1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Ïðåäâàðèòåëüíîóñòàíîâèì ñëåäóþùåå ñâîéñòâî:A~u r ~u s =Xaokl urk usl = 0ïðèr 6= s,(76.15)klA äëÿ ðàçëè÷íûõ âåêòîðîâ ~u r , ~u s îáðàùàåòñÿ âPíóëü. Äåéñòâèòåëüíî, èç (76.13):(ckl − λr aokl )url = 0 ïîñëå óìíîæåíèÿ íà usk è ñóììèðîPoâàíèÿ ïî k ïîëó÷èì(ckl − λr akl )url usk = 0. Ïåðåõîäÿ çäåñü ê ìàòðèöàì è ìåíÿÿ ðîëÿìèèíäåêñû r è s, íàéäåìòî åñòü áèëèíåéíàÿ ôîðìà ñ ìàòðèöåéC~u r ~u s = λr A~u r ~u s , C~u s~u r = λs A~u s~u r . ñèëó ñèììåòðèè ìàòðèö ñîîòâåòñòâóþùèå èì áèëèíåéíûå ôîðìû íå çàâèñÿò îò ïîðÿäêà ïåðåìíîæàåìûõ âåêòîðîâ, ïîýòîìó âû÷èòàíèå ïîëó÷åííûõ ðàâåíñòâ äàåò ñîîòíîøåíèå(λr − λs )A~u r ~u s = 0,îòêóäà, ââèäóλr 6= λs ,è ñëåäóåò òðåáóåìîå óñëîâèå (76.15).Äîïóñòèì òåïåðü, ÷òî àìïëèòóäíûå âåêòîðû, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçëè÷íûì êîðíÿì,çàâèñèìû:~b =XBr ~u r = 0, Br = const.rÒîãäà ïðè ëþáîìsA~us~b = 0, èëè ñ ó÷åòîì ñâîéñòâà (76.15):!XXBr ~u r =Br A~u s~u r = Bs A~u s~u s = 0.áóäåì èìåòüA~usrrA~u s~u s > 0, ïîýòîìó Bs = 0 (s = 1, .
. . , n), ÷òî äîêàçûâàåò íåçàâèñèìîñòü âåêòîðîâ~u , . . . , ~u n , à ñëåäîâàòåëüíî, è íåçàâèñèìîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ èì ðåøåíèé (76.14).Íî1Äëÿ ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ (76.6) åãî îáùåå ðåøåíèå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåéíåçàâèñèìûõ ðåøåíèé, òî åñòü~q =XBr ~u r sin(kr t + νr ) (kr =pλr , r = 1, . . . , n),(76.16)râ êîòîðîì2nïîñòîÿííûõBr , νr (r = 1, . . . , n),îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ èç òàêîãî æå÷èñëà íà÷àëüíûõ óñëîâèét = 0, qr (0) = qro , q̇r (0) = q̇ro (r = 1, .
. . , n),144ãäå âåëè÷èíûqro , q̇roïîëàãàþòñÿ ìàëûìè.Ïðè íàëè÷èè êðàòíûõ êîðíåé óðàâíåíèÿ ÷àñòîò ìîæíî òàêæå ïðåäñòàâèòü îáùååðåøåíèå (76.6) â âèäå (76.16), ÷òî áóäåò ïîêàçàíî íèæå.Èç âèäà îáùåãî ðåøåíèÿ (76.16) çàêëþ÷àåì, ÷òî äâèæåíèå ñèñòåìû â îêðåñòíîñòèóñòîé÷èâîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîþ êîìáèíàöèþ ìàëûõ êîëåáàíèé.Îòäåëüíûå êîëåáàíèÿ âèäà (76.14), èç êîòîðûõ ñêëàäûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíîå êîëåáàíèå,íàçûâàþò ãëàâíûìè êîëåáàíèÿìè ñèñòåìû.3◦Íîðìàëüíûå êîîðäèíàòû.Ñîñòàâëåíèå îáùåãî ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ìàëûõ êîëåáàíèé, íåçà-âèñèìîå îò íàëè÷èÿ èëè îòñóòñòâèÿ êðàòíûõ êîðíåé, îñíîâûâàåòñÿ íà ïðèâåäåíèè êâàäðàòè÷íûõ ôîðì ê ñóììå êâàäðàòîâ.Èç àëãåáðû èçâåñòíî, ÷òî äâå êâàäðàòè÷íûå ôîðìûA~q~q =Xaokl qk ql , C~q~q =Xk,lCkl qk ql ,(76.17)k,lèç êîòîðûõ õîòÿ áû îäíà, íàïðèìåð ïåðâàÿ, ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé, âñåãäà ìîæíî îäíèì è òåì æå ïðåîáðàçîâàíèåì ïåðåìåííûõqs =Xurs ϑr (s = 1, .
. . , n; det(urs ) 6= 0)èëè~q =X~u r ϑr(76.18)λr ϑ2r .(76.19)rrïðèâåñòè ê ñóììå êâàäðàòîâA~q~q =Xδrs ϑr ϑs =Xϑ2r , C~q~q =λr δrs ϑr ϑs =rsrrsXXk,lÏîñêîëüêó ïðè ëèíåéíîì ïðåîáðàçîâàíèè âåêîâîå óðàâíåíèå íå èçìåíÿåòñÿ, òî îíî ïðåäñòàâèìî â âèäå0 = |Ckl − λaokl | = |(λk − λ)δkl | =Y(λk − λ).kλr ÿâëÿþòñÿλr > 0 (r = 1, . . . , n).Ïîýòîìó â âûðàæåíèè (76.19) âåëè÷èíûñëåäîâàòåëüíî, ïîëîæèòåëüíû:êîðíÿìè âåêîâîãî óðàâíåíèÿ è,Âîçìîæíîñòü îäíîâðåìåííîãî ïðèâåäåíèÿ ôîðì (76.17) ê âèäó (76.19) äîïóñêàåò ñëåäóþùóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ òðàêòîâêó.Îïðåäåëåííî ïîëîæèòåëüíûì êâàäðàòè÷íûì ôîðìàì (76.17) â êîîðäèíàòíîì ïðîñòðàíñòâåEn (q)ìîæíî ñîïîñòàâèòü ýëëèïñîèäû.
Ìàñøòàáíûì ïðåîáðàçîâàíèåì êîîð-äèíàò ýëëèïñîèä ïåðâîé ôîðìû ìîæíî ïåðåâåñòè â ñôåðó, ïðè ýòîì âòîðîé ýëëèïñîèäîñòàåòñÿ ýëëèïñîèäîì. Çàòåì ïðåîáðàçîâàíèåì ïîâîðîòà êîîðäèíàòíûõ îñåé ïåðåâîäÿòýëëèïñîèä âòîðîé ôîðìû ê åãî îñÿì ñèììåòðèè, ïðè ýòîì ñôåðà îñòàåòñÿ, î÷åâèäíî,íåèçìåííîé.  èòîãå îáå ôîðìû áóäóò ïðèâåäåíû ê ñóììàì êâàäðàòîâ, ïðè÷åì âåëè÷èíûλr ,îáðàòíûå ïî îòíîøåíèþ ê ïîëóîñÿì ýëëèïñîèäà, áóäóò ïîëîæèòåëüíû. Íàëè÷èåêðàòíûõ êîðíåé âåêîâîãî óðàâíåíèÿ îçíà÷àåò îäèíàêîâîñòü íåêîòîðûõ ïîëóîñåé ýëëèïñîèäà, ÷òî, î÷åâèäíî, íèêàê íå ñêàçûâàåòñÿ íà ðåàëèçàöèè îïèñàííîãî âûøå ïðîöåññà.Îáðàòèìñÿ ñíîâà ê ïðåîáðàçîâàíèþ (76.18).
Ïîñêîëüêó îíî ëèíåéíî, òî îáîáùåííûåñêîðîñòèq̇èϑ̇áóäóò ñâÿçàíû àíàëîãè÷íûìè ôîðìóëàìèq̇s =Xurs ϑ̇r (s = 1, . . . , n)rèëè~q˙ =Xr145~u r ϑ̇r ,ïîýòîìó â ïåðâîé èç ôîðì (76.19) ìîæíî çàìåíèòüP ~˙ 2ϑr .~ ñîîòâåòñòâåííî íà ~q˙ è ϑ~˙ : A~q˙ ~q˙ =~q è ϑ ðåçóëüòàòå äëÿ êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèé ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ:rT∗ =Ïåðåìåííûå1X1X o1X 21Xϑ̇r , Π∗ =λr ϑ2r .akl q̇k q̇l =ckl qk ql =2 k,l2 r2 k,l2 rϑ1 , . . .
, ϑn ,T∗â êîòîðûõèΠ∗(76.20)ïðèíèìàþò êàíîíè÷åñêèé âèä (76.20),íàçûâàþò íîðìàëüíûìè êîîðäèíàòàìè. Âîñïîëüçîâàâøèñü ïðîñòûìè âûðàæåíèÿìè äëÿêèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèé, íàéäåì, ÷òî äëÿ íèõ ëàãðàíæåâû óðàâíåíèÿ(76.4), ïðåîáðàçîâàííûå ê íîðìàëüíûì êîîðäèíàòàìd ∂T∗ ∂Π∗= 0 (k = 1, . . . , n)+dt ∂ ϑ̇k∂ϑkïðèíèìàþò âèäϑ̈r + λr ϑr = 0 (λr = kr2 , r = 1, . . . , n),(76.21)òî åñòü êàæäîå èç óðàâíåíèé ñîäåðæèò òîëüêî îäíó èç íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé. Òàêèìîáðàçîì, íîðìàëüíûå êîîðäèíàòû îáëàäàþò òåì öåííûì ñâîéñòâîì, ÷òî â íèõ ñèñòåìàóðàâíåíèé ìàëûõ êîëåáàíèé ðàñïàäàåòñÿ íà îòäåëüíûå íåçàâèñèìûå óðàâíåíèÿ, ÷åìñóùåñòâåííî îáëåã÷àåòñÿ åå èíòåãðèðîâàíèå.Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå â íîðìàëüíûõ êîîðäèíàòàõ (76.21) ìîæíî íåïîñðåäñòâåííîïîëó÷èòü èç èñõîäíûõ óðàâíåíèé (76.5) ïóòåì ñîñòàâëåíèÿ èõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé.Äåéñòâèòåëüíî, êàæäîå èç ýòèõ óðàâíåíèéXaokl q̈l = −Xlckl ql (k = 1, .
. . , n)lóìíîæèì íà íåêîòîðûé ìíîæèòåëüXukè ïðîñóììèðóåì ðåçóëüòàòûuk aokl q̈l = −klXuk ckl ql .(76.22)klÝòè ìíîæèòåëè ïîäáåðåì òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ðàâåíñòâîϑ=Xuk aokl ql =kl1Xuk ckl ql .λ kl(76.23)ÒîãäàXuk ckl ql = λϑ,Xkluk aokl q̈l = ϑ̈klè óðàâíåíèå (76.22) ïðèìåò âèä:ϑ̈ + λϑ = 0.Ïðåîáðàçîâàíèå (76.23) äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ äëÿ âñåõ çíà÷åíèé êîîðäèíàò(76.24)q1 , . . . , qn ,÷òî âëå÷åò çà ñîáîé ðàâåíñòâî êîýôôèöèåíòîâ ïðè íèõλXkuk aokl =Xuk cklkÍåíóëåâûå çíà÷åíèÿ âåëè÷èíèëèXuk (ckl − λaokl ) = 0 (l = 1, . . .
, n).(76.25)kuk îïðåäåëÿþòñÿ îòñþäà ïðè ðàâåíñòâå íóëþ îïðåäåëèòåëÿñèñòåìûdet(ckl − λaokl ) = 0.146(76.26)Óðàâíåíèÿ (76.25) è (76.26) ââèäó ñèììåòðèè ìàòðèöAèC,ñîâïàäàþò ñ ïîëó÷åí-íûìè ðàíåå èç äðóãèõ ñîîáðàæåíèé óðàâíåíèÿìè (76.9) è (76.10).Äëÿ êàæäîãî êîðíÿ λr âåêîâîãî óðàâíåíèÿ (76.26) óðàâíåíèÿ (76.25) îïðåäåëÿþò~u r , òåì ñàìûì îïðåäåëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå(76.23) ê íîðìàëüíîé êîîðäèíàòåâåêòîðϑrè óðàâíåíèå (76.24) äëÿ ýòîé êîîðäèíàòû. Ïåðåáèðàÿ âñå êîðíèλr ,ïîëó÷àåì âñåóðàâíåíèÿ (76.21).Îáùèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (76.21) îïðåäåëÿþò, êàê èçâåñòíî, ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ ñîáñòâåííûìè ÷àñòîòàìèϑr = Br sin(kr t + νr ),ãäåBr , νr(76.27) ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Ïîäñòàíîâêà ýòèõ âåëè÷èí â âûðàæåíèå ïðåîá-ðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò (76.18) ïðèâîäèò ê îáùåé ôîðìóëå äëÿ êîëåáàíèé~q =X~u r Br sin(kr t + νr ),(76.28)rñîâïàäàþùåå ñ ôîðìóëîé (76.16) äëÿ ýòèõ êîëåáàíèé, óñòàíîâëåííîå ðàíåå èç äðóãèõñîîáðàæåíèé.Òàêèì îáðàçîì, óñòàíîâëåíî, ÷òî ôîðìóëà (76.16) îõâàòûâàåò ñëó÷àé êàê ïðîñòûõ,òàê è êðàòíûõ êîðíåé âåêîâîãî óðàâíåíèÿ.
Ïðè ïåðåõîäå ê íîðìàëüíûì êîîðäèíàòàìñëó÷àé êðàòíûõ êîðíåé íå âûäåëÿåòñÿ îñîáî.Åñëè, â ÷àñòíîñòè, íåñêîëüêî êîðíåé ðàâíû ìåæäó ñîáîé, òî ñîîòâåòñòâóþùèå èìíîðìàëüíûå êîîðäèíàòû èìåþò ðàâíûå ÷àñòîòû; ïðè ýòîì èìååò ìåñòî òîëüêî ÿâëåíèåóíèñîíà êîëåáàíèé è íå ïðîèñõîäèò íåîãðàíè÷åííîãî ðîñòà êîîðäèíàò.~u r Br sin(er +rïðåäñòàâëÿåò ñîáîé, î÷åâèäíî, êîëåáàíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå èçìåíåíèþ òîëüêî îäíîéÎòìåòèì åùå, ÷òî óïîìèíàâøååñÿ ðàíåå ãëàâíîå êîëåáàíèå ñèñòåìûνr )~q r =Píîðìàëüíîé êîîðäèíàòû.4◦Ìàëûå êîëåáàíèÿ ñòåðæíÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè.Ðàññìîòðèì ìàëûå êîëåáàíèÿ òÿæåëîãî ñòåðæíÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè îêîëîïîëîæåíèÿ óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ è îïðåäåëèì ïåðèîä ýòèõ êîëåáàíèé.Ïóñòü îäíîðîäíûé ñòåðæåíüOAäëèíûløàåò êîëåáàíèÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòèçîíòàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êóè âåñàOxyPñîâåð-îêîëî ãîðè-O (Ðèñ.125).
Ñòåð-æåíü èìååò îäíó ñòåïåíü ñâîáîäû. Çà îáîáùåííóþ êîîðäèíàòó âîçüìåì óãîëϕìåæäó ñòåðæíåì è âåðòèêàëüþ. Ïî-òåíöèàëüíîé ýíåðãèåé ñòåðæíÿ ÿâëÿåòñÿ ýíåðãèÿ ñèëû òÿ-Π = mgyc +C, C = const. Â ðàññìàòðèâàåìîìäâèæåíèè yc = −(l/2)cos ϕ. Ïîäñòàâèâ ýòó êîîðäèíàòó â âûðàæåíèå Π è îïðåäåëèâ ïîñòîÿííóþ C èç óñëîâèÿ Π(0) = 0mgl, íàéäåìâ âèäå C =2æåñòè, ðàâíàÿÐèñ. 125Π=mgl(1 − cos ϕ).2Π0 = mglsin ϕ íàõîäèì äâà ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ: ϕ1 = 0 íèæíåå2âåðòèêàëüíîå è ϕ2 = π âåðõíåå âåðòèêàëüíîå.
Èç âûðàæåíèÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîéΠ00 = mglcos ϕ óñòàíàâëèâàåì, ÷òî íèæíåå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ óñòîé÷èâî: Π00 (0) =2Èç óñëîâèÿ147mgl> 0, Π(0) = Πmin = 0, à âåðõíåå ðàâíîâåñíîå ïîëîæåíèå íåóñòîé÷èâî: Π00 (π) =2mgl− 2 < 0, Π(π) = Πmax = mgl. Ðàññìîòðèì ìàëûå êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà îêîëî íèæíåãîóñòîé÷èâîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ϕ = 0.Èç ðàçëîæåíèécos ϕ = 1 −ϕ2 ϕ4ϕ2 ϕ4++ . . . , 1 − cos ϕ =−+ ...2!4!2!4!óñòàíàâëèâàåì, ÷òî â êâàäðàòè÷íîì ïðèáëèæåíèè ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ áóäåò ðàâíàΠ ≈ Π∗ =mgl 2ϕ.4Ñîñòàâëÿÿ êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ñòåðæíÿ è åå êâàäðàòè÷íîå ïðèáëèæåíèå, áóäåì èìåòü1ml2 2T = Jo ω 2 =ϕ̇ = T∗ .26Ýòèì ïðèáëèæåííûì ýíåðãèÿì îòâå÷àåò ëàãðàíæåâî óðàâíåíèå äâèæåíèÿ0=d ∂T∗ ∂Π∗+,dt ∂ ϕ̇∂ϕϕ̈ + k 2 ϕ = 0,k2 =3g.2lÅãî îáùåå ðåøåíèåϕ = a sin (kt + ν), a = const, ν = constîïðåäåëÿåò ìàëûå êîëåáàíèÿ ñ àìïëèòóäîé÷àëüíûìè óñëîâèÿìèϕo , ϕ̇o ).aè íà÷àëüíîé ôàçîéν(îïðåäåëÿåìûõ íà-Ïåðèîä ìàëûõ êîëåáàíèé èìååò çíà÷åíèå2π= 2πτ=k148s2l.3g.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
