1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Ïîñêîëüêó îïðåäåëèòåëü ýòîé ñèñòåìû â ñèëó (62.20) îòëè÷åí îò íóëÿ, ñèñòåìà èìååò òîëüêî íóëåâîå ðåøåíèåd ∂L∂L−=0dt ∂ θ̇s ∂θs(s = 1, ..., n),(62.23)êîòîðîå è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîþ ëàãðàíæåâû óðàâíåíèÿ â íîâûõ ïåðåìåííûõ. Èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèé, òàêèì îáðàçîì, îáîñíîâàíà.63Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà.Ìíîãèå ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ óðàâíåíèé ðàçâèòû ïðèìåíèòëüíî ê ñèñòåìàì óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà.
Ëàãðàíæåâû óðàâíåíèÿ äëÿ íàòóðàëüíûõ ñèñòåì ÿâëÿþòñÿ óðàâíåíèÿìè âòîðîãî ïîðÿäêà. Ñâåñòè èõ ê ñèñòåìå óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ìîæíî ìíîãèìè ñïîñîáàìè. Ïîëó÷åíèå íàèáîëåå óäîáíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà óðàâíåíèéÃàìèëüòîíà ñâÿçàíî ñ ïðèìåíåíèåì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëåæàíäðà.931◦Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëåæàíäðà.X , çàâèñÿùàÿ îò íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ x =a = (a1 , ..., am ) : X(x, a). Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî îíà îáëàäàåòÏóñòü èìååòñÿ íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ(x1 , ..., xn )è ïàðàìåòðîâíåïðåðûâíûìè ïðîèçâîäíûìè ïî íåçàâèñèìûì ïåðåìåííûì. Òîãäà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ïðåîáðàçîâàíèå ê äðóãèì íåçàâèñèìûì ïåðåìåííûìy = (y1 , ..., yn ),îïðåäåëÿåìîåôîðìóëàìèyk =∂X∂xk(k = 1, ..., n).Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàþò ïðåîáðàçîâàíèåì Ëåæàíäðà, à ôèãóðèðóþùóþ â íåìôóíêöèþX ïîðîæäàþùåé ôóíêöèåé ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëå-æàíäðà âûðàæàþòñÿ ñëåäóþùåé òåîðåìîé.2◦Òåîðåìà Äîíêèíà.Ïóñòü íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ è ïàðàìåòðîâîòëè÷íûé îò íóëÿ ãåññèàí∂ 2Xdet∂xk ∂xlX(x, a), èìåþùàÿn6= 0,(63.1)k,l=1ïîðîæäàåò ïðåîáðàçîâàíèå Ëåæàíäðàyk =∂X∂xk(k = 1, ..., n).(63.2)Òîãäà ñóùåñòâóåò îáðàòíîå ê (63.2) ïðåîáðàçîâàíèå, ïîðîæäàåìîå ôóíêöèåéxl =ïðè÷åì ôóíêöèÿY∂Y∂ylY (y, a) :(l = 1, ..., n),(63.3)X ôîðìóëîéXxk yk − X,Y =ñâÿçàíà ñ ôóíêöèåé(63.4)kè ïðîèçâîäíûå îò ýòèõ ôóíêöèé ïî êàêîìó-ëèáî ïàðàìåòðó îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãàòîëüêî çíàêîì∂Y∂X=−∂as∂as(s = 1, ..., m).(63.5)Xñîâïàäàåò ñ ßêîáèàíîì ïðà-Äîêàçàòåëüñòâî.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ãåññèàí ôóíêöèèâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé (63.2). Ïîýòîìó â ñèëó (63.1) óðàâíåíèÿ (63.2) ìîæíî ðàçðåøèòüîòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõx,âûðàçèâ èõ â âèäåÂîçüìåì òåïåðü ôóíêöèþçíà÷åíèÿxY,x = x(y, a).îïðåäåëåííóþ ðàâåíñòâîì (63.4), è ïîäñòàâèì â íååïî ïîëó÷åííûì âûøå ôîðìóëàì. Òîãäà áóäåì èìåòüY (y, a) =Xxk (y, a)yk − X(x(y, a), a).kÏðîäèôôåðåíöèðîâàâ ýòî âûðàæåíèå ïîyl ,èñïîëüçóÿ (63.2), áóäåì èìåòüX ∂X ∂xk X ∂xkX ∂xkXX ∂xk∂Y=yk +xk δkl −=yk + x l −yk= xl ,∂yl∂yl∂xk ∂yl∂yl∂ylkkkkk94(63.6)òî åñòü èìåþò ìåñòî ôîðìóëû (63.3). Åñëè òåïåðü ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü (63.6) ïî ïàðàìåòðóas ,òî ñ ó÷åòîì (63.2) ïîëó÷èì ôîðìóëû (63.5); äåéñòâèòåëüíî,X ∂xkX ∂X ∂xk ∂X X ∂xkX ∂xk ∂X∂Y∂X=yk −−=yk −−=−.yk∂as∂a∂x∂a∂a∂a∂a∂ask ∂asssssskkkkÏîñëåäíèå ðàâåíñòâà çàâåðøàþò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.3◦Ïåðåìåííûå Ëàãðàíæà è Ãàìèëüòîíà.Ñîãëàñíî ìåòîäó Ëàãðàíæà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ íàòóðàëüíîé ñèñòåìû âïîëíå îïðå-äåëÿþòñÿ çàäàíèåì êèíåòè÷åñêîãî ïîòåíöèàëàt, q = (q1 , ..., qn ), q̇ = (q̇1 , ..., q̇n ),L = L(t, q, q̇).ôèãóðèðóþùèõ â âûðàæåíèèÑîâîêóïíîñòü ïåðåìåííûõL,íàçûâàþò ïåðåìåííûìèËàãðàíæà.
Ýòè ïåðåìåííûå îïðåäåëÿþò ìîìåíò âðåìåíè è ñîñòîÿíèå äâèæåíèÿ ñèñòåìûâ ýòîò ìîìåíò, òî åñòü ïîëîæåíèÿ òî÷åê ñèñòåìû è èõ ñêîðîñòè. Ëàãðàíæåâû óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿþò â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè êîîðäèíàòûq = q(t);ñêîðîñòè æå íàõîäÿòñÿïóòåì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî âðåìåíè êîîðäèíàò.Ãàìèëüòîí ïðåäëîæèë ñîñòîÿíèå ñèñòåìû õàðàêòåðèçîâàòü äðóãèìè âåëè÷èíàìè, ââåäÿ âìåñòî îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé òàê íàçûâàåìûå îáîáùåííûå èìïóëüñû ñîãëàñíî ôîðìóëàìpk =Ñîâîêóïíîñòü ïåðåìåííûõ∂L∂ q̇k(k = 1, ..., n).t, q = (q1 , ..., qn ), p = (p1 , ..., pn )(63.7)íàçûâàþò ïåðåìåííûìèÃàìèëüòîíà. Ïîñêîëüêó ÿêîáèàí ïðàâûõ ÷àñòåé â (63.7) ïî ïåðåìåííûìîòëè÷íûì îò íóëÿ ãåññèàíîì ôóíêöèèîòíîñèòåëüíî ñêîðîñòåé:q̇ = q̇(t, q, p).L,q̇ñîâïàäàåò ñòî óðàâíåíèÿ (63.7) ìîãóò áûòü ðàçðåøåíûÒåì ñàìûì ïåðåìåííûå Ëàãðàíæà è Ãàìèëüòîíàâûðàæàþòñÿ äðóã ÷åðåç äðóãà.Ìåòîä Ãàìèëüòîíà îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ íàòóðàëüíîé ñèñòåìû ñîñòîèò â ïîëó÷åíèèóðàâíåíèé äëÿ êîîðäèíàò4◦qè èìïóëüñîâp,ðàññìàòðèâàåìûõ êàê ôóíêöèè âðåìåíè.Âûâîä óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà.Äëÿ âûâîäà ãàìèëüòîíîâûõ óðàâíåíèé áóäåì èñõîäèòü èç ëàãðàíæåâûõ óðàâíåíèéâòîðîãî ðîäà∂Ld ∂L−=0dt ∂ q̇r ∂qr(r = 1, ..., n).(63.8) ïåðåìåííûõ Ãàìèëüòîíà ýòè óðàâíåíèÿ çàïèñûâàþòñÿ â âèäåṗr =∂L∂qr(r = 1, ..., n).(63.9)Íà ôîðìóëû (63.7), îïðåäåëÿþùèå îáîáùåííûå èìïóëüñû, ìîæíî ñìîòðåòü êàê íàt, q, q̇ , ïîðîæäàåìîå ôóíêöèåé Ëàãðàíèìïóëüñû p, à ïåðåìåííûå t, q èãðàþòïðåîáðàçîâàíèå Ëåæàíäðà ëàãðàíæåâûõ ïåðåìåíûõæàL,ïðè êîòîðîì ñêîðîñòèq̇ïðåîáðàçóþòñÿ âðîëü ïàðàìåòðîâ.
Ïîñêîëüêó ãåññèàí ôóíêöèè Ëàãðàíæà ïî ñêîðîñòÿì îòëè÷åí îò íóëÿ 2 n∂ L6= 0,det∂ q̇r ∂ q̇s r,s=195(63.10)òî äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ (63.7) ñïðàâåäëèâà òåîðåìà Äîíêèíà. Ñîãëàñíî ýòîé òåîðåìåîáðàòíîå ïî îòíîøåíèþ (63.7) ïðåîáðàçîâàíèå èìååò âèäq̇r =∂H∂pr(r = 1, ..., n);(63.11)îíî ïîðîæäàåòñÿ ôóíêöèåéH(t, q, p) =Xpr q̇r (t, q, p) − L(t, q, q̇(t, q, p)),(63.12)ríàçûâàåìîé ôóíêöèåé Ãàìèëüòîíà. Ïðè ýòîì ïðîèçâîäíûå ïî ïàðàìåòðàìöèéLèHt, qîò ôóíê-ñâÿçàíû çàâèñèìîñòÿìè∂L∂H=−,∂qr∂qr∂L∂H=−.∂t∂t(r = 1, ..., n),(63.13)Âîçâðàùàÿñü ê óðàâíåíèÿì Ëàãðàíæà â ôîðìå (63.9), âèäèì, ÷òî ñ ïîìîùüþ ôîð-ṗr = −∂H/∂qr(r = 1, ..., n). Ïîëó÷åííûåóðàâíåíèÿ ñîâìåñòíî ñ óðàâíåíèÿìè (63.11) îáðàçóþò çàìêíóòóþ ñèñòåìó 2n óðàâíåíèéìóë (63.13) èõ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåïåðâîãî ïîðÿäêà∂Hdqr=,dt∂prdpr∂H=−dt∂qr(r = 1, ..., n),(63.14)íàçûâàåìûõ êàíîíè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè Ãàìèëüòîíà. Îíè âìåñòå ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìèqr (0) = qr0 ,t = 0,pr (0) = p0r(r = 1, ..., n)(63.15)ñëóæàò äëÿ íàõîæäåíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñèñòåìûqr = qr (t),pr = pr (t)(r = 1, ..., n).(63.16)Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ñîõðàíÿþò âñå äîñòîèíñòâà Ëàãðàíæåâûõ óðàâíåíèé.
Êðîìåòîãî, îíè èìåþò íîðìàëüíûé âèä; ïðàâûå ÷àñòè ýòèõ óðàâíåíèé ÿâëÿþòñÿ ïðîèçâîäíûìè ïî èñêîìûì âåëè÷èíàì îò îäíîé è òîé æå ôóíêöèè. Ýòè îñîáåííîñòè ñòðóêòóðûóðàâíåíèé ïîçâîëÿþò ðàçâèòü äëÿ íèõ ýôôåêòèâíûå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ.5◦Ìåõàíè÷åñêèé ñìûñë ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà.Óñòàíîâèì ìåõàíè÷åñêèé ñìûñë ôóíêöèé Ãàìèëüòîíà äëÿ íàòóðàëüíîé ñèñòåìû. Òî-ãäàLÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèåé ñêîðîñòåé:ëåíèþ (63.12) ôóíêöèÿHH≡L = L2 + L1 + L0è ñîãëàñíî îïðåäå-áóäåò ðàâíàX ∂L2X ∂L1X ∂Lq̇r − L =q̇r +q̇r − L.∂q̇∂q̇∂q̇rrrrrr∂L2r ∂ q̇r q̇r = 2L2 ,ñ ó÷åòîì ôîðìóë L2Ïî òåîðåìå Ýéëåðà îá îäíîðîäíûõ ôóíêöèÿõìó îêîí÷àòåëüíîå âûðàæåíèå ôóíêöèèHP∂L1r ∂ q̇r q̇rP= T2 ,= L1 , ïîýòîL0 = T0 − Πèìååò âèäH = 2L2 + L1 − (L2 + L1 + L0 ) = L2 − L0 = T2 − T0 + Π,(63.17)òî åñòü ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà èìååò ñìûñë îáîáùåííîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè (òàê êàêT2 − T0íå ÿâëÿåòñÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé).
Çàìåòèì, ÷òî ïðè íàëè÷èè ó ñèñòåìû îáîá-V = V1 + V0T + V ).ùåííîãî ñèëîâîãî ïîòåíöèàëàâåëè÷èíóE =T +Π(à íåìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèåé ñèñòåìû íàçûâàþò96 ÷àñòíîì ñëó÷àå ñêëåðîíîìíîé ñèñòåìûT2 = T,T0 = 0,ïîýòîìóH = T + Π,(63.18)òî åñòü äëÿ íàòóðàëüíîé ñêëåðîíîìíîé ñèñòåìû ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîþ ìåõàíè÷åñêóþ ýíåðãèþ ñèñòåìû, âûðàæåííóþ â ïåðåìåííûõ Ãàìèëüòîíà.6◦Ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî. ìåòîäå Ãàìèëüòîíà äâèæåíèå ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿôóíêöèÿìè(k = 1, ..., n). Äëÿ ãåîìåòðè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ýòîãî2n-ìåðíîå ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî E2n (q, p), âäîëü îñåéêîòîðîãî îòêëàäûâàþòñÿ îáîáùåííûå êîîðäèíàòû è èìïóëüñû. Òî÷êó Z(q, p) ïðîñòðàíñòâà E2n ñ êîîðäèíàòàìè (q, p) íàçûâàþò èçîáðàæàþùåé òî÷êîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû.âðåìåíèqk = qk (t),2npk = pk (t)äâèæåíèÿ ââîäÿò â ðàññìîòðåíèåÅå äâèæåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâûìè óðàâíåíèÿìè. Òàêèì îáðàçîì, äâèæåíèå ñè-E3 (x) îïèñûâàåòñÿïðîñòðàíñòâå E2n (q, p).ñòåìû òî÷åê â ôèçè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâåòî÷êè â642n-ìåðíîìôàçîâîìäâèæåíèåì èçîáðàæàþùåéÏîíèæåíèå ïîðÿäêà ñèñòåìû ãàìèëüòîíîâûõ óðàâíåíèé.Ãàìèëüòîíîâû óðàâíåíèÿ íåëèíåéíû.
Èíòåãðèðîâàíèå ýòèõ óðàâíåíèé ñâÿçàíî ñ èçâåñòíûìè òðóäíîñòÿìè. Ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿþò èíòåðåñ ìåòîäû, ïîçâîëÿþùèå ïîíèçèòüïîðÿäîê ýòèõ óðàâíåíèé è òåì ñàìûì îáëåã÷èòü èõ èíòåãðèðîâàíèå. Ýòîãî ìîæíî äîáèòüñÿ, â ÷àñòíîñòè, äëÿ îáîáùåííî-êîíñåðâàòèâíûõ ñèñòåì è ñèñòåì ñ öèêëè÷åñêèìèêîîðäèíàòàìè.1◦Îáîáùåííî-êîíñåðâàòèâíûå ñèñòåìû.Ìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó íàçûâàþò îáîáùåííî-êîíñåðâàòèâíîé, åñëè åå ôóíêöèÿ Ãà-ìèëüòîíà (èëè ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà) ÿâíî íå çàâèñÿò îò âðåìåíè∂L∂H=−= 0.∂t∂t(64.1) ýòîì ñëó÷àå ãàìèëüòîíîâû óðàâíåíèÿ äîïóñêàþò èíòåãðàë ýíåðãèè.
Äåéñòâèòåëüíî,ñëåäñòâèåì óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà∂Hdqr=,dt∂prdpr∂H=−dt∂qr(r = 1, ..., n)(64.2)ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâîdH X ∂H dqr ∂H dpr∂H X ∂H ∂H ∂H ∂H∂H∂H=(+)+=(−)+=.dt∂qdt∂pdt∂t∂q∂p∂p∂q∂t∂trrrrrrrr(64.3)Äëÿ îáîáùåííî-êîíñåðâàòèâíûõ ñèñòåì (64.1) ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà ðàâíà íóëþ, è èç íåãî ñëåäóåò îáîáùåííûé èíòåãðàë ýíåðãèè, âûðàæåííûé â ãàìèëüòîíîâûõïåðåìåííûõH(q, p) = h = const.(64.4)Åñëè ýòè ñèñòåìû ê òîìó æå ñêëåðîíîìíû, òî îáîáùåííûé èíòåãðàë (64.4) ñòàíîâèòñÿôèçè÷åñêèì èíòåãðàëîì ýíåðãèè (ïðåäñòàâëåííûì â ïåðåìåííûõ Ãàìèëüòîíà).972◦Óðàâíåíèÿ Óèòòåêåðà. ñëó÷àå îáîáùåííî-êîíñåðâàòèâíûõ ñèñòåì ïîðÿäîê ãàìèëüòîíîâûõ óðàâíåíèé (64.2)ìîæíî ïîíèçèòü íà äâå åäèíèöû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
