1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295), страница 25
Текст из файла (страница 25)
 ñëó÷àå ïîòåíöèàëüíûõ∂Π(k = 1, .., N ) èõ âèðòóàëüíóþ ðàáîòó ìîæíî ïðåäñòàâèòü ÷åðåç âàðèàöèþñèë: F̄k = −∂ x̄kïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè:XkF̄k · δx̄k = −X ∂Π· δx̄k = −δΠ,∂ x̄kkΠ = Π(x̄, t)è ïðèíöèï âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèé (69.18) ïðèíèìàåò ÿâíî âûðàæåííûé âàðèàöèîííûé õàðàêòåð:δΠ = 0.(69.19)Îí óòâåðæäàåò, ÷òî "Ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû ñ ïîòåíöèàëüíûìè ñèëàìè è èäåàëüíûìè ñâÿçÿìè îòëè÷àþòñÿ îò äðóãèõ äîïóñòèìûõ ïîëîæåíèé òåì ñâîéñòâîì, ÷òî âíèõ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïðèíèìàåò ñòàöèîíàðíîå çíà÷åíèå".6◦Óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ òâåðäîãî òåëà.Òâåðäîå òåëî ìîæíî òðàêòîâàòü êàê íåèçìåíÿåìóþ ñèñòåìó òî÷åê ñ èäåàëüíûìèñòàöèîíàðíûìè ñâÿçÿìè, èìåþùóþ øåñòü ñòåïåíåé ñâîáîäû, ïîýòîìó ê íåìó ïðèìåíèìïðèíöèï âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèé (69.18):XF̄k · δx̄k = 0,k115F̄kãäå- ñèëà, ïðèëîæåííàÿ â òî÷êåPk ,àx̄k- åå âåêòîð-ðàäèóñ.
Âîçüìåì â êà÷åñòâåxcn , ϕn è ïðåä-îáîáùåííûõ êîîðäèíàò òåëà êîîðäèíàòû åãî öåíòðà ìàññ è ýéëåðîâû óãëûñòàâèì ÷åðåç íèõ âèðòóàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ.Âîçìîæíîå ïåðåìåùåíèå òî÷êèPkïðåäñòàâèìî â âèäådx̄k = v̄k dt = v̄c dt + ω̄dt × ȳk = dx̄c + (Λ̂dϕ̄ × ȳk ),v̄c , ω̄ãäå- ñêîðîñòü öåíòðà ìàññ è óãëîâàÿ ñêîðîñòü òåëà; çäåñü ó÷òåíû òàêæå ôîðìódϕ̄. Ïîñêîëüêó òåëî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîþ ñèñòåìó ñî ñòàöèîíàðíûìèëû Ýéëåðà ω̄ = Λ̂ ·dtñâÿçÿìè, âèðòóàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ åãî òî÷åê ñîâïàäàþò ñ èõ âîçìîæíûìè ïåðåìåùåíèÿìè:δx̄k = δx̄c + (Λ̂δ ϕ̄) × ȳk ,δx̄c , Λ̂δ ϕ̄ - âèðòóàëüíûå ñìåùåíèÿ öåíòðà ìàññ òåëà è åãî ïîâîðîò âîêðóã ìãíîâåííîéãäåîñè âðàùåíèÿ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ýòîò öåíòð.Ïîäñòàíîâêà âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèé â ïðèíöèï ïîñëå î÷åâèäíûõ ïðåîáðàçîâàíèéäàåò0=XF̄k · δx̄k =kXF̄k · δx̄c +XkXXF̄k · ((Λ̂δ ϕ̄) × ȳ) = (F̄k ) · δx̄c + (ȳk × F̄k ) · (Λ̂δ ϕ̄).kkkÒàê êàê ïðåäñòàâëåííûå çäåñü ñóììû âûðàæàþò ñîáîþ ãëàâíûé âåêòîð è ãëàâíûé öåíòðàëüíûé ìîìåíò íàãðóçêèXF̄k = F̄ ,Xȳk × F̄k = M̄c ,kkòî ïðèíöèï ìîæíî çàïèñàòü â âèäåF̄ · δx̄c + M̄c · (Λ̂δ ϕ̄) = 0(δx̄c = (δxcn ), δ ϕ̄ = (δϕn )).Ïîñêîëüêó âàðèàöèè îáîáùåííûõ êîîðäèíàò òåëàδx̄c , δ ϕ̄ íåçàâèñèìû è ïðîèçâîëüíû, èçïðèíöèïà ñëåäóåò ðàâåíñòâî íóëþ êîýôôèöèåíòîâ ïðè íèõ, äàþùèõ óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ:F̄ = 0, M̄c Λ̂ = 0.Ïîñëåäíåå âåêòîðíîå ðàâåíñòâî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîþ îäíîðîäíóþP cM̂n Λ̂nm = 0 (m = 1, 2, 3) ñ îòëè÷íûì îò íóëÿnàëãåáðàè÷åñêóþ ñèñòåìó óðàâíåíèéîïðåäåëèòåëåìdet(Λ̂nm ) 6= 0,èìåþùóþ òîëüêî íóëåâîå ðåøåíèå:M̄c = 0.Òåì ñàìûìóðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ òåëà ïðåäñòàâèìû â âèäåF̄ = 0,M̄c = 0.(69.20)Ýòèì óðàâíåíèÿì ìîæíî ïðèäàòü áîëåå óäîáíûé âèä, íå òðåáóþùèé çíàíèÿ ïîëîæåíèÿ öåíòðà ìàññ òåëà.
Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó ñâÿçè ãëàâíûõ ìîìåíòîâ ñèë îòíîñèòåëüíîöåíòðîâOèCè (69.20) áóäåì èìåòüM̄0 = M̄c + x̄c × F̄ = 0,è óðàâíåíèÿì ðàâíîâåñèÿ òåëà ìîæíî ïðèäàòü ñëåäóþùèé îêîí÷àòåëüíûé âèäF̄ = 0,M̄0 = 0.(69.21)Ýòè äâà âåêòîðíûõ óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ òåëà ýêâèâàëåíòíû øåñòè ñêàëÿðíûì êîìïîíåíòíûì óðàâíåíèÿìFn = 0,Mn0 = 0,óñòàíîâëåííûì ðàíåå èç äðóãèõ ñîîáðàæåíèé.116(n = 1, 2, 3),(69.22)7◦Óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ãîëîíîìíîé ñèñòåìû.Èç ïðèíöèïà âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèé ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû è óðàâíåíèÿ ðàâíîâå-ñèÿ ãîëîíîìíûõ ñèñòåì. Ðàíåå áûëî âûÿñíåíî, ÷òî ïðè ðàâíîâåñèè ãåîìåòðè÷åñêèå ñâÿçèäîëæíû áûòü ñòàöèîíàðíû.  ýòîì ñëó÷àå îáîáùåííûå êîîðäèíàòû ìîæíî ââåñòè òàêèìîáðàçîì, ÷òîáû äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷åê, à ñëåäîâàòåëüíî, è èõ âåêòîð-ðàäèóñû ÿâíî íå ñîäåðæàëè âðåìÿ:x̄k = x̄k (q), (k = 1, .., N ).Ïðè ýòîì âàðèàöèèðàíåå, ïðåäñòàâèìû ÷åðåç âàðèàöèè îáîáùåííûõ êîîðäèíàòδx̄k =X ∂ x̄k∂qrrδqrδqrδx̄k ,êàê ïîêàçàíîôîðìóëàìè(k = 1, .., N ).×òî êàñàåòñÿ àêòèâíûõ ñèë, òî ïðè ðàâíîâåñèè îíè çàâèñÿò òîëüêî îò ïîëîæåíèé òî÷åê:F̄k = F̄k (x̄).
 ýòèõ óñëîâèÿõ âèðòóàëüíóþ ðàáîòó àêòèâíûõ ñèë ìîæíî ïðåäñòàâèòü÷åðåç ýëåìåíòàðíóþ ðàáîòó îáîáùåííûõ ñèë:XF̄k (x̄) · δx̄k =kXXX∂ x̄k (q)[]δqr =Qr (q)δqr .F̄k (q) ·∂qrrrkè âûðàçèòü ïðèíöèï Ëàãðàíæà (69.18) â âèäåXQr (q)δqr = 0.rÎòñþäà, ââèäó íåçàâèñèìîñòè è ïðîèçâîëüíîñòè âàðèàöèéδqrñëåäóþò óðàâíåíèÿ ðàâ-íîâåñèÿ ãîëîíîìíîé ñèñòåìûQr (q) = 0(r = 1, .., n),(69.23)÷èñëî êîòîðûõ ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû ñèñòåìû. Ýòè óðàâíåíèÿ ïðè îòëè÷íîì îò íóëÿ ßêîáèàíåîïðåäåëÿþò îáîáùåííûå∂(Q1 , ..., Qn )6= 0∂(q1 , ..., qn )êîîðäèíàòû q1 , .., qn ïîëîæåíèé(69.24)ðàâíîâåñèÿ.  îáùåì ñëó÷àåóðàâíåíèÿ (69.23) äîïóñêàþò íåñêîëüêî ðåøåíèé, îòâå÷àþùèõ íåñêîëüêèì ïîëîæåíèÿìðàâíîâåñèÿ.8◦Ðàâíîâåñèå ñòåðæíÿ â âåðòèêàëüíîé îêðóæíîñòè.Ïóñòü ñòåðæåíüABâåñîìPè äëèíîéâíóòðè ãëàäêîé îêðóæíîñòè ðàäèóñàíîé â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòèOxyR,2aïîêîèòñÿðàñïîëîæåí-(Ðèñ.118).
Òðåáó-ϕ ìåæöåíòðà O íàåòñÿ îïðåäåëèòü â ïîëîæåíèÿõ ðàâíîâåñèÿ óãîëäó ïåðïåíäèêóëÿðîìõîðäóAB ,OC ,îïóùåííûì èçè âåðòèêàëüíûì ðàäèóñîì.AB àêòèâíîé ñèëîé ñëóæèò åãî âåñ P ,ïðèëîæåííûé â öåíòðå ìàññ C . Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âåñà ðàâíà: Π = P yc + C, C = const. Äëÿ îïðåäåÄëÿ ñòåðæíÿëåíèÿ ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñòåðæíÿ ïðèìåíèì ïðèíöèï âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèé â ôîðìå (69.19), â ðåÐèñ. 118çóëüòàòå áóäåì èìåòüδΠ = P δyc = 0,117δyc = 0.(69.25)Áåðÿ óãîëϕ çà îáîáùåííóþ êîîðäèíàòó ñòåðæíÿ, íàõîäèì âåðòèêàëüíóþ êîîðäèíàòóöåíòðà ìàññ è åå âàðèàöèþyc = −h cos ϕ, h =√R2 − a2 ; δyc = h sin ϕδϕ,è ïðèíöèï ïîëó÷àåò âûðàæåíèåh sin ϕδϕ = 0.Îòñþäà, ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè âàðèàöèèδϕ, ñëåäóåò ðàâåíñòâî íóëþ êîýôôèöèåíòàïðè íåé, ÷òî ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþsin ϕ = 0,(69.26)0 ≤ ϕ ≤ 2πäàþùåìó äëÿ èñêîìîãî óãëà â èíòåðâàëåϕ1 = 0; ϕ2 = π.ïåðâîìó óãëó ϕ1 = 0äâà çíà÷åíèÿ: êàæäîì èç ýòèõ ïîëîæåíèé ñòåðæåíü ãîðèçîíòàëåí, ïðè÷åìA1 B1 ,ïîëîæåíèå A2 B2ñîîòâåòñòâóåò ïîëîæåíèå ñòåðæíÿâòîðîìó óãëóϕ2 = π-ðàñïîëîæåííîå íèæå öåíòðà îêðóæíîñòè, àñòåðæíÿ, ðàñïîëîæåííîå âûøå ýòîãî öåíòðà(Ðèñ.118).70Èíòåãðàëüíûå âàðèàöèîííûå ïðèíöèïû.Èíòåãðàëüíûå âàðèàöèîííûå ïðèíöèïû â ìåõàíèêå ôîðìóëèðóþòñÿ â ôîðìå ýêñòðåìóìà íåêîòîðîãî ôóíêöèîíàëà â ñïåöèàëüíîì êëàññå äîïóñòèìûõ ôóíêöèé.1◦Ïðÿìîé è îêîëüíûå ïóòè.Ïóñòü äâèæåíèå ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, îïðåäåëÿåìîå äâèæåíèåì èçîáðàæàþùåéòî÷êèèt1 ,P,ìåæäó äâóìÿ åå êîíôèãóðàöèÿìèP0îïèñûâàåòñÿ îïðåäåëåííîé íà èíòåðâàëåqr = qr (t),è P1 , îòâå÷àþùèìè ìîìåíòàì âðåìåíè t0[t0 , t1 ] ñèñòåìîé ãëàäêèõ ôóíêöèét ∈ [t0 , t1 ](r = 1, .., n),(70.1)ÿâëÿþùèõñÿ ðåøåíèåì ëàãðàíæåâûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ.
 ðàñøèðåííîì êîîðäèíàòíîì ïðîñòðàíñòâåEn+1 (q, t)(ãäå êîîðäèíàòàìè ñëóæàòq1 , .., qnèt)ýòî äâèæåíèå èçîá-ðàæàåòñÿ íåêîòîðîé êðèâîé, íàçûâàåìîé "ïðÿìûì ïóòåì"(Ðèñ.119).Ìåæäó çàäàííûìè êîíôèãóðàöèÿìèP0èP1êèíåìàòè÷åñêè âîçìîæíû è äðóãèå äâèæåíèÿ,îïèñûâàåìûå îäíîïàðàìåòðè÷åñêèì ñåìåéñòâîìôóíêöèéqr (t, α) = qr (t) + αhr (t),α ∈ [0, l](r = 1, .., n),(70.2)ãäåt,àl << 1, α - ìàëûé ïàðàìåòð, íå çàâèñÿùèé îòhr (t) - ïðîèçîëüíûå ãëàäêèå ôóíêöèè. Äâè-æåíèå (70.1) ñîäåðæèòñÿ â ñåìåéñòâå (70.2) è ñîÐèñ.
119îòâåòñâóåòα = 0: qr (t, 0) = qr (t) (r = 1, .., n).α 6= 0 â ïðîñòðàí-Óðàâíåíèÿ (70.2) ïðèñòâåEn+1"îêîëüíûìè ïóòÿìè".118îïðåäåëÿþò ñâîè êðèâûå, íàçûâàåìûå2◦Èçîõðîííàÿ âàðèàöèÿ.Ñðàâíèâàÿ íåêîòîðûé îêîëüíûé ïóòü ñ ïðÿìûì ïóòåì, âèäèì, ÷òî åãî óðàâíåíèå(70.2) ïîëó÷åíî ïî (70.1) èçìåíåíèåì ñàìîãî âèäà ôóíêöèé.
Ýòî èçìåíåíèå îáîçíà÷àþò÷åðåçδqr = qr (t, α) − qr (t) = αhr (t)è íàçûâàþò èçîõðîííîé âàðèàöèåé ôóíêöèè(r = 1, .., n),(70.3)qr (t, α).(δqr ) = δ~q îïðåäåëÿåò â ìîìåíò t âèðòóàëüíîå ïåðåìåùåíèåèçîáðàæàþùåé òî÷êè δ~q = P~P 0 , ïåðåâîäÿùåå åå èç ïîëîæåíèÿ P (q, t) íà ïðÿìîì ïóòèα = 0 â ýòîò ìîìåíò â ïîëîæåíèè P 0 (q + δq, t) íà îêîëüíîì ïóòè α 6= 0 â òîò æå ìîìåíò(Ðèñ.119).
Òåì ñàìûì âèðòóàëüíîå ïåðåìåùåíèå ïðèíàäëåæèò ãèïåðïëîñêîñòè t = const.Ñîâîêóïíîñòü âåëè÷èí3◦Ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ.Çàìåòèì, ÷òî ïðèðàùåíèå ïàðàìåòðà ïðè ïåðåõîäå ñ ïðÿìîãî ïóòè íà îêîëüíûé èìå-åò çíà÷åíèå δα = α − 0 = α, à ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè qr (t, α) â (70.2) ïî ïàðàìåòðó∂qr (t,α)= hr (t), ïîýòîìó èçîõðîííóþ âàðèàöèþ (70.3) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàêðàâíà∂αäèôôåðåíöèàë ôóíêöèè qr (t, α) ïî ïàðàìåòðóδqr =∂qr (t, α)δα∂α(r = 1, .., n).(70.4)Èçîõðîííîå âàðèðîâàíèå è äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî âðåìåíè ãëàäêîé ôóíêöèè, îêàçûâàåòñÿ, îáëàäàåò ñâîéñòâîì êîììóòàòèâíîñòè, ò.å.
èìååò ìåñòî ðàâåíñòâàδddqr= δqrdtdt(r = 1, .., n),(70.5)íàçûâàåìûå ïåðåñòàíîâî÷íûìè ñîîòíîøåíèÿìè. Äåéñòâèòåëüíî, äèôôåðåíöèðóÿ ïî âðåìåíè ðàâåíñòâî (70.4) è èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå âàðèàöèè, ïîëó÷àåì èñêîìîå ñîîòíîøåíèå:4◦d ∂qr (t, α)∂ ∂qr (t, α)dqrdδqr = (δα) =()δα = δdtdt∂α∂α∂tdt(r = 1, .., n).Ôóíêöèîíàë è óñëîâèå åãî ñòàöèîíàðíîñòè.Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå âåëè÷èíó, îáîáùàþùóþ ôóíêöèþ. Ðàññìîòðèì âåëè÷èíóJ,âûðàæàåìóþ èíòåãðàëîì ïî âðåìåíèZt1J=Φ(t, q, q̇)dt,(70.6)t0Φ(t, q, q̇) ∈ C 2 - íåêîòîðàÿ äâàæäû íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, à q =(qr )n1 , q̇ = (q̇)n1 - íåêîòîðàÿ ñèñòåìà ôóíêöèé è èõ ïðîèçâîäíûõ. Ýòîò èíòåãðàë ìîæåòáûòü âû÷èñëåí òîëüêî ïîñëå çàäàíèÿ ñîâîêóïíîñòè ôóíêöèé âðåìåíè qr = qr (t) (r =1, .., n).
Ïðè ýòîì ÿñíî, ÷òî íà äðóãîé ñèñòåìå ôóíêöèé èíòåãðàë èìååò, âîîáùå ãîâîðÿ,ãäåäðóãîå çíà÷åíèå, ò.å. îí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêîòîðóþ ôóíêöèþ îò ôóíêöèé. Âåëè÷èíûòàêîãî ðîäà íàçûâàþò ôóíêöèîíàëàìè.Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàë (70.6) íà íåêîòîðîì îäíîïàðàìåòðè÷åñêîì ñåìåéñòå ôóíê-qr = qr (t, α) (r = 1, .., n). Ôèêñèðîâàíèå ïàðàìåòðà α îçíà÷àåò ôèêñèðîâàíèåEn+1 , à ôèêñèðîâàíèå âðåìåíè t - íåêîòîðîé òî÷êè íàïóòè. Äàëåå ïîëàãàåì, ÷òî âñå ïóòè ïðîõîäÿò ÷åðåç òî÷êè P0 è P1 è ÷òî âðåìÿöèé (70.2):íåêîòîðîãî ïóòè â ïðîñòðàíñòâåýòîì119äâèæåíèÿ íà âñåõ ïóòÿõ îäíî è òîæå.
Òîãäà ôóíêöèîíàë (70.6) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ïàðàìåòðàZt1Φ(t, q(t, α), q̇(t, α))dt.J(α) =(70.7)t0Óñòàíîâèì âûðàæåíèå âàðèàöèè ýòîãî ôóíêöèîíàëà. Òðàêòóÿ âàðèàöèþ êàê äèôôåðåíöèàë ïî ïàðàìåòðó è ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ îò ïàðàìåòðà íåçàâèñÿò, áóäåì èìåòüZ0t1δΦdt.δJ = J (α)δα =(70.8)t0Ñ ïîìîùüþ ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé (70.5) âàðèàöèþ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèèìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåδΦ =X ∂Φ∂Φ dqrδqr +δ∂qr∂ q̇r dtrÂíîñÿδΦXd X ∂Φ=δqr +dt r ∂ q̇rr∂Φd ∂Φ−∂qr dt ∂ q̇rδqr .â (70.8) è èíòåãðèðóÿ ïåðâóþ ãðóïïó ñëàãàåìûõ, ïðåäñòàâèì âàðèàöèþôóíêöèîíàëà â âèäåδJ =X ∂Φ r∂ q̇r(δqr )1 −X ∂Φ 1∂ q̇rrZt1(δqr )0 +X ∂Φt00rd ∂Φ−∂qr dt ∂ q̇rδqr dt.(70.9)Ïîñêîëüêó ïðÿìîé ïóòü è âñå îêîëüíûå ïóòè ïðîõîäÿò ÷åðåç îäíè è òå æå íà÷àëüíóþè êîíå÷íóþ òî÷êèP0èP1 ,òî âèðòóàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ â ýòèõ òî÷êàõ ðàâíû íóëþ(δqr )0 = 0, (δqr )1 = 0 (r = 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
