1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295), страница 16
Текст из файла (страница 16)
çàâèñèò îò íîìåðàñâÿçè. Ñîîòâåòñòâåííî ðåçóëüòèðóþùàÿ ðåàêöèÿ íà òî÷êóPkñî ñòîðîíû âñåõ ñâÿçåéáóäåò ðàâíà âåêòîðíîé ñóììå ðåàêöèé îò êàæäîé ñâÿçè, ò.å.R̄k =XR̄ks =sXsλs∂fs∂ x̄k(k = 1, .., N ).(55.11)∂fsÏîñêîëüêó âåêòîðûîïðåäåëÿþòñÿ èçâåñòíûìè óðàâíåíèÿìè ñâÿçåé (55.1), òî ýòè∂ x̄kkôîðìóëû âûðàæàþò 3N ðåàêöèé Rn ÷åðåç ìåíüøåå ÷èñëî g âåëè÷èí λs , íàçûâàåìûõìíîæèòåëÿìè ñâÿçè. Òåì ñàìûì äëÿ èäåàëüíûõ ñâÿçåé îïðåäåëåíèå ðåàêöèé ñâÿçåé ñâîäèòñÿ ê îïðåäåëåíèþ èõ ìíîæèòåëåé.Êëàññ èäåàëüíûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâÿçåé íå èñ÷åðïûâàåòñÿ ñâÿçÿìè áåç òðåíèÿ, ðåàëèçóåìûìè ãëàäêèìè ïîâåðõíîñòÿìè è ëèíèÿìè, à çíà÷èòåëüíî øèðå.Ïîêàæåì, íàïðèìåð, ÷òî èäåàëüíîé áóäåò ñâÿçü, âûðàæàþùàÿ ñîáîé ïîñòîÿíñòâî22ðàññòîÿíèÿ l ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè P1 è P2 : 2f = (x̄2 − x̄1 ) − l = 0. Òàêàÿ ñâÿçü ìîæåòáûòü ðåàëèçîâàíà â âèäå íåâåñîìîãî íåðàñòÿæèìîãî ñòåðæíÿ, ñîåäèíÿþùåãî ýòè òî÷êè.73Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ñòåðæåíü íàõîäèòñÿ ïîä äåéñòâèåì âåñàP̄−R̄1 , −R̄2 , ïðîòèâîïîëîæíûõòî÷êè P1 è P2 (Ðèñ.
115) èè ñèëðåàêöèÿì ñòåðæíÿ íàm, āc , ω̄, Ic - ìàññà, óñêîðåíèå öåíòðà ìàññ, óãëîâàÿ ñêîðîñòü è öåíòðàëüíûé òåíçîð èíåðöèè ñòåðæíÿ. Òîãäàèç óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñòåðæíÿ (êàê òâåðäîãî òåëà).māc = −R̄1 − R̄2 + mḡ,âÐèñ. 115d(Ic · ω̄) = ȳ1 × (−R̄1 ) + ȳ2 × (−R̄2 ) + ȳc × mḡdtñèëó óñëîâèé m = 0, Ic = 0 ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâàìȳ1 × R̄1 + ȳ2 × R̄2 = 0,R̄1 + R̄2 = 0,èç êîòîðûõ ñ ó÷åòîì ïðåäñòàâëåíèéx̄1 = x̄c + ȳ1 , x̄2 = x̄c + ȳ2ñëåäóþò óñëîâèÿR̄1 = −R̄2 , (ȳ2 − ȳ1 ) × R̄2 = (x̄2 − x̄1 ) × R̄2 = 0;ñëåäîâàòåëüíî,R̄2 = λ(x̄2 − x̄1 ), R̄1 = −λ(x̄2 − x̄1 ).Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç óðàâíåíèÿ ñâÿçè−(x̄2 − x̄1 ),∂f∂ x̄2= (x̄2 − x̄1 ),2f = (x̄2 − x̄1 )2 − l2 = 0ñëåäóåò, ÷òî∂f∂ x̄1=ïîýòîìó äëÿ ðåàêöèé áóäóò ñïðàâåäëèâû âûðàæåíèÿR̄2 = λîçíà÷àþùèå èäåàëüíîñòü ñâÿçè∂f∂f, R̄1 = λ,∂ x̄2∂ x̄1f = 0.Äëÿ èäåàëüíûõ ñâÿçåé ñèñòåìà óðàâíåíèé (55.6) äëÿ ðåàêöèè ñòàíîâèòñÿ îïðåäåëåííîé ñèñòåìîé äëÿ ìíîæèòåëåé ñâÿçåéXHsr λr + Hs = 0, Hsr =X 1 ∂fs ∂fr·mk ∂ x̄k ∂ x̄kkHs = hs +X 1 ∂fs· F̄k .mk ∂ x̄kkrÑïðàâåäëèâà ëåììà.
Îïðåäåëèòåëü∆(r, s = 1, .., g),ñèñòåìû (55.12) îòëè÷åí îò íóëÿ∆ = det(Hsr ) 6= 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèøåíèå:(Us ) 6= 0.∆ = 0(55.12)îäíîðîäíàÿ ñèñòåìàÓìíîæàÿ óðàâíåíèÿ ñèñòåìû íàUs(55.13)PHst Ut = 0èìååò íåíóëåâîå ðå-è ñóììèðóÿ ðåçóëüòàòû ñ ó÷åòîì(55.12), áóäåì èìåòü0=XstHst Ut Us =X ∂ftX 1 X ∂fsX 1 X ∂fs(Us )(Ut ) =(Us )2 ,m∂x̄∂x̄m∂x̄kkkkkstskkîòêóäà ñëåäóåò âåêòîðíûå ðàâåíñòâà è ýêâèâàëåíòíûå èì ñêàëÿðíûå ðàâåíñòâàX ∂fsUs = 0,∂ x̄ksX ∂fsUs = 0∂xkns(k = 1, ..., N ; n = 1, 2, 3).sÏîñëåäíèå èç íèõ îçíà÷àþò çàâèñèìîñòü ñòðîê ìàòðèöû (Jkn ) è òåì ñàìûì ñíèæåíèåsåå ðàíãà: rang(Jkn ) < g , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò èñõîäíûì äàííûì. ñèëó ëåììû (55.13) ñèñòåìà (55.12) îïðåäåëÿåò ìíîæèòåëè åäèíñòâåííûì îáðàçîìâ çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè, êîîðäèíàò è ñêîðîñòåé òî÷åê ñèñòåìûlλr = λr (t, xlm , vm)(r = 1, .., q),à âìåñòå ñ íèìè ñîãëàñíî (55.11) - è ðåàêöèè ñâÿçåé.74(55.14)5◦Óðàâíåíèÿ ñ íåîïðåäåëåííûìè ìíîæèòåëÿìè.Äëÿ íåñâîáîäíûõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì ñ èäåàëüíûìè ñâÿçÿìè îêàçûâàåòñÿ âîçìîæ-íûì ïîëó÷èòü ïîëíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ è äâèæåíèÿ, è ðåàêöèé.Äåéñòâèòåëüíî, ïîäñòàâèâ â óðàâíåíèÿ íåñâîáîäíîãî äâèæåíèÿ (55.5):mk āk = F̄k + R̄k(k = 1, .., N )âûðàæåíèÿ ðåàêöèé èäåàëüíûõ ñâÿçåé (55.11):R̄k =Xλssdfsdx̄k(k = 1, .., N ),ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ ñ ìíîæèòåëÿìè ñâÿçåé, íàçûâàåìûå ëàãðàíæåâûìè óðàâíåíèÿìèïåðâîãî ðîäàmk āk = F̄k +Xsλsdfsdx̄k(k = 1, .., N ).(55.15)Ïðåäñòàâèâ ýòè âåêòîðíûå óðàâíåíèÿ â êîìïîíåíòíîé ôîðìå è ïðèñîåäèíèâ ê íèìóðàâíåíèÿ ñâÿçåé, ïîëó÷èì ñèñòåìó:mk ẍkn = Fnk +Xλss∂fs∂xkn(k = 1, .., N ; n = 1, 2, 3),fs (t, x1n , .., xNn) = 0Ýòà ñèñòåìà çàìêíóòà: îíà ñîäåðæèò(55.16)(s = 1, ..g).3N + góðàâíåíèé è ñëóæèò äëÿ íàõîæäåíèÿxkn è g ìíîæèòåëåé λs .
Çàìêíóòàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé (55.16) îïðåäåëÿåò ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü "íåñâîáîäíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿòàêîãî æå ÷èñëà èñêîìûõ âåëè÷èí:3Nêîîðäèíàòñèñòåìà ñ èäåàëüíûìè ñâÿçÿìè".Äëÿ ðåøåíèÿ îñíîâíîé çàäà÷è â ðàìêàõ ýòîé ìîäåëè ê óðàâíåíèÿì (55.16) ïðèñîkåäèíÿþò ñîâìåñòíûå ñî ñâÿçÿìè íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (äëÿ ôóíêöèé xn (t), âõîäÿùèõ âóðàâíåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûì îáðàçîì)kt = 0, xkn (0) = xkn0 , ẋkn (0) = vn06◦(k = 1, .., N ; n = 1, 2, 3).(55.17)Íà÷àëüíàÿ çàäà÷à äëÿ íåñâîáîäíûõ ñèñòåì. óðàâíåíèÿ (55.16) èñêîìûå âåëè÷èíû - ìíîæèòåëè ñâÿçè è êîîðäèíàòû òî÷åê âõî-äÿò ðàçëè÷íûì îáðàçîì: åñëè îòíîñèòåëüíî ìíîæèòåëåé ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêîé, òî ïî îòíîøåíèþ ê êîîðäèíàòàì îíà äèôôåðåíöèàëüíà.
Ìåòîäû ðåøåíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ è äèôôåðåíöèàëüíûõ ñèñòåì óðàâíåíèé ñóùåñòâåííî ðàçëè÷íû. Ïîýòîìóöåëåñîîáðàçíî ïîëó÷èòü äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ îäíèõ êîîðäèíàò.Ñ ýòîé öåëüþ âîñïîëüçóåìñÿ âûðàæåíèÿìè (55.14) äëÿ ìíîæèòåëåé, ïîëó÷åííûìèllèç óðàâíåíèé ñâÿçè: λr = λr (t, xm , vm ), è ïîäñòàâèì èõ â ëàãðàíæåâû óðàâíåíèÿ; â èòîãåïîëó÷èì óðàâíåíèÿ äëÿ îäíèõ êîîðäèíàòl)+mk ẍkn = Fnk (t, xlm , vmXslλs (t, xlm , vm)dfsdxkn(k = 1, .., N ; n = 1, 2, 3).(55.18)Âìåñòå ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (55.17) îíè ñîñòàâëÿþò íà÷àëüíóþ çàäà÷ó äëÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû.
Åñëè ïðàâûå ÷àñòè â óðàâíåíèÿõ (55.18) íåïðåðûâíû ïî âðåìåíè èóäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì Ëèïøåöà ïî êîîðäèíàòàì è ñêîðîñòÿì, ýòà çàäà÷à èìååò åäèíkkñòâåííîå ðåøåíèå xn = xn (t). Ïî íàéäåííîìó äâèæåíèþ ôîðìóëû (55.14) îïðåäåëÿþòkkìíîæèòåëè λr = λr (t), à ôîðìóëû (55.11) - ðåàêöèè Rn = Rn (t).757◦Îñîáåííîñòè ëàãðàíæåâûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ðîäà.Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ íåñâîáîäíûõ ñèñòåì â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ (55.16) ñîñòîÿòèç ëàãðàíæåâûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ðîäà è óðàâíåíèé ñâÿçè. Îíè îáëàäàþò êàê äîñòîèíñòâàìè, òàê è íåäîñòàòêàìè.Äîñòîèíñòâîì óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü îïðåäåëåíèÿ èç íèõ êàê äâèæåíèÿñèñòåìû, òàê è ðåàêöèé ñâÿçåé, ò.å. ïîëíîãî ðåøåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé çàäà÷è. Êðîìå òîãî,ýòè óðàâíåíèÿ çàíèìàþò â äèíàìèêå íåñâîáîäíîãî äâèæåíèÿ öåíòðàëüíîå ïîëîæåíèå:âñå äðóãèå ñîîòíîøåíèÿ ñëåäóþò èç íèõ ïðè äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ î ñèëàõè ñâÿçÿõ.Ê íåäîñòàòêàì óðàâíåíèé ñëåäóåò îòíåñòè ãðîìîçäêîñòü ýòîé ñèñòåìû.
×èñëî ëàãðàíæåâûõ óðàâåíåíèé çàâèñèò îò ÷èñëà òî÷åê è áûñòðî âîçðàñòàåò ñ ðîñòîì ýòîãî ÷èñëà.Êðîìå òîãî, ñ ðîñòîì ÷èñëà ñâÿçåé äâèæåíèå óïðîùàåòñÿ, à íàõîäèòü åãî ïðèõîäèòñÿ èçáîëåå ñëîæíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé. ñèëó âñåõ ýòèõ ïðè÷èí ýòè óðàâíåíèÿ ïðèìåíÿþòñÿ ñðàâíèòåëüíî ðåäêî. Èìè îáû÷íî ïîëüçóþòñÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåàêöèé ïî óæå íàéäåííîìó äâèæåíèþ, à ñàìî äâèæåíèåîïðåäåëÿþò èç äðóãèõ, áîëåå óäîáíûõ óðàâíåíèé. Òàêèìè óðàâíåíèÿìè äëÿ ãîëîíîìíûõñèñòåì áóäóò ëàãðàíæåâû óðàâíåíèÿ âòîðîãî ðîäà, êîòîðûå áóäóò óñòàíîâëåíû â äàëüíåéøåì.56Äâèæåíèå ãîëîíîìíûõ ñèñòåì â îáîáùåííûõ êîîðäèíàòàõ.Êàê âûÿñíåíî âûøå îäíîâðåìåííîå îïðåäåëåíèå è äâèæåíèÿ è ðåàêöèé ñâÿçè ïðèâîäèò ê ñëîæíîé ìàòåìàòè÷åñêîé çàäà÷å. Ñóùåñòâóþò, îäíàêî, ìåòîäû, ïîçâîëÿþùèåðàñ÷ëåíèòü ýòó îáùóþ çàäà÷ó íà äâå áîëåå ïðîñòûå: çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ îäíîãî òîëüêîäâèæåíèÿ è çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ ðåàêöèé ïî óæå íàéäåííîìó äâèæåíèþ.
Íèæå ýòà èäåÿáóäåò ðåàëèçîâàíà íà îñíîâå èñïîëüçîâàíèÿ îáîáùåííûõ êîîðäèíàò.1◦Îáîùåííûå êîîðäèíàòû, ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ.N ìàòåìàòè÷åñêèõ òî÷åê îòíîg (g < 3N ) ñâÿçåéÁóäåì ðàññìàòðèâàòü äâèæåíèå ãîëîíîìíîé ñèñòåìûñèòåëüíî ñèñòåìû îòñ÷åòàOx1 x2 x3ïðè íàëè÷èèfs (t, x1m , .., xNm) = 0Ôóíêöèèfs (t, x)n(56.1)srang(Jkm) = g.òîëüêî n = 3N − g .ïðåäïîëàãàþòñÿ ãëàäêèìè è íåçàâèñèìûìè; ñèëó ñâÿçåé èçëî(s = 1, ..g).3Nêîîðäèíàò òî÷åê íåçàâèñèìûìè áóäóòíåçàâèñèìûõ êîîðäèíàò íàçûâàþò ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû ñèñòåìû. Óðàâíåíèÿñâÿçåé (56.1) ïîçâîëÿþò âûðàçèòü çàâèñèìûå êîîðäèíàòû ÷åðåçt,×èñ-níåçàâèñèìûõ è âðåìÿòàê ÷òî íåçàâèñèìûå êîîðäèíàòû îïðåäåëÿþò ïîëîæåíèå ñèñòåìû â êàæäûé ìîìåíòâðåìåíè.
Î÷åâèäíî, ÷òî ïîäñòàíîâêà ýòèõ âûðàæåíèé â óðàâíåíèÿ ñâÿçåé îáðàùàåò ïîñëåäíèå â òîæäåñòâàxknçàâ= xknçàâ(t, xkníåç),fs (t, xkníåç) ≡ 0.(56.2)Îäíàêî, ïîëîæåíèå ñèñòåìû íå îáÿçàòåëüíî îïðåäåëÿòü íåçàâèñèìûìè äåêàðòîâûìè êîîðäèíàòàìè. Äëÿ ýòîé öåëè ìîæíî èñïîëüçîâàòü76näðóãèõ íåçàâèñèìûõ ïàðàìåòðîâq1 , .., qn ,â êàæäûé ìîìåíò ñâÿçàííûõ âçàèìîîäíîçíà÷íî ñ íåçàâèñèìûìè äåêàðòîâû-ìè êîîðäèíàòàìè. Òîãäà ôóíêöèÿìè ýòèõ ïàðàìåòðîâ è âðåìåíè áóäóò è çàâèñèìûåäåêàðòîâû êîîðäèíàòû, ò.å. âñå3Nêîîðäèíàò (èëè âåêòîð-ðàäèóñû òî÷åê):xkn = xkn (t, q1 , .., qn ), x̄k = x̄k (t, q)(k = 1, .., N ; n = 1, 2, 3),(56.3)ïðè ýòîì ñêàëÿðíûå è âåêòîðíûå ôóíêöèè ïîëàãàþòñÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêèìè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
