1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295), страница 26
Текст из файла (страница 26)
. . , n).(70.10)Ïóñòü òåïåðü ôóíêöèîíàë äîñòèãàåò ñòàöèîíàðíîãî çíà÷åíèÿ íà ïðÿìîì ïóòè α0Òîãäà íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñòàöèîíàðíîñòè ôóíêöèîíàëà èìååò âèä δJ = J (α)δα= 0.= 0. ñèëó (70.9) è (70.10) åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåZt1t0X ∂Φd ∂Φ−∂qr dt ∂ q̇rrδqr dt = 0.(70.11)Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ ëåììà:”Ïóñòüñïðàâåäëèâî èíòåãðàëüíîå ðàâåíñòâîZt1t0äëÿ âñåõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé:ïðîìåæóòêå(t0 , t1 ),XGr (t)δqr dt = 0.(70.12)rGr (t) ∈ Cè ïðîèçâîëüíûõ ãëàäêèõ ôóíêöèéδqríàòîãäà â ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ðàâíû íóëþ êîýôôèöèåíòû ïðèâñåõ âàðèàöèÿõGr (t) = 0, t ∈ (t0 , t1 ) (r = 1, .
. . , n).”(70.13)t∗ ∈ (t0 , t1 ), â êîòîGs (t∗ ) > 0. Òîãäà â ñèëó íåïðåðûâíîñòè íàéä¼òñÿ èíòåðâàë(t∗ − δ, t∗ + δ), íà êîòîðîì Gs (t) > 0. Ïîëüçóÿñü ïðîèçâîëîì âàðèàöèé êîîðäèíàò, âûáåðåì èõ âñå, çà èñêëþ÷åíèåì δqs , ðàâíûìè íóëþ íà âñ¼ì èíòåðâàëå (t0 , t1 ). ÂàðèàöèþÄîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì ïðîòèâíîå: ïóñòü ñóùåñòâóåò ìîìåíòðûé îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ120æåδqsâîçüì¼ì ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèåé íà(t∗ − δ, t∗ + δ)è ðàâíîé íóëþ íà îñòàëüíîìèíòåðâàëå.
Ýòîé öåëè ìîæíî äîñòèãíóòü, ïîëîæèâ, íàïðèìåð, (Ðèñ. 120)π(t − t∗ ) 2, ε 1, t ∈ (t∗ − δ, t∗ + δ),2δδqs = 0, t ∈/ (t∗ − δ, t∗ + δ).δqs = ε2 cos2Òîãäàt1RPèíòåãðàë ât∗R+δGr (t)δqr dt =(70.12)áóäåòïîëîæèòåëåí:∗)Gs (t)ε2 cos2 π(t−tdt > 0,2δ÷òî ïðît0 rt∗ −δòèâîðå÷èò èñõîäíîìó óñëîâèþ. Àíàëîãè÷íî ïðèõîäèìê ïðîòèâîðå÷èþ, äîïóñòèâ, ÷òîGs (t∗ ) < 0.Ëåììà äî-êàçàíà.Ðèñ. 120 ñèëó ëåììû èíòåãðàëüíîå ðàâåíñòâî (70.12) áóäåòýêâèâàëåíòíî ñèñòåìånðàâåíñòâ âèäà (70.13).Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî â ñèëó èñõîäíîãî äîïóùåíèÿ:Φ ∈ C 2 áóäåì èìåòü:∂Φ− dtd ∂∂Φ∈ CGr = ∂qq̇rrè ê èíòåãðàëüíîìó ðàâåíñòâó (70.11) áóäåò ïðèìåíèìà ëåì-ìà.
Íà îñíîâàíèè ëåììû ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ñòàöèîíàðíîñòèôóíêöèîíàëà:∂Φd ∂Φ−= 0,∂qr dt ∂ q̇r(r = 1, . . . , n).(70.14)Ýòè óñëîâèÿ èìåþò âèä ëàãðàíæåâûõ óðàâíåíèé â îáîáù¼ííûõ êîîðäèíàòàõ ñ ôóêöíèåé Ëàãðàíæà, ðàâíîé−Φ,è ñëóæàò äëÿ íàõîæäåíèÿ ôóíêöèéq1 (t), . . . , qn (t),îïðåäå-ëÿþùèõ ïðÿìîé ïóòü.5◦Âàðèàöèîííûé ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà-ÎñòðîãðàäñêîãîÈíòåãðàëüíûå âàðèàöèîííûå ïðèíöèïû ïîçâîëÿþò ïðèäàòü èçÿùíóþ ôîðìó îñíîâ-íîìó çàêîíó ìåõàíèêè, ñâîáîäíóþ îò îñîáåííîñòåé ïðèìåíÿåìîé ñèñòåìû îòñ÷¼òà. Ñ èõïîìîùüþ óäà¼òñÿ óñòàíîâèòü àíàëîãèþ ìåæäó ðàçëè÷íûìè ôèçè÷åñêèìè ÿâëåíèÿìè èïîëó÷èòü ïëîäîòâîðíûå îáîáùåíèÿ. Ðàññìîòðèì íàèáîëåå îáùèé èíòåãðàëüíûé ïðèíöèï ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà-Îñòðîãðàäñêîãî, ïðèìåíèòåëüíî ê íàòóðàëüíûì ñèñòåìàì.Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ íàòóðàëüíóþ ñèñòåìó ñnñòåïåíÿìè ñâîáîäû, õàðàêòå-ðèçóåìóþ â îáîáù¼ííûõ êîîðäèíàòàõ q1 , .
. . , qn ôóíêöèåé Ëàãðàíæà L(t, q, q̇), êîòîðóþ2ïîëàãàåì ïðèíàäëåæàùåé êëàññó C . Íà íåêîòîðîì êîíå÷íîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè [t0 , t1 ]ýòîé ôóíêöèè ñîîòâåòñòâóåò èíòåãðàëZt1W =L(t, q, q̇)dt,(70.15)t0íàçûâàåìûé äåéñòâèåì (ïî Ãàìèëüòîíó).Ïîñêîëüêó ëàãðàíæåâà ôóíêöèÿ çàâèñèò îò îáîáù¼ííûõ êîîðäèíàò è ñêîðîñòåé, ÿâëÿþùèõñÿ ôóíêöèÿìè âðåìåíè:qr (t), q̇r (t),òî äåéñòâèåW,î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ ôóíêöè-îíàëîì.
Èñïîëüçóÿ ýòó âåëè÷èíó, Ãàìèëüòîí ñôîðìóëèðîâàë îñíîâíîé çàêîí ìåõàíèêèâ ôîðìå ñëåäóþùåãî âàðèàöèîííîãî ïðèíöèïà.Ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà: "Äåéñòâèòåëüíîå äâèæåíèå ñèñòåìû ñ èäåàëüíûìè ñâÿçÿìèìåæäó äâóìÿ çàäàííûìè êîíôèãóðàöèÿìè îòëè÷àåòñÿ îò âñåõ äðóãèõ äîïóñòèìûõ äâèæåíèé ìåæäó òåìè æå êîíôèãóðàöèÿìè è çà òîò æå ïðîìåæóòîê âðåìåíè òåì ñâîéñòâîì,÷òî äëÿ íåãî äåéñòâèåWèìååò ìèíèìàëüíîå, òî÷íåå, ñòàöèîíàðíîå çíà÷åíèå, ò.å.δW = 0.121(70.16)Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî Ãàìèëüòîíó Ïðèðîäà âåä¼ò ñåáÿ ïîäîáíî ýêîíîìíîé õîçÿéêå: îñóùåñòâëÿåìîå åþ äâèæåíèå ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì ïðîèñõîäèò ñ ìèíèìàëüíûì ïîñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè âîçìîæíûìè äâèæåíèÿìè äåéñòâèåì.Îáîñíîâàíèå ïðèíöèïà.
Ïóñòü ðàññìàòðèâàåòñÿ íàòóðàëüíàÿ ñèñòåìà, äâèæåíèå êîòîðîé â îáîáù¼ííûõ êîîðäèíàòàõ îïðåäåëÿåòñÿ ëàãðàíæåâûìè óðàâíåíèÿìè∂Ld ∂L−= 0 (r = 1, . . . , n).dt ∂ q̇r ∂qr(70.17)Ïîêàæåì, ÷òî íà ýòîì äâèæåíèè âûïîëíÿåòñÿ ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà (70.16). Âîçüì¼ì äåéñòâèå ïî Ãàìèëüòîíó (70.15) è ñîñòàâèì åãî âàðèàöèþ â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (70.9) äëÿ âàðèàöèè ôóíêöèîíàëàδW =X ∂L r∂ q̇r(δqr )1 −X ∂L 1∂ q̇rrZt1(δqr )0 +X ∂Lt00rd ∂L−∂qr dt ∂ q̇rδqr dt.(70.18)Ïîñêîëüêó â äàííîì ñëó÷àå íà÷àëüíàÿ è êîíå÷íàÿ êîíôèãóðàöèè äëÿ âñåõ äîïóñòèìûõ äâèæåíèé îäíè è òå æå, òî âèðòóàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ â ýòèõ êîíôèãóðàöèÿõ ðàâíûíóëþ(δqr )0 = (δqr )1 = 0 (r = 1, .
. . , n),è â (70.18) îáðàùàþòñÿ â íóëü âñå âíåèíòåãðàëüíûå ÷ëåíû; ïîýòîìó âàðèàöèÿ äåéñòâèÿáóäåò ðàâíàZt1δW =X ∂Lt0rd ∂L−∂qr dt ∂ q̇rδqr dt.(70.19) ïîñëåäíåì æå âûðàæåíèè èíòåãðàë îáðàùàåòñÿ â íóëü â ñèëó ëàãðàíæåâûõ óðàâåíèé (70.17); òåì ñàìûì îíî ïðåâðàùàåòñÿ â òðåáóåìîå ðàâåíñòâî (70.16). Íåîáõîäèìîñòüïðèíöèïà óñòàíîâëåíà.Ïóñòü òåïåðü äàíî, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî ïóòè, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç êîíôèãóðàöèèèP1 ,P0âûïîëíåíî óñëîâèå (70.16). Ïîêàæåì, ÷òî ýòîò ïóòü áóäåò ïðÿìûì. Òàê êàê âðàññìàòðèâàåìûõ óñëîâèÿõ âàðèàöèÿδWîïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (70.19), òî óñëîâèå(70.16) ïðåäñòàâèìî â âèäåZt1t0X ∂Lrd ∂L−∂qr dt ∂ q̇rδqr dt = 0.(70.20)∂L− dtd ∂∂L∈ C ; ÷òî êàñàåòñÿ âà∂qrq̇rðèàöèé δq1 , . .
. , δqn , òî îíè ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ïðîèçâîëüíûìè âåëè÷èíàìè íà èíÏîñêîëüêó ïî óñëîâèþòåðâàëåL(t, q, q̇) ∈ C 2 , áóäåì èìåòü Gr =(t0 , t1 ). Íî òîãäà èç (70.20) â ñèëó ëåììû ñëåäóþò óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà (70.17), èîïðåäåëÿåìûé èìè ïóòü, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì. Ïðèíöèï îáîñíîâàíïîëíîñòüþ.Òàêèì îáðàçîì, äëÿ íàòóðàëüíûõ ãîëîíîìíûõ ñèñòåì âàðèàöèîííûé ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà ýêâèâàëåíòåí ëàãðàíæåâûì óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ, ïîýòîìó åãî ìîæíî ïîëîæèòü â îñíîâó äèíàìèêè ýòèõ ñèñòåì.Çàìåòèì, ÷òî Ãàìèëüòîí èçëîæèë ïðèíöèï äëÿ ñëó÷àÿ ñêëåðîíîìíûõ ñèñòåì. Äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ ñèñòåì ñ íåñòàöèîíàðíûìè ñâÿçÿìè ïðèíöèï áûë ñôîðìóëèðîâàí è îáîñíîâàí Îñòðîãðàäñêèì, â ñâÿçè ñ ÷åì åãî èìåíóþò ïðèíöèïîì Ãàìèëüòîíà-Îñòðîãðàäñêîãî.Ïðèíöèï ìîæåò áûòü îáîáù¼í òàêæå íà ñëó÷àé íåíàòóðàëüíûõ, à òàêæå íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì, îäíàêî â ýòèõ ñëó÷àÿõ îí èìååò äðóãóþ ôîðìó è óòðà÷èâàåò ñâîéñòâîñòàöèîíàðíîñòè íåêîòîðîãî ôóíêöèîíàëà.122Ãàìèëüòîí ïîëàãàë, ÷òî ÷òî íà ïðÿìîì ïóòè äåéñòâèå (70.15) ìèíèìàëüíî.
Ïîçæåâûÿñíèëîñü, ÷òî ýòî âåðíî â ñëó÷àå, êîãäà êîíå÷íàÿ êîíôèãóðàöèÿêà ê íà÷àëüíîéP0 ,P1äîñòàòî÷íî áëèç-òàê ÷òî ìåæäó íèìè íåò êèíåòè÷åñêîãî ôîêóñà (òî÷êè èçìåíåíèÿïðÿìûõ ïóòåé), ñîïðÿæ¼ííîãî èñõîäíîé òî÷êåP0 . îáùåì ñëó÷àå äåéñòâèå íà ïðÿìîìïóòè òîëüêî ñòàöèîíàðíî.Óñòîé÷èâîñòü äâèæåíèÿ.711◦Ïîñòàíîâêà çàäà÷è îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ.Ââåäåíèå.Ðàíåå áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ãëàäêèõ ñèëàõ äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâ-íåíèÿ îïðåäåëÿþò äâèæåíèå ñèñòåìû èç ëþáîãî íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ. Îïûò, îäíàêî,ïîêàçûâàåò, ÷òî íå âñå òåîðåòè÷åñêè âîçìîæíûå äâèæåíèÿ â äåéñòâèòåëüíîñòè îñóùåñòâëÿþòñÿ. Ïðè÷èíà êðîåòñÿ â òîì, ÷òî òðåáóåìûå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ âñåãäà ðåàëèçóþòñÿíå âïîëíå òî÷íî, à ïðèáëèæåííî â ñèëó ôèçè÷åñêèõ âîçìîæíîñòåé.Ïðè ìàëûõ æå íà÷àëüíûõ âîçìóùåíèÿõ äëÿ îäíèõ äâèæåíèé îòêëîíåíèÿ âñåãäà îñòàþòñÿ ìàëûìè, òàê ÷òî ôàêòè÷åñêîå äâèæåíèå ïðîèñõîäèò âáëèçè òðåáóåìîãî, äëÿ äðóãèõ îòêëîíåíèÿ ñî âðåìåíåì ñòàíîâÿòñÿ ëèáî áîëüøèìè êîíå÷íûìè, ëèáî íåîãðàíè÷åííîâîçðàñòàþùèìè, è ôàêòè÷åñêîå äâèæåíèå çíà÷èòåëüíî îòëè÷àåòñÿ îò òðåáóåìîãî.
Ïåðâûå äâèæåíèÿ îòíîñÿòñÿ ê ÷èñëó óñòîé÷èâûõ, à âòîðûå ê íåóñòîé÷èâûì.Ïðîáëåìû óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ âîçíèêàþò êàê â òåõíè÷åñêèõ, òàê è â åñòåñòâåííîíàó÷íûõ âîïðîñàõ. Ê èõ ÷èñëó îòíîñÿòñÿ èññëåäîâàíèÿ äâèæåíèÿ ãèðîñêîïè÷åñêèõñèñòåì, ñèñòåì àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëèðîâàíèÿ äâèæåíèé ñàìîëåòîâ, ñíàðÿäîâ, ðàêåò; âíåáåñíîé ìåõàíèêå äâèæåíèå ïëàíåò Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû ïðè ðàññìîòðåíèè âîïðîñà îäëèòåëüíîì ñîõðàíåíèè åå ñòðóêòóðû è ò.ï.Çàäà÷åé óñòîé÷èâîñòè çàíèìàëèñü ìíîãèå âûäàþùèåñÿ èññëåäîâàòåëè, â òîì ÷èñëåÐàóñ, Ïóàíêàðå, Æóêîâñêèé.
Íàèáîëåå ïîëíîå ðåøåíèå çàäà÷è äàíî Ëÿïóíîâûì (ðàçâèòîå ïîçäíåå ×àòàåâûì è åãî øêîëîé), êîòîðîå è áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ â äàëüíåéøåì. Âíàñòîÿùåå âðåìÿ óñòîé÷èâîñòü äâèæåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîþ øèðîêî ðàçâèòóþ òåîðèþ,îõâàòûâàþùóþ âñå îáëàñòè ìåõàíèêè.2◦Óñòîé÷èâîñòü è àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü.Ïðèìåì, ÷òî äâèæåíèå ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûìèóðàâíåíèÿìè:dyk= Yk (t, y1 , . . . , ym ),dt(k = 1, .
. . , m),(71.1)ïðàâûå ÷àñòè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ãîëîìîðôíûìè ôóíêöèÿìè ñâîèõ àðãóìåíòîâ. Ýòî ìîãóò áûòü, íàïðèìåð, ëàãðàíæåâû óðàâíåíèÿ â îáîáùåííûõ êîîðäèíàòàõ, ïðåäñòàâëåííûåâ íîðìàëüíîé ôîðìå(y = (q, q̇), m = 2n) :dqrdq̇r= q̇r ,= Gr (t, q, q̇) (r = 1, . . . , n),dtdtèëè ãàìèëüòîíîâû óðàâíåíèÿ(y = (q, p), m = 2n) :dqr∂H dpr∂H=,=−dt∂prdt∂ q̇r123(r = 1, . . . , n),èëè äðóãèå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà.Ïóñòü èçâåñòíî íåêîòîðîå ÷àñòíîå ðåøåíèå ñèñòåìû (71.1):yk = fk (t) (k = 1, . . .
, m),îòâå÷àþùåå íà÷àëüíûì óñëîâèÿì: ïðè(71.2)t = to , yk (0) = yko (k = 1, . . . , m).Îïðåäåëÿåìîåèìè äâèæåíèå íàçûâàþò íåâîçìóùåííûì. Ïî îòíîøåíèþ ê íåâîçìóùåííîìó äâèæåíèþâñå äðóãèå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (71.1)yk = yk (t) (k = 1, . . . , m)(71.3)îïðåäåëÿþò òàê íàçûâàåìûå âîçìóùåííûå äâèæåíèÿ.Âîçìóùåííûå äâèæåíèÿ ïðîèñõîäÿò ïîä äåéñòâèåì òåõ æå ñèë, ÷òî è íåâîçìóùåííûå.Ðàçëè÷èå ìåæäó íèìè ñîñòîèò â èçìåíåíèè íà÷àëüíûõ óñëîâèé.Ðàçíîñòè çíà÷åíèé ôóíêöèéykäëÿ âîçìóùåííîãî è íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèé âîäèí è òîò æå ìîìåíò âðåìåíè îáîçíà÷àþò ÷åðåçxk (t) = yk (t) − fk (t), (k = 1, . .
. , m),(71.4)è íàçûâàþò âîçìóùåíèÿìè. Ïîñêîëüêó íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå çàäàíî, òî âîçìóùåíèÿâïîëíå îïðåäåëÿþò âîçìóùåííîå äâèæåíèåyk = fk + xk , (k = 1, . . . , m).Î÷åâèäíî, ÷òîïðè ñîâïàäåíèè âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ ñ íåâîçìóùåííûì, âîçìóùåíèÿ îáðàùàþòñÿ âíóëü, òî åñòü íåâîçìóùåííîìó äâèæåíèþ ñîîòâåòñòâóþò íóëåâûå îòêëîíåíèÿ.Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû (71.1) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìå óðàâíåíèé äëÿ âîçìóùåíèé. Äåéñòâèòåëüíî, ïî ñìûñëó ðåøåíèÿ íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå óäîâëåòâîðÿåòóðàâíåíèÿì (71.1):dfk= Yk (t, f1 , . .
. , fm ) (k = 1, . . . , m).dt(71.5)Ïî÷ëåííîå âû÷èòàíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ óðàâíåíèé (71.1) è (71.5) äàåòd(yk − fk )= Yk (t, f + x) − Yk (t, f ) (k = 1, . . . , m).dtÈñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèå âîçìóùåíèé (71.4) è ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿXk (t, x) = Yk (t, f (t) + x) − Yk (t, f (t)) (k = 1, .
. . , m),(71.6)áóäåì èìåòü óðàâíåíèÿ äëÿ âîçìóùåíèé, íàçûâàåìûå òàêæå óðàâíåíèÿìè âîçìóùåííîãîäâèæåíèÿ,dxkdx= Xk (t, x1 , . . . , xm ) (k = 1, . . . , m) (èëè= X(t, x)).dtdtÏîäîáíîY (t, y)ôóíêöèèX(t, x)(71.7)òàê æå ãîëîìîðôíû ïî ñâîèì àðãóìåíòàì. Èç âû-ðàæåíèé (71.6) ïðàâûõ ÷àñòåé ýòèõ óðàâíåíèé ñëåäóåò, ÷òîXk (t, 0) = 0 (k = 1, . . . , m).Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà (71.7) èìååò íóëåâîå ðåøåíèå:(71.8)x = 0,êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåòíåâîçìóùåííîìó äâèæåíèþ.Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ óñòîé÷èâîñòè çàäàííîãî äâèæåíèÿ ñâîäèòñÿ êçàäà÷å îïðåäåëåíèÿ óñòîé÷èâîñòè íóëåâîãî ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
