâëåíèþ è íàïðàâëåíû ïðîòèâ ñîîòâåòñòâåííî êà÷åíèÿ è âåð÷åíèÿ.Êîýôôèöèåíòû ïðîïîðöèîíàëüíîñòè:k, δ v , δ n (íàçûâàåìûå êîýôôèöèåíòàìè òðåíèÿñêîëüæåíèÿ, êà÷åíèÿ è âåð÷åíèÿ) îïðåäåëÿþòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî; îíè õàðàêòåðèçóþòìàòåðèàëû, èç êîòîðûõ èçãîòîâëåíû òåëà, ñòåïåíü îáðàáîòêè ïîâåðõíîñòåé è äðóãèåvnôàêòîðû. Êîýôôèöèåíò k áåçðàçìåðåí, êîýôôèöèåíòû δ , δ èìåþò ðàçìåðíîñòü äëèíû.4◦Çàêîíû Êóëîíà ïðè ðàâíîâåñèè.Åñëè òåëîTA, òî ñêîðîñòü ïîëþñà è ñîñòàâëÿþùèåv̄o = 0, ω̄v = ω̄n = 0, ïîýòîìó íàïðàâëåíèÿïîêîèòñÿ íà ïîâåðõíîñòè òåëàóãëîâîé ñêîðîñòè òåëà îáðàùàþòñÿ â íóëü:ñèëû è ìîìåíòîâ òðåíèÿ ñòàíîâÿòñÿ íåîïðåäåëåííûìè, à ìîäóëè ýòèõ âåëè÷èí â çàâèñèìîñòè îò íàãðóçîê ìîãóò ïðèíèìàòü ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå çàêîíû Êóëîíàôîðìóëèðóþòñÿ äëÿ ìîäóëåé ñèëû è ìîìåíòîâ òðåíèÿ è èìåþò âèä0 ≤ Q ≤ k1 N, 0 ≤ Gvo ≤ δ1v N, 0 ≤ Gno ≤ δ1n N,48(48.4)ò.å.
ìîäóëè ñèëû òðåíèÿ è ìîìåíòîâ òðåíèÿ êà÷åíèÿ è âåð÷åíèÿ ìîãóò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ îò íóëÿ äî íåêîòîðûõ ïðåäåëüíûõ çíà÷åíèé, ïðîïîðöèîíàëüíûõ äàâëåíèþ. Êîýôvnôèöèåíòû òðåíèÿ ïðè ïîêîå k1 , δ1 , δ1 íåñêîëüêî áîëüøå ñîîòâåòñòâóþùèõ âåëè÷èí ïðèäâèæåíèè.v çàâèñèìîñòè îò ïðèëîæåííûõ íàãðóçîê ïðè ðàâíîâåñèè âåêòîðû Q̄, Ḡo ìîãóò èìåòünëþáîå íàïðàâëåíèå â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè Π, à âåêòîð Ḡo ëþáîå íàïðàâëåíèå âäîëüíîðìàëè ê íåé.Îòìåòèì, ÷òî âëèÿíèå ìîìåíòîâ òðåíèÿ êà÷åíèÿ è âåð÷åíèÿ ìàëî ñðàâíèòåëüíî ñâëèÿíèåì ñèëû òðåíèÿ, ïîýòîìó èìè îáû÷íî ïðåíåáðåãàþò.
Ýòè ìîìåíòû ó÷èòûâàþò,åñëè íåò ñêîëüæåíèÿ. Ìàëîñòü òðåíèÿ êà÷åíèÿ ñðàâíèòåëüíî ñ òðåíèåì ñêîëüæåíèÿ îáúÿñíÿåò ïðèìåíåíèå ïîäøèïíèêîâ.49Ðàâíîâåñèå òâåðäîãî òåëà.Íà îñíîâå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òåëà ðàññìîòðèì ÷àñòíûå âèäûåãî äâèæåíèÿ. Íà÷íåì ñ ïðîñòåéøåãî äâèæåíèÿ òåëà ðàâíîâåñèÿ.1◦Óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.Ãîâîðÿò, ÷òî òâåðäîå òåëî íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè (ïîêîèòñÿ) â ñèñòåìå îòñ÷åòàOx1 x2 x3 ,åñëè åãî êîîðäèíàòû â ýòîé ñèñòåìå ñîõðàíÿþòñÿ íåèçìåííûìè èëè, ÷òî òîæå, åñëè ðàâíû íóëþ ñêîðîñòü öåíòðà ìàññ è óãëîâàÿ ñêîðîñòü òåëà:xck = ck , ϕk = bk (k = 1, 2, 3) (èëè vkc = 0, ω̂k = 0, k = 1, 2, 3).(49.1) ýòîì ñëó÷àå ðàâíû íóëþ êîìïîíåíòû óñêîðåíèÿ öåíòðà ìàññ è óãëîâîé ñêîðîñòè òåëàack = v̇kc = 0, ω̂k = 0 è äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òåëàmdω̂kdϕk X 0dvkc= Fk , Jˆk− (Jˆk+1 − Jˆk+2 )ω̂k+1 ω̂k+2 = M̂kc ,=Λ̂kn ω̂ndtdtdtnïðèíèìàþò âèä ðàâåíñòâà íóëþ ãëàâíîãî âåêòîðà è ãëàâíîãî öåíòðàëüíîãî ìîìåíòàâíåøíèõ ñèëFk = 0, M̂kc = 0 (k = 1, 2, 3) (èëè F̄ = 0, M̄c = 0).(49.2)Ýòè ðàâåíñòâà íàçûâàþò óðàâíåíèÿìè ðàâíîâåñèÿ òåëà.
Óðàâíåíèÿì (49.2) ìîæíî ïðèäàòü äðóãîé âèä, íå òðåáóþùèé çíàíèÿ ïîëîæåíèÿ öåíòðà ìàññ. Ïîëüçóÿñü ñâîéñòâîìãëàâíîãî ñèëîâîãî ìîìåíòà è óñëîâèÿìè (49.2), íàéäåì,÷òî ãëàâíûé ìîìåíò âíåøíèõñèë îòíîñèòåëüíî íà÷àëà îòñ÷åòà O òàêæå îáðàùàåòñÿ â íóëü:M̄o = x̄c × F̄ + M̄c = 0.Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîðíûå óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå0.Ýòè óðàâíåíèÿ â ïðîåêöèÿõ íà îñè ñèñòåìû îòñ÷åòàOx1 x2 x3F̄ = 0, M̄o =ýêâèâàëåíòíû ñèñòåìåøåñòè óðàâíåíèé:Fn =XkFnk = 0, Mno =XMnok = 0 (n = 1, 2, 3),(49.3)kíàçûâàåìûìè ñêàëÿðíûìè óðàâíåíèÿìè ðàâíîâåñèÿ òåëà.
Ñèëîâûå âåëè÷èíûFn , Mno ,çàâèñÿùèå â îáùåì ñëó÷àå îò ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ äâèæåíèÿ òåëà, ïðè ðàâíîâåñèècñòàíîâÿòñÿ ôóíêöèÿìè øåñòè êîîðäèíàò òåëà xk , ϕk :Fn = Fn (xck , ϕk ), Mno = Mno (xck , ϕk ) (n, k = 1, 2, 3).49Óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ÿâëÿþòñÿ êîíå÷íûìè óðàâíåíèÿìè äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîîðäèíàò òåëà, â ýòîì ñîñòîèò èõ ñóùåñòâåííîå îòëè÷èå îò óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òåëà, ÿâëÿþùèõñÿ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè äëÿ ýòèõ âåëè÷èí.Óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïîçâîëÿþò ðåøàòü ïðÿìóþ è îáðàòíóþ çàäà÷è î ðàâíîâåñèèòåëà.
 ïðÿìîé çàäà÷å ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ òåëà èçâåñòíî (èçâåñòíû êîîðäèíàòû òåëàxcn , ϕn (n = 1, 2, 3)). Îòûñêèâàþòñÿ ñèëû Fnk . Óðàâíåíèÿ ïîçâîëÿþò íàéòè øåñòü êîìïîíåíò ñèë. Åñëè ÷èñëî íåèçâåñòíûõ áîëüøå øåñòè, çàäà÷ó íàçûâàþò ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåco cëèìîé.  îáðàòíîé çàäà÷å ïî èçâåñòíûì ñèëàì Fn (x , ϕ) è ìîìåíòàì Mn (x , ϕ) îòûñêècâàþòñÿ ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (êîîðäèíàòû òåëà xn , ϕn ) èç óðàâíåíèé ðàâíîâåñèÿ (49.3).Çàäà÷à ðàçðåøèìà ïðè îòëè÷èè îò íóëÿ ßêîáèàíà∂(F1 , F2 , F3 , M1o , M2o , M3o )6= 0.∂(xc1 , xc2 , xc3 , ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 )(49.4) îòëè÷àå îò îáðàòíîé çàäà÷è äëÿ äâèæåíèÿ òåëà ðåøåíèå çàäà÷è äëÿ ðàâíîâåñèÿìîæåò áûòü íååäèíñòâåííûì: òåëî ìîæåò èìåòü íåñêîëüêî ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ.2◦Ðàâíîâåñèå òÿæåëîé áàëêè.ÏóñòüñàPîäíîðîäíàÿóäåðæèâàåòñÿáàëêàâOBäëèíûãîðèçîíòàëüíîì2lèâå-ïîëîæåíèèðàâíîâåñèÿ ó âåðòèêàëüíîé ñòåíû ñ ïîìîùüþ èäåàëüíîãîøàðíèðàñ áàëêîé óãîëùèåG, HαOèAB ,òðîñàñîñòàâëÿþùåãî(Ðèñ.103). Îïðåäåëèì ñîñòàâëÿþ-ðåàêöèèøàðíèðàèíàòÿæåíèåTòðî-ñà.Ðàññìîòðèì ðàâíîâåñèå áàëêèOBâ ñèñòåìå îòñ÷å-Oxyz .
Îñâîáîäèì áàëêó îò ñâÿçåé øàðíèðà O èAB , çàìåíÿÿ èõ äåéñòâèå ðåàêöèÿìè: íàòÿæåíèåì T òðîñà è ñîñòàâëÿþùèìè G, H ðåàêöèè øàðíèðà.òàòðîñàÐèñ. 103 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ñâîáîäíóþ áàëêó, ïîêîÿùóþñÿP , ïðèëîæåííîãî â ñåðåäèíå C áàëG, H, T ïðèëîæåííûõ ñîîòâåòñòâåííî âïîä äåéñòâèåì âåñàêè è ðåàêöèéòî÷êàõOèB.Èñïîëüçóÿ çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò ñèë è êîîðäèíàò èõ òî÷åê ïðèëîæåíèÿP̄ = (0, 0, −P ), Ḡ = (0, G, 0), H̄ = (0, 0, H), T = (0, −T cosα, T sinα),O = (0, 0, 0), C = (0, l, 0), B = (0, 2l, 0),Ñîñòàâèì øåñòü óðàâíåíèé ðàâíîâåñèÿ áàëêè:1.PFxk = Gx + Hx + Px + Tx ≡ 0,k2.PFyk = Gy + Hy + Py + Ty = G − T cosα = 0,k3.PFzk = Gz + Hz + Pz + Tz = H − P + T sinα = 0,k504.PMxk = yo (Hz + Gz ) − zo (Hy + Gy ) + (yc Pz − zc Py ) + (yB Tz − zB Ty ) =k= −lP + 2lT sinα = 0,5.PMyk = zo (Hx + Gx ) − xo (Hz + Gz ) + (zc Px − xc Pz ) + (zB Tx − xB Tz ) ≡ 0,k6.PMzk = xo (Hy + Gy ) − yo (Hx + Gx ) + (xc Py − yc Px ) + (xB Ty − yB Tx ) ≡ 0.kÐåøàÿ ñèñòåìó âòîðîãî , òðåòüåãî è ÷åòâåðòîãî óðàâíåíèé, ïîëó÷èì èñêîìûå çíà÷åíèÿðåàêöèéT =PPP, G = ctgα, H = .2sinα22Ïîëîæèòåëüíîñòü ðåàêöèé îçíà÷àåò ïðàâèëüíîñòü èñõîäíûõ äîïóùåíèé îá èõ íàïðàâëåíèÿõ.
Èç ðåøåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî âåñ áàëêè ïîðîâíó óðàâíîâåøèâàåòñÿ ñèëîéòèêàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé íàòÿæåíèÿ òðîñàëÿþùåé íàòÿæåíèÿ òðîñàíàòÿæåíèå òðîñà è ñèëà501◦GT cosα.T sinα,à ñèëàGHè âåð- ãîðèçîíòàëüíîé ñîñòàâ-Èç ðåøåíèÿ âèäíî òàêæå, ÷òî ïðè ìàëûõ óãëàõαáóäóò âåñüìà âåëèêè.Äèíàìèêà ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ òåëà.Êèíåìàòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òåëà. êèíåìàòèêå òåëà óñòàíîâëåíî, ÷òî ïðè ïîñòóïàòåëüíîìäâèæåíèè òåëî ñîõðàíÿåò ñâîþ îðèåíòàöèþ â ïðîñòðàíñòâå,à ìåíÿåòñÿ òîëüêî åãî ïîëîæåíèå, ò.å. â óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ òåëà ôóíêöèÿìè âðåìåíè ÿâëÿþòñÿ òîëüêî êîîðäèíàòûöåíòðà ìàññ, à Ýéëåðîâû óãëû ïîñòîÿííû, òàê ÷òî èõ ìîæíîñ÷èòàòü íóëåâûìè (Ðèñ.104)xcn = xcn (t), ϕn = cn = 0 (n = 1, 2, 3).Ðèñ.
104Ôóíêöèèxcn (t)(50.1)îïðåäåëÿþòñÿ èç äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâ-íåíèé äâèæåíèÿ.2◦Äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òåëà. äàííîì ñëó÷àå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òåëà2 cm ddtx2n = Fn , Jˆn dω̂dtn − (Jˆn+1 − Jˆn+2 )ω̂n+1 ω̂n+2 = M̂nc ,(50.2)ω̂n =PΛ̂nk ϕ̇k(n = 1, 2, 3)kóïðîùàþòñÿ. Ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè îò ïîñòîÿííûõ ýéëåðîâûõ óãëîâ ðàâíû íóëþ, àâìåñòå ñ íèìè â ñèëó ôîðìóë Ýéëåðà îáðàùàþòñÿ â íóëü è êîìïîíåíòû óãëîâîé ñêîðîñòè:ϕ̇k = 0, ω̂n =XΛ̂nk ϕ̇k = 0 (n = 1, 2, 3).k51 ýòèõ óñëîâèÿõ âòîðàÿ ãðóïïà óðàâíåíèé â (50.2) ïðèâîäèò ê íóëåâûì çíà÷åíèÿì êîìïîíåíò öåíòðàëüíîãî ñèëîâîãî ìîìåíòàM̂nc = 0 (n = 1, 2, 3).(50.3) äàííîì ñëó÷àå êîìïîíåíòû ãëàâíîãî âåêòîðà âíåøíèõ ñèë íå ñîäåðæàò óãëîâûõâåëè÷èí â êà÷åñòâå àðãóìåíòîâFn (t, xc , ẋc , ϕ, ω̂) = Fn (t, xc , ẋc ) (n = 1, 2, 3)(50.4)è ïåðâàÿ ãðóïïà óðàâíåíèé â (50.2) ñòàíîâèòñÿ çàìêíóòîé ñèñòåìîé óðàâíåíèé äëÿ êîîðäèíàò öåíòðà ìàññ òåëàmd2 xcn= Fn (t, xc , ẋc ) (n = 1, 2, 3).dt2(50.5)Ýòè óðàâíåíèÿ è íàçûâàþò äèíàìè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿòåëà.
Ïðèñîåäèíèâ ê íèì íà÷àëüíûå óñëîâèÿct = 0, xcn (0) = xcno , ẋcn (0) = vno(n = 1, 2, 3),(50.6)ïîëó÷èì íà÷àëüíóþ çàäà÷ó äëÿ äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ òåëà.Òàêèì îáðàçîì, ïîñòóïàòåëüíî äâèæóùååñÿ òåëî ìîæíî ìîäåëèðîâàòü ìàòåðèàëüíîéòî÷êîé öåíòðîì ìàññ. ×òî êàñàåòñÿ óñëîâèé (50.3), òî îíè âûðàæàþò íåîáõîäèìûåóñëîâèÿ ðåàëèçàöèè ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ: ÷òîáû òàêîå äâèæåíèå èìåëî ìåñòî,íåîáõîäèìî ðàâåíñòâî íóëþ ãëàâíîãî ìîìåíòà âíåøíèõ ñèë îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ.3◦Ïðåäñòàâëåíèå òåëà ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé.Ïåðâûå òðè äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òåëà â (50.2) îïðåäåëÿþò äâèæåíèåöåíòðà ìàññ òåëà íåçàâèñèìî îò äðóãèõ óðàâíåíèé, åñëè òîëüêî ãëàâíûé âåêòîð âíåøíèõñèë åñòü ôóíêöèÿ âèäà (50.4), ò.å. íå çàâèñèò îò õàðàêòåðèñòèê âðàùåíèÿ.
Äâèæåíèåòåëà â ýòîì ñëó÷àå îïèñûâàåòñÿ êàê äâèæåíèå âðàùàþùåéñÿ òî÷êè. Òàêèì îáðàçîì,ìîäåëèðîâàíèå òåëà òî÷êîé îçíà÷àåò ïðåíåáðåæåíèå íå ñòîëüêî âðàùåíèåì, ñêîëüêîåãî âëèÿíèåì íà ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå. Òðåáîâàíèå æå ïîñòóïàòåëüíîñòè äâèæåíèÿÿâëÿåòñÿ íå ñòðîãî íåîáõîäèìûì, à ëèøü óïðîùàþùèì ðàññìîòðåíèå.511◦Äèíàìèêà ïëîñêîãî äâèæåíèÿ òåëà.Êèíåìàòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïëîñêîãî äâèæåíèÿ.Ðàññìîòðèì ïëîñêîå äâèæåíèå òåëà, ïàðàëëåëüíîå ïëîñêîñòèOx1 x2 x3Ox1 x2ñèñòåìû îòñ÷åòà(Ðèñ.105). Âçÿâ ñîïóòñòâóþùóþ ñèñòåìó êîîðäèíàòCy1 y2 y3 ñ íà÷àëîì â öåíòðå ìàññ òàêîé, ÷òîáû îñè Ox3è Cy3 áûëè ïàðàëëåëüíû â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè, à öåíòðC ïðèíàäëåæàë ïëîñêîñòè Ox1 x2 , çàïèøåì êèíåìàòè÷åñêèåóðàâíåíèÿ ïëîñêîãî äâèæåíèÿ òåëà â âèäåxc1 = xc1 (t), xc2 = xc2 (t), ϕ3 = ϕ3 (t),(51.1)xc3 = 0, ϕ1 = 0, ϕ2 = 0.(51.2)Óñòàíîâèì äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïëîñêîãî äâèæåíèÿ, êîòîðûå ïî ñèëîâîé íàãðóçêå è íà÷àëüíîìó ñîñòîÿíèþÐèñ.
105òåëà ïîçâîëÿò íàéòè ôóíêöèè (51.1), îïðåäåëÿþùèå ïëîñêîå äâèæåíèå òåëà.522◦Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïëîñêîãî äâèæåíèÿ òåëà.Ñëåäñòâèåì óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òåëà (51.1) è (51.2) áóäóò ôîðìóëûẋc1 = ẋc1 (t), ẋc2 = ẋc2 (t), ẋc3 = 0; ẍc1 = ẍc1 (t), ẍc2 = ẍc2 (t), ẍc3 = 0;ϕ̇1 = 0,ω̂1 = ϕ̇1 sinϕ2 sinϕ3 + ϕ̇2 cosϕ3 = 0,(51.3)ϕ̇2 = 0,ω̂2 = ϕ̇1 sinϕ2 cosϕ3 − ϕ̇2 sinϕ3 = 0,ϕ̇3 = ϕ̇3 (t), ω̂3 = ϕ̇1 cosϕ2 + ϕ̇3 = ϕ̇3 ,îçíà÷àþùèå, ÷òî óñêîðåíèå öåíòðà ìàññ ïàðàëëåëüíî ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ, à óãëîâàÿñêîðîñòü òåëà îðòîãîíàëüíà ýòîé ïëîñêîñòè. Ñ ó÷åòîì ýòèõ âûðàæåíèé îáùèå äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òåëàdω̂n− (Jˆn+1 − Jˆn+2 )ω̂n+1 ω̂n+2 = M̂nc , ω̂n =mẍcn = Fn , JˆndtXΛ̂nk ϕ̇k(51.4)kìîãóò áûòü óïðîùåíû. Ôîðìóëû Ýéëåðà â (51.4) îïðåäåëèëè êîìïîíåíòû óãëîâîé ñêîðîñòè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
