1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Ðàçðåøèì èíòåãðàë (64.4) îòíîñèòåëüíî îäíîãî èç èìïóëüñîâ, íàïðèìåð, ïåðâîãî, ïîëàãàÿp1 = −K(q1 , q 0 , p0 , h)∂H/∂p1 6= 0(q 0 = (q2 , ..., qn ),p0 = (p2 , ..., pn )).(64.5)Ïðåäñòàâèì ãàìèëüòîíîâû óðàâíåíèÿ (64.2) â âèäå äâóõ ïîäñèñòåìdq1∂H=,dt∂p1dqs∂H=,dt∂psdp1∂H=−,dt∂q1dps∂H=−dt∂ps(64.6)(s = 2, ..., n).(64.7)Óðàâíåíèÿ (64.7) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå àâòîíîìíîé ñèñòåìû.
Äåéñòâèòåëüíî, ïîäåëèâ (64.7) íà ïåðâîå èç óðàâíåíèé (64.6), áóäåì èìåòüdqs∂H ∂H=/,dq1∂ps ∂p1dps∂H ∂H=−/dq1∂qs ∂p1(s = 2, ..., n).(64.8)Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðàâûõ ÷àñòåé ýòèõ ðàâåíñòâ âîçüìåì òîæäåñòâî, ïîëó÷åííîå ïîäñòàíîâêîé ðåøåíèÿ (64.5) â èñõîäíîå ðàâåíñòâî (64.4)H(q1 , q 0 , p1 (q1 , q 0 , p0 , h), p0 ) = hè ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ åãî ïî ïåðåìåííûì∂H ∂H ∂(−K)+= 0,∂qs ∂p1 ∂qsqs , ps(64.9)(s = 2, ..., n),∂H ∂H ∂(−K)+= 0,∂ps ∂p1 ∂psïîëó÷èì ðàâåíñòâà(s = 2, ..., n).Ïîñëåäíèå îïðåäåëÿþò èñêîìûå ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (64.8) â âèäå∂K∂H ∂H/=,∂qs ∂p1∂qs∂H ∂H∂K/=∂ps ∂p1∂ps(s = 2, ..., n).Òåì ñàìûì óðàâíåíèÿ (64.8) ïðåäñòàâèìû â âèäå ãàìèëüòîíîâûõ óðàâíåíèé, â êîòîðûõðîëü âðåìåíè èãðàåò êîîðäèíàòàq1 ,à ðîëü ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà ôóíêöèÿK:dqs∂K dps∂K=,=−(s = 2, . .
. , n).dq1∂ps dq1∂psÝòè óðàâíåíèÿ íàçûâàþò óðàâíåíèÿìè Óèòòåêåðà. Ýòà ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç(64.10)2n − 2óðàâíåíèé, çàìêíóòà è åå ìîæíî èíòåãðèðîâàòü íåçàâèñèìî îò äðóãèõ óðàâíåíèé. Âðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ (64.10) ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèÿqs = qs (q1 , h, c1 , ..., c2n−2 ),ps = ps (q1 , h, c1 , ..., c2n−2 )êîòîðûå ñîâìåñòíî ñ âûðàæåíèåì äëÿp1 ,(s = 2, ..., n),(64.11)ïîëó÷åííûì èç (64.5) è (64.11):p1 = p1 (q1 , h, c1 , ..., c2n−2 ),îïðåäåëÿþò ñåìåéñòâî òðàåêòîðèé â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâåïàðàìåòðîâ.98(64.12)E2n (q, p), çàâèñÿùåå îò 2n−1Èç îñòàâøèõñÿ äâóõ óðàâíåíèé (64.6) âòîðîå îáðàùàåòñÿ â òîæäåñòâî, à ïåðâîå ñëóæèò äëÿ óñòàíîâëåíèÿ äâèæåíèÿ âäîëü òðàåêòîðèé. Äåéñòâèòåëüíî, ïðèìåíÿÿ êî âòîðîìó óðàâíåíèþ àíàëîãè÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷èì â èòîãå ñîîòíîøåíèådp1∂H ∂H=−/,dq1∂q1 ∂p1∂H ∂H ∂(−K)+= 0,∂q1 ∂p1 ∂q1∂H ∂H∂K/=;∂q1 ∂p1∂q1∂Kdp1=−,dq1∂q1êîòîðîå â ñèëó (64.5) ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâîì.∂H ∂(−K)= 1, ñëåäóþùåãî èç (64.9) ïîñëå äèôôåðåíöèðîÑ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ∂p1 ∂hâàíèÿ ïî h, ïåðâîìó â (64.6) óðàâíåíèþ ìîæíî ïðèäàòü âèä−1dq1∂K=−,dt∂hãäå âñå âåëè÷èíûîò êîîðäèíàòûq1K = K(q1 , q 0 , h, p0 ) = K(q1 , h, c1 , ..., c2n−2 ),q 0 è p0 âûðàæåíû ñîãëàñíî (64.11) ÷åðåç q1 , îòêóäà çàâèñèìîñòü âðåìåíèäàåòñÿ êâàäðàòóðîéZt=−∂Kdq1 + c2n−1 .∂h(64.13)Çàâèñèìîñòè (64.11)-(64.13) îïðåäåëÿþò óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû.Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðèðîâàíèå ãàìèëüòîíîâûé ñèñòåìû óðàâíåíèé äëÿ îáîáùåííîêîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû ñâåëîñü ê èíòåãðèðîâàíèþ óðàâíåíèé Óèòòåêåðà, ïîðÿäîê êîòîðûõ íà äâå åäèíèöû íèæå, ÷åì ó èñõîäíîé ñèñòåìû.65Ñèñòåìû ñ öèêëè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè.Íàðÿäó ñ îáîáùåííî-ïîòåíöèàëüíûìè ñèñòåìàìè ïîíèçèòü ïîðÿäîê ãàìèëüòîíîâûõóðàâíåíèé ìîæíî è äëÿ äðóãîãî êëàññà íàòóðàëüíûõ ñèñòåì ñèñòåì ñ öèêëè÷åñêèìèêîîðäèíàòàìè.1◦Ïîçèöèîííûå è öèêëè÷åñêèå êîîðäèíàòû.Îáîáùåííûå êîîðäèíàòû ìîæíî ïîäðàçäåëèòü íà äâà òèïà â çàâèñèìîñòè îò òîãî,âõîäÿò èëè íå âõîäÿò îíè ÿâíî â âûðàæåíèå êèíåòè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ñèñòåìû.qr íàçûâàþò ïîçèöèîííîé, åñëè îíà âõîäèò â âûðàæåíèå ôóíêöèè Ãà∂H/∂qr 6= 0; à êîîðäèíàòó qs íàçûâàþò öèêëè÷åñêîé, åñëè íå âõîäèò: ∂H/∂qs =Êîîðäèíàòóìèëüòîíà:0.Òàêóþ æå òåðìèíîëîãèþ ïðèìåíÿþò è äëÿ îáîáùåííûõ èìïóëüñîâ, ñîïðÿæåííûõîáîáùåííûì êîîðäèíàòàì: èìïóëüñ2◦pr ïîçèöèîííûé, àps öèêëè÷åñêèé.Ìåòîä Ðàóñà èãíîðèðîâàíèÿ öèêëè÷åñêèõ êîîðäèíàò.Ïóñòü ó íàòóðàëüíîé ñèñòåìû ñöèîííûå, à ïîñëåäíèåk = n−mnñòåïåíÿìè ñâîáîäû ïåðâûåmêîîðäèíàò ïîçè- öèêëè÷åñêèå.
Îáîçíà÷àÿ øòðèõàìè öèêëè÷åñêèåêîîðäèíàòû è ñîîòâåòñòâóþùèå èì èìïóëüñû, áóäåì èìåòü0q =0(qm+1, ..., qn0 ),q = (q1 , ..., qm ),p = (p0m+1 , ..., p0n ),099p = (p1 , ..., pm );H = H(t, q, p, p0 ).(65.1)Ðàçîáüåì ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó íà ïîçèöèîííóþ è öèêëè÷åñêóþ ïîäñèñòåìû:dqr∂H=,dt∂prdqs0∂H= 0,dt∂psdpr∂H=−dt∂qr∂Hdp0s=− 0dt∂qs(r = 1, ..., m),(65.2)(s = m + 1, ..., m + k = n).(65.3)∂H/∂qs0 = 0)Âòîðàÿ â (65.3) ïîäãðóïïà óðàâíåíèé (ââèäóèíòåãðèðóåòñÿ è äàåòkèíòå-ãðàëîâ ïîñòîÿíñòâî öèêëè÷åñêèõ èìïóëüñîâp0s = Cs0 = const(s = m + 1, ..., n).(65.4)Öèêëè÷åñêèå êîîðäèíàòû íå âõîäÿò ÿâíî â ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà (65.1), à öèêëè÷åñêèå èìïóëüñû ïîñòîÿííû, ïîýòîìó ãàìèëüòîíîâà ôóíêöèÿ â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèäH = H(t, q, p, C 0 );Èç ñòðóêòóðû ôóíêöèèH0(C 0 = (Cm+1, ...Cn0 )).(65.5)ñëåäóåò, ÷òî ïîçèöèîííàÿ ñèñòåìà (65.2) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîþçàìêíóòóþ ñèñòåìó, ïîðÿäêà2m = 2n − 2k ,êîòîðóþ ìîæíî èíòåãðèðîâàòü íåçàâèñèìîîò öèêëè÷åñêèõ óðàâíåíèé.
Âûïîëíèâ èíòåãðèðîâàíèå, íàéäåì îáùåå ðåøåíèå â âèäåqr = qr (t, B, C, C 0 ),ãäåBrèCrpr = pr (t, B, C, C 0 )(r = 1, ..., m)(B = (B1 , ..., Bm ), C = (C1 , ..., Cm )),(65.6) ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.Ïîñëå ïîäñòàíîâêè çàâèñèìîñòåé (65.6) â (65.5) ôóíêöèÿ H áóäåò çàâèñåòü òîëüêî0îò âðåìåíè: H(t, B, C, C ), ïîýòîìó îñòàâøèåñÿ öèêëè÷åñêèå óðàâíåíèÿ (65.3) îïðåäåëÿòöèêëè÷åñêèå êîîðäèíàòû â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè êâàäðàòóðàìèqs0Z=∂Hdt + Bs0∂Cs0(s = m + 1, ..., n).(65.7)Òåì ñàìûì óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ïîëíîñòüþ ïðîèíòåãðèðîâàíû. Èíòåãðèðîâàíèå ñèñòåìû ïî ñóòè ñâåëîñü ê èíòåãðèðîâàíèþ ïîçèöèîííîé ñèñòåìû (65.2), ïîðÿäîê êîòîðîéíèæå ïîðÿäêà èñõîäíîé ñèñòåìû íà2kåäèíèö, ãäåk = n − m ÷èñëî öèêëè÷åñêèõ êîîð-äèíàò. Ïðè èíòåãðèðîâàíèè ïîçèöèîííîé ñèñòåìû öèêëè÷åñêèå óðàâíåíèÿ âî âíèìàíèåíå ïðèíèìàþòñÿ èãíîðèðóþòñÿ, îòñþäà è ïðîèñõîäèò íàçâàíèå ìåòîäà, ðàçðàáîòàííîãî Ðàóñîì. ÷àñòíîñòè, åñëè âñå êîîðäèíàòû öèêëè÷åñêèå è ñèñòåìà îáîáùåííî-êîíñåðâàòèâíàÿ,H = H(p0 ).
 ñèëó ïðåäûäó0ùåãî îòñþäà çàêëþ÷àåì, ÷òî âñå èìïóëüñû áóäóò öèêëè÷åñêèìè ïîñòîÿííûìè: ps =00Cs(s = 1, ..., n), à ôóíêöèÿ H ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé H(C ) = const. Íî òîãäà∂H/∂Cs0 = const è ñîãëàñíî (65.7) ñàìè öèêëè÷åñêèå êîîðäèíàòû áóäóò ëèíåéíûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíèôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà áóäåò çàâèñåòü òîëüêî îò èìïóëüñîâqs0 =∂Ht + Bs00∂Cs(s = 1, ..., n).(65.8)Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ëåãêî èíòåãðèðóþòñÿ.Ñîïîñòàâëÿÿ îáîáùåííî-êîíñåðâàòèâíóþ ñèñòåìó è ñèñòåìó ñ îäíîé öèêëè÷åñêîé êîîðäèíàòîé, âèäèì, ÷òî â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîðÿäîê èñõîäíûõ ñèñòåì óðàâíåíèé óäàåòñÿïîíèçèòü íà äâå åäèíèöû, òî åñòü âðåìÿ âåäåò ñåáÿ ïîäîáíî êîîðäèíàòå.
Ýòà àíàëîãèÿ ìåæäó âðåìåíåì è êîîðäèíàòàìè ïðîñëåæèâàåòñÿ è äàëåå ïðè ðàññìîòðåíèè äðóãèõâîïðîñîâ ìåõàíèêè.10066Ìåòîä Ïóàññîíà èíòåãðèðîâàíèÿ êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà.Ïóàññîí óêàçàë ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëîâ êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé, îñíîâàííûé íà èñïîëüçîâàíèè äâóõ èñõîäíûõ èíòåãðàëîâ ýòèõ óðàâíåíèé.1◦Èíòåãðàëû óðàâíåíèé äâèæåíèÿ.Ôóíêöèþ ïåðåìåííûõ Ãàìèëüòîíàf (t, q, p)èëè ðàâåíñòâî åå ïîñòîÿííîéf (t, q, p) = C = const(66.1)íàçûâàþò èíòåãðàëîì êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà∂Hdqr=,dt∂prdpr∂H=−dt∂qr(r = 1, ..., n),(66.2)åñëè îíà ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå íà ëþáîì ðåøåíèè ýòèõ óðàâíåíèé.
Ïðèìåðàìèèíòåãðàëîâ ìîãóò ñëóæèòü ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà äëÿ îáîáùåííî-êîíñåðâàòèâíûõ ñèñòåìèëè öèêëè÷åñêèå èìïóëüñû äëÿ ñèñòåì ñ öèêëè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè.Òàê êàê äëÿ ëþáîé ñèñòåìû èíòåãðàëîâf1 , ..., flèíòåãðàëîì áóäåò òàêæå íåêîòî-ðàÿ ôóíêöèÿ ýòèõ âåëè÷èí, òî èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò òîëüêî íåçàâèñèìûå èíòåãðàëû.Ñèñòåìó èíòåãðàëîâ(r = 1, ..., l ≤ 2n)fr (t, q, p) = Críàçûâàþò íåçàâèñèìîé, åñëè ôóíêöèîíàëüíàÿ ìàòðèöà∂f1 . . . ∂pnF = ... ... ...
,∂fl∂fl. . . ∂p∂q1nF(66.3)èìååò ðàíã, ðàâíûé l :∂f1∂q1rangF = l. ýòîì ñëó÷àå èç ñèñòåìû èíòåãðàëîâ ìîæíî âûðàçèòü(66.4)l âåëè÷èí q1 , ..., qn ; p1 , ..., pn÷åðåçîñòàëüíûå âåëè÷èíû êîîðäèíàòû, èìïóëüñû è âðåìÿ.Ñèñòåìó íåçàâèñèìûõ èíòåãðàëîâ (66.3) íàçûâàþò ïîëíîé, åñëèl = 2n. Óñëîâèå ïîë-íîòû ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìå∂(f1 , ..., f2n )6= 0.∂(q1 , ..., pn )(66.5)Äëÿ ïîëíîé ñèñòåìû èíòåãðàëîâ ìîæíî âûðàçèòü âñå êîîðäèíàòû è èìïóëüñû ÷åðåçâðåìÿ è ïîñòîÿííûåqr = qr (t, C1 , ..., C2n ),pr = pr (t, C1 , ..., C2n )(66.6)è òåì ñàìûì ïîëó÷èòü îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ïî ïîëíîéñèñòåìå íåçàâèñèìûõ èíòåãðàëîâ îïðåäåëÿþòñÿ âñå äâèæåíèÿ ñèñòåìû.Åñëè ñèñòåìà èíòåãðàëîâ íåïîëíà, òî èç íåå ìîæíî íàéòè òîëüêî ÷àñòü âåëè÷èíèp,qâûðàçèâ èõ ÷åðåç íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå. Ïðè ýòîì óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ìîæ-íî çàïèñàòü òîëüêî äëÿ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, ñîêðàòèâ ÷èñëî óðàâíåíèé. Îòñþäàñëåäóåò, ÷òî îòûñêàíèå âîçìîæíî áîëüøåãî ÷èñëà íåçàâèñèìûõ èíòåãðàëîâ ÿâëÿåòñÿâàæíîé çàäà÷åé. ðÿäå ñëó÷àåâ âàæíî áûâàåò çíàòü: áóäåò èëè íå áóäåò çàäàííàÿ ôóíêöèÿ èíòåãðàëîì óðàâíåíèé äâèæåíèÿ.
Êðèòåðèé èíòåãðàëüíîñòè ôóíêöèè ôîðìóëèðóåòñÿ âòåðìèíàõ òàê íàçûâàåìûõ ñêîáîê Ïóàññîíà.1012◦Ñêîáêè Ïóàññîíà.Äëÿ äâóõ ôóíêöèé ãàìèëüòîíîâûõ ïåðåìåííûõîáîçíà÷àåìîé ÷åðåç(f, g),f (t, q, p), g(t, q, p)ñêîáêîé Ïóàññîíà,íàçûâàþò ñëåäóþùóþ êîìáèíàöèþ èõ ïðîèçâîäíûõ(f, g) =X ∂f ∂g∂f ∂g(−).∂qr ∂pr ∂pr ∂qrr(66.7)Èç îïðåäåëåíèÿ ñêîáîê Ïóàññîíà âûòåêàþò ñëåäóþùèå èõ ñâîéñòâà (óñòàíàâëèâàåìûå, íàïðèìåð, íåïîñðåäñòâåííûì âû÷èñëåíèåì):1.(f, g) = −(g, f ),2.(cf, g) = (f, cg) = c(f, g),c = const,3.(f + g, h) = (f, h) + (g, h),4.((f, g), h) + ((h, f ), g) + ((g, h), f ) = 0,∂∂f∂g5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
