1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Òàêèì îáðàçîì, â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè âåëè÷èíûq1 , .., qnîïðåäåëÿþò äåêàðòîâû êîîðäèíàòûòî÷åê è òåì ñàìûì îïðåäåëÿþò ïîëîæåíèå ñèñòåìû. Ïîýòîìó ýòè âåëè÷èíû íàçûâàþòîáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè ñèñòåìû.Îáîáùåííûå êîîðäèíàòû ìîãóò áûòü âåëè÷èíàìè ðàçëè÷íîé ïðèðîäû: äëèíàìè, óãëàìè, ïëîùàäÿìè è ò.ï. Âûáèðàòü èõ ìîæíî ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè, âàæíî òîëüêî, ÷òîáû îíè íàõîäèëèñü âî âçàèìîîäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ íåçàâèñèìûìè äåêàðòîâûìèêîîðäèíàòàìè.Ïîñêîëüêó óðàâíåíèÿ ñâÿçåé îáðàùàëèñü â òîæäåñòâà ïîxkníåçèt,à ïîñëåäíèå ñâÿ-çàíû ñ îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè, òî óðàâíåíèÿ ñâÿçåé áóäóò òàêæå òîæäåñòâàìè èïî îáîáùåííûì êîîðäèíàòàì è âðåìåíèfs (t, q1 , .., qn ) ≡ 0 (s = 1, ..g)Ñëåäñòâèåì ýòèõ òîæäåñòâ áóäóò ðàâåíñòâà∂fs=0∂qr(s = 1, .., g; r = 1, .., n),(56.4)âûðàæàþùèå ëåììó 1. ñëó÷àå ñòàöèîíàðíûõ ñâÿçåé ìîæíî òàê ââåñòè îáîáùåííûå êîîðäèíàòû, ÷òîáûçàâèñèìîñòè (56.3) òàêæå íå ñîäåðæàëè âðåìÿ:xkn = xkn (q), x̄k = x̄k (q)(k = 1, ..N ; n = 1, 2, 3).(56.5)Ïðè äâèæåíèè ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû èçìåíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì äåêàðòîâû êîîðäèíàòû åå òî÷åê, êàê íåçàâèñèìûå, òàê è çàâèñèìûå.
 ñèëó ñâÿçè ìåæäó íåçàâèñèìûìèäåêàðòîâûìè è îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè ïîñëåäíèå áóäóò òàêæå ôóíêöèÿìè âðåìåíèqr = qr (t)(r = 1, .., n).(56.6)Ýòè çàâèñèìîñòè íàçûâàþò óðàâíåíèÿìè äâèæíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû â îáîáùåííûõ êîîðäèíàòàõ. Ïåðâûå è âòîðûå ïðîèçâîäíûå îò îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ïî âðåìåíèq̇r =d2 qrdqr, q̈r = 2dtdt(r = 1, .., n)(56.7)íàçûâàþò ñîîòâåòñòâåííî îáîáùåííûìè ñêîðîñòÿìè è îáîáùåííûìè óñêîðåíèÿìè ñèñòåìû.Ìåæäó îáû÷íûìè è îáîáùåííûìè ñêîðîñòÿìè è óñêîðåíèÿìè ñóùåñòâóþò îïðåäåëåííûå ñâÿçè. Äåéñòâèòåëüíî, äèôôåðåíöèðóÿ ïî âðåìåíè çàâèñèìîñòüx̄k = x̄k (t, q(t)),ïîëó÷èì ñâÿçü ìåæäó ñêîðîñòÿìèv̄k (t, q, q̇) =X ∂ x̄kr∂qrq̇r +77∂ x̄k∂t(k = 1, .., N ).(56.8)Ò.å. ñêîðîñòè òî÷åê ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè ôóíêöèÿìè åå îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé. Òî÷íî òàê æå äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî âðåìåíè ñîîòíîøåíèé (56.8) ïðèâîäèò êñâÿçè ìåæäó óñêîðåíèÿìèāk (t, q, q̇, q̈) =X ∂ x̄k∂qrrq̈r +X d ∂ x̄kd ∂ x̄k()q̇r +dt ∂qrdt ∂qrr(k = 1, .., N ).(56.9)Ò.å.
óñêîðåíèÿ òî÷åê ñèñòåìû òàêæå ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè ôóíêöèÿìè åå îáîáùåííûõóñêîðåíèé.Ïðè ñòàöèîíàðíûõ ñâÿçÿõ∂ x̄k∂t= 0 (k = 1, .., N )è çàâèñèìîñòè (56.8) è (56.9) óïðî-ùàåòñÿ:v̄k (q, q̇) =X ∂ x̄kr∂qrq̇r ,āk (q, q̇, q̈) =X ∂ x̄kr∂qrq̈r +X ∂ 2 x̄kq̇r q̇k ,∂qr ∂qkrk(56.10)ò.å. â ýòîì ñëó÷àå ñêîðîñòè åñòü ëèíåéíûå îäíîðîäíûå ôóíêöèè îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé,à óñêîðåíèÿ - ëèíåéíûå ôóíêöèè îáîáùåííûõ óñêîðåíèé è êâàäðàòè÷íûå ôóíêöèè îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé.Èç (56.8) ñëåäóþò ñîîòíîøåíèÿ, íàçûâàåìûå êèíåòè÷åñêèìè ëåììàìè.
Äèôôåðåíöèðóÿ (56.8) ïî îáîáùåííîé ñêîðîñòè∂ x̄k∂v̄k=∂ q̇r∂qrq̇u ,ïîëó÷àåì ëåììó 2:(k = 1, .., N ; r = 1, .., n).Äèôôåðåíöèðîâàíèå (56.8) ïî îáîáùåííûì êîîðäèíàòàì∂ x̄käàþò∂ququ(56.11)è äèôôåðåíöèðîâàíèåïî âðåìåíè ãðàäèåíòà∂v̄k X ∂ 2 x̄k∂ 2 x̄k=q̇r +,∂qu∂q∂q∂t∂qruur∂ 2 x̄kd ∂ x̄k X ∂ 2 x̄k=q̇r +.dt ∂qu∂qr ∂qu∂qu ∂trÐàâåíñòâî ïðàâûõ ÷àñòåé ýòèõ ñîîòíîøåíèé ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó èõ ëåâûõ ÷àñòåé,êîòîðîå è âûðàæàåò ëåììó 3:d ∂ x̄k∂v̄k=dt ∂qu∂qu57(k = 1, .., N ; u = 1, .., n).(56.12)Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà â îáîáùåííûõ êîîðäèíàòàõ.Óñòàíîâèì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ãîëîíîìíûõ ñèñòåì, íå ñîäåðæàùèå ðåàêöèé è ñëóæàùèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ òîëüêî äâèæåíèÿ.1◦Âûâîä óðàâíåíèé.Äâèæåíèå ãîëîíîìíûõ ñèñòåì ñ èäåàëüíûìè ñâÿçÿìè îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè ñìíîæèòåëÿìè ñâÿçåé è óðàâíåíèÿìè ñàìèõ ñâÿçåémkX ∂fsdv̄k= F̄k +λsdt∂ x̄ks78(k = 1, .., N ),Rk(57.1)fs (t, x̄1 , .., x̄N ) = 0(s = 1, .., g).(57.2)Ïåðåõîä ê îáîáùåííûì êîîðäèíàòàì ïîçâîëÿåò èñêëþ÷èòü èç íèõ ðåàêöèè è ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ îäíîãî äâèæåíèÿ.Äåéñòâèòåëüíî, ïåðåõîä îò äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò ê îáîáùåííûì êîîðäèíàòàì:x̄k (t, q)x̄k =ïðèâîäÿò ê òîæäåñòâåííîìó âûïîëíåíèþ óðàâíåíèé ñâÿçåé (57.2), ÷òî óìåíü-øàåò ÷èñëî óðàâíåíèé.
Ïðåîáðàçóåì ê îáîáùåííûì êîîðäèíàòàì è óðàâíåíèÿ (57.1).∂ x̄kè ïðîñóììèðóåìÄëÿ ýòîãî óìíîæèì êàæäîå èç ýòèõ óðàâíåíèé ñêàëÿðíî íà âåêòîð∂qrðåçóëüòàòû ïî âñåì òî÷êàì; â ðåçóëüòàòå áóäåì èìåòüXkmkdv̄k ∂ x̄k X∂ x̄k X X ∂fs ∂ x̄k·=+λs·F̄k ·dt ∂qr∂qr∂ x̄k ∂qrskk(r = 1, .., n).(57.3)Ïîëó÷åííîå ñîîòíîøåíèå óæå íå ñîäåðæèò ðåàêöèé. Äåéñòâèòåëüíî, èñïîëüçóÿ ëåììó∂fs= 0, íàéäåì, ÷òî ñîäåðæàùèå ðåàêöèè ÷ëåíû ðàâíû íóëþ:1:∂qrXλssX ∂fs ∂ x̄k X ∂fs·=λs= 0.∂x̄∂q∂qkrrsk(57.4)Ïåðâóþ ñóììó â ïðàâîé ÷àñòè (57.3) îáîçíà÷àþò ÷åðåçQr =X∂ x̄k∂qrF̄k ·k(57.5)è íàçûâàþò îáîáùåííîé ñèëîé (ñîîòâåòñòâóþùåé êîîðäèíàòåqr ).Ëåâóþ æå ÷àñòü ðà-âåíñòâà (57.3) ïðåäñòàâèì â âèäå ðàçíîñòè äâóõ ñóìì è ïðåîáðàçóåì êàæäóþ èç íèõ ñïîìîùüþ êèíåìàòè÷åñêèõ ëåìì 2 è 3:Xkmk∂ x̄k X∂v̄k Xd Xd ∂ x̄kd X∂v̄kdv̄k ∂ x̄k·mk v̄k ·mk v̄k ·=−mk v̄k ·=−mk v̄k ·.dt ∂qrdt k∂qrdt∂qdt∂q̇∂qrrrkkkPmk v̄k · v̄k ïðîèçâîäíûå ïî îáîáùåííûìkêîîðäèíàòàì è ñêîðîñòÿì îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè âûðàæåíèÿìèÄëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû2T =X∂T1X∂v̄k∂v̄k∂v̄kmk (=· v̄k + v̄k ·)=mk v̄k ·,∂qr2 k∂qr∂qr∂qrkX1X∂v̄k∂v̄k∂v̄k∂T=· v̄k + v̄k ·)=mk v̄k ·.mk (∂ q̇r2 k∂ q̇r∂ q̇r∂ q̇rkÂíîñÿ èõ â ïðåäûäóùåå ðàâåíñòâî, áóäåì èìåòüXkmkdv̄k ∂ x̄kd ∂T∂T·=−.dt ∂qrdt ∂ q̇r ∂qr(57.6)Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (57.4)-(57.6) â èñõîäíîå ðàâåíñòâî (57.3) è èìåÿ â âèäó, ÷òîýòè ðåçóëüòàòû âåðíû äëÿ âñåõ çíà÷åíèérîò 1 äîd ∂T∂T−= Qrdt ∂ q̇r ∂qrn,ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ(r = 1, .., n),(57.7)íàçûâàåìûå óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà â îáîáùåííûõ êîîðäèíàòàõ (óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà âòîðîãî ðîäà).
Ýòè óðàâíåíèÿ ñëóæàò äëÿ íàõîæäåíèÿ ôóíêöèéäâèæåíèå ñèñòåìû.79qr (t), îïðåäåëÿþùèõ2◦Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ è ñèëû â îáîáùåííûõ êîîðäèíàòàõ.Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðåäñòàâëåíèÿìè ñêîðîñòåé òî÷åê ñèñòåìû â îáîáùåííûõ êî-îðäèíàòàõv̄k =X ∂ x̄ku∂qu· qu +∂ x̄k∂t(k = 1, .., N ),òî êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ñèñòåìû ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåT =X ∂ x̄kX ∂ x̄k1X∂ x̄k∂ x̄k1Xq̇u +)·(q̇ν +).mk v̄k · v̄k =mk (2 k2 k∂qu∂t∂qν∂tνuÏîñëå î÷åâèäíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ýòîãî âûðàæåíèÿ íàéäåì, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ áóäåò ñëåäóþùåé ôóíêöèåé âðåìåíè, îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è îáîáùåííûõ ñêîðîñòåéT (t, q, q̇) =X11Xauν (t, q)q̇u q̇ν +au (t, q)q̇u + a0 (t, q),2 uν2u(57.8)ãäå ïîëîæåíîaνu = auν =XkmkXX∂ x̄k ∂ x̄k∂ x̄k ∂ x̄k∂ x̄k ∂ x̄k·, au =·, a0 =·.mkmk∂qu ∂qν∂q∂t∂t∂tukk(57.9)Òî åñòü êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íûì ïîëèíîìîì îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé ñ ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ ïðè ïðîèçâåäåíèÿõ ñêîðîñòåé.Êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ (57.8) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû òðåõ ôîðì îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé: êâàäðàòè÷íîéT2 =1X2T2 ,ëèíåéíîéauν q̇u q̇ν ,T1T1 =è íóëåâîéXuνuT0 :T = T2 + T1 + T0 ,1au q̇u , T0 = a0 .2(57.10) ÷àñòíîñòè, äëÿ ñêëåðîíîìíûõ ñèñòåì âðåìÿ íå âõîäèò ÿâíî â âûðàæåíèÿõ âåêòîððàäèóñîâ òî÷åê ÷åðåç îáîáùåííûå êîîðäèíàòû, ïîýòîìóx̄k = x̄k (q),∂ x̄k=0∂t(k = 1, .., N ). ýòîì ñëó÷àå, î÷åâèäíî,auν = auν (q),au = 0,a0 = 0,T1 = 0,T0 = 0è âûðàæåíèå (57.10) äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ: îíà ñòàíîâèòñÿêâàäðàòè÷íîé ôîðìîé îáîáùåííûõ ñêîðîñòåéT (q, q̇) = T2 (q, q̇) =1Xauv (q)q̇u q̇ν .2 uν(57.11)Ðàññìîòðèì òåïåðü îáîáùåííûå ñèëû (57.5)Qr =XkF̄k ·∂ x̄k∂qr(r = 1, .., n). îáîáùåííûõ êîîðäèíàòàõ âåêòîð-ðàäèóñû è ñêîðîñòè òî÷åê ñèñòåìû èìåþò âûðàæåíèÿx̄k = x̄k (t, q), v̄k = v̄k (t, q, q̇),ïîýòîìó â ýòèõ êîîðäèíàòàõ àêòèâíûå ñèëû áóäóòôóíêöèÿìè âèäàF̄k (t, x̄k (t, q), v̄k (t, q, q̇)) = F̄k (t, q, q̇).80×òî êàñàåòñÿ ãðàäèåíòîâ âåêòîð-ðàäèóñîâ ïî îáîáùåííûì êîîðäèíàòàì, òî îíè çàâèñÿòîò òåõ æå àðãóìåíòîâ, ÷òî è ñàìè âåêòîð-ðàäèóñû.
Ñëåäîâàòåëüíî, îáîáùåííûå ñèëûáóäóò ôóíêöèÿìè âðåìåíè, îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé:Qr (t, q, q̇) =XF̄k (t, q, q̇) ·k3◦∂ x̄k (t, q)∂qr(r = 1, .., n).(57.12)Ñòðóêòóðà ëàãðàíæåâûõ óðàâíåíèé.Óñòàíîâèì ÿâíûé âèä ëàãðàíæåâûõ óðàâíåíèé (57.7):d ∂T∂T−= Qrdt ∂ q̇r ∂qrqs (t).îòíîñèòåëüíî èñêîìûõ ôóíêöèé(r = 1, .., n)(57.13)Îãðàíè÷èìñÿ äëÿ ïðîñòîòû âûâîäà ñêëåðîíîì-íûìè ñèñòåìàìè, äëÿ êîòîðûõ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ôîðìîéîáîáùåííûõ ñêîðîñòåé ñ ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâT (q, q̇) = ýòîì ñëó÷àå ïðîèçâîäíûå îòT1Xauν (q)q̇u q̇ν ,2 uνq̇rïîèqraνu = auν .(57.14)èìåþò çíà÷åíèÿX∂T1X1X1X1X=auν δur q̇ν +auν q̇u δνr =arν q̇ν +aur q̇u =arν q̇ν ,∂ q̇r2 uν2 uν2 ν2 uν1 X ∂auν∂T=q̇u q̇ν ,∂qr2 uν ∂qrïîýòîìó óðàâíåíèÿ (57.13) ïðèìóò âèäXarν q̈ν +νX ∂arν1 ∂auν(−)q̇u q̇ν = Qr .∂q2∂quruν(57.15)Åñëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèå î÷åâèäíîå ñîîòíîøåíèåX ∂arνuν∂quq̇u q̇ν =1 X ∂aru1 X ∂qrνq̇u q̇ν +q̇u q̇ν2 uν ∂qν2 uν ∂què ââåñòè â ðàññìîòðåíèå òàê íàçûâàåìûå ñèìâîëû Êðèñòîôôåëÿ ïåðâîãî ðîäà1 ∂aru ∂arν∂auνΓr.uν = (+−)2 ∂qν∂qu∂qrêîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè ïî èíäåêñàì(r, u, ν = 1, .., n),u, νâåëè÷èíàìè:(57.16)Γr.uν = Γr.νu ,òî óðàâ-íåíèÿ (57.15) ìîæíî çàïèñàòü â êîìïàêòíîé ôîðìåXνarν q̈ν +XΓr.uν q̇u q̇ν = Qr(r = 1, .., n).(57.17)uνÒàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà âòîðîãî ðîäà îáðàçóþò ñèñòåìónîáûêíîâåí-íûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ñ íåèçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíèq1 (t), .., qn (t),ïîðÿäîê êîòîðîé ðàâåí2n.81Óðàâíåíèÿ (57.17) ìîæíî ðàçðåøèòü îòíîñèòåëüíî îáîáùåííûõ óñêîðåíèé.
Ñïðàâåäëèâà ëåììà 4: "ÔîðìàT2êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè íåâûðîæäåíà, òî åñòü îïðåäåëèòåëü,ñîñòàâëåííûé èç åå êîýôôèöèåíòîâ, îòëè÷åí îò íóëÿ"det(auν ) 6= 0.det(auν ) = 0. Òîãäà îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèéPauν bu =uáóäåì èìåòü íåíóëåâîå ðåøåíèå (b1 , .., bn ). Óìíîæèâ êàæäîå èç óðàâíåíèé íà bn èÄîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü0(57.18)ïðîñóììèðîâàâ ðåçóëüòàòû, ïîëó÷èì ðàâåíñòâî0=Xauν bu bν =uνXXXX ∂ x̄k∂ x̄k ∂ x̄k(·)bu bν =bν )2 .mkmk (∂q∂q∂quννuννkkÎòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ âåêòîðíûå ðàâåíñòâà è ñëåäóþùèå èç íèõñêàëÿðíûå ðàâåíñòâàX ∂ x̄k∂qννX ∂xkmbν = 0,∂qννbν = 0(k = 1, .., N ; m = 1, 2, 3).Ïîëó÷åííûå óñëîâèÿ îçíà÷àþò, ÷òî â ôóíêöèîíàëüíîé ìàòðèöå (km - íîìåð ñòðîêè,ν-íîìåð ñòîëáöà)(Xνkm ) = (∂xkm)∂qνñòîëáöû ëèíåéíî çàâèñèìû; ñëåäîâàòåëüíî, åå ðàíã r < n.
Íî òîãäà ñðåäè 3N ôóíêöèéxkm (t, q1 , .., qn ) îò n àðãóìåíòîâ (t ñ÷èòàåòñÿ ïàðàìåòðîì) èìååòñÿ òîëüêî r íåçàâèñåìûõ.Ïîëó÷åíî ïðîòèâîðå÷èå: ìèíèìàëüíîå ÷èñëî íåçàâèñèìûõ êîîðäèíàò ðàâíî ÷èñëó ñòåïåíåé ñâîáîäûn,àr < n.Íà îñíîâàíèè ëåììû (57.18) êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà (auν ) èìååò îáðàòíóþ(asr )−1 =(ãsr ):Xãsr arν = δsν(s, ν = 1, .., n).(57.19)rÓìíîæèì òåïåðü ïî÷ëåííî óðàâíåíèå (57.17) íàäîn,ãsrrîò 1òîãäà ñ ó÷åòîì ñâîéñòâà (57.19) ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèåXδsν q̈ν +νXXX(ãsr Γr.uν )q̇u q̇ν =ãsr QruνrQ̃r(s = 1, .., n).(57.20)rÂâåäåì ôîðìóëû Êðèñòîôôåëÿ âòîðîãî ðîäàñèëûè ïðîñóììèðóåì ïî èíäåêñóΓ̃r.uνè ïðåîáðàçîâàííûå îáîáùåííûåïîñðåäñòâîì ôîðìóëΓ̃s.uν =Xãsr Γr.uν ,rPδsν q̈ννîêîí÷àòåëüíîì âèäåè ó÷òåì, ÷òî= q̈s ,Q̃s =Xãsr Qrròîãäà óðàâíåíèå (57.20) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ñëåäóþùåìq̈s +XΓ̃s.uν q̇u q̇ν = Q̃s(s = 1, .., n).(57.21)uνÝòè ðàâåíñòâà è ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ëàãðàíæåâû óðàâíåíèÿ âòîðîãî ðîäà, ðàçðåøåííûåîòíîñèòåëüíî îáîáùåííûõ óñêîðåíèé.824◦Íà÷àëüíàÿ çàä÷à.Ëàãðàíæåâû óðàâíåíèÿ (57.21) ïðåäñòàâèìû â âèäå ñëåäóþùåé íîðìàëüíîé ñèñòåìûóðàâíåíèéXdq̇sdqs= q̇s ,= Q̃s −Γ̃s.uν q̇u q̇νdtdtuν(s = 1, .., n).(57.22)Ïðèñîåäèíèì ê íèì íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, îïðåäåëÿþùèå íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìût = 0, qs (0) = qs0 , q̇s (0) = q̇s0(s = 1, .., n).(57.23)Íà÷àëüíàÿ çàäà÷à (57.22), (57.23) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, åñëè ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (57.22) íåïðåðûâíû ïî âðåìåíè è ïðèíàäëåæàò êëàññó Ëèïøèöà ïî îáîáùåííûìêîîðäèíàòàì è ñêîðîñòÿì.58Èçìåíåíèå ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè íåñâîáîäíîé ñèñòåìû.p îáùåì ñëó÷àå íà ìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó äåéñòâóþò êàê ïîòåíöèàëüíûå ñèëû Qr ñ∗ýíåðãèåé Π(t, q), òàê è íåïîòåíöèàëüíûå Qr , òàê ÷òî ðåçóëüòèðóþùèå ñèëû Qr ðàâíû èõ−∂Π∗ñóììå: Qr =+ Qr .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
