1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Äåéñòâèòåëüíî,Cy10 y20 y30 , ïàðàëëåëüíûõ ñîîòâåòñòâóþùèì îñÿìC0ñèñòåìû Oy1 y2 y3 . Òîãäà â ñèëó ôîðìóë yn = yn + yn(n = 1, 2, 3) öåíòðîáåæíûåñâÿæåì ñ öåíòðîì ìàññ ñèñòåìó îñåéìîìåíòû èíåðöèè îòíîñèòåëüíî öåíòðîâOèC0Jˆ13= Jˆ13+ my1C y3C ,è â ñèëó (52.18) èy1C = y2C = 0Cáóäóò ñâÿçàíû çàâèñèìîñòÿìèC0Jˆ23= Jˆ23+ my2C y3Cäàäóò äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿCCJˆ13= Jˆ23= 0.Òàêèì îáðàçîì, ïðè âðàùåíèè òåëà äèíàìè÷åñêèå ðåàêöèè ñîâïàäàþò ñî ñòàòè÷åñêèìè, åñëè îñü âðàùåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ãëàâíîé öåíòðàëüíîé îñüþ èíåðöèè òåëà. ìåõàíèçìàõ ñ áûñòðîâðàùàþùèìèñÿ äåòàëÿìè äëÿ èçáåæàíèÿ áîëüøèõ äèíàìè÷åñêèõ ðåàêöèé ñëåäÿò çà òåì, ÷òîáû îñè âðàùåíèÿ áûëè ãëàâíûìè öåíòðàëüíûìè îñÿìèèíåðöèè.4◦Êðóãîâîé ìàÿòíèê.Êðóãîâûìòî÷êó,ìàÿòíèêîìäâèæóùóþñÿâíàçûâàþòìàòåðèàëüíóþâåðòèêàëüíîéïëîñêîñòèïîãëàäêîé îêðóæíîñòè ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè.Ox1 x2 x3ñ âåðòè-è ãîðèçîíòàëüíûìè îñÿìèOx2 , Ox3 íåïîäâèæíîé ñèñòåìå îòñ÷åòàêàëüíîé îñüþìàÿòíèêMOx1Ox3 (Ðèñ.
109).m, l = O M, ϕ = ϕ3 = (x01 , O0 M )âðàùàåòñÿ âîêðóã îñè0Îáîçíà÷àÿ ÷åðåçìàññó, äëèíó è óãîë ïîâîðîòà ìàÿòíèêà, ïðèìåíèìê íåìó óðàâíåíèå âðàùåíèÿ âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè(52.14) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (52.15):Jˆ30 ϕ̈3 = M30 (t, ϕ3 , ϕ̇3 ), t = 0, ϕ3 = ϕ03 , ϕ̇3 = ω0 .Ðèñ. 109(52.19) äàííîì ñëó÷àå àêòèâíîé ñèëîé ñëóæèò ñèëà òÿæåñòèP~ ,êîìïîíåíòû êîòîðîé è êîîðäèíàòû òî÷êèïðèëîæåíèÿ ðàâíû(P1 , P2 , P3 ) = (mg, 0, 0),MM(xM1 , x2 , x3 ) = (l cos ϕ3 , l sin ϕ3 , C),0MMïîýòîìó ñèëîâîé è èíåðöèîííûé ìîìåíòû èìåþò çíà÷åíèÿ M3 = x1 P2 − x2 P1 =−mgl sin ϕ3 ,J30 = ml2 , è óðàâíåíèå (52.19) ïîñëå óïðîùåíèé ïðèíèìàåò âèä êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ äëÿ óãëà ïîâîðîòà ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìèϕ̈ + k 2 sin ϕ = 0,k2 =gl(ϕ3 = ϕ),t = 0, ϕ = ϕ0 , ϕ̇ = ω0 .(52.20)Ýòî óðàâíåíèå äîïóñêàåò èíòåãðàë. Ïðåäñòàâèâ óãëîâîå óñêîðåíèå ÷åðåç êâàäðàò óãëîâîé ñêîðîñòèd2 ϕdωdω dϕdω1 dω 2===ω=,dt2dtdϕ dtdϕ2 dϕçàïèøåì óðàâíåíèå â âèäåd 2(ω − 2k 2 cos ϕ) = 0dϕè ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïîëó÷èì èíòåãðàëω 2 = 2k 2 cos ϕ + C, C = const.59(52.21)Ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè îïðåäåëÿåòñÿ â âèäåC = ω02 − 2k 2 cos ϕ0 .Ýòà âåëè÷èíà ìîæåò èçìåíÿòüñÿ â ïðåäåëàõ−2k 2 ≤ C < ∞.(52.22) çàâèñèìîñòè îò åå çíà÷å-íèÿ ðåàëèçóåòñÿ òîò èëè èíîé ðåæèì äâèæåíèÿ.C èìååò íàèìåíüøåå çíà÷åíèå: C = −2k 2 (îòâå÷àþùååϕ0 = 0, ω0 = 0).
Òîãäà èç èíòåãðàëà (52.21) ñëåäóþò ñîîòíîøåíèÿÏóñòüω 2 = 2k 2 (cos ϕ − 1) ≥ 0,cos ϕ ≥ 1,íà÷àëüíûì óñëîâèÿìϕ = 0,òî åñòü ìàÿòíèê áóäåò ïîêîèòüñÿ â ïîëîæåíèè, çàíèìàåìîì â íà÷àëüíûé ìîìåíò.22Ïóñòü ïîñòîÿííàÿ C ïðèíàäëåæèò èíòåðâàëó −2k < C < 2k , â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî2222ïîëîæèòü C = −2k cos w . Èç âûðàæåíèÿ (52.22): ω0 − 2k cos ϕ0 = −2k cos w ñëåäóåò,22÷òî ω0 = 2k (cos ϕ0 − cos w) ≥ 0, òî åñòü ϕ0 ≤ w . Èíòåãðàë (52.21) ïîçâîëÿåò çàêëþ÷èòü,÷òîϕ̇2 = 2k 2 (cos ϕ − cos w) ≥ 0,Òî åñòü ïðè äâèæåíèè ìàÿòíèêà óãîë|ϕ| ≤ w;ϕω=0ïðèìåíÿåòñÿ â èíòåðâàëåϕ = w.−w ≤ ϕ ≤ w,(52.23)ïðè÷åìãðàíèöàì èíòåðâàëà îòâå÷àþò òî÷êè îñòàíîâêè.Äëÿ ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïðåîáðàçóåì ðàâåíñòâî (52.23), çàìåíÿÿ êîñèíóñû ÷åðåç ñèíóñû ïîëîâèííûõ óãëîâ ïî ôîðìóëàìcos ϕ = 1 − 2 sin2ϕ,2cos w = 1 − 2 sin2òîãäà áóäåì èìåòüϕ̇2 = 4k 2 (sin2w,2ϕw− sin2 ).22Îòñþäà, èçâëåêàÿ êîðåíü è ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå, ïîëó÷èìdϕq2 sin2Ââåäåì âìåñòîϕóãîëαw2= kdt.− sin2ϕ2ïîñðåäñòâîì ðàâåíñòâàsinϕw= n sin α, n = sin .22(52.24)Òîãäà ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïîëó÷èì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ â âèäåZu=0αdαp= k(t − t∗ ),1 − n2 sin2 α(52.25)ãäå t∗ - ìîìåíò âðåìåíè, îòâå÷àþùèéϕ = 0 (è α = 0).
 ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà ñòîèò ýëu, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåéâåðõíåãî ïðåäåëà u = f (α). Îáðàòíóþ ôóíêöèþ îáîçíà÷àþò ÷åðåç α = amu è íàçûâàþòàìïëèòóäîé u. Âû÷èñëèâ sin α, ïîëó÷èì íîâóþ ôóíêöèþ, íàçûâàåìóþ ýëëèïòè÷åñêèìñèíóñîì, îáîçíà÷åìóþ ÷åðåç sin u:ëèïòè÷åñêèé èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà, îáîçíà÷àåìûé ÷åðåçsin α = sin amu = sn(u).(52.26)Îòñþäà è èç (52.24), (52.25) ïîëó÷èì óðàâíåíèå äâèæåíèÿsinϕ= nsn(u) = nsn(k(t − t∗ )),2ϕ = 2 arcsin [nsn(k(t − t∗ ))].60(52.27)Ïîñêîëüêóϕ(t) ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé âðåìåíè, òî ýòî óðàâíåíèå îïèñûâàåòêîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà.ϕ = 0 â ïîëîæåíèå ϕ = w ìàÿòíèê ïðèõîäèò çà ÷åòâåðòü ïåðèîäà: T /4.t = t∗ + T /4.sin ϕ2 = sin w2 sin α, ïîýòîìó ïðè ϕ = w, sin α = 1, α = π2 ;Èç ïîëîæåíèÿÑîãëàñíî (52.24)Ïåðèîä êîëåáàíèÿ íàõîäèòñÿ èç (52.25) â âèäå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà4T =kZπ20dαp.1 − n2 sin2 αn < 1,Ýòîò èíòåãðàë ìîæíî âû÷èñëèòü â âèäå ðÿäà.
Òàê êàêòî ðàäèêàë ìîæíî ðàç-ëîæèòü ïî ôîðìóëå Íüþòîíà â àáñîëþòíî ñõîäÿùèéñÿ ðÿä, äîïóñêàþùèé ïî÷ëåííîåèíòåãðèðîâàíèå1·3 4 41n sin α + ...(1 − n2 sin2 α)−1/2 = 1 + n2 sin2 α +22·4Ïðîèçâîäÿ èíòåãðèðîâàíèå íà îñíîâå ôîðìóëû Âàëëèñàπ2Zsin2m αdα =0è ïîëàãàÿ â ðåçóëüòàòån = sin w2 , k =sT = 2π1 · 3 · ... · (2m − 1) π2 · 4 · ... · 2m 2√g√ , áóäåì èìåòül 1 2 1 · 3 4lw2 w[1 +sin+sin4 + ...].g222·42(52.28)Ñëåäîâàòåëüíî, ïåðèîä ïðîèçâîëüíûõ êîëåáàíèé ìàÿòíèêà çàâèñèò îò àìïëèòóäû êîëåáàíèé è îí òåì áîëüøå, ÷åì áîëüøå àìïëèòóäà.
Òåì ñàìûì ïðîèçâîëüíûå êîëåáàíèÿêðóãîâîãî ìàÿòíèêà íåèçîõðîííû. Ïðè ìàëîé àìïëèòóäåìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ïåðâûì ÷ëåíîì:Tm = 2πq|w| << 1 â ðàçëîæåíèè ïåðèîäàl, òî åñòü ìàëûå êîëåáàíèÿ èçîõðîííû.g(T −Tm )Ðàçíèöà ìåæäó ïåðèîäàìèïðè wTm◦ïðè w = 90 18%.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå ïðèÐàññìîòðèì äàëåå äâèæåíèå ìàÿòíèêà= 20◦ äîñòèãàåò 0, 8%, ïðè w = 40◦ 3%, àl = 1ì ýòè 18% ñîñòàâëÿþò 1 ñåê.2ïðè C = 2k . Òîãäà èíòåãðàë (52.21) ïðèíè-ìàåò âèäϕ.2(ϕ̇ = 0) áóäóòϕ̇2 = 2k 2 (1 + cos ϕ) = 4k 2 cos2Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî òî÷êàìè îñòàíîâêè ìàÿòíèêàcosϕ= 0,2(52.29)ϕ = ±π,òî åñòü ìàÿòíèê ìîæåò îñòàíîâèòüñÿ òîëüêî â âåðõíåé òî÷êå îêðóæíîñòè.
Èçâëåêàÿêâàäðàòíûé êîðåíü èç îáåèõ ÷àñòåé ðàâåíñòâà (52.29) è áåðÿ äëÿùååñÿ ñ íà÷àëüíûì çíà÷åíèåìϕ̇0 > 0,dϕϕ= 2k cos .dt2Ïðåäñòàâèâ êîñèíóñ âûðàæåíèåìcosϕ̇çíà÷åíèå, ñîãëàñóþ-áóäåì èìåòüϕπ ϕπ−ϕπ−ϕ= sin ( − ) = 2 sincos2224461(52.30)è ðàçäåëèâ ïåðåìåííûå, íàéäåìkdt =d tg π−ϕd(ϕ/4)dϕ4==−π−ϕπ−ϕ .2 cos ϕ2cossin π−ϕtg444Îòñþäà èíòåãðèðîâàíèåì ïîìàÿòíèêàt îò 0 äî t è ïî ϕ îò ϕ0äîϕ, ïîëó÷èì óðàâíåíèå äâèæåíèÿπ−ϕπ − ϕ0 −kt| = | tg|e .44t → ∞, ϕ → π , ïðè ýòîì óãëîâàÿ| tgÎòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè(52.31)ñêîðîñòü (52.30) ñîõðàíÿ-åò ñâîé çíàê. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàÿòíèê àñèìïòîòè÷åñêè ïðèáëèæàåòñÿ ê âåðõíåé òî÷êåîêðóæíîñòè, íå äîñòèãàÿ åå çà êîíå÷íîå âðåìÿ.
Òàêîå äâèæåíèå ìàÿòíèêà íàçûâàþòàñèìïòîòè÷åñêèì.Íàêîíåö, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òîC > 2k 2 .Òîãäà ìîæíî ïîëîæèòüC = 2k 2 (1 + 2e2 );èíòåãðàë (52.21) ïðè ýòîì ïîëó÷èò âûðàæåíèåϕ̇2 = 4k 2 (e2 + cos2ϕϕ) = 4k 2 (1 + e2 − sin2 ).22(52.32) ýòîì ñëó÷àå óãëîâàÿ ñêîðîñòü íèãäå â íóëü íå îáðàùàåòñÿ, òî åñòü ìàÿòíèê âñå âðåìÿñîõðàíÿåò ïåðâîíà÷àëüíîå íàïðàâëåíèå âðàùåíèÿ, âðàùàÿñü â îäíó è òó æå ñòîðîíó; åãîóãîë ïîâîðîòà ïðè ýòîì ïðîãðåññèâíî âîçðàñòàåò, ìàÿòíèê ñîâåðøàåò îáîðîòû.
Òàêîåäâèæåíèå ìàÿòíèêà íàçûâàþò ïðîãðåññèâíûì.Äëÿ ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïðåäñòàâèì (52.32) â ôîðìåϕ̇2 =ϕ4k 2(1 − n2 sin2 ),2n2n2 =1.1 + e2Îòñþäà ïîñëå èçâëå÷åíèÿ êâàäðàòíîãî êîðíÿ è ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ ïîëó÷èìÍàêîíåö, èíòåãðèðîâàíèå ïîk(t − t∗ ) =nZϕ/20tîòd(ϕ/2)q1 − n2 sin2ϕ2t∗ϕd(ϕ/2)q1 − n2 sin2äîtè ïî=kdt.nîò0äîϕäàåòkϕ = 2amu = 2am[ (t − t∗ )].n= u;ϕ2(52.33)Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå âðàùåíèÿ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ýëëèïòè÷åñêóþôóíêöèþ âðåìåíè.5◦Ôèçè÷åñêèé ìàÿòíèê.Åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì êðóãîâîãî ìàÿòíèêà ÿâëÿåòñÿ ôèçè÷åñêèé ìàÿòíèê. Ôè-çè÷åñêèì ìàÿòíèêîì íàçûâàþò òâåðäîå òåëî, âðàùàþùååñÿ âîêðóã íåïîäâèæíîé ãîðèçîíòàëüíîé îñè ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè.
Äâèæåíèå ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ÿâëÿåòñÿîäíîé èç ïåðâûõ ðåøåííûõ çàäà÷ äèíàìèêè òåëà. Èíòåðåñ ê ýòîé çàäà÷å âîçíèê â ñâÿçèñ ñîâåðøåíñòâîâàíèåì ÷àñîâ è ñâÿçàí ñ èìåíåì Ãþéãåíñà.Ðàññìîòðèì äâèæåíèå ìàÿòíèêà. Îïóñòèì èç öåíòðà ìàññ ïåðïåíäèêóëÿðâðàùåíèÿAB ;òî÷êóOCOíà îñüíàçûâàþò òî÷êîé ïîäâåñà ìàÿòíèêà. Ðàññìàòðèâàåì äâèæåíèåìàÿòíèêà îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé ñèñòåìû62Ox1 x2 x3 ,â êîòîðîé îñüOx3ñîâïàäàåò ñãîðèçîíòàëüíîé îñüþ âðàùåíèÿ, à îñüOx1íàïðàâ-ëåíà âåðòèêàëüíî âíèç (Ðèñ.110) ñâÿæåì ñ ìàÿòíèêîì ñîïóòñòâóþùóþ ñèñòåìóOy1 y2 y3êàê óêàçàíî íàÐèñ.110. Òîãäà äâèæåíèå ìàÿòíèêà îïðåäåëèòñÿ óãëîìñîáñòâåííîãî âðàùåíèÿx1 Oy = ϕ3 (t).Äëÿ ïîëó÷åíèÿäèíàìè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ äëÿ óãëà ïîâîðîòà âîñïîëüçóåìñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì âðàùåíèÿ òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè.J30 ϕ̈3 = M30 (t, ϕ3 , ϕ̇3 ).Ðèñ. 110(52.34)Äëÿ ìàÿòíèêà áóäåì ñ÷èòàòü èçâåñòíûìè ìàññó m,0èíåðöèîííûé ìîìåíò J3 è ðàññòîÿíèå h îò òî÷êè ïîäâåñà äî öåíòðà ìàññ.
Âíåøíèìè ê~ , ïðèëîæåííûé â öåíòðå ìàññ C(xC , xC , xC ) è ðåàêöèè îïîðíåìó ñèëàìè ÿâëÿþòñÿ âåñ P123AB~~A, B , ïðèëîæåííûå â òî÷êàõ A(0, 0, x3 ), B(0, 0, x3 ).Îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ îòëè÷íûì îò íóëÿ ñèëîâûì ìîìåíòîì îáëàäàåò òîëüêîâåñ ìàòíèêà:CAABBCCM30 = (xC1 P2 − x2 P1 ) + (x1 A2 − x2 A1 ) + (x1 B2 − x2 B1 ) = x1 P2 − x2 P1 .Êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ è êîìïîíåíòû âåñà ðàâíûxC1 = h cos ϕ3 ,xC2 = h sin ϕ3 ,xC3 = 0;P1 = mg,P2 = P3 = 0,ïîýòîìó ñèëîâîé ìîìåíò èìååò çíà÷åíèåM30 = −mgh sin ϕ3 .Ïîäñòàíîâêà ýòîãî ìîìåíòà â (52.34) ïðèâîäèò ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ äâèæåíèÿ ìàÿòíèêàϕ̈ +mghsin ϕ = 0J30(ϕ3 = ϕ).(52.35)Ñðàâíèâàÿ (52.35) ñ óðàâíåíèåì äâèæåíèÿ êðóãîâîãî ìàÿòíèêà (52.20)ϕ̈ +gsin ϕ = 0,lâèäèì, ÷òî óðàâíåíèÿ èäåíòè÷íû; ôèçè÷åñêèé ìàÿòíèê áóäåò äâèãàòüñÿ òàê æå, êàê èêðóãîâîé ñ äëèíîél=J30mh(52.36)(èç òàêîãî æå íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ).
Òàêîé êðóãîâîé ìàÿòíèê íàçûâàþò ñèíõðîííûìôèçè÷åñêîìó, à åãî äëèíól ïðèâåäåííîé äëèíîé ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà. Òàêèì îáðà-çîì, äâèæåíèå ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà îïðåäåëÿåòñÿ èçó÷åííûì óæå äâèæåíèåì êðóãîâîãî ìàÿòíèêà.Îòëîæèâ íà ïðÿìîéOCîòðåçîêOO0 = l,ïîëó÷èì òî÷êóO0 ,ñîîòâåòñòâóþùóþ ñèí-õðîííîìó êðóãîâîìó ìàÿòíèêó; ýòó òî÷êó íàçûâàþò öåíòðîì êà÷àíèÿ ôèçè÷åñêîãî ìà0ÿòíèêà. Èñïîëüçóÿ òåîðåìó Ãþéãåíñà-Øòåéíåðà äëÿ ïàðàëëåëüíûõ îñåé Ox3 è Cx3 èC2âûðàæåíèå ðàäèóñà èíåðöèè rC (îïðåäåëåííîãî ôîðìóëîé J3 = mrC ), áóäåì èìåòüJ30 = J3C + mh2 = m(rC2 + h2 ),63÷òî ïîçâîëÿåò ïðåäñòàâèòü ïðèâåäåííóþ äëèíó (52.36) â âèäål=Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî÷åì öåíòð ìàññl > h,rC2+ h.hòî åñòü öåíòð êà÷àíèÿ(52.37)O0äàëüøå îòñòîèò îò îñè âðàùåíèÿ,C.Ïðèâåäåííàÿ äëèíà ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé õàðàêòåðèñòèêîé ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
