1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Ê ÷èñëó èíòåãðàëüíûõ ïðèíöèïîâ îòíîñÿòñÿ ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà-Îñòðîãðàäñêîãî è ïðèíöèï Ìîïåðòþè-Ëàãðàíæà.69Äèôôåðåíöèàëüíûå âàðèàöèîííûå ïðèíöèïûÄëÿ èçëîæåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ ïðèíöèïîâ ââåäåì íîâûå ïîíÿòèÿ è ïðåäñòàâëåíèÿ.1◦Âîçìîæíûå è âèðòóàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ.Ðàññìîòðèì ìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìóNòî÷åêPk ,ïîä÷èíåííóþ ãåîìåòðè÷åñêèì ñâÿ-çÿìfe (t, x̄1 , .., x̄N ) = 0(e = 1, .., g, g < 3N ).(69.1)Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ýòè çàâèñèìîñòè, ïîëó÷èì óðàâíåíèÿX ∂fe∂fe· dx̄k +dt = 0∂ x̄k∂tkÄëÿ ôèêñèðîâàííûõ ìîìåíòà âðåìåíèôåðåíöèàëàõdx̄k(e = 1, .., g).(69.2)t è ïîëîæåíèÿ (x̄1 , .., x̄N ) êîýôôèöèåíòû ïðè äèô-è ñâîáîäíûå ÷ëåíû áóäóò òàêæå ôèêñèðîâàíû, ïîýòîìó (69.2) ìîæíîðàññìàòðèâàòü êàê îãðàíè÷åíèÿ íàdx̄k .Ñîâîêóïíîñòü ýëåìåíòàðíûõ ïåðåìåùåíèé{dx̄k } (k = 1, .., N ) íàçûâàþò âîçìîæíûìïåðåìåùåíèåì ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû äëÿ íåêîòîðîãî ìîìåíòà âðåìåíè è íåêîòîðîãî ååâîçìîæíîãî â ýòîò ìîìåíò ïîëîæåíèÿ, åñëè îíè óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì(69.2).Òàê êàê âîçìîæíîå ïåðåìåùåíèå ñèñòåìû {dx̄k } îïðåäåëÿåòñÿ åãî êîìïîíåíòàìè käèôôåðåíöèàëàìè êîîðäèíàò {dxn } ÷èñëîì 3N , òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (69.2) íåäîîïðåäåëåíà îòíîñèòåëüíî íèõ (g< 3N )è äëÿ êàæäîãî âîçìîæíîãî â ìîìåíòtïîëîæåíèÿñóùåñòâóåò áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ïåðåìåùåíèé.
Äåéñòâèòåëüíîå ýëåìåíòàðíîå ïåðåìåùåíèå â ìîìåíòtñîâïàäàåò ñ îäíèì èç âîçìîæíûõ ïåðåìåùåíèé. ÷àñòíîì ñëó÷àå ñêëåðîíîìíûõ ñèñòåì (êîãäà ñâÿçè ÿâíî íå çàâèñÿò îò âðåìåíè∂fe= 0) óðàâíåíèÿ äëÿ âîçìîæíûõ ïåðåìåùåíèé (69.2) óïðîùàþòñÿ è ïðèíèìàþò îä∂tíîðîäíûé îòíîñèòåëüíî ïåðåìåùåíèé âèäX ∂fe· dx̄k = 0∂ x̄kk(e = 1, .., g).(69.3)Ââåäåì åùå îäèí âèä ýëåìåíòàðíûõ ïåðåìåùåíèé, êîòîðûå â îáùåì ñëó÷àå óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì âèäà (69.3).Âèðòóàëüíûì ïåðåìåùåíèÿì ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû{δx̄k } (k = 1, .., N )äëÿ íåêî-òîðîãî ìîìåíòà âðåìåíè è íåêîòîðîãî âîçìîæíîãî â ýòîò ìîìåíò ïîëîæåíèÿ íàçûâàþò0ðàçíîñòü äâóõ âîçìîæíûõ ïåðåìåùåíèé ñèñòåìû {d x̄k } è {dx̄k } äëÿ ýòîãî ìîìåíòà è ïî0ëîæåíèÿ, ò.å. δx̄k = d x̄k −dx̄k (k = 1, .., N ). Âîçìîæíûå ïåðåìåùåíèÿ {dx̄k } (k = 1, .., N )0è {d x̄k } (k = 1, .., N ) óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì (69.2), ò.å.
âìåñòå ñ (69.2) âåðíû òàêæåñîîòíîøåíèÿX ∂fe∂fe· d0 x̄k +dt = 0∂ x̄k∂tk111(e = 1, .., g).(69.4)Ïîñêîëüêó âîçìîæíûå ïåðåìåùåíèÿ âçÿòû äëÿ îäíîãî è òîãî æå ìîìåíòà è ïîëîæåíèÿ,0òî â (69.2) è (69.4) êîýôôèöèåíòû ïðè dx̄k è d x̄k è ñâîáîäíûå ÷ëåíû áóäóò îäèíàêîâûå.Ïî÷ëåííûì âû÷èòàíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàâåíñòâ â (69.4) è (69.2) òåïåðü íàõîäèì, ÷òîâèðòóàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìîé óðàâíåíèéX ∂fe· δx̄k = 0∂ x̄kk(e = 1, .., g).Òàêèì îáðàçîì âñÿêàÿ ñîâîêóïíîñòü âåêòîðîâ{δx̄k } (k = 1, .., N ),(69.5)óäîâëåòâîðÿþùàÿóðàâíåíèÿì (69.5), ïðåäñòàâëÿåò ñîáîþ âèðòóàëüíîå ïåðåìåùåíèå ñèñòåìû.
Âèðòóàëüíîåïåðåìåùåíèå ñèñòåìû {∂ x̄k } îïðåäåëÿåòñÿ åãî êîìïîíåíòàìè - âàðèàöèÿìè êîîðäèíàò{∂xkn } ÷èñëîì 3N .Ïîäîáíî âîçìîæíûì ïåðåìåùåíèÿì âèðòóàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ ñèñòåìîé (69.5) îäíîçíà÷íî íå îïðåäåëÿþòñÿ, ò.å. â êàæäîì ïîëîæåíèè ñèñòåìû, îòâå÷àþùåì íåêîòîðîìóìîìåíòó âðåìåíè, ñóùåñòâóåò áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèé.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äëÿ ñòàöèîíàðíûõ ñâÿçåé óðàâíåíèÿ (69.3) ñîâïàäàþò ñ óðàâíåíèÿìè (69.5), ò.å.
ïðè ñòàöèîíàðíûõ ñâÿçÿõ âèðòóàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ ñîâïàäàþò ñ âîçìîæíûìè.2◦Âàðèàöèîííûé êðèòåðèé èäåàëüíîñòè ñâÿçåé.Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ñâÿçèðåàêöèè íà òèïè÷íóþ òî÷êóPkfe = 0 (e = 1, .., g)èäåàëüíû, åñëè èõ ðåçóëüòèðóþùèåñèñòåìû îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìèR̄k =Xλee∂fe∂ x̄k(k = 1, .., N ).(69.6)Êðèòåðèé èäåàëüíîñòè ñâÿçåé ìîæíî ôîðìóëèðîâàòü â âàðèàöèîííîé ôîðìå. Ñïðàâåäëèâà òåîðåìà:”Äëÿèäåàëüíîñòè ñâÿçåé íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî ðàâåíñòâî íóëþñóììû ðàáîò ðåàêöèé íà ëþáîì âèðòóàëüíîì ïåðåìåùåíèè ñèñòåìû”, ò.å.XR̄k · δx̄k = 0.(69.7)kÄåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ñâÿçè èäåàëüíû, ò.å. èõ ðåàêöèè îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè(69.6). Òîãäà âèðòóàëüíàÿ ðàáîòà ðåàêöèé áóäåò ðàâíà íóëþ:XkR̄k · δx̄k =X X ∂feX X ∂fe) · δx̄k =λe (· δx̄k ) = 0(λe∂x̄∂x̄kkeekkâ ñèëó óðàâíåíèé äëÿ âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèé (69.5).Íàïðîòèâ, åñëè âûïîëíåí êðèòåðèé (69.7), à òàêæå óðàâíåíèÿ (69.5), îïðåäåëÿþùèåâèðòóàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ, òî óìíîæèâ êàæäîå èç óðàâíåíèé (69.5) íà ñîîòâåòñòâóþùèéìíîæèòåëüλkè âû÷òÿ âñå ðåçóëüòàòû èç (69.7), ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèåXX ∂fe) · δx̄k = 0.(R̄k −λe∂x̄kek(69.8)Åìó ìîæíî ïðèäàòü äðóãóþ ôîðìó, åñëè âûðàçèòü âõîäÿùèå â íåãî ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ ÷åðåç èõ êîìïîíåíòû:Xkn(Rnk −Xeλe∂fe)δxkn = 0.∂xkn112(69.9)3N âàðèàöèé êîîðäèíàò δxkn , èç êîòîðûõ òîëüêî n øòóê íåçàâèñåìû, àîñòàëüíûå ÷èñëîì g = 3N − n - çàâèñèìû (ñâÿçàíû óñëîâèÿìè (69.5)).
Ïîäáåðåì òåïåðüìíîæèòåëè λe , ÷èñëî êîòîðûõ ðàâíî g , òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû â (69.9) îáðàòèëèñü â (69.9) âõîäÿòíóëü êîýôôèöèåíòû ïðè çàâèñèìûõ âàðèàöèÿõ. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, èáî äåëî ñâîäèòñÿ êîïðåäåëåíèþ ìíîæèòåëåé èç ëèíåéíîé ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ îòëè÷íûìèîò íóëÿ îïðåäåëèòåëåì (ñîâïàäàþùèì ñI 6=0).Ïîñëå ýòîãî â ðàâåíñòâå (69.9) îñòàíóòñÿ òîëüêî ÷ëåíû ñ íåçàâèñèìûìè âàðèàöèÿìè.Íî òîãäà äîëæíû ðàâíÿòñÿ íóëþ êîýôôèöèåíòû ïðè íèõ.  èòîãå áóäóò ðàâíû íóëþâñå ñêàëÿðíûå êîýôôèöèåíòû ïðè âàðèàöèÿõ â (69.9) è, ñëåäîâàòåëüíî, âñå âåêòîðíûåêîýôôèöèåíòû ïðèδx̄kâ ðàâåíñòâå (69.8). Èç ýòèõ ïîñëåäíèõ è óñòàíàâëèâàåì, ÷òîäîëæíî áûòüR̄k =Xλee∂fe∂ x̄k(k = 1, .., N ),÷òî ñîâïàäàåò ñ îïðåäåëåíèåì èäåàëüíîñòè ñâÿçåé (69.6).
Òåîðåìà äîêàçàíà.3◦Âàðèàöèîííûé ïðèíöèï Äàëàìáåðà-Ëàãðàíæà.Èìååò ìåñòî ñëåäóþùèé ïðèíöèï Äàëàìáåðà-Ëàãðàíæà: "Äåéñòâèòåëüíîå äâèæåíèåìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ñ èäåàëüíûìè ñâÿçÿìè îòëè÷àåòñÿ îò äðóãèõ äîïóñòèìûõ äâèæåíèé òåì ñâîéñòâîì, ÷òî äëÿ íåãî â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ðàâíà íóëþ ñóììà ðàáîòàêòèâíûõ ñèë è ñèë èíåðöèè íà ëþáîì âèðòóàëüíîì ïåðåìåùåíèè ñèñòåìû òî åñòüX(F̄k − mk āk ) · δx̄k = 0.(69.10)kÎáîñíîâàíèå ïðèíöèïà. Ïóñòü ðàññìàòðèâàåòñÿ äâèæåíèå íåñâîáîäíîé ñèñòåìûNòî÷åêñ èäåàëüíûìè ñâÿçÿìè. Òîãäà èìååò ìåñòî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìûmk āk = F̄k + R̄k(k = 1, .., N )(69.11)è âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå èäåàëüíîñòè ñâÿçåéXR̄k · δx̄k = 0.(69.12)kÓìíîæèì ñêàëÿðíî êàæäîå èç óðàâíåíèé (69.11) íà âåêòîð âèðòóàëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êèδx̄kè ïðîñóììèðóåì ðåçóëüòàòû, â èòîãå ïîëó÷èìXX(F̄k − mk āk ) · δx̄k +R̄k · δx̄k = 0.kk ýòîì ðàâåíñòâå â ñèëó óñëîâèÿ èäåàëüíîñòè ñâÿçåé (69.12) ïîñëåäíÿÿ ñóììà ðàâíàíóëþ, è îíî ïðèíèìàåò âèä (69.10).
Íåîáõîäèìîñòü ïðèíöèïà òåì ñàìûì äîêàçàíà.Ïóñòü òåïåðü, íàîáîðîò, äàíî íåêîòîðîå ñîâìåñòíîå ñ èäåàëüíûìè ñâÿçÿìè äâèæåíèå ñèñòåìû, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ ïðèíöèï (69.10). Îñâîáîäèì ñèñòåìó îò ñâÿçåé,∗äîáàâèâ ê àêòèâíûì ñèëàì F̄k ðåàêöèè èäåàëüíûõ ñâÿçåé R̄k , è îáîçíà÷èì ÷åðåç δx̄kâèðòóàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ òàêîé îñâîáîæäåííîé ñèñòåìû. Òîãäà ïðèíöèï (69.10) áóäåòèìåòü âèäX(F̄k + R̄k − mk āk ) · δx̄∗k = 0.k113(69.13) ñèëó òîãî, ÷òî òåïåðü ïåðåìåùåíèÿδx̄∗kíåçàâèñèìû è ïðîèçâîëüíû, èç óðàâíåíèÿ(69.13) áóäåò ñëåäîâàòü ðàâåíñòâî íóëþ êîýôôèöèåíòîâ ïðè íèõ:F̄k + R̄k − mk āk = 0(k = 1, .., N ).Ïîñëåäíèå ðàâåíñòâà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîþ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ íåñâîáîäíîé ñèñòåìû(69.11), ÷åì è äîêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íîñòü ïðèíöèïà.Òàêèì îáðàçîì, ïðèíöèï Äàëàìáåðà-Ëàãðàíæà ýêâèâàëåíòåí äèôôåðåíöèàëüíûìóðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ íåñâîáîäíîé ñèñòåìû ñ èäåàëüíûìè ñâÿçÿìè.
Ñîîòíîøåíèå (69.10)íàçûâàþò òàêæå îáùèì óðàâíåíèåì äèíàìèêè.Îáùåå óðàâíåíèå äèíàìèêè (69.10) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîþ ïî ñóùåñòâó íå îäíî óðàâíåíèå, à ñèñòåìó óðàâíåíèé, ÷èñëî êîòîðûõ ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû, ïîñêîëüêó èç íåãî ñëåäóåò ðàâåíñòâî íóëþ êîýôôèöèåíòîâ ïðè íåçàâèñèìûõ âàðèàöèÿõêîîðäèíàò. Èç íåãî ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà êàê ïåðâîãî,òàê è âòîðîãî ðîäà.4◦Âûâîä èç ïðèíöèïà óðàâíåíèé Ëàãðàíæà âòîðîãî ðîäà.Ðàññìîòðèì äâèæåíèå ãîëîíîìíîé ñèñòåìûñâÿçåé. Ââåäåìn = 3N − gNg ãåîìåòðè÷åñêèõq1 , .., qn , ÷åðåç êîòîðûåòî÷åê ïðè íàëè÷èèíåçàâèñèìûõ îáîáùåííûõ êîîðäèíàòè âðåìÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü âñå äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷åê, à, ñëåäîâàòåëüíî, è èõâåêòîð-ðàäèóñû:x̄k= x̄k (q, t).Ñîñòàâèì âîçìîæíûå ïåðåìåùåíèÿ â íåêîòîðûé ìîìåíò èïîëîæåíèè ñèñòåìûdx̄k =X ∂ x̄kr∂qrdqr +X ∂ x̄k∂ x̄k∂ x̄kdt, d0 x̄k =d0 qr +dt∂t∂qr∂tr(k = 1, .., N ),à ïî íèì - è âèðòóàëüíîå ïåðåìåùåíèå ñèñòåìûδx̄k = d0 x̄k − dx̄k =X ∂ x̄krãäå{δqr (r = 1, .., n)}∂qrδqr , δqr = d0 qr − dqr(k = 1, .., N ),(69.14)- âèðòóàëüíîå ïåðåìåùåíèå ñèñòåìû â îáîáùåííûõ êîîðäèíàòàõ.Ïîäñòàâèâ çàâèñèìîñòè (69.14) â âûðàæåíèå ïðèíöèïà (69.10) è ïðîèçâåäÿ ïåðåãðóïïèðîâêó ÷ëåíîâ, áóäåì èìåòüXX∂ x̄k Xdv̄k ∂ x̄k(F̄k ·−mk·)δqr = 0.∂qrdt ∂qrrkk(69.15)Ðàíåå áûëî âûÿñíåíî, ÷òî ïåðâàÿ èç ñòîÿùèõ â ñêîáêàõ ñóìì ïðåäñòàâëÿåò ñîáîþîáîáùåííóþ ñèëóXkF̄k ·∂ x̄K= Qr ,∂qr÷òî êàñàåòñÿ âòîðîé ñóììû, òî íà îñíîâå êèíåìàòè÷åñêèõ ëåìì∂ x̄k∂qr=∂v̄k,∂ q̇rd ∂ x̄kdt ∂qråå ìîæíî ïðåäñòàâèòü âûðàæåíèåìXkmkdv̄k ∂ x̄kd X∂v̄k X∂v̄kd ∂T∂T·=mk v̄k ·−mk v̄k ·=−.dt ∂qrdt k∂ q̇r∂qrdt ∂ q̇r ∂qrkÂíîñÿ íàéäåííûå âûðàæåíèÿ ñóìì â ðàâåíñòâî (69.15), áóäåì èìåòüXd ∂T∂T(Qr −+)δqr = 0.dt ∂ q̇r ∂qrr114=∂v̄k∂qkÒàê êàê â ýòîì ðàâåíñòâå âàðèàöèè îáîáùåííûõ êîîðäèíàò íåçàâèñèìû è ïðîèçâîëüíû, òî îíî ìîæåò âûïîëíÿòñÿ òîëüêî ïðè ðàâåíñòâå íóëþ êîýôôèöèåíòîâ ïðè íèõ, ÷òîè ïðèâîäèò ê óðàâíåíèÿì Ëàãðàíæà âòîðîãî ðîäà∂Td ∂T−= Qrdt ∂ q̇r ∂qr(r = 1, .., n).(69.16)Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ãîëîíîìíûõ ñèñòåì îáùåå óðàâíåíèå äèíàìèêè ýêâèâàëåíòíî ëàãðàíæåâûì óðàâíåíèÿì âòîðîãî ðîäà.5◦Ïðèíöèï âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèé.Óñòàíîâèì îáùèé çàêîí ðàâíîâåñèÿ ãîëîíîìíîé ñèñòåìû â ôîðìå ïðèíöèïà âèðòó-àëüíûõ ïåðåìåùåíèé.Îáùåå óðàâíåíèå äèíàìèêèX(F̄k − mk āk ) · δx̄k = 0,(69.17)kñïðàâåäëèâîå äëÿ ïðîèçâîëüíûõ äâèæåíèé íåñâîáîäíîé ñèñòåìûNòî÷åê ñ èäåàëüíû-ìè ñâÿçÿìè, ïðèìåíèì ê ðàâíîâåñèþ ñèñòåìû.
Òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå ñêîðîñòèóñêîðåíèÿākv̄kèòî÷åê ðàâíû íóëþ, óðàâíåíèå (69.17) óïðîùàåòñÿ è ïðèíèìàåò âèä îáùåãîóñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿXF̄k · δx̄k = 0,(69.18)kíàçûâàåìîãî ïðèíöèïîì âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèé.Ýòîò ïðèíöèï ãëàñèò: "Ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû ñ èäåàëüíûìè ñâÿçÿìè îòëè÷àåòñÿ îò âñåõ äðóãèõ äîïóñòèìûõ ïîëîæåíèé òåì ñâîéñòâîì, ÷òî â íåì ðàâíà íóëþñóììà ðàáîò àêòèâíûõ ñèë íà ëþáîì âèðòóàëüíîì ïåðåìåùåíèè ñèñòåìû".Ýòîò ïðèíöèï áûë îáîñíîâàí Ëàãðàíæåì è íîñèò åãî èìÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
