1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295), страница 22
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(f, g) = ( , g) + (f, ),∂t∂t∂t(66.8)âûðàæàþùèå ñîîòâåòñòâåííî àíòèñèììåòðè÷íîñòü, îäíîðîäíîñòü, äèñòðèáóòèâíîñòü ñêîáîê, òîæäåñòâî Ïóàññîíà è ïðàâèëî ÷àñòíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñêîáêè ïî âðåìåíè.3◦Êðèòåðèé èíòåãðàëüíîñòè ôóíêöèè.Óñëîâèå òîãî, ÷òî çàäàííàÿ ôóíêöèÿf (t, q, p)ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì óðàâíåíèé äâè-æåíèÿ, âûðàæàåò òåîðåìà:"Äëÿ òîãî, ÷òîáû ôóíêöèÿ ãàìèëüòîíîâûõ ïåðåìåííûõ áûëà èíòåãðàëîì êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèå óñëîâèÿ:"∂f+ (f, H) = 0.∂t(66.9)f (t, q, p) åñòü èíòåãðàë óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà: q̇r = ∂H/∂pr ,ëþáîì ðåøåíèè óðàâíåíèé f (t, q, p) = C .
Âû÷èñëèâ ïîëíóþ ïðîèç-Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü−∂H/∂qr .Òîãäà íàâîäíóþ ïî âðåìåíè îò ýòîãî ðàâåíñòâà ñ ó÷åòîì óðàâíåíèé áóäåì èìåòüdf∂f X ∂f∂f∂f X ∂f ∂H∂f ∂H∂f=+(q̇r +ṗr ) =+(−)=+ (f, H) = 0dt∂t∂qr∂pr∂t∂qr ∂pr ∂pr ∂qr∂trrè êðèòåðèé (66.9) òåì ñàìûì óñòàíîâëåí.
Îáðàòíî, åñëè äëÿ ôóíêöèè çàäàíî ñâîéñòâîdf(66.9), òî ñ ó÷åòîì óðàâíåíèé äâèæåíèÿ åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå= 0, ñëådtäîâàòåëüíî, f (t, q, p) = C íà ëþáîì ðåøåíèè. Òåì ñàìûì ôóíêöèÿ f (t, q, p) ÿâëÿåòñÿèíòåãðàëîì. Òåîðåìà äîêàçàíà.4◦Òåîðåìà Ïóàññîíà.Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà Ïóàññîíà: Åñëè ôóíêöèèf (t, q, p), g(t, q, p) ÿâëÿþò(f, g) òàêæåñÿ èíòåãðàëàìè êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, òî èõ ñêîáêà Ïóàññîíàáóäåò èíòåãðàëîì ýòèõ óðàâíåíèé.Òåîðåìà óòâåðæäàåò ñïðàâåäëèâîñòü óñëîâèÿ∂(f, g)+ ((f, g), H) = 0,∂t102(66.10)ṗr =åñëè âûïîëíåíû àíàëîãè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ êàæäîé èç ôóíêöèé â îòäåëüíîñòè:∂g+ (g, H) = 0.∂t∂f+ (f, H) = 0,∂t(66.11)Äîêàçàòåëüñòâî.
Íà îñíîâàíèè ñâîéñòâ ñêîáîê Ïóàññîíà (66.8) è ðàâåíñòâ (66.11)áóäåì èìåòü∂(f, g)∂f∂g= ( , g) + (f, ) = (−(f, H), g) + (f, −(g, H)) = ((H, f ), g) + ((g, H), f ).∂t∂t∂t ñèëó òîæäåñòâà Ïóàññîíà ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà èìååò çíà÷åíèå((H, f ), g) + ((g, H), f ) = −((f, g), H).Ïîäñòàíîâêà åãî â ïðåäûäóùåå ðàâåíñòâî ïðèâîäèò ê ñîîòíîøåíèþ∂(f, g)= −((f, g), H),∂tñîâïàäàþùåìó ñ (66.10), ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. çàäà÷àõ ìåõàíèêè íåðåäêî óäàåòñÿ íàéòè äâà èíòåãðàëà êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé.Òîãäà òåîðåìà Ïóàññîíà äàåò âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü íîâûé èíòåãðàë â âèäå ñêîáêè Ïóàññîíà îò èñõîäíûõ èíòåãðàëîâ. Òàêèì ïóòåì â íåêîòîðûõ áëàãîïðèÿòíûõ ñëó÷àÿõ óäàåòñÿíàéòè ïîëíóþ ñèñòåìó èíòåãðàëîâ è òåì ñàìûì îïðåäåëèòü âñå äâèæåíèÿ ñèñòåìû.Îäíàêî ìåòîä Ïóàññîíà äàëåêî íå âñåãäà ïðèâîäèò ê öåëè. ×àñòî îêàçûâàåòñÿ, ÷òîñêîáêà Ïóàññîíà îò äâóõ èíòåãðàëîâ èëè ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îò íèõ, èëè òîæäåñòâåííîðàâíà íóëþ, òî åñòü íîâîãî íåçàâèñèìîãî èíòåãðàëà íå äàåò.f1 , ..., fm ñêîáêà Ïóàññîíà äëÿ ëþáîé ïàðûôóíêöèé îáðàùàåòñÿ â íîëü (fi , fj ) = 0, (i, j = 1, ..., m), òî ñèñòåìó íàçûâàþò èíâîëþöèÅñëè äëÿ íåêîòîðîé ñèñòåìû èíòåãðàëîâîííîé.
Äëÿ òàêîé ñèñòåìû ìåòîäîì Ïóàññîíà óñòàíîâèòü íîâûé íåçàâèñèìûé èíòåãðàëíå óäàåòñÿ.Âûÿñíèì, â ÷àñòíîñòè, äëÿ êàêèõ ñèñòåì ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà áóäåò èíòåãðàëîì∂t H + (H, H) = 0 è î÷åâèä∂t H = 0, òî åñòü ñèñòåìà äîëæ-óðàâíåíèé äâèæåíèÿ. Ñîãëàñíî êðèòåðèþ èíòåãðàëüíîñòèíîìó ðàâåíñòâó(H, H) = 0ýòî áóäåò èìåòü ìåñòî ïðèíà áûòü îáîáùåííî-êîíñåðâàòèâíîé è ýòîò èíòåãðàë ÿâëÿåòñÿ îáîáùåííûì èíòåãðàëîìýíåðãèèH(q, p) = h.Ïóñòü, íàðÿäó ñH(q, p),ó ñèñòåìû åñòü åùå èíòåãðàëf (t, q, p).Òîãäà â ñèëó òåî-(f, H).
Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ êðèòåðèåìf : ∂t f + (f, H) = 0, òî ýòîò íîâûé èíòåãðàë ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå (f, H) = −∂t f . Òàêèì îáðàçîì, åñëè f èíòåãðàë, òî èíòåãðàëîì áóäåò è∂t f , à, ñëåäîâàòåëüíî, è ∂tt f è ò.ä. Åñëè æå f îò âðåìåíè íå çàâèñèò, òî ∂t f = 0 è ñêîáêà(f, H) = 0, òî åñòü íîâîãî èíòåãðàëà íå äàåò.ðåìû Ïóàññîíà áóäåò èíòåãðàëîì è èõ ñêîáêàèíòåãðàëüíîñòè äëÿ ôóíêöèè5◦Äâèæåíèå òî÷êè ïîä äåéñòâèåì ñèëû óïðóãîñòè.Ïóñòü òî÷êà ìàññîém äâèæåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå ïîä äåéñòâèåì ñèëû óïðóãîñòè, ïðî-ïîðöèîíàëüíîé ðàññòîÿíèþ òî÷êè îò öåíòðà ðàâíîâåñèÿ. Áåðÿ â ýòîì öåíòðå íà÷àëîîòñ÷åòà äåêàðòîâîé ñèñòåìûOx1 x2 x3 ,íàéäåì, ÷òîF~ = −c~x,è êèíåòè÷åñêàÿ è ïîòåíöè-àëüíàÿ ýíåðãèè îïðåäåëÿòñÿ â âèäåT =mX 2ẋ ,2 k kΠ=cX 2x ,2 k k103c = const > 0.Òî÷êà, òàêèì îáðàçîì, ÿâëÿåòñÿ êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìîé ñ òðåìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, äëÿ êîòîðîé ïðèíÿòîq k = xk . ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà èìååò çíà÷åíèåL(x, ẋ) = T − Π =mX 2 cX 2ẋ −x ,2 k k 2 k kîáîáùåííûå èìïóëüñû ñîâïàäàþò ñ îáû÷íûìè èìïóëüñàìè, è ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà èìååò âèä:pk =∂L= mẋk ,∂ ẋkH(x, p) = T (x, p) + Π(x) =1 X 2 cX 2p +x .2m k k 2 k kÃàìèëüòîíîâû óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïîëó÷àþò âûðàæåíèÿ∂Hpkdxk== ,dt∂pkmdpk∂H=−= −cxkdt∂xk(k = 1, 2, 3).Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòà ñèñòåìà èìååò èíòåãðàëûf 1 = x 2 p 3 − x 3 p 2 = c1 ,f 2 = x 3 p 1 − x 1 p 3 = c2 .Ñêîáêà Ïóàññîíà äâóõ èíòåãðàëîâ(f1 , f2 ) =X ∂f1 ∂f2∂f1 ∂f2(−) = x1 p 2 − x2 p 1∂x∂pk ∂pkk ∂xkkäàåò òðåòèé èíòåãðàëf 3 = x 1 p 2 − x 2 p 1 = c3 .(f3 , f1 ) = Pf2 ,(f2 , f3 ) = f1 .
 äàííîì ñëó÷àå áóäåò èíòåãðàëîì122è ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà H =k pk + cmxk = h. Îäíàêî â ñèëó ∂t fk = 0, áóäåì èìåòü2m(H, fk ) = 0(k = 1, 2, 3), òî åñòü ýòè ñêîáêè íîâîãî èíòåãðàëà íå äàþò.Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî67Ìåòîä ßêîáè èíòåãðèðîâàíèÿ êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà.Çàäà÷ó èíòåãðèðîâàíèÿ êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé ßêîáè ñâåë ê çàäà÷å íàõîæäåíèÿïîëíîãî èíòåãðàëà íåêîòîðîãî óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà.
Äëÿèçëîæåíèÿ ìåòîäà èñïîëüçóåì íåêîòîðûå ìàòåìàòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû.1◦Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ èç òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.ÓðàâíåíèåF (x1 , ..., xm , r1 , ..., rm ) = 0,ñâÿçûâàþùåå ìåæäó ñîáîþ íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûåèçâîäíûårk = ∂z/∂xk(k = 1, ..., m)(67.1)x = (x1 , ..., xm ) è ÷àñòíûå ïðîz = (z1 , ..., zm ), íàçûâàþòèñêîìîé ôóíêöèèäèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî ïîðÿäêà.0Ðåøåíèå z = z(x, u ) + um ,u0 = (u1 , ..., um−1 ) óðàâíåíèÿ (67.1), ñîäåðæàùååïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõmu = (u1 , ..., um ), èç êîòîðûõ ïîñòîÿííàÿ um âõîäèò àääèòèâíî,íàçûâàþò ïîëíûì èíòåãðàëîì ýòîãî óðàâíåíèÿ, åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå 2 m−1∂ zdet6= 0.∂xr ∂us r,s=1104(67.2)Ïîëíûé èíòåãðàë äàëåêî íå îõâàòûâàåò âñåõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (67.1), îäíàêî çíàíèå ýòîãî èíòåãðàëà ïîçâîëÿåò âîññòàíîâèòü èñõîäíîå óðàâíåíèå.
Äåéñòâèòåëüíî, âû÷èñëèâ ïðîèçâîäíûå îò èíòåãðàëà ïî ïåðåìåííûìrs =∂z∂xsx:(s = 1, ..., m − 1),rm =∂z,∂xmm ñîîòíîøåíèé, ïåðâûå m − 1 èç êîòîðûõ ââèäó (67.2) ìîæíî ðàçðåøèòü îòíîu0 . Ïîäñòàíîâêà âûðàæåíèé ýòèõ ïàðàìåòðîâ: u0 = u0 (x, r0 ), r0 =(r1 , ..., rm−1 ) â ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå è ïðèâîäèò ê èñêîìîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâïîëó÷èìñèòåëüíî ïàðàìåòðîâíåíèþ:F = rm − rm (x, u0 (x, r0 )) = 0.(67.3)Óðàâíåíèþ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ (67.1) ìîæíî ñîïîñòàâèòü ñëåäóþùóþ ñèñòåìóîáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèédx1∂F∂r1= ··· =dxm∂F∂rm=dr1drm= · · · = ∂F ,∂F− ∂x1− ∂xm(67.4)íàçûâàåìóþ ñèñòåìîé õàðàêòåðèñòèê.2◦Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè.Êàíîíè÷åñêóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà, äîïîëíåííóþ äâóìÿ ñîîòíîøåíèÿìèdt/dt = 1,dH/dt = ∂H/∂t:∂Hdtdqs== 1,,dt∂psdtd(−H)∂H=−,(s = 1, ..., n)dt∂tdps∂H=−,dt∂qsïðåäñòàâèì â ñëåäóþùåì âèäå (ðàçðåøåííîì îòíîñèòåëüíîdq1∂H∂p1= ··· =dqn∂H∂pn=(67.5)dt):dp1dtdpnd(−H)= ∂H = · · · = ∂H =.1− ∂q1− ∂qn− ∂H∂t(67.6)Ñîïîñòàâëåíèå óðàâíåíèé (67.4) è (67.6) ïîêàçûâàåò èõ îäíîòèïíîñòü.
Óðàâíåíèÿ áóäòñîâïàäàòü, åñëè ïðèíÿòüxs = q s ,r s = psm=n+1è ñ ó÷åòîì (67.3) ïîëîæèòü(s = 1, ..., n),z(x1 , ..., xm−1 , xm ) = S(q1 , ..., qn , t),rm =∂z∂S=,∂xm∂txm = xn+1 = t,rs =∂S∂z=∂xs∂qsrm = rn+1 = −H,(s = 1, ..., m − 1),F = rm + H(x0 , xm , r0 ) = 0.Òàêèì îáðàçîì, ðàâåíñòâà (67.6) ÿâëÿþòñÿ óðàâíåíèÿìè õàðàêòåðèñòèê äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî ïîðÿäêà∂S∂S∂S+ H q1 , ..., qn , t,, ...,= 0,∂t∂q1∂qnêîòîðîå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ãàìèëüòîíà-ßêîáè.105(67.7)Èñêîìàÿ ôóíêöèÿS(q, t)íåïîñðåäñòâåííî íå âõîäèò â ýòî óðàâíåíèå, ïîýòîìó åãîïîëíûì èíòåãðàëîì áóäåò ðåøåíèå, ñîäåðæàùåån+1ïîñòîÿííóþ, èç êîòîðûõ îäíàâõîäèò àääèòèâíîS = S(q1 , ..., qn , t; u1 , ..., un ) + un+1 ,ïðè÷åì äëÿ íåãî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå (67.2) 2 n∂ S6= 0.det∂qr ∂us r,s=13◦(67.8)Òåîðåìà ßêîáè.Âàæíîñòü ðàññìîòðåíèÿ óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè äëÿ çàäà÷ ìåõàíèêè îïðåäå-S(q, t, u)ëÿåòñÿ ñëåäóþùåé òåîðåìîé ßêîáè: Åñëèïðåäñòàâëÿåò ñîáîþ íåêîòîðûé ïîë-íûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè, òî èíòåãðàëû ãàìèëüòîíîâûõ óðàâíåíèéäâèæåíèÿ:ãäåur , vrq̇r = ∂H/∂pr ,(r = 1, ..., n)ṗr = −∂H/∂qr(r = 1, ..., n)äàþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè∂S= pr∂qr(r = 1, ..., n),(67.9)∂S= vr∂ur(r = 1, ..., n),(67.10) ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.Äîêàçàòåëüñòâî.
ÏîñêîëüêóS(q, u) ïîëíûé èíòåãðàë, äëÿ íåãî âûïîëíåíî óñëîâèå(67.8), â ñèëó êîòîðîãî óðàâíåíèÿ (67.10) ìîæíî ðàçðåøèòü îòíîñèòåëüíî îáîáùåííûõêîîðäèíàò, âûðàçèâ èõ ÷åðåç âðåìÿ è ïîñòîÿííûå; âìåñòå ñ ðàâåíñòâàìè (67.9) îíè îïðåäåëÿþò ñîîòíîøåíèÿqr = qr (t, u, v)pr = pr (t, u, v)(r = 1, ..., n),(67.11)äàþùèå äâèæåíèå èçîáðàæàþùåé òî÷êè â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå. Äîêàæåì òåïåðü, ÷òîýòè ôóíêöèè óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì Ãàìèëüòîíà (67.5) ïðè ïðîèçâîëüíûõuèv.Ôóíêöèè (67.11) ïîñëå ïîäñòàíîâêè â ðàâåíñòâà (67.9),(67.10) îáðàùàþò èõ â òîæäåñòâà ïît, u, v .Äèôôåðåíöèðóÿ (67.10) ïît,áóäåì èìåòüX ∂ 2 S dqs∂ 2S+=0∂ur ∂t∂u∂qdtrss(r = 1, ..., n).Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîäñòàíîâêà ïîëíîãî èíòåãðàëàßêîáè (67.6) ïðåâðàùàåò åãî â òîæäåñòâî ïîq, t, u;X ∂H ∂ 2 S∂ 2S+=0∂t∂ur∂ps ∂qs ∂ursS(q, t, u)â óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-äèôôåðåíöèðîâàíèå åãî ïîuräàåò(r = 1, ..., n).Ñîñòàâèâ ðàçíîñòü ïîëó÷åíûõ óðàâíåíèé, ïðèõîäèì ê ëèíåéíîé îäíîðîäíîé àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìå îòíîñèòåëüíî âåëè÷èí, çàêëþ÷åííûõ â ñêîáêè:X ∂ 2 S dqs ∂H −=0∂ur ∂qs dt∂pss(r = 1, ..., n).Ââèäó (67.8) îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû îòëè÷åí îò íóëÿ, ïîýòîìó ñèñòåìà èìååò òîëüêîíóëåâîå ðåøåíèå:dqs /dt − ∂H/∂ps = 0,ñëåäîâàòåëüíîdqs∂H=dt∂ps(s = 1, ..., n).106(67.12)Àíàëîãè÷íî, äèôôåðåíöèðóÿ òîæäåñòâî (67.9) ïî t, à òîæäåñòâî (67.7) ïîqr , ïîëó÷èìðàâåíñòâàX ∂ 2 S dqs dpr∂ 2S+−= 0,∂qr ∂t∂q∂qdtdtrsrX ∂H ∂ 2 S∂ 2S∂H++= 0.∂t∂qr∂p∂q∂q∂qssrrsÑîñòàâèâ ðàçíîñòü ýòèõ ñîîòíîøåíèé è ó÷òÿ óñëîâèÿ (67.12), áóäåì èìåòüdpr∂H=−dt∂qr(r = 1, ..., n).Óðàâíåíèÿ (67.12) è (67.13) ïîêàçûâàþò, ÷òî ôóíêöèè(67.13)qr (t)èpr (t),îïðåäåëåííûåðàâåíñòâàìè (67.9), (67.10), äåéñòâèòåëüíî óäîâëåòâîðÿþò ãàìèëüòîíîâûì óðàâíåíèÿì(67.12), (67.13) ïðè ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõu, v .Òåîðåìà äîêàçàíà.Èòàê, ñîãëàñíî òåîðåìå ßêîáè èíòåãðèðîâàíèå ãàìèëüòîíîâûõ óðàâíåíèé ñâîäèòñÿê ðàçûñêàíèþ ïîëíîãî èíòåãðàëà óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè.
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