1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295), страница 23
Текст из файла (страница 23)
 îáùåì ñëó÷àå îáåçàäà÷è îäèíàêîâîé òðóäíîñòè. Îäíàêî, â ðÿäå ñëó÷àåâ îêàçûâàåòñÿ ïðîùå íàéòè ïîëíûéèíòåãðàë, à çàòåì ïî òåîðåìå ßêîáè è ñàìè èíòåãðàëû êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ÷åìíåïîñðåäñòâåííî èíòåãðèðîâàòü ýòó ñèñòåìó.  ýòîì îáñòîÿòåëüñòâå è ñîñòîèò öåííîñòüìåòîäà ßêîáè.4◦Ìåòîä Èìøåíåöêîãî ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ.Îáùåãî ìåòîäà îòûñêàíèÿ ïîëíîãî èíòåãðàëà óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè íå ñóùå-ñòâóåò. Îäíàêî â ðÿäå ñëó÷àåâ, èìåþùèõ èíòåðåñíîå ôèçè÷åñêîå ñîäåðæàíèå, îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì íàéòè ïîëíûé èíòåãðàë, ïðè÷åì åãî íàõîæäåíèå ñâîäèòñÿ ê êâàäðàòóðàì.
Òàêîãî ðîäà çàäà÷è âîçíèêàþò ïðè ñïåöèàëüíîé ñòðóêòóðå ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà èíàçûâàþòñÿ çàäà÷àìè ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè.Ìåòîä Èìøåíåöêîãî ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ îñíîâàí íà ñëåäóþùåé òåîðåìå: ÏóñòüH(f1 (q1 , p1 ), q 0 , t, p0 ), ïðè÷åì ∂f1 /∂p1 6= 0. Òîãäà äëÿôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà èìååò âèäóðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè ∂S∂S∂S∂S+ H f 1 q1 ,, q2 , ..., qn , t,, ...,=0∂t∂q1∂q2∂qn(67.14)ïîëíûé èíòåãðàë ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìåZS=ãäå∂S/∂q1 = F1 (q1 , u1 )F1 (q1 , u1 )dq1 + V (q2 , ..., qn , t, u1 , ..., un ), ôóíêöèÿ, îáðàòíàÿ ôóíêöèè∂Sf1 q1 , ∂q1(67.15)= u1 ,àV (q 0 , t, u)ïîëíûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ∂V∂V∂V+ H u1 , q2 , ..., qn , t,, ...,= 0.∂t∂q2∂qnÄîêàçàòåëüñòâî.
ÏóñòüS(67.16)îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (67.15); òîãäà åå ïðîèçâîäíûåáóäóò ðàâíû∂S∂V=,∂t∂t∂S∂V=,∂qr∂qr107(r = 2, ..., n);∂S= u1 ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óðàâíåíèå (67.16) ïðèíèìàåò âèäf1 q1 , ∂q1Ñëåäîâàòåëüíî, S áóäåò ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè, ñîäåðæàùèìâìåñòå ñ óñëîâèåì(67.14).nïàðàìåòðîâ.Çàìåòèì, äàëåå, ÷òî∂S= F1 (q1 , u1 ),∂q1∂ 2S∂F1=δ1r ,∂q1 ∂ur∂u1(r = 1, ..., n;ïîýòîìó ãåññèàí ôóíêöèè∂ 2Sdet∂qs ∂urn1= det S∂ 2S∂ 2V=∂qs ∂ur∂qs ∂urs = 2, ..., n),áóäåò ðàâåí∂F∂q1∂2V∂q2 ∂u1∂2V∂q2 ∂u2......∂2V∂qn ∂u1∂2V∂qn ∂u20............0∂2V∂q2 ∂un...∂2V∂qn ∂un 2 n ∂F∂ V1det.=∂qk ∂ul 2 ∂u1(67.17)Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòîò ãåññèàí îòëè÷åí îò íóëÿ.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïðîäèôôåðåí∂f1 ∂F1= 1, ñëåäîâàu1 òîæäåñòâî f1 [q1 , p1 (q1 , u1 )] = u1 , òî áóäåì èìåòü ∂p1 ∂u1n∂f1 −1∂F1∂2V6= 0, ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ V åñòü= ( ∂p)=60. Êðîìå òîãî, detòåëüíî,∂u1∂q1k ∂ul2ïîëíûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (67.16). Òåì ñàìûì ãåññèàí (67.17) îòëè÷åí îò íóëÿ è ôóíêöèðîâàòü ïîöèÿS,îïðåäåëåííàÿ âûðàæåíèåì (67.15), äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì èíòåãðàëîìóðàâíåíèÿ (67.14).
Òåîðåìà äîêàçàíà.q1 , p1f1 (q1 , p1 ), òî îòûñêàíèå ïîëíîãî èíòåãðàëàÈòàê, åñëè â âûðàæåíèè ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà ïàðó ñîïðÿæåííûõ àðãóìåíòîâóäàåòñÿ âûäåëèòü â âèäå îòäåëüíîé ôóíêöèèèñõîäíîãî óðàâíåíèÿ ñâîäèòñÿ ê àíàëîãè÷íîé çàäà÷å äëÿ óðàâíåíèÿ, â êîòîðîì ÷èñëîíåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ íà åäèíèöó ìåíüøå, ÷åì ó èñõîäíîãî, òî åñòü ê áîëåå ïðîñòîéçàäà÷å. Èíîãäà ýòîò ïðîöåññ óäàåòñÿ ïðîäîëæèòü íà íåñêîëüêî øàãîâ.  ñëó÷àå, êîãäàìîæíî ñäåëàòü5◦nøàãîâ, îïðåäåëåíèå ïîëíîãî èíòåãðàëà ñâîäèòñÿ ê êâàäðàòóðàì.Ñèñòåìû ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè.a)Ïóñòü ñèñòåìà èìååò öèêëè÷åñêóþ êîîðäèíàòó q1 , òî åñòü∂S∂Sè îïðåäåëÿåì ïðîèçâîäíóþèç óðàâíåíèÿ f1 =f1 = ∂q∂q11u1 . Ïîëíûé èíòåãðàë (67.15) ïðè ýòîì áóäåò ðàâåíïîëàãàåì∂H/∂q1 = 0.
Òîãäà∂Su1 â âèäå ∂q= F1 =1S = u1 q1 + V (q2 , ..., qn , t, u1 , ..., un ).(67.18)Êîíå÷íûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, îïðåäåëÿåìûå ïî òåîðåìå ßêîáè ôîðìóëàìè∂S= pr ,∂qr∂S= vr∂ur(r = 1, ..., n),(67.19)∂V∂us(67.20)áóäóò èìåòü âèäp1 = u1 ,q1 +∂V= v1 ;∂u1ps =∂V,∂qsb)vs =(s = 2, ..., n).Ïóñòü ñèñòåìà îáîáùåííî-êîíñåðâàòèâíà, òî åñòü ∂H/∂t = 0. Òîãäà ñîïðÿæåííûåâåëè÷èíû qn+1 = t,pn+1 = ∂Sâõîäÿò â óðàâíåíèå â âèäå îäíîé ôóíêöèè è ìîæíî∂t108ïðèíÿòüfn+1 =∂S∂t= un+1 = −h = Fn+1 .Ïîëíûé èíòåãðàë (67.15) ïðè ýòîì èìååòâûðàæåíèåS = −ht + V (q1 , ..., qn , u1 , ..., un−1 , h),ãäåV(67.21)ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì èíòåãðàëîì óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ∂V∂VH q1 , ..., qn ,, ...,= h.∂q1∂qn(67.22)Ïîëíàÿ ñèñòåìà èíòåãðàëîâ (67.19) â ýòîì ñëó÷àå áóäåò∂V= vs∂us−t +Ïåðâûå∂V= pr∂qr(s = 1, ..., n − 1),(r = 1, ..., n),(67.23)∂V= vn .∂h(67.24)n−1 èíòåãðàëîâ (67.23) íàçûâàþò ãåîìåòðè÷åñêèìè.
Îíè íå ñîäåðæàò âðåìåEn îïðåäåëÿþò ñåìåéñòâî òðàåêòîðèé èçîáðàæàþùåéíè è â êîîðäèíàòíîì ïðîñòðàíñòâåòî÷êè. Ïîñëåäíèé èíòåãðàë (67.24), ñîäåðæàùèé âðåìÿ, íàçûâàþò êèíåìàòè÷åñêèì; îíäàåò óðàâíåíèå äâèæåíèÿ èçîáðàæàþùåé òî÷êè ïî òðàåêòîðèè. Âòîðóþ ãðóïïó èíòåãðàëîâ â (67.23) íàçûâàþò ïðîìåæóòî÷íûìè.
Îíè ñëóæàò äëÿ íàõîæäåíèÿ èìïóëüñîâ.c)Ïóñòü ñèñòåìà îáîáùåííî-êîíñåðâàòèâíà è åå ãàìèëüòîíîâà ôóíêöèÿ èìååò ñïå-öèàëüíóþ ñòðóêòóðó:∂fr6= 0∂prH = G(f1 (q1 , p1 ), ..., fn (qn , pn )),(r = 1, ..., n). ýòîì ñëó÷àå âñå ïåðåìåííûå ðàçäåëåíû: ñîïðÿæåííûå âåëè÷èíûòîëüêî ÷åðåç ôóíêöèþfr .qrè(67.25)prâõîäÿò âHÓðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè èìååò âèä (67.22): ∂V∂V, ..., fn qn ,= h.G f 1 q1 ,∂q1∂qnÓðàâíåíèå, î÷åâèäíî, äîïóñêàåòn-êðàòíîå(67.26)ïîíèæåíèå ÷èñëà íåçàâèñèìûõ ïåðåìåí-G(u1 , ..., un ) = h.Fr (qr , ur )dqr .íûõ, ïîñëå ÷åãî îíî ïåðåõîäèò â ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïîñòîÿííûìèP RV = r×òî êàñàåòñÿ ïîëíîãî èíòåãðàëà èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ (67.14), òî îí áóäåò ðàâåíÏîëíûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (67.26) ïðè ýòîì èìååò âèäS = −G(u1 , ..., un )t +XZFr (qr , ur )dqr .(67.27)rÊîíå÷íûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (67.19) â äàííîì ñëó÷àå ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà∂Fr∂ur∂fr −1= ( ∂p)rçàïèøóòñÿ â ôîðìåpr = Fr (qr , ur );∂G−t+∂urZdqr∂fr= vrun :G(u1 , ..., un ) = h ìîæíî ðàçðåøèòü îòíîñèòåëüíî,un = un (u1 , ..., un−1 , h) è çàïèñàòü ôóíêöèþ S â âèäåS = −ht +n−1 ZXZFs (qs , us )dqs +(67.28)∂pr pr =FrÇàìåòèì, ÷òî ñîîòíîøåíèåìåð,(r = 1, ..., n).Fn (qn , un (u0 , h))dqns=1109íàïðè-(u0 = (u1 , ..., un−1 )).Òîãäà êîíå÷íûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, ïîäîáíî (67.24), (67.25) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìåZvs =dqs∂fs∂ps ps =Fs∂un+∂usZdqn∂fn∂vnvn = −t +∂h;∂pn pn =Fnpr = Fr (qr , ur )(r = 1, ..., n;Zdqn,∂fn∂pn pn =Fns = 1, ..., n − 1).(67.29)Òàêàÿ ôîðìà, êàê îòìå÷àëîñü âûøå, ïîäðàçäåëÿåò èíòåãðàëû îáîáùåííî-êîíñåðâàòèâíîéñèñòåìû íà ãåîìåòðè÷åñêèå, êèíåìàòè÷åñêèé è ïðîìåæóòî÷íûå.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿóðàâíåíèÿ âèäà (67.26) îòûñêàíèå êîíå÷íûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ êâàäðàòóð.Âàðèàöèîííûå ïðèíöèïû ìåõàíèêè.681◦Âàðèàöèîííûå ïðèíöèïû.Ðîëü âàðèàöèîííûõ ïðèíöèïîâ.Êëàññè÷åñêàÿ ìåõàíèêà îñíîâûâàåòñÿ íà çàêîíàõ Íüþòîíà. Èç ýòèõ çàêîíîâ ïðè ñî-îòâåòñòâóþùèõ îáîáùåíèÿõ áûëè ïîëó÷åíû óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåìîáùåãî âèäà. Îäíàêî ìåõàíè÷åñêóþ òåîðèþ ìîæíî ïîñòðîèòü, èñõîäÿ èç äðóãèõ èñõîäíûõ ïîñûëîê: ìîæíî ïîñòóëèðîâàòü ñïðàâåäëèâîñòü, íàïðèìåð, íåêîòîðîãî âàðèàöèîííîãî ïðèíöèïà è çàòåì èç íåãî ïîëó÷àòü âñå ñîäåðæàíèå ìåõàíèêè.
Òàêèì îáðàçîì, âìåñòî èíäóêòèâíîãî ñïîñîáà ïîñòðîåíèÿ ìåõàíèêè ìîæíî èçáðàòü äðóãîé, äåäóêòèâíûéñïîñîá.Âàðèàöèîííûå ïðèíöèïû âûðàæàþò íåêîòîðûå îáùèå ñâîéñòâà äâèæåíèÿ. Êàæäûéèç íèõ ïîçâîëÿåò ñôîðìóëèðîâàòü êðèòåðèé, êîòîðûé âûäåëÿåò äåéñòâèòåëüíîå äâèæåíèå ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû èç êëàññà äîïóñòèìûõ äâèæåíèé è òåì ñàìûì äàåò âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ.Ðàññìîòðåíèå èíûõ, ÷åì íüþòîíîâû çàêîíû, îñíîâ ìåõàíèêè öåëåñîîáðàçíî ïî ðÿäóïðè÷èí. Âî-ïåðâûõ, ýòèì ïðåñëåäóåòñÿ öåëü óñòàíîâëåíèÿ íàèáîëåå îáùèõ çàêîíîâ ïðèðîäû, óïðàâëÿþùèõ ìåõàíè÷åñêèì äâèæåíèåì.
Âî-âòîðûõ, íåêîòîðûå èç íîâûõ çàêîíîâÿâëÿþòñÿ áîëåå êîìïàêòíûìè è îáîçðèìûìè, ÷åì íüþòîíîâû çàêîíû è èõ óäîáíåå îáîáùàòü íà íîâûå íåêëàññè÷åñêèå îáëàñòè ôèçèêè. Íàêîíåö, â-òðåòüèõ, ïîëó÷åííûå èç ýòèõàêñèîì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñâîáîäíû îò íåèçâåñòíûõ ðåàêöèé è òåì ñàìûì óäîáíû äëÿíàõîæäåíèÿ äâèæåíèÿ.Âàðèàöèîííûå ïðèíöèïû ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ îáîáùåíèÿõ ñïðàâåäëèâû òàêæå âìåõàíèêå ñïëîøíûõ ñðåä, îïòèêå, ýëåêòðîäèíàìèêå è äðóãèõ íàóêàõ.2◦Âèäû âàðèàöèîííûõ ïðèíöèïîâ.Âàðèàöèîííûå ïðèíöèïû ïîäðàçäåëÿþò íà äèôôåðåíöèàëüíûå è èíòåãðàëüíûå. Ïåð-âûå èç íèõ âûðàæàþò õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî äåéñòâèòåëüíîãî äâèæåíèÿ äëÿ êàæäîãî ìîìåíòà âðåìåíè, à âòîðûå äëÿ âñåãî èíòåðâàëà èçìåíåíèÿ âðåìåíè.Äèôôåðåíöèàëüíûå ïðèíöèïû â ðàìêàõ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè îáëàäàþò íåñêîëüêîáîëüøåé îáùíîñòüþ, ÷åì èíòåãðàëüíûå: íåêîòîðûå èç íèõ ñïðàâåäëèâû äëÿ íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì îáùåãî âèäà, â òî âðåìÿ êàê èíòåãðàëüíûå âûïîëíÿþòñÿ äëÿ íåãîëîíîìíûõñèñòåì ñ ëèíåéíûìè êèíåìàòè÷åñêèìè ñâÿçÿìè. Îäíàêî, äèôôåðåíöèàëüíûå ïðèíöèïû110ôîðìóëèðóþòñÿ â îïðåäåëåííîé ñèñòåìå îòñ÷åòà è âûðàæàåìûå èìè ñâîéñòâà íå ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòíûìè, â òî âðåìÿ êàê èíòåãðàëüíûé ïðèíöèï íå ñâÿçàí ñ êàêîé-ëèáîñèñòåìîé îòñ÷åòà è åãî ìîæíî âûðàçèòü â ëþáîé ñèñòåìå.Äèôôåðåíöèàëüíûìè ïðèíöèïàìè ÿâëÿþòñÿ ïðèíöèï Äàëàìáåðà-Ëàãðàíæà, ïðèíöèï Æóðäåíà, ïðèíöèï Ãàóññà è ïðèíöèï Ãåðöà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
