1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Ñîãëàñíî (52.37) îíà çàâèñèò òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿhöåíòðà ìàññ äî îñè âðàùåíèÿ.Ïðè óâåëè÷åíèè ýòîãî ðàññòîÿíèÿ ïðèâåäåííàÿ äëèíà ìîæåò ñòàòü ñêîëü óãîäíî áîëüøîé. Îêàçûâàåòñÿ, îäíàêî, ÷òî åå íåëüçÿ ñäåëàòü ñêîëü óãîäíî ìàëîé. Äåéñòâèòåëüíî, ñó÷åòîì çíà÷åíèé ïðîèçâîäíûõr2dl= 1 − C2 ,dhhd2 l2rC2=dh2h3óñòàíàâëèâàåì, ÷òîd2 l> 0.dh2Ñëåäîâàòåëüíî, äëèíà l èìååò ìèíèìóì, ðàâíûé lmin = 2rC , äîñòèãàåìûé ïðè h = rC .ïðèh = rC ,dl= 0,dhÃðàôèê ôóíêöèè (52.37) óêàçàí íà pèñ.111. Íàñâîéñòâå ìèíèìóìà ïðèâåäåííîé äëèíûlîñíîâàí èí-òåðåñíûé ôàêò. Ïðè ìàëûõ êîëåáàíèÿõ ìàÿòíèêà ïå-√ √T = 2π l/ g.
Åñëè h > rC , òî ñ ïðèáëèæåíèåì öåíòðà ìàññ ê îñè h óìåíüøàåòñÿ âìåñòå ñ l , ñëåäîâàòåëüíî, óìåíüøàåòñÿ è ïåðèîä T . Åñëè æå h < rC ,ðèîä ðàâåíòî ïðèáëèæåíèå öåíòðà ìàññ ê îñè óâåëè÷èâàåò äëèíól,à ñëåäîâàòåëüíî è ïåðèîä (Ðèñ.111). Ýòîò ýôôåêòáûë â ñâîå âðåìÿ çàìå÷åí íà ÷àñàõ ÂåñòìèíñòåðñêîãîÐèñ. 111àááàòñòâà â Ëîíäîíå. Ýòè ÷àñû âíà÷àëå îòñòàâàëè. Ïîñëå óìåíüøåíèÿhîíè ñòàëè õîäèòü áûñòðåå, à ïîñëåäàëüíåéøåãî óìåíüøåíèÿh îíè îïÿòü ñòàëè çàìåäëÿòüõîä.Åñëè ïîäâåøèâàòü òâåðäîå òåëî â ðàçíûõ òî÷êàõ, òî ðàññòîÿíèÿ îò öåíòðà ìàññ äî îñèâðàùåíèÿ áóäóò âîîáùå ðàçíûìè è áóäåì ïîëó÷àòü ðàçëè÷íûå ôèçè÷åñêèå ìàÿòíèêè ñðàçëè÷íûìè ïðèâåäåííûìè äëèíàìè. Ãþéãåíñîì áûëî óñòàíîâëåíî îäíî çàìå÷àòåëüíîåñâîéñòâî ìàÿòíèêà, âûðàæåííîå èì â ôîðìå ñëåäóþùåé òåîðåìû: Òî÷êà ïîäâåñà è öåíòðêà÷àíèÿ ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà îáëàäàþò ñâîéñòâîì âçàèìíîñòè: åñëè öåíòð êà÷àíèÿñäåëàòü òî÷êîé ïîäâåñà, òî áûâøàÿ òî÷êà ïîäâåñà ñòàíåò öåíòðîì êà÷àíèÿ.Äîêàçàòåëüñòâî: ïóñòü òî÷êå ïîäâåñà O îòâå÷àþò ðàññòîÿíèå h è äëèíà l , ñâÿçàííûår200 0ðàâåíñòâîì l = C + h, à òî÷êå ïîäâåñà O ñîîòâåòñòâóþò âåëè÷èíû h , l , ñâÿçàííûåhr2000ôîðìóëîé l = C0 + h .
Êðîìå òîãî, î÷åâèäíà çàâèñèìîñòü l = h + h . Èç äâóõ âûðàæåíèéh2rr200äëÿ äëèíû ïîëó÷àåì ñâÿçü l = C + h = h + h, îòêóäà h = C . Òåïåðü ÿñíî, ÷òîhhr2l0 = hC0 + h0 = h + h0 = l, òî åñòü ïðèâåäåííûå äëèíû áóäóò ñîâïàäàòü, à ñëåäîâàòåëüíî,áóäóò ñîâïàäàòü è ìàÿòíèêè. Òåîðåìà äîêàçàíà.64531◦Äèíàìèêà ñôåðè÷åñêîãî äâèæåíèÿ òåëà.Êèíåìàòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ôèçè÷åñêîãî äâèæåíèÿ.Ïóñòü òâåðäîå òåëî ñîâåðøàåò ñôåðè÷åñêîå äâèæåíèåâîêðóãíåïîäâèæíîãîöåíòðàìàññC.Áåðÿýòîò öåíòð çà íà÷àëî íåïîäâèæíîé ñèñòåìû îòñ÷åòàCx1 x2 x3è çà íà÷àëî ñîïóòñòâóþùåé ñèñòåìûCy1 y2 y3 ,ïîëó÷èì êèíåìàòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òåëà ââèäå (Ðèñ.112)xCn = 0,ϕn = ϕn (t) ýòîì äâèæåíèè öåíòð ìàññ(n = 1, 2, 3).C(53.1)òåëà íåïîäâèæåí, ïî-ýòîìó êîìïîíåíòû åãî ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ ðàâíû íóëþÐèñ.
112vnC = ẋCn = 0,CaCn = ẍn = 0(n = 1, 2, 3),(53.2)÷òî êàñàåòñÿ ýéëåðîâûõ óãëîâ, òî îíè ìîãóò áûòü ïðîèçâîëüíûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè.Óñòàíîâèì äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ ýòèõ ôóíêöèé.2◦Äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ñôåðè÷åñêîãî äâèæåíèÿ.Äëÿ ïîëó÷åíèÿ äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñôåðè÷åñêîãî äâèæåíèÿ òåëà áóäåì èñõî-äèòü èç äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïðîèçâîëüíîãî äâèæåíèÿ òåëà (46.5)md 2 xCn= Fn ,dt2dω̂nJˆn− (Jˆn+1 − Jˆn+2 )ω̂n+1 ω̂n+2 = M̂nC ,dtdϕn X 0Λ̂nk ω̂k(n = 1, 2, 3).=dtk(53.3)Ïîñêîëüêó â äàííîì äâèæåíèè êîìïîíåíòû óñêîðåíèÿ öåíòðà ìàññ (53.2) ðàâíû íóëþ, ïåðâûå òðè èç ýòèõ óðàâíåíèé ïðèâîäÿò ê ðàâåíñòâó íóëþ ãëàâíîãî âåêòîðà âíåøíèõñèë:Fn = 0(n = 1, 2, 3).(53.4)Ðàâåíñòâà (53.4) âûðàæàþò íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ: ÷òîáû òåëî ñîâåðøàëî ñôåðè÷åñêîåäâèæåíèå âîêðóã íåïîäâèæíîãî öåíòðà ìàññ, äîëæåí ðàâíÿòüñÿ íóëþ ãëàâíûé âåêòîðâíåøíèõ ñèë.Ïðè ðàññìàòðèâàåìîì ñôåðè÷åñêîì äâèæåíèè êîîðäèíàòû è êîìïîíåíòû ñêîðîñòèöåíòðà ìàññ â ñèëó (53.1),(53.2) ðàâíû íóëþ, ïîýòîìó ó ãëàâíîãî öåíòðàëüíîãî è ñèëîâîãî ìîìåíòà ñîêðàùàåòñÿ ÷èñëî àðãóìåíòîâ: îí ñòàíîâèòñÿ ôóíêöèåé òîëüêî óãëîâûõâåëè÷èíMnC (t, xC , ẋC , ϕ, ω̂) = MnC (t, ϕ, ω̂)(n = 1, 2, 3).Ïîýòîìó îñòàâøèåñÿ â (53.3) äèíàìè÷åñêèå è êèíåìàòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà ñîñòàâëÿþò çàìêíóòóþ ñèñòåìódω̂nJˆn− (Jˆn+1 − Jˆn+2 )ω̂n+1 ω̂n+2 = M̂nC (t, ϕ, ω̂),dtdϕn X 0=Λ̂nk (ϕ)ω̂k(n = 1, 2, 3).dtk65(53.5)Ýòó ñèñòåìó íàçûâàþò äèíàìè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè ñôåðè÷åñêîãî äâèæåíèÿ âîêðóãíåïîäâèæíîãî öåíòðà ìàññ.
Âìåñòå ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìèϕn (0) = ϕ0n ,t = 0,ω̂n (0) = ω̂n0(n = 1, 2, 3).(53.6)óðàâíåíèÿ (53.5) ñîñòàâëÿþò íà÷àëüíóþ çàäà÷ó äëÿ ñôåðè÷åñêîãî äâèæåíèÿ òåëà.3◦Èíåðöèîííîå ñôåðè÷åñêîå äâèæåíèå òÿæåëîãî òåëà.Ðàññìîòðèì çàäà÷ó î ñôåðè÷åñêîì äâèæåíèè òåëàïîä äåéñòâèåì åãî âåñà. Ýòà çàäà÷à, íåñìîòðÿ íà êàæóùóþñÿ ïðîñòîòó, ÿâëÿåòñÿ âåñüìà ñëîæíîé çàäà÷åéìåõàíèêè.
Îáùåå åå ðåøåíèå íåèçâåñòíî. Çàäà÷à ïðèâëåêëà âíèìàíèå ìíîãèõ âûäàþùèõñÿ èññëåäîâàòåëåé.Íàèáîëåå èçâåñòíûå ðåçóëüòàòû ñâÿçàíû ñ èìåíàìèÝéëåðà, Ëàãðàíæà è Êîâàëåâñêîé. Ðàññìîòðèì ðåøåíèå Ýéëåðà, îòâå÷àþùåå èíåðöèîííîìó äâèæåíèþ òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîãî öåíòðà ìàññ, âçÿòîãî çà íà÷àëî îòñ÷åòà íåïîäâèæíîé ñèñòåìûCx1 x2 x3(Ðèñ.113).Äâèæåíèå òåëà ïðîèñõîäèò ïîä äåéñòâèåì àêòèâíîéÐèñ. 113~ íåïîäâèæíîé îïîðû, ïðèëîRæåííûõ â öåíòðå òÿæåñòè C , èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿñèëû âåñàP~è ðåàêöèè(53.6):ϕn (0) = ϕ0n ,t = 0,ω̂n (0) = ω̂n0(n = 1, 2, 3).Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ðåàëèçàöèè ñôåðè÷åñêîãî äâèæåíèÿ (53.4) îïðåäåëÿåò ðåàêöèþîïîðû:0 = Fn = Pn + Rn ,Ïîñêîëüêó îáå âíåøíèå ñèëû~P~ , RRn = −Pn(n = 1, 2, 3).(53.7)ïðèëîæåíû â íà÷àëå îòñ÷åòà, èõ ãëàâíûé ñèëîâîéìîìåíò îòíîñèòåëüíî ýòîãî öåíòðà ðàâåí íóëþ:~ C = ~xC × (P~ + R)~ = 0.MÑëåäîâàòåëüíî, â äàííîì ñëó÷àå òåëî ñîâåðøàåò èíåðöèîííîå ñôåðè÷åñêîå äâèæåíèå,îïðåäåëÿåìîå îäíîðîäíûìè äèíàìè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè (53.5):dω̂n− (Jˆn+1 − Jˆn+2 )ω̂n+1 ω̂n+2 = 0Jˆndt(n = 1, 2, 3).Ýòè óðàâíåíèÿ îáðàçóþò çàìêíóòóþ ñèñòåìó îòíîñèòåëüíî êîìïîíåíò óãëîâîé ñêîðîñòè, êîòîðóþ ìîæíî èíòåãðèðîâàòü íåçàâèñèìî îò êèíåìàòè÷åñêèõ óðàâíåíèé.Çàïèøåì ýòè óðàâíåíèÿ â íîðìàëüíîé ôîðìå, èñïîëüçóÿ áîëåå ïðîñòûå îáîçíà÷åíèÿ:ω̂n = ωn , Jˆn = Jnè ïîëàãàÿdω1J2 − J3=ω2 ω3 ,dtJ1J1 > J2 > J3dω2J1 − J3=−ω3 ω1 ,dtJ2dω3J1 − J2=ω1 ω2 .dtJ3(53.8)Èñêëþ÷èì èç ýòèõ óðàâíåíèé âðåìÿ, ïîäåëèâ ïî÷ëåííî óðàâíåíèÿ íà âòîðîå èç íèõdω1dω2= −A21,dω2dω1dω3dω2= −A23,dω2dω366(53.9)J2 (J2 − J3 ),J1 (J1 − J3 )A21 =A22 =J2 (J1 − J2 ).J3 (J1 − J3 )(53.10)Ðàçäåëÿÿ â (53.9) ïåðåìåííûå è èíòåãðèðóÿ ïîëó÷èì ïðåäñòàâëåíèÿ ïåðâîé è òðåòüåéêîìïîíåíò óãëîâîé ñêîðîñòè ÷åðåç âòîðóþ èç íèõω3 dω3 = −A23 ω2 dω2 ;ω32 = A23 (C32 − ω22 ),ω1 dω1 = −A21 ω2 dω2 ,ω12 = A21 (C12 − ω22 ),ãäåC1 , C3(53.11) ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.
Ýòè ïîñòîÿííûå îïðåäåëÿþòñÿ óñëîâèÿìè (53.6)â âèäå2ω102= 2 + ω20,A1C12Èç ðàâåíñòâ (53.11) ñëåäóåò, ÷òîω222ω302= 2 + ω20.A3C22(53.12)íå äîëæíî ïðåâîñõîäèòü íàèìåíüøåé èç ïîñòîÿííûõ(53.12):ω22 ≤ C12 ,ω22 ≤ C32(ω22 ≤ min (C12 , C32 )).Ïîäñòàâèâ òåïåðü âî âòîðîå óðàâíåíèå â (53.8) çíà÷åíèÿω2 :qdω2= ±b (C12 − ω22 )(C32 − ω22 ),dtω1è(53.13)ω3ñîãëàñíî (53.11),ïîëó÷èì óðàâíåíèå äëÿb2 =(J1 − J2 )(J2 − J3 ).J1 J3(53.14)Âûáèðàÿ äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïåðåä êîðíåì çíàê ïëþñ, ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå è èíòåãðèðóÿ, íàéäåìω2Zbt + p =0dω2p(C12− ω22 )(C32 − ω22 ),p = const.(53.15)ω2 (t) ÷åðåç ýëëèïòè÷åñêóþ ôóíêçíà÷åíèÿìè ïîñòîÿííûõ C1 , C3 , òî åñòüÈç ýòîãî ðàâåíñòâà ìîæíî ïðåäñòàâèòü çàâèñèìîñòüöèþ ßêîáè.
Âèä ýòîé çàâèñèìîñòè îïðåäåëÿåòñÿíà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè. Âîçìîæíû ñëåäóþùèå ñëó÷àèC3 > C1 ,C1 > C3 ,C1 = 0,C3 = 0,C1 = C3 .Ðàññìîòðèì ïîäðîáíî ïåðâûé èç íèõ (âòîðîé ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî; â òðåòüåìè ÷åòâåðòîì ñëó÷àÿõ òåëî ðàâíîìåðíî âðàùàåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî âîêðóã îñåéy1èy3 ,àâ ïîñëåäíåì äâèæåíèå îïèñûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíûìè ôóíêöèÿìè).ÏóñòüC3 > C1 . ñèëó (53.13)ω 2 ≤ C1 ,ïîýòîìó ïîëîæèìω2 = C1 sin α.(53.16)Òîãäà èç (53.15) ïîëó÷èìZbC3 t + p3 =0αdαp≡ u,1 − k 2 sin2 αk2 =C12< 1,C32p3 = pC3 .(53.17)u = u(α) îáðàòíîé ôóíêöèåé ÿâëÿåòñÿ àìïëèα = amu, à òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ñèíóñîì îò íåå ÿâëÿåòñÿ ýëëèïòè÷åñêèé ñèíóñ:sin α = sin amu = sn(u).
×åðåç sn(u) ìîæíî îïðåäåëèòü äâå äðóãèå ôóíêöèè: cn(u) èdn(u), íàçûâàåìûå ýëëèïòè÷åñêèì êîñèíóñîì è äåëüòîé àìïëèòóäû ñîîòâåòñòâåííî:ppsn(u) = sin amu,cn(u) = 1 − sn2 (u),dn(u) = 1 − k 2 sn2 (u).(53.18)Äëÿ ýëëèïòè÷åñêîãî èíòåãðàëà (53.17):òóäà:67Ïðè íóëåâîì àðãóìåíòå ýòè ôóíêöèè èìåþò çíà÷åíèÿ:sn(0) = 0, cn(0) = 1, dn(0) = 1.Êðîìå òîãî, èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ýëëèïòè÷åñêèå ôóíêöèè ïåðèîäè÷íû ñ ïåðèîäîìZT = 4K,π/2K=0dαp.1 − k 2 sin2 α(53.19)Íà îñíîâàíèè ôîðìóë (53.11), (53.16), (53.17) çàêëþ÷àåì, ÷òî êîìïîíåíòû óãëîâîé ñêîðîñòè ÿâëÿþòñÿ ýëëèïòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè âðåìåíèω2 = C1 sin α = C1 sn(u) = C1 sn(bC3 t + p3 ),qpω3 = A3 C32 − C12 sn2 (u) = A3 C3 1 − k 2 sn2 (u) = A3 C3 dn(u) = A3 C3 dn(bC3 t + p3 ),qpω1 = A1 C12 − C12 sn2 (u) = A1 C1 1 − sn2 (u) = A1 C1 cn(u) = A1 C1 cn(bC3 t + p3(53.20)). ñèëó ïåðèîäè÷íîñòè ýëëèïòè÷åñêèõ ôóíêöèé ïåðèîäè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè áóäóò èêîìïîíåíòû óãëîâîé ñêîðîñòè.Äëÿ îêîí÷àòåëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è ñëåäóåò íàéòè çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè ýéëåðîâûõ óãëîâ, òî åñòü ïðîèíòåãðèðîâàòü êèíåìàòè÷åñêèå ôîðìóëû Ýéëåðà.
Íåëèíåéíîñòüýòèõ ôîðìóë çàòðóäíÿåò èõ íåïîñðåäñòâåííîå èíòåãðèðîâàíèå. Ïîýòîìó ýòà çàäà÷à áóäåòðåøåíà èíûì ïóòåì. ðàññìàòðèâàåìîì äâèæåíèè~ C = 0,Mïîýòîìó èç òåîðåìû î öåíòðàëüíîì êèíåòè-÷åñêîì ìîìåíòå ñëåäóåò âåêòîðíûé èíòåãðàë~CdL~ C = 0,=Mdt~ C = const,L222L2C = J12 ω10+ J22 ω20+ J32 ω30.(53.21)Èññëåäîâàíèå óïðîùàåòñÿ, åñëè ýòîò ïîñòîÿííûé âåêòîð ïðèíÿò çà íåïîäâèæíóþ îñüCx3 .Òîãäà â ïðîåêöèÿõ íà íåïîäâèæíûå îñè áóäåì èìåòü~ C = LC ~e3 ,LLCn = LC Γn3(n = 1, 2, 3).(53.22) ïîäðîáíîé çàïèñè ýòè ôîðìóëû ïðèíèìàþò âèäJ1 ω1 = LC sin ϕ2 sin ϕ3 ,J2 ω2 = LC sin ϕ2 cos ϕ3 ,J3 ω3 = LC cos ϕ2 .(53.23)Èç ýòèõ ôîðìóë ñðàçó îïðåäåëÿþòñÿ óãëû íóòàöèè è ñîáñòâåííîãî âðàùåíèÿ; ñ ó÷åòîìâûðàæåíèé (53.20) èìååì:tg ϕ3 =A1 J1 cn(bC3 t + p3 )J1 ω1=,J2 ω2J2 sn(bC3 t + p3 )cos ϕ2 =J3J3 A3 C3ω3 =dn(bC3 t + p3 ).LCLCÄëÿ îïðåäåëåíèÿ óãëà ïðåöåññèè âîñïîëüçóåìñÿ âûðàæåíèåì äëÿϕ̇1èç ýéëåðîâûõ ôîð-ìóëω2 = ϕ̇1 sin ϕ2 cos ϕ3 − ϕ̇2 sin ϕ3ω1 = ϕ̇1 sin ϕ2 sin ϕ3 + ϕ̇2 cos ϕ3 ,â âèäåϕ̇1 =ω1 sin ϕ3 + ω2 cos ϕ3.sin ϕ2Èç äâóõ ïåðâûõ ðàâåíñòâ â (53.23) ñëåäóþò ñîîòíîøåíèÿJ12 ω12 + J22 ω22 = L2C sin2 ϕ2 ,J1 ω12 + J2 ω22 = LC sin ϕ2 (ω1 sin ϕ3 + ω2 cos ϕ3 ),68(53.24)ïîçâîëÿþùèå ïðåîáðàçîâàòü ïðàâóþ ÷àñòü âϕ̇1è çàòåì ñ ó÷åòîì (53.20) ïðåäñòàâèòü å¼â âèäåJ1 A21 + (J2 − J1 A21 )sn2 (bC3 t + p3 )J1 ω 2 + J2 ω22dϕ1= H(t).=L= LC 2 12C 2 2dtJ1 ω1 + J22 ω22J1 A1 + (J22 − J12 A21 )sn2 (bC3 t + p3 )Îòñþäà óãîë ïðåöåññèè îïðåäåëÿåòñÿ êâàäðàòóðîé îò ýëëèïòè÷åñêîé ôóíêöèèZϕ1 =tH(t)dt + ϕ01 .(53.25)0sn(bC3 t + p3 ) ñ ïåðèîäîì T ñëåäóåò èϕ̇1 : ϕ̇1 (t + T ) = ϕ̇1 (t).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
