1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Óñòàíîâèì óãîëα,îáðàçîâàííûé ñòåðæíåì ñ ïëîñêîñòüþ ãîðèçîíòà â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ.Ñòåðæåíü ïîêîèòñÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòèïîä äåéñòâèåì îäíîé àêòèâíîé ñèëû - âåñàP,Oxyïðèëî-C . Áåðÿ çà îáîáùåííóþ êîîðα, è ó÷èòûâàÿ çíà÷åíèÿ ïðîåêöèé âåñàPx = 0, Py = −P , ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå ðàâæåííîãî â öåíòðå ìàññäèíàòó óãîëÐèñ. 117íîâåñèÿ:0 = Qα = P̄ ·∂xc∂yc∂yc∂ x̄c= Px+ Py= −P.∂α∂α∂α∂αÂåðòèêàëüíàÿ êîîðäèíàòà öåíòðà ìàññ ñ ó÷åòîì ïðÿìîóãîëüíîñòè òðåóãîëüíèêà DBEðàâíàyc = −DC sin α = −(DB − CB) sin α = −(2R cos α − a) sin α,ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå ðàâíîâåñèÿ∂yc /∂α = 0 ïðèíèìàåò âèä 4R cos α2 −a cos α−gR =0.Ýòî óðàâíåíèå ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ0<α<cos α =πîïðåäåëÿåò èñêîìûé óãîë â âèäå2√1(a + a2 + 32R2 ).8R88(61.5)Ïðè ðàâíîâåñèè äëèíà ñòåðæíÿ ïîä÷èíåíà îãðàíè÷åíèÿì.
Êîãäà äëèíà ìàêñèìàëüíà, ñòåðæåíü êàñàåòñÿ ÷àøè òàê, ÷òî îòðåçîêCBñîâïàäàåò ñ äèàìåòðîìDE ;ïðè ýòîìcos α = 1 è ôîðìóëà (61.5) äàåò amax = 2R. Êîãäà äëèíà ìèíèìàëüíà, ñòåðæåíü íàõîäèò√ √ñÿ âíóòðè ÷àøè, òàê ÷òî cos α = 2a/2R = a/R è èç (61.5) ñëåäóåò, ÷òî amin = R 2/ 3.√ √Òàêèì îáðàçîì, R 2/ 3 ≤ a ≤ 2R.62Äèíàìèêà íàòóðàëüíûõ ñèñòåì.Íàèáîëåå ïðîñòóþ è èçÿùíóþ ôîðìó óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ãîëîíîìíûõ ñèñòåì ïðèíèìàþò äëÿ òàê íàçûâàåìûõ íàòóðàëüíûõ ñèñòåì. Ýòè ñèñòåìû âïîëíå îïðåäåëÿþòñÿçàäàíèåì ñêàëÿðíîé ôóíêöèè êèíåòè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà, èìåþùåãî ðàçìåðíîñòü ýíåðãèè. Òåì ñàìûì òåîðèþ äâèæåíèÿ íàòóðàëüíûõ ñèñòåì ìîæíî ïîñòðîèòü áåç èñïîëüçîâàíèÿ ïîíÿòèÿ ñèëû, îïåðèðóÿ òîëüêî ñ ýíåðãåòè÷åñêèìè âåëè÷èíàìè.1◦Ïîòåíöèàëüíûå è îáîáùåííî-ïîòåíöèàëüíûå ñèëû.Ïóñòü îáîáùåííûå ñèëû îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç ñêàëÿðíóþ ôóíêöèþQr =∂Vd ∂V−dt ∂ q̇r ∂qrV (t, q, q̇)(r = 1, ..., n),â âèäå(62.1)òîãäà òàêèå ñèëû íàçûâàþò îáîáùåííî-ïîòåíöèàëüíûìè, à ôóíêöèþV (t, q, q̇) èõ îáîá-ùåííûì ïîòåíöèàëîì.Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî îáîáùåííî-ïîòåíöèàëüíûå ñèëû çàâèñÿò íå òîëüêî îòâðåìåíè, îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è ñêîðîñòåé, íî è îò îáîáùåííûõ óñêîðåíèéQr =Xs∂ 2V∂ 2V∂ 2V∂V(q̈s +q̇s ) +−∂ q̇r ∂ q̇s∂ q̇r ∂ q̇s∂ q̇r ∂t ∂qr(r = 1, ..., n).(62.2) êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ïðèíèìàåòñÿ, ÷òî ñèëû ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè ñîñòîÿíèÿäâèæåíèÿ ñèñòåìû, òî åñòü çàâèñÿò òîëüêî îò âðåìåíè, êîîðäèíàò è ñêîðîñòåé.
Ïîýòîìó ôîðìóëû (62.2) íå äîëæíû ñîäåðæàòü óñêîðåíèé. Äëÿ ýòîãî äîëæíû îáðàùàòüñÿ âíóëü âñå âòîðûå ïðîèçâîäíûå îò îáîáùåííîãî ïîòåíöèàëà ïî ñêîðîñòÿì, òî åñòü ýòîòïîòåíöèàë äîëæåí áûòü ëèíåéíîé ôóíêöèåé ñêîðîñòåéV (t, q, q̇) =XΠr (t, q)q̇r + Π(t, q) = V1 (t, q, q̇) + V0 (t, q).(62.3)rÏîäñòàíîâêà ïîòåíöèàëà (62.3) â (62.2) ïîêàçûâàåò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ñèëû äîëæíûîïðåäåëÿòüñÿ âûðàæåíèÿìè âèäàQr = −∂Π X ∂Πr ∂Πs∂Πr+(−)q̇s +∂qr∂qs∂qr∂ts(r = 1, ..., n).(62.4)Òèïè÷íûì ïðåäñòàâèòåëåì îáîáùåííî-ïîòåíöèàëüíûõ ñèë ÿâëÿåòñÿ ñèëà Ëîðåíöà, ñ êîòîðîé ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå äåéñòâóåò íà çàðÿæåííóþ ÷àñòèöó. Ýòîò êëàññ âêëþ÷àåòòàêæå ïîòåíöèàëüíûå ñèëû, â êîòîðûõ ñèëîâîé ïîòåíöèàë íå çàâèñèò îò ñêîðîñòåéQr = −∂Π,∂qrΠ = Π(t, q)89(r = 1, ..., n).(62.5)Çàìåòèì, ÷òî åñëè îáû÷íûå ñèëû ïîòåíöèàëüíû:∂Π,F~k = −∂~xkΠ = Π(t, ~x1 , ..., ~xN )(k = 1, ..., N ),(62.6)òî ïîòåíöèàëüíûìè áóäóò è îáîáùåííûå ñèëû.
Äåéñòâèòåëüíî,Qr =XkX ∂Π ∂~xk∂~xk∂ΠF~k ·=−·=−∂qr∂~xk ∂qr∂qrk(r = 1, ..., n),Π(t, q) = Π(t, ~x1 (t, q), ..., ~xN (t, q)).(62.7)Àíàëîãè÷íîå ñâîéñòâî âûïîëíÿåòñÿ è äëÿ îáîáùåííî-ïîòåíöèàëüíûõ ñèë. Ïóñòü îáîáùåííîïîòåíöèàëüíû îáû÷íûå ñèëû∂Vd ∂V−F~k =dt ∂~vk ∂~xk(k = 1, ..., N ),V = V (t, ~x, ~v ) = V (t, ~x(t, q), ~v (t, q, q̇)).(62.8)Òîãäà îáîáùåííî-ïîòåíöèàëüíûìè áóäóò è îáîáùåííûå ñèëû. Äåéñòâèòåëüíî, ñ ó÷åòîìêèíåìàòè÷åñêèõ ëåìì∂~xk∂~vk=,∂ q̇r∂qr∂~vkd ∂~xk=∂qrdt ∂qr(k = 1, ..., N ; r = 1, ..., n)è (62.8) áóäåì èìåòüQr =Xk==2◦∂~xk X d ∂V∂~xk X ∂V ∂~xkF~k ·(=)·−·=∂qrdt ∂~vk ∂qr∂~xk ∂qrkkd X ∂V ∂~xk X ∂V d ∂~xk∂V ∂~xk(·−·+·)=dt k ∂~vk ∂qr∂~vk dt ∂qr∂~xk ∂qrk∂V ∂~xkd ∂V∂Vd X ∂V ∂~vk X ∂V ∂~vk(·−·+·)=−.dt k ∂~vk ∂ q̇r∂~vk ∂qr∂~xk ∂qrdt ∂ q̇r ∂ q̇rkÓðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà âòîðîãî ðîäà äëÿ íàòóðàëüíûõ ñèñòåì.Ãîëîíîìíûå ñèñòåìû ñ ïîòåíöèàëüíûìè èëè îáîáùåííî-ïîòåíöèàëüíûìè ñèëàìè íà-çûâàþò íàòóðàëüíûìè. Äëÿ íàòóðàëüíûõ ñèñòåì ëàãðàíæåâû óðàâíåíèÿ â îáîáùåííûõêîîðäèíàòàõd ∂T∂T−= Qrdt ∂ q̇r ∂qr(r = 1, ..., n)(62.9)ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â îäíîðîäíîé ôîðìå.
Äåéñòâèòåëüíî, âíîñÿ â (62.9) îáîáùåííûå ñèëû ïî ôîðìóëàì (62.1), áóäåì èìåòüd ∂T∂Td ∂V∂V−=−dt ∂ q̇r ∂qrdt ∂ q̇r ∂qr(r = 1, ..., n).Ïåðåíîñÿ âñå ÷ëåíû â ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ, ïîëó÷èì èñêîìûå óðàâíåíèÿ â âèäåd ∂L∂L−=0dt ∂ q̇r ∂qr(r = 1, ..., n),(62.10)ãäå ïîëîæåíîL(t, q, q̇) = T (t, q, q̇) − V (t, q, q̇).90(62.11)ÔóíêöèþL, ÿâëÿþùóþñÿ ðàçíîñòüþ êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèé, íàçûâàþòôóíêöèåé Ëàãðàíæà èëè êèíåòè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì.
Êèíåòè÷åñêèé ïîòåíöèàë îáúåäèíÿåò â ñåáå êàê ñâîéñòâà ñèñòåìû, òàê è âîçäåéñòâèå íà ñèñòåìó; îí ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò âèä äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ.Äëÿ íàòóðàëüíûõ ñèñòåì ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ïîäîáíî êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèåé îáîáùåííûõ ñêîðîñòåéL(t, q, q̇) = L2 (t, q, q̇) + L1 (t, q, q̇) + L0 (t, q),ãäåL2 êâàäðàòè÷íàÿ,L1 ëèíåéíàÿ,L0 íóëåâàÿ ôîðìû îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé.Ñîïîñòàâëåíèå (62.12) ñ âûðàæåíèåì (62.11) äëÿL2 = T2 =1Xar,s q̇r q̇s ,2 rsXL1 = T1 − V1 =(62.12)L: L = T2 + T1 + T0 − V1 − V0(ar − Πr )q̇r ,räàåò1L0 = T0 − V0 = a0 − Π.2(62.13)Îòñþäà ÿñíî, ÷òî ãåññèàíLîòíîñèòåëüíî îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé äëÿ íàòóðàëüíûõñèñòåì îòëè÷åí îò íóëÿdet(∂ 2 T2∂ 2L) = det() = det(ars ) 6= 0,∂qr ∂qs∂qr ∂qs(62.14)÷òî îáåñïå÷èâàåò ðàçðåøèìîñòü óðàâíåíèé (62.10) îòíîñèòåëüíî îáîáùåííûõ óñêîðåíèéq̈r = Gr (t, q, q̇)(r = 1, ..., n).(62.15)Ýòè óðàâíåíèÿ âìåñòå ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìèt = 0,qr (0) = qr0 ,q̇r (0) = q̇r0(r = 1, ..., n),(62.16)êàê áûëî âûÿñíåíî ðàíåå, îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò äâèæåíèå.Çàìåòèì, ÷òî êðîìå íàòóðàëüíûõ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñèñòåìû îáùåãî âèäà, äâèæåíèå êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà (62.10) ñ ïðîèçâîëüíîé ãëàäêîéôóíêöèåéL(t, q, q̇)ñ îòëè÷íûì îò íóëÿ ãåññèàíîì∂ 2Ldet∂ q̇r ∂ q̇s6= 0.(62.17)Ýòî óñëîâèå îáåñïå÷èâàåò ïðåäñòàâëåíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ â ôîðìå (62.15).
Ïîýòîìóâûâîä îá îäíîçíà÷íîì îïðåäåëåíèè äâèæåíèÿ ïóòåì çàäàíèÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé (62.16)ñïðàâåäëèâ íå òîëüêî äëÿ íàòóðàëüíûõ ñèñòåì, íî è äëÿ ðàññìîòðåííûõ âûøå ñèñòåìîáùåãî âèäà.Ïðèìåðîì íåíàòóðàëüíîé ñèñòåìû ìîæåò ñëóæèòü äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êèâ ðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèè â îòñóòñòâèå âíåøíèõ âîçäåéñòâèé.  ýòîì ñëó÷àå äâèæåíèåòî÷êè îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà óæå íå ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèåé ñêîðîñòåé:1/2v2L = −mc 1 − 2c2ãäå(v 2 = ẋ21 + ẋ22 + ẋ23 ),c ñêîðîñòü ñâåòà. Äëÿ ìåäëåííûõ ñðàâíèòåëüíî ñî ñâåòîâîé ñêîðîñòåé äâèæåíèÿ1/2v2îòíîøåíèå v/c ìàëî ñðàâíèòåëüíî ñ åäèíèöåé.
Ðàñêëàäûâàÿ òîãäà áèíîì1 − c2âðÿä ïî ñòåïåíÿì÷èòåëüíî:1−v/c è óäåðæèâàÿ â ðàçëîæåíèè òîëüêî ÷ëåíû äî âòîðîãî ïîðÿäêà âêëþ1/2v2v2≈ 1 − 2c2 , ïîëó÷èì êëàññè÷åñêîå âûðàæåíèå ôóíêöèè Ëàãðàíæàc2äëÿ èçîëèðîâàííîé òî÷êè:L=mv 22+ const.913◦Ñòåïåíü îïðåäåëåííîñòè ôóíêöèè Ëàãðàíæà.Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà íàòóðàëüíûõ ñèñòåì ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþòñÿ ôóíêöèåé Ëàãðàí-æàLr (L) =d ∂L∂L−=0dt ∂ q̇r ∂qr(r = 1, ..., n).(62.18)Îäíàêî, îäíè è òå æå óðàâíåíèÿ ìîãóò ñîîòâåòñòâîâàòü ðàçëè÷íûì ëàãðàíæåâûì ôóíêöèÿì.
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü äâå ôóíêöèèc: L1 = cL.L1èLîòëè÷àþòñÿ ïîñòîÿííûì ìíîæèòåëåìÒîãäà â ñèëó îäíîðîäíîñòè ëàãðàíæåâûõ óðàâíåíèéLr (L1 ) = cLr (L)è óðàâ-íåíèÿ äëÿ êàæäîé èç íèõ îäíè è òå æå.L îòëè÷àþòñÿ íà ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ âðåìåíèf (t): L1 = L + f (t). Òîãäà ïîñêîëüêó Lr (f ) = 0, áóäåì èìåòü Lr (L1 ) = Lr (L) + Lr (f ) =Lr (L), è óðàâíåíèÿ äëÿ L1 è L áóäóò ñîâïàäàòü.Áîëåå îáùèì ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà L1 è L îòëè÷àþòñÿ íà ïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ ïîdf (t,q).
Òîãäà, ïîëàãàÿâðåìåíè îò íåêîòîðîé ôóíêöèè âðåìåíè è êîîðäèíàò: L1 = L +dtÏóñòü òåïåðü äâå ôóíêöèèL1èF =∂f X ∂fdf=+q̇s ,dt∂t∂qssáóäåì èìåòü∂F∂f=,∂ q̇r∂qrX ∂ 2fd ∂F∂ 2f=q̇s +,dt ∂ q̇r∂q∂q∂q∂trsrsd ∂F∂F− ∂qdt ∂ q̇rrè ëàãðàíæåâû óðàâíåíèÿ äëÿ L1 èÑëåäîâàòåëüíî,Lr (F ) =X ∂ 2f∂F∂ 2f=+q̇s .∂qr∂t∂qr∂q∂qsrr= 0. Òàêèì îáðàçîì, Lr (L1 ) = Lr (L)+Lr (F ) = Lr (L),L ñîâïàäàþò è â ýòîì ñëó÷àå.Îòìå÷åííûå îñîáåííîñòè êèíåòè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ óïðîùåíèÿ ñîñòàâëåíèÿ ëàãðàíæåâûõ óðàâíåíèé.4◦Èíâàðèàíòíîñòü ëàãðàíæåâûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî òî÷å÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé.Ïðè ââåäåíèè îáîáùåííûõ êîîðäèíàò äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ ãîëîíîìíîé ñèñòå-ìû îòìå÷àëîñü, ÷òî ýòè êîîðäèíàòû ìîãóò ââîäèòüñÿ ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè.
Ñëåäóåòïîýòîìó îæèäàòü, ÷òî ëàãðàíæåâû óðàâíåíèÿ áóäóò èíâàðèàíòíûìè îòíîñèòåëüíî âûáîðà êîîðäèíàò. Ýòà èíâàðèàíòíîñòü äåéñòâèòåëüíî èìååò ìåñòî. Óñòàíîâèì ýòîò ôàêòàíàëèòè÷åñêèì ïóòåì.Ðàññìîòðèì ïðåîáðàçîâàíèå îáîáùåííûõ êîîðäèíàò, ñîäåðæàùåå â îáùåì ñëó÷àå âðåìÿθs = θs (t, q)(s = 1, ..., n).(62.19)Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýòè ôóíêöèè îáëàäàþò âòîðûìè íåïðåðûâíûìè ïðîèçâîäíûìè èèìåþò îòëè÷íûé îò íóëÿ ÿêîáèàí∂(θ1 , ..., θn )6= 0.∂(q1 , ..., qn )θs (t, q) ∈ C 2 ,(62.20)Äèôôåðåíöèðîâàíèåì (62.19) ïî âðåìåíè óñòàíàâëèâàåì, ÷òî íîâûå ñêîðîñòè âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïðåæíèå êîîðäèíàòû è ñêîðîñòè ïî ôîðìóëàìθ̇s (t, q, q̇) =X ∂θsr∂qrq̇r +92∂θs∂t(s = 1, ..., n).(62.21)Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ýòèõ ñîîòíîøåíèÿõ ïåðåìåííûåθèqìîæíî ìåíÿòü ðîëÿìè. Èçñîîòíîøåíèé (62.21) ñëåäóþò êèíåìàòè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ∂θs∂ θ̇s=,∂ q̇r∂qr∂ θ̇sd ∂θs=∂qrdt ∂qr(r, s = 1, ..., n).(62.22)Ïîëàãàÿ, ÷òî çàâèñèìîñòü êèíåòè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà â ïðåæíèõ ïåðåìåííûõ ïðåäñòàâëåíà ÷åðåç íîâûå ïåðåìåííûåL(t, q, q̇) = L(t, θ(t, q), θ̇(t, q, q̇)),è èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (62.22), íàéäåì∂L X=∂qrs∂L ∂ θ̇s∂L ∂θs+,∂ θ̇s ∂qr ∂θs ∂qr∂L X ∂L ∂ θ̇s X ∂L ∂θs==,∂ q̇r∂ q̇r∂qrs ∂ θ̇ss ∂ θ̇s X d ∂L X d ∂L ∂θs∂L d ∂θsd ∂L ∂θs∂L ∂ θ̇s=+=+.dt ∂ q̇rdt∂qdt∂qdt∂q∂q∂θ̇∂θ̇∂θ̇∂θ̇rrrrssssssÒåïåðü ëåãêî âèäåòü, ÷òî ëàãðàíæåâû óðàâíåíèÿ â ïðåæíèõ ïåðåìåííûõd ∂L∂L−=0dt ∂ q̇r ∂qr(r = 1, ..., n)ïîñëå ïîäñòàíîâêè ñëàãàåìûõ ïî ïðåäûäóùèì ôîðìóëàì è ñîêðàùåíèÿ îäèíàêîâûõñóìì áóäóò ýêâèâàëåíòíû ñîîòíîøåíèÿìX d ∂L∂L ∂θs=0−dt ∂ θ̇s ∂θs ∂qrs(r = 1, ..., n).Ýòè ðàâåíñòâà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê àëãåáðàè÷åñêóþ ñèñòåìó îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî âåëè÷èí, çàêëþ÷åííûõ â ñêîáêè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
