1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Îòñþäà èíòåãðèðîâàíèåì ïî âðåìåíè ïîëó÷àåìϕ1 (t + T ) = ϕ1 (t) + e, e = const, òî åñòü ϕ1 (t) óæå íå ïåðèîäè÷íà: ïî èñòå÷åíèè âðåìåíèT îíà ïîëó÷àåò ïðèðàùåíèå e.Çàìåòèì, ÷òî èç ïåðèîäè÷íîñòè ôóíêöèèïåðèîäè÷íîñòüÔîðìóëû (53.24), (53.25) ðåøàþò çàäà÷ó î èíåðöèîííîì äâèæåíèè òåëà: îíè îïðåäåëÿþò ýéëåðîâû óãëû â âèäå ýëëèïòè÷åñêèõ ôóíêöèé âðåìåíè.4◦Èíåðöèîííîå äâèæåíèå ñèììåòðè÷íîãî òåëà. ÷àñòíîì ñëó÷àå ñèììåòðè÷íîãî òåëà, äëÿ êîòîðîãî ðàâíû äðóã äðóãó äâà ãëàâíûõöåíòðàëüíûõ èíåðöèîííûõ ìîìåíòà:J1 = J2 6= J3 ,èíåðöèîííîå ñôåðè÷åñêîå äâèæåíèåòåëà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ.
Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå òðåòüå äèíàìè÷åñêîå óðàâíåíèå â (53.8) äàåò äîïîëíèòåëüíûé èíòåãðàë óðàâíåíèéäâèæåíèÿdω3J1 − J2=ω1 ω2 = 0,dtJ3ω3 = ω30 .(53.26)Òîãäà èç òðåòüåãî â (53.23) óðàâíåíèÿ ñëåäóåò ïîñòîÿíñòâî óãëà íóòàöèè:J3 ω30= const,ϕ2 = ϕ02 .LCÝéëåðà äëÿ ω1 ñëåäóåò âûðàæåíèåcos ϕ2 =Ïðè ýòîì èç ïåðâîé ôîðìóëû(53.27)ω1 = ϕ̇1 sin ϕ2 sin ϕ3 + ϕ˙2 cos ϕ3 = ϕ̇1 sin ϕ02 sin ϕ3 ,â ñèëó êîòîðîãî ïåðâîå ðàâåíñòâî â (53.23) ïðèâîäèò ê ïîñòîÿíñòâóJ1 ϕ̇1 sin ϕ02 sin ϕ3 = LC sin ϕ02 sin ϕ3 ,ϕ̇1 =ϕ̇1 :LC= n1 = const.J1Îòñþäà èíòåãðèðîâàíèåì äëÿ ïðåöåññèè ïîëó÷àåì ëèíåéíóþ ôóíêöèþ âðåìåíèϕ1 = n1 t + ϕ01 .(53.28)Íàêîíåö, íà îñíîâå ïîëó÷åííûõ ñîîòíîøåíèé òðåòüÿ ôîðìóëà Ýéëåðà ω3 = ϕ̇1 cos ϕ2 + ϕ̇300ïðèíèìàåò âèä ω3 = n1 cos ϕ2 + ϕ̇3 è ïðèâîäèò ê ïîñòîÿíñòâó ñêîðîñòè ñîáñòâåííîãîâðàùåíèÿϕ̇3 = ω30 − n1 cos ϕ02 = n3 = const,îòêóäà èíòåãðèðîâàíèåì óñòàíàâëèâàåì, ÷òî ñîáñòâåííîå âðàùåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ëèíåéíîé ôóíêöèåé âðåìåíèϕ3 = n3 t + ϕ03 .(53.29)Èòàê, èíåðöèîííîå äâèæåíèå ñèììåòðè÷íîãî òÿæåëîãî òåëà îïèñûâàåòñÿ ëèíåéíûìèôóíêöèÿìè âðåìåíèϕ1 = n1 t + ϕ01 ,ϕ2 = ϕ02 ,69ϕ3 = n3 t + ϕ03 ,(53.30)îïðåäåëÿþùèìè òàê íàçûâàåìóþ ðåãóëÿðíóþ ïðåöåññèþ.
 ýòîì äâèæåíèè òåëî ñîâåðøàåò ðàâíîìåðíîåñîáñòâåííîå âðàùåíèå âîêðóã îñè ñèììåòðèèCy3 ,êî-òîðàÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, ðàâíîìåðíî âðàùàåòñÿ (ïðåöåññèðóåò) âîêðóã íåïîäâèæíîé âåðòèêàëüíîé îñè Ox3 ,0ñîñòàâëÿÿ ñ íåé ïîñòîÿííûé óãîë íóòàöèè ϕ2 (Ðèñ.114). ðåãóëÿðíîé ïðåöåññèè óãëîâàÿ ñêîðîñòü òåëà ω~ âÐèñ. 114íåïîäâèæíîì ïðîñòðàíñòâåäâèæíûé êîíóñ ñ îñüþñòâåCy1 y2 y3 ïîäâèæíûé êîíóñ ñ îñüþCy3 ,Cx3 ,Cx1 x2 x3îïèñûâàåò íåïî-à â ïîäâèæíîì ïðîñòðàí-êîòîðûå êàñàþòñÿ äðóã äðóãà âäîëü èõîáùåé îáðàçóþùåé.Ãëàâà. Äèíàìèêà íåñâîáîäíûõ ñèñòåì.Îñíîâíàÿ çàäà÷à, ðåøàåìàÿ â äèíàìèêå íåñâîáîäíûõ ñèñòåì, ñîñòîèò â îïðåäåëåíèèêàê äâèæåíèÿ ñàìîé ñèñòåìû, òàê è íàõîæäåíèè ðåàêöèé ñâÿçåé.
 ýòîé ãëàâå áóäåòïîëó÷åíà ïîëíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ íàõîæäåíèÿ âñåõ ýòèõ âåëè÷èí. Îñíîâó åå ñîñòàâëÿåò ëàãðàíæåâû äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ íåîïðåäåëåííûìè ìíîæèòåëÿìè.54Ìåõàíè÷åñêèå ñèñòåìû, ñâÿçè è èõ êëàññèôèêàöèÿ. îáùåì ñëó÷àå äâèæåíèå ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì ïîä÷èíÿþò ðÿäó îãðàíè÷åíèé. Âýòîì ñëó÷àå ñèñòåìû íàçûâàþò íåñâîáîäíûìè, à îãðàíè÷åíèÿ - ñâÿçÿìè.
Ðàçëè÷àþòðàçëè÷íûå âèäû ñâÿçåé, à íà èõ îñíîâå è ñèñòåì.1◦Êëàññèôèêàöèÿ ñâÿçåé è ñèñòåì.{Pk },N ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà Ox1 x2 x3 . Ïîëîæåíèå è ñêîðîñòü òî÷êè Pk â ýòîé ñèñòåìå îïðåäåëÿþòñÿ âåêòîðàìè x̄k , v̄k èëè èõkkêîìïîíåíòàìè xn , vn .  îáùåì ñëó÷àå íåñâîáîäíîé ñèñòåìû ñâÿçè âûðàæàþò îãðàíè÷åÁóäåì ðàññìàòðèâàòü äâèæåíèå ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìûñîñòîÿùåé èçíèÿ íà ýòè âåëè÷èíû â âèäå íåêîòîðûõ óðàâíåíèé.Åñëè óðàâíåíèå ñâÿçè â êà÷åñòâå àðãóìåíòîâ ñîäåðæèò âðåìÿ è âåêòîð-ðàäèóñû (êîîðäèíàòû) òî÷åê:f (t, x̄1 , ..., x̄N ) = 0,(54.1)òî ñâÿçü íàçûâàþò ãåîìåòðè÷åñêîé (êîíå÷íîé), à ìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó ñ òàêèìè ñâÿçÿìè - ãîëîíîìíîé.Åñëè óðàâíåíèå ñâÿçè, ïîìèìî âðåìåíè è âåêòîð-ðàäèóñîâ, ñîäåðæèò åùå è ñêîðîñòèòî÷åê (è åãî íåëüçÿ ïðîèíòåãðèðîâàòü è ñâåñòè ê (54.1):g(t, x̄1 , ..., x̄N , v̄1 , ..., v̄N ) = 0,(54.2)òî ñâÿçü íàçûâàþò êèíåìàòè÷åñêîé (äèôôåðåíöèàëüíîé), à ìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó ñòàêèìè ñâÿçÿìè - íåãîëîíîìíîé.Åñëè óðàâíåíèÿ ñâÿçåé íå ñîäåðæàò âðåìÿ, èõ íàçûâàþò ñòàöèîíàðíûìè (à ìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó - ñêëåðîíîìíîé), åñëè âðåìÿ â óðàâíåíèÿ âõîäèò - íåñòàöèîíàðíûìè (àìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó - ðåîíîìíîé).702◦Ïðèìåðû ñâÿçåé.P1 (x1n ) è P2 (x2n ) ñîåäèíåíû|x̄2 − x̄1 |2 = l2 èëèÄâå ìàòåðèàëüíûå òî÷êèÓðàâíåíèå ñâÿçè èìååò âèäñòåðæíåì ïîñòîÿííîé äëèíûf = (x21 − x11 )2 + (x22 − x12 )2 + (x23 − x13 )2 − l2 = 0.l.(54.3)Ýòà ñâÿçü - ãåîìåòðè÷åñêàÿ ñòàöèîíàðíàÿ.Ïóñòü òî÷êà P (xn ) äâèæåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî â ëþáîì ïîëîæåíèè åå ñêîðîñòüv̄(vn ) íàïðàâëåíà íà òî÷êó P 0 (x0n ), äâèæåíèå êîòîðîé çàäàíî: x0n = x0n (t) (ïðåñëåäîâàíèå).Ýòî óñëîâèå îçíà÷àåò êîëëèíåàðíîñòü âåêòîðîâ v̄ è P¯P 0 , ò.
å. v̄ = λ(x̄0 − x̄). Çàïèñàâ ýòîðàâåíñòâî â êîìïîíåíòíîì âèäå è èñêëþ÷èâ êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòèvn = λ(x0n − xn )(n = 1, 2, 3);λ=x01v1v2v3= 0= 0,− x1x2 − x 2x3 − x3ïðèäåì ê äâóì óðàâíåíèÿìg1 = v1 (x03 (t) − x3 ) − v3 (x01 (t) − x1 ) = 0,g2 = v2 (x03 (t) − x3 ) − v3 (x02 (t) − x2 ) = 0.(54.4)âûðàæàþùèì äâå êèíåìàòè÷åñêèå íåñòàöèîíàðíûå ñâÿçè.55Äâèæåíèå ãîëîíîìíûõ ñèñòåì â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ.1◦×èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû.Áóäåì ðàññìàòðèâàòü äâèæåíèå ãîëîíîìíîé ñèñòåìûñèñòåìå îòñ÷åòàOx1 x2 x3íà êîòîðóþ íàëîæåíîfs (t, x̄1 , .., x̄N )Îòíîñèòåëüíî ñâÿçåé ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òîgNòî÷åê{Pk }â èíåðöèàëüíîéãåîìåòðè÷åñêèõ ñâÿçåé(s = 1, .., g).fs ∈ C 2(ò. å.(55.1)fsÿâëÿþòñÿ äâàæäû íåïðå-ðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûìè ôóíêöèÿìè ñâîèõ àðãóìåíòîâ) è ÷òî óðàâíåíèÿ ñâÿçåé íåçàâèñåìû ìåæäó ñîáîé, ò. å.srang(Jkn) = g,s(Jkn)=∂fs∂xkn(s = 1, .., g; kn = 11, .., N 3).(55.2)Ìåæäó ÷èñëîì 3N êîîðäèíàò è ÷èñëîì g ñâÿçåé âîçìîæíû ñîîòíîøåíèÿ: 3N <g, 3N = g, 3N > g.Ïðè 3N < g ÷èñëî ñâÿçåé ïðåâûøàåò ÷èñëî êîîðäèíàò òî÷åê ñèñòåìû; â ýòîì ñëó÷àåñèñòåìà (55.1) íåñîâìåñòíà.Ïðè3N = g÷èñëî ñâÿçåé ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì êîîðäèíàò è â ñèëó (55.2) ñèñòåìàkk(55.1) ìîæåò áûòü ðàçðåøåíà: xn = xn (t) (kn = 11, .., N 3).
Òåì ñàìûì ñâÿçè ïîëíîñòüþîïðåäåëÿþò äâèæåíèå (áåç ïðèâëå÷åíèÿ çàêîíîâ ìåõàíèêè). Ýòî - ìàëî èíòåðåñíûé ñëó÷àé.Ïðè3N > g ñèñòåìà (55.1) îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàò íåäîîïðåäåëåíà; äëÿ îïðåäåëåíèÿêîîðäèíàò â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè íåîáõîæèìî èñïîëüçîâàòü çàêîíû ìåõàíèêè. Ýòî îñíîâíîé ñëó÷àé, ðàññìàòðèâàåìûé â äàëüíåéøåì. Ðàçíîñòü3N − g = n,ñîâïàäàþùóþñ ÷èñëîì íåçàâèñèìûõ êîîðäèíàò, íàçûâàþò ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû ñèñòåìû.712◦Îãðàíè÷åíèÿ íà ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ.Îáðàòèìñÿ ê óðàâíåíèÿì ñâÿçåé (50.1) è ïðîäèôôåðåíöèðóåì èõ ïî âðåìåíè, â ðå-çóëüòàòå áóäåì èìåòüX ∂fs∂fs· v̄k +=0∂x̄∂tkkX ∂fs∂fs(· vnk += 0)∂t∂tkn(s = 1, ..g).(55.3)Ýòè ñîîòíîøåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîþ îãðàíè÷åíèÿ íà ñêîðîñòè òî÷åê â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè è â äàííîì ïîëîæåíèè.
Èç óñëîâèÿ3N > gñëåäóåò, ÷òî ñâÿçè íå îïðåäå-ëÿþò ñêîðîñòè òî÷åê åäèíñòâåííûì îáðàçîì, à äîïóñêàþò äëÿ íèõ íåêîòîðûé ïðîèçâîë:kkîíè ïîçâîëÿþò âûðàçèòü "çàâèñèìûå"ñêîðîñòè vn çàâ. ÷èñëîì g ÷åðåç "íåçàâèñèìûå"vn íåç.÷èñëîìn.Äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî âðåìåíè ðàâåíñòâ (55.3) ïðèâîäèò ê óñëîâèÿì, îãðàíè÷èâàþùèì óñêîðåíèÿ òî÷åêX d ∂fsX ∂fsd ∂fs· āk + hs (t, x̄, v̄) = 0, hs =() · v̄k += 0 (s = 1, .., g).∂ x̄kdt ∂ x̄kdt ∂tkk(55.4)Êàê âèäèì, ÷èñëî óðàâíåíèé è ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ ïðè óñêîðåíèÿõ â ñèñòåìå (55.4) ñîâïàäàþò ñîîòâåòñòâåííî ñ ÷èñëîì óðàâíåíèé è ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâïðè ñêîðîñòÿõ â ñèñòåìå (55.3).
Óðàâíåíèÿ (55.4) òàêæå ïîçâîëÿþò âûðàçèòü "çàâèñèìûå"óñêîðåíèÿ ÷åðåç îñòàëüíûå íåçàâèñèìûå óñêîðåíèÿ.3◦Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû.Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñâîáîäíîé ñèñòåìû, ïîëó÷àåìîé èç ðàññìàòðèâàåìîé íåñâîáîä-íîé ñèñòåìû îñâîáîæäåíèåì åå îò ñâÿçåé, èìåþò âèämk āk = F̄k + R̄kãäåF̄k- àêòèâíûå ñèëû, àR̄k(k = 1, .., N ),(55.5)- ðåçóëüòèðóþùèå ðåàêöèè ñâÿçåé, ò. å. òåõ äîïîëíèòåëü-íûõ ñèë, ñ êîòîðûìè îñóùåñòâëÿþùèå ñâÿçè ìàòåðèàëüíûå òåëà äåéñòâóþò íà òî÷êèñèñòåìû. Ýòè ðåàêöèè îïðåäåëþò èç òåõ ñîîáðàæåíèé, ÷òîáû óñêîðåíèÿ, íàéäåííûå èçF̄ +R̄kóðàâíåíèé (55.5): āk = k, óäîâëåòâîðÿëè îãðàíè÷åíèÿì (55.4):mkX 1 ∂fs· R̄k + Hs = 0 (s = 1, .., g),mk ∂ x̄kkX 1 ∂fsHs = hs +· F̄k .mk ∂ x̄kk(55.6)Îñíîâíàÿ çàäà÷à äèíàìèêè íåñâîáîäíîé ñèñòåìû ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïî çàäàííûììàññàì, àêòèâíûì ñèëàì è ñâÿçÿì èç ñèñòåìû óðàâíåíèémk ẍkn = Fnk + Rnk (k = 1, .., N ; n = 1, 2, 3),fs (t, x1n , .., xNn ) = 0 (s = 1, .., g; n = 1, 2, 3)(55.7)è ñîâìåñòíûìè ñî ñâÿçÿìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìèkt = 0, xkn (0) = xkn0 , ẋkn (0) = vn0îïðåäåëÿòü äâèæåíèå ñèñòåìû - ôóíêöèèxkn (t)72(k = 1, .., N ; n = 1, 2, 3)è ðåàêöèè ñâÿçåé - âåëè÷èíû(55.8)Rnk .Îäíàêî, åñëè îòíîñèòåëüíî õàðàêòåðà ñâÿçåé (êðîìå îïðåäåëÿþùèõ óðàâíåíèé (55.1))äîïîëíèòåëüíî íè÷åãî íå èçâåñòíî, òî ñôîðìóëèðîâàííàÿ çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ íåîïðåäåëåííîé: èç ñèñòåìû 3N + g óðàâíåíèé (55.7) òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü áîëüøåå ÷èñëî 6N âåkkëè÷èí: xn , Rn .
Íåîïðåäåëåííîñòü ñëåäóåò èç òîãî îáñòîÿòåëüñòâà, ÷òî íåäîîïðåäåëåíàñèñòåìà óðàâíåíèé (55.6) äëÿ ðåàêöèè.×òîáû çàäà÷à î äâèæåíèè íåñâîáîäíîé ñèñòåìû ñòàëà îïðåäåëåííîé, íàäî ëèáî äîáàâèòü íåäîñòàþùåå ÷èñëî ñîîòíîøåíèé ìåæäó èñêîìûìè âåëè÷èíàìè, ëèáî ñîêðàòèòü÷èñëî èñêîìûõ âåëè÷èí. Äîïîëíèòåëüíûå ñîîòíîøåíèÿ ìîãóò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîþ ýêñïåðåìåíòàëüíî óñòàíîâëííûå çàêîíû äëÿ ðåàêöèé. Óìåíüøåíèÿ ÷èñëà èñêîìûõ âåëè÷èíìîæíî äîñòè÷ ïóòåì ðàññìîòðåíèÿ ñâÿçåé ñî ñïåöèàëüíûìè ñâîéñòâàìè.  äåëüíåéøåìðåàëèçóåòñÿ âòîðîé ïóòü: ðàññìàòðèâàåòñÿ êëàññ èäåàëüíûõ ñâÿçåé, äëÿ êîòîðûõ âñåðåàêöèè âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ìåíüøåå ÷èñëî èñêîìûõ âåëè÷èí - ìíîæèòåëåé ñâÿçåé. Òåìñàìûì áóäåò ïîëó÷åíà çàìêíóòàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ îïèñàíèÿ ñòåñíåííîãî äâèæåíèÿ ñèñòåìû.4◦Èäåàëüíûå ñâÿçè.Ïðè äâèæåíèè îäíîé òî÷êèP (xn )ïî ïîâåðõíîñòèf (x̄, t) = 0ðåàêöèþ ïîâåðõíîñòèðàçëàãàþò íà íîðìàëüíóþ è òàíãåíöèàëüíóþ ñîñòàâëÿþùèå R̄ = N̄ + Q̄, èç êîòîðûõdfïåðâàÿ îïðåäåëåíà ñâÿçüþ N̄ = λ , à âòîðàÿ îïðåäåëåíà ýêñïåðèìåíòàëüíûì çàêîíîìdx̄Êóëîíà Q̄ = −kN τ̄ .Ñâÿçüf = 0íàçûâàþò ãëàäêîé (èäåàëüíîé), åñëè òàíãåíöèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿðåàêöèè îòñóòñòâóåò:Q̄ = 0è ïîëíàÿ ðåàêöèÿ ñâÿçè ñòàíîâèòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíîé ãðà-äèåíòó ñâÿçèR̄ = λdfdx̄(Rn = λ∂f(n = 1, 2, 3)).∂xn(55.9)Äëÿ èäåàëüíîé ñâÿçè ñîêðàùàåòñÿ ÷èñëî íåèçâåñòíûõ âåëè÷èí: òðè êîìïîíåíòû ðåàêöèèR1 , R2 , R3âûðàæàþòñÿ ÷åðåç îäíó íåèçâåñòíóþ âåëè÷èíó - ìíîæèòåëü ñâÿçèλ.Îáîáùàÿ ýòîò ñëó÷àé íà ïðîèçâîëüíûå ãåîìåòðè÷åñêèå ñâÿçè, íàçîâåì ñâÿçüfs (t, x̄1 , .., x̄N ) = 0 èäåàëüíîé, åñëè åå ðåàêöèÿ R̄ksíà òî÷êóPkñèñòåìû ïðîïîðöèîíàëüíàãðàäèåíòó ñâÿçè ïî âåêòîð-ðàäèóñó ýòîé òî÷êè ò.å.R̄ks = λs∂fs∂ x̄k(s = 1, ..g; k = 1, .., N ),(55.10)ïðè÷åì ó êàæäîé ñâÿçè êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ñâîé, ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
