1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295), страница 27
Текст из файла (страница 27)
 òåðìèíàõ âîçìóùåíèé ìîæíî ôîðìóëèðîâàòü ïîíÿòèÿ óñòîé÷èâîñòè èëè íåóñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ.124Íåâîçìóùåííîå äâèæåíèåx = 0 íàçûâàþò óñòîé÷èâûì, åñëè äëÿ ëþáîãî ÷èñëà > 0ìîæíî óêàçàòü òàêîå ÷èñëî δ() > 0, ÷òî ïðè íà÷àëüíûõ âîçìóùåíèÿõ, óäîâëåòâîðÿþùèõoóñëîâèÿì |x | = |x(to )| < δ , ïðè ëþáîì âðåìåíè áóäóò âûïîëíåíû óñëîâèÿ |x(t)| < . Âïðîòèâíîì ñëó÷àå, íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå íàçûâàþò íåóñòîé÷èâûì.Äðóãèìè ñëîâàìè, óñòîé÷èâîñòü íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ îçíà÷àåò, ÷òî ìîæíî îáåñïå÷èòü äîñòàòî÷íóþ ìàëîñòü âîçìóùåíèé â ëþáîé ìîìåíò ïóòåì âûáîðà äîñòàòî÷íîìàëûõ íà÷àëüíûõ âîçìóùåíèé.Âàæíûé êëàññ óñòîé÷èâûõ äâèæåíèé ñîñòàâëÿþò àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûå äâèæåíèÿ. Óñòîé÷èâîå íåâîçìóùåííîå äâèæåíèåx=0íàçûâàþò àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷è-âûì, åñëè âîçìóùåíèÿ â ëþáîé ìîìåíò íå òîëüêî îñòàþòñÿ â çàäàííûõ ìàëûõ ïðåäåëàõ,íî è ïðè íåîãðàíè÷åííîì ðîñòå âðåìåíè, óáûâàþò äî íóëÿ:ïðè|xo | < δ, |x(t)| < , lim |x(t)| → 0.t→∞Òàêèì îáðàçîì, î õàðàêòåðå óñòîé÷èâîñòè íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ ñóäÿò ïî ïîâåäåíèþ âîçìóùåíèé.3◦Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ.Äëÿ ãåîìåòðè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè ïîíÿòèé óñòîé÷èâîñòè è àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé-÷èâîñòè íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ ñèñòåìû ðàññìîòðèì ìíîãîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî âîç-Em (x), â êîòîðîì êîîðäèíàòàìè èçîáðàæàþùåé òî÷êè P ñëóæàò âîçìóùåíèÿEm (x) íåâîçìóùåííîìó äâèæåíèþ ñîîòâåòñòâóåò íà÷àëî îòñ÷åòà O(x = 0).ìóùåíèéx.ÂÐèñ.
121Ðèñ. 122Åñëè íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå óñòîé÷èâî, òî ëþáàÿ òðàåêòîðèÿ èçîáðàæàþùåé òî÷êè, íà÷àâøàÿñÿ âíóòðèîêðåñòíîñòè òî÷êè(ò.å. âO)-îêðåñòíîñòèm-ìåðíîãîêóáà ñ öåíòðîì â òî÷êåOè ðåáðîì2δ(ò.å. âáóäåò öåëèêîì íàõîäèòüñÿ âíóòðè òàêîãî æå êóáà ñ ðåáðîìòî÷êèO)δ2(Ðèñ.121). Åñëè æå íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå óñòîé÷è-δ-îêðåñòíîñòè, íî ñíåîãðàíè÷åííûì ðîñòîì âðåìåíè àñèìïòîòè÷åñêè ïðèáëèæàþòñÿ ê òî÷êå O (Ðèñ.122).Ïðè íåóñòîé÷èâîì äâèæåíèè x = 0, èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà, áóäó÷è â íà÷àëå δ -îêðåñòíîñòè,ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ïîêèäàåò íå òîëüêî δ -îêðåñòíîñòü, íî è -îêðåñòíîñòü òàêæå.âî àñèìïòîòè÷åñêè, òî âñå òðàåêòîðèè èçîáðàæàþùåé òî÷êè, íà÷èíàþùèåñÿ âíóòðèîêðåñòíîñòè íà÷àëà4◦O,â äàëüíåéøåì íå òîëüêî îñòàþòñÿ âíóòðèÓñëîâíàÿ óñòîé÷èâîñòü. êà÷åñòâå ôóíêöèéy(t),äëÿ êîòîðûõ íàïèñàíà èñõîäíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé, íà-ðÿäó ñ ïåðåìåííûìè Ëàãðàíæà èëè Ãàìèëüòîíà, ìîãóò áûòü âçÿòû òîëüêî ÷àñòü ýòèõ125îïðåäåëÿþùèõ âåëè÷èí èëè, â áîëåå îáùåì ñìûñëå, íåêîòîðûå ôóíêöèè ýòèõ âåëè÷èí,ÿâëÿþùèåñÿ õàðàêòåðèñòèêàìè äâèæåíèÿ:y = y(t, q, q̇), m ≤ 2n,è îáñóæäàòüñÿ âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ ïî îòíîøåíèþ ê ýòèì õàðàêòåðèñòèêàì.
Ïðè ýòîì ÿñíî, ÷òî íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå ìîæåò áûòü óñòîé÷èâûì ïî îòíîøåíèþ ê îäíèì õàðàêòåðèñòèêàì, è íåóñòîé÷èâûì ïî îòíîøåíèþ ê äðóãèì.Îòìåòèì, ÷òî óñòîé÷èâîñòü â ñìûñëå Ëÿïóíîâà ñîäåðæèò âåñüìà ñèëüíûå òðåáîâàíèÿ.  ðÿäå ñëó÷àåâ ýòè òðåáîâàíèÿ öåëåñîîáðàçíî íåñêîëüêî îñëàáèòü. Âîçìîæíûñëó÷àè, êîãäà íåëüçÿ íàéòè òðåáóåìîå δ , åñëè ðàññìàòðèâàòü ëþáûå âîçìîæíûå âîçìóooùåíèÿ (x1 , . . . , xm ) è òàêîå δ óêàçàòü ìîæíî, åñëè íà íà÷àëüíûå âîçìóùåíèÿ íàëîæèòüíåêîòîðûå îãðàíè÷åíèÿ âèäàF (xo1 , . .
. , xom ) = 0òîæäåñòâåííî óäîâëåòâîðÿþùèåñÿ ïðèF (xo1 , . . . , xom ) > 0,èëèxo1 = . . . = xom = 0. ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò îáóñëîâíîé óñòîé÷èâîñòè. ÷àñòíîñòè, äâèæåíèå ïî êðóãîâîé îðáèòå, íåóñòîé÷èâîå ïî îòíîøåíèþ ê äåêàðòîâûì êîîðäèíàòàì, áóäåò óñòîé÷èâûì ïî îòíîøåíèþ ê íèì, åñëè âîçìóùåíèÿ áóäóòóäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ ïîñòîÿíñòâà ýíåðãèè òî÷êè. Òàêèì îáðàçîì, â êëàññå íåóñòîé÷èâûõ äâèæåíèé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ïîäêëàññ óñëîâíî óñòîé÷èâûõ äâèæåíèé.Òåîðèþ Ëÿïóíîâà óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ ìîæíî ïðèìåíÿòü òàêæå ê ðàçëè÷íûìïðîöåññàì íåìåõàíè÷åñêîé ïðèðîäû, îïèñûâàåìûõ ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.721◦Óñòîé÷èâîñòü äâèæåíèÿ.Ïðÿìîé ìåòîä Ëÿïóíîâà.Óñòîé÷èâîñòü íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïîâåäåíèåì âîçìóùåíèé â åãîîêðåñòíîñòè.
Èíòåãðèðîâàíèå æå óðàâíåíèé âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ è èññëåäîâàíèåèõ ðåøåíèé çà÷àñòóþ çàòðóäíåíî. Ïîýòîìó ïðè ðàññìîòðåíèè óñòîé÷èâîñòè ïðåäïî÷òèòåëüíû ìåòîäû, íå èñïîëüçóþùèå ýòè îïåðàöèè. Ê èõ ÷èñëó îòíîñèòñÿ òàê íàçûâàåìûéïðÿìîé ìåòîä Ëÿïóíîâà.
Îí ñîñòîèò â îòûñêàíèè íåêîòîðîé ôóíêöèè âðåìåíè è âîçìóùåíèé è â èçó÷åíèè ñâîéñòâ åå ïðîèçâîäíîé.2◦Ôóíêöèè Ëÿïóíîâà. îêðåñòíîñòè íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ íà÷àëàíîì èíòåðâàëå, òî åñòü â îáëàñòèOè íà ïîëóáåñêîíå÷íîì âðåìåí-D:|xk | < ∆, t ≥ to(k = 1, . . . , m)áóäåì ðàññìàòðèâàòü òàê íàçûâàåìûå ôóíêöèè Ëÿïóíîâà(72.1)V (t, x), êîòîðûå òàì îäíîçíà÷x = 0: V (t, x) = 0.íû, íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû è îáðàùàþòñÿ â íóëü â íà÷àëåÔóíêöèÿV (t, x) = 0â îáëàñòèDçíàêîïîñòîÿííà, åñëè îíà ìîæåò ïðèíèìàòü çíà-÷åíèÿ òîëüêî îäíîãî çíàêà, è çíàêîïåðåìåííà, åñëè îíà ìîæåò ïðèíèìàòü êàê ïîëîP 22æèòåëüíûå, òàê è îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Íàïðèìåð, V = txk çíàêîïîñòîÿííàÿk126x2k çíàêîïîñòîÿííàÿ îòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèè; ôóíêöèÿkPæå V = txk çíàêîïåðåìåííàÿ.kÇíàêîïîñòîÿííóþ ôóíêöèþ êîîðäèíàò W (x), îáðàùàþùóþñÿ â íóëü â îáëàñòè DV = −etïîëîæèòåëüíàÿ, àPòîëüêî â íà÷àëå îòñ÷åòà x = 0: W (0) = 0, íàçûâàþò çíàêîîïðåäåëåííîé. Íàïðèìåð,Pôóíêöèÿ V =ak x2k çíàêîîïðåäåëåííàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ïðè ak > 0 è çíàêîîïðåäåkëåííàÿ îòðèöàòåëüíàÿ ïðè ak < 0.Çíàêîïîñòîÿííóþ ôóíêöèþ âðåìåíè è êîîðäèíàòDâ íóëü ïðè ëþáîì âðåìåíè òîëüêî ïðèx = 0,V (t, x),îáðàùàþùóþñÿ â îáëàñòèíàçûâàþò çíàêîîïðåäåëåííîé, åñëè äëÿíåå ñóùåñòâóþò çíàêîîïðåäåëåííàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàòâ îáëàñòèDV (t, x) − W (x) ≥ 0Íàïðèìåð,W (x) òàêàÿ, ÷òîáóäåò ïîëîæèòåëüíîé èëè ðàâíîé íóëþ îäíà èç ðàçíîñòåé− V (t, x) − W (x) ≥ 0.(72.2)x2k áóäåò çíàêîîïðåäåëåííîé ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèåé, òàê êàê äëÿkPW = x2k , òîãäà â D ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîV = etíåå ìîæíî âçÿòüèëèPkV (t, x) − W (x) = (et − 1)Xx2k ≥ 0.kV (t, x) äîïóñêàåò áåñêîíå÷íî ìàëûé âûñøèéδ > 0 òàêîå, ÷òî â îáëàñòè t > to , |xk | < δ ôóíêöèÿ V|V (t, x)| < .Ôóíêöèÿ âðåìåíè è êîîðäèíàòåñëè äëÿ>0íàéäåòñÿòâîðÿåò íåðàâåíñòâóïðåäåë,óäîâëå-Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòîìó òðåáîâàíèþ óäîâëåòâîðÿåò âñÿêàÿ íåçàâèñÿùàÿ îò âðåìåíèíåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ.
×òî êàñàåòñÿ çàâèñèìîé îò âðåìåíè ôóíêöèè, òî îíà ìîæåò áûòüîãðàíè÷åííîé, íî íå äîïóñêàòü áåñêîíå÷íî ìàëîãî âûñøåãî ïðåäåëà. Ïðèìåðîì ìîæåòñëóæèòü ôóíêöèÿV (t, x) = sin(x1 + . . . + xm )t.Ðàññìîòðèì äâå òåîðåìû Ëÿïóíîâà.3◦Òåîðåìà îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ.Ñïðàâåäëèâà òåîðåìà: "Åñëè äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿdxk= Xk (t, x) (k = 1, . . . , m)dtäîïóñêàþò ñóùåñòâîâàíèå çíàêîîïðåäåëåííîé â îáëàñòèD(72.3)ôóíêöèèV (t, x),ïðîèçâîä-íàÿ ïî âðåìåíè êîòîðîé, âû÷èñëåííàÿ â ñèëó ýòèõ óðàâíåíèéV 0 (t, x) =X ∂VdV∂V=Xk +,dt∂xk∂tk(72.4)D ôóíêöèåé ïðîòèâîïîëîæíîãî ñ V çíàêà èëè òîæäåñòâåííîðàâíà íóëþ, òî íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå x = 0 óñòîé÷èâî."Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü â D ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà V (t, x) çíàêîîïðåäåëåííàÿ ïîëîæè0òåëüíàÿ, à åå ïðîèçâîäíàÿ V (t, x) çíàêîïîñòîÿííàÿ îòðèöàòåëüíàÿ èëè òîæíåñòâåííîÿâëÿåòñÿ çíàêîïîñòîÿííîé âðàâíà íóëþ:V (t, x) ≥ W (t, x), W (x) > 0, V 0 (t, x) ≤ 0. > 0 òàêèì, ÷òî < ∆,-îêðåñòíîñòè: |x| = . ÏîñêîëüêóÂûáåðåì òåïåðüíà ãðàíèöå127è ðàññìîòðèì çíà÷åíèÿ ôóíêöèè(72.5)W (x)ýòà ãðàíèöà åñòü çàìêíóòîå ìíîæåñòâî,Wòî íåïðåðûâíàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ôóíêöèÿìèíèìóìàäîñòèãàåò íà íåé ñâîåãî ïîëîæèòåëüíîãîW∗ :W (x) ≥ W∗ > 0Ðàññìîòðèì äàëåå ôóíêöèþV (to , x).íà|xk | = .(72.6)Ïîñêîëüêó ýòà ôóíêöèÿ ÿâíî íå çàâèñèò îòW∗ > 0 íàéäåòñÿδ > 0 òàêîå, ÷òî â îáëàñòè t ≥ to , |xk | < δ áóäåò âûïîëíåíî V (to , x) < W∗ .
Î÷åâèäíî, ýòî0íåðàâåíñòâî áóäåò âûïîëíåíî è äëÿ |xk | < δ :âðåìåíè, îíà äîïóñêàåò áåñêîíå÷íî ìàëûé âûñøèé ïðåäåë, òî åñòü ïîVo = V (to , xo ) < W∗ .Ïî óñëîâèÿì òåîðåìû VdVèíòåãðèðîâàíèåì= V 0 ):dt0(72.7)(t, x) ≤ 0. Ñëåäñòâèåì ýòîãî áóäåò íåðàâåíñòâî (ïîëó÷àåìîåZtV 0 (t, x)dt ≤ 0.V − Vo =(72.8)toÑîîòíîøåíèÿ (72.5)-(72.8) ïðèâîäÿò ê îãðàíè÷åííîñòè ôóíêöèèW ≤ V ≤ Vo < W∗ .Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè äâèæåíèè íè îäíà èç êîîðäèíàòW:(72.9)xkíå ìîæåò âîçðàñòè äî, èáî íà ãðàíèöå -îêðåñòíîñòè W ≥ W∗ ; òî åñòü äëÿ ëþáîãî ìîìåíòàt áóäåò |x(t)| < , à ýòî è îçíà÷àåò óñòîé÷èâîñòü äâèæåíèÿ. Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿ0ñëó÷àé, êîãäà V çíàêîîïðåäåëåííàÿ îòðèöàòåëüíàÿ, à V çíàêîïîñòîÿííàÿ ïîëîæè-çíà÷åíèÿ, ðàâíîãîòåëüíàÿ ôóíêöèè. Òåîðåìà äîêàçàíà.4◦Òåîðåìà îá àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè.Åñëè äëÿ óðàâíåíèé âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ ìîæíî íàéòè ôóíêöèþ Ëÿïóíîâà, îá-ëàäàþùóþ ïî ñðàâíåíèþ ñ îáû÷íîé óñòîé÷èâîñòüþ íåêîòîðûìè äîïîëíèòåëüíûìè ñâîéñòâàìè, òî äâèæåíèå áóäåò àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.Ñïðàâåäëèâà òåîðåìà: "Åñëè äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿV (t, x), äîïóñêàþùóþ áåñêîíå÷0îò êîòîðîé V (t, x), âçÿòàÿ â ñèëóòàêîâû, ÷òî ìîæíî íàéòè çíàêîîïðåäåëåííóþ ôóíêöèþíî ìàëûé âûñøèé ïðåäåë, ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíèäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ, ÿâëÿåòñÿ çíàêîîïðåäåëåííîéôóíêöèåé ïðîòèâîïîëîæíîãî ñVçíàêà, òî íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå óñòîé÷èâî àñèìï-òîòè÷åñêè."Äîêàçàòåëüñòâî â îáùèõ ÷åðòàõ àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó.Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìû Ëÿïóíîâà ïîçâîëÿþò ñóäèòü îá óñòîé÷èâîñòè èëè àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ, åñëè íàéäåíà ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà.
Àëãîðèòìà äëÿïîñòðîåíèÿ ýòîé ôóíêöèè òåîðåìû íå äàþò, òàê ÷òî ýòîò âîïðîñ ðåøàåòñÿ òâîð÷åñêèìïîèñêîì èññëåäîâàòåëÿ. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî îãðàíè÷èâàåò ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå òåîðåìû, îäíàêî ñ ïîìîùüþ ýòèõ òåîðåì óñòàíàâëèâàåòñÿ è ðÿä äðóãèõ òåîðåòè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ.5◦Óñòîé÷èâîñòü èíåðöèîííûõ ñôåðè÷åñêèõ äâèæåíèé òåëà.Ïðèìåíèìîñòü ôóíêöèè Ëÿïóíîâà äëÿ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ ïðîèë-ëþñòðèðóåì íà ïðèìåðå èíåðöèîííîãî ñôåðè÷åñêîãî äâèæåíèÿ òåëà âîêðóã íåïîäâèæ-128íîãî öåíòðà ìàññ.  ýòîì ñëó÷àå äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèå Ýéëåðà â ïðîåêöèÿõ íà ñîïóòñòâóþùèå îñè êîîðäèíàòCy1 y2 y3 ãëàâíûå öåíòðàëüíûå îñè èíåðöèè èìåþò âèä:1J1 dω= (J2 − J3 )ω2 ω3 ,dt2= (J3 − J1 )ω3 ω1 ,J2 dωdt(72.10)3J3 dω= (J1 − J3 )ω1 ω2 ,dtãäåωk êîìïîíåíòû óãëîâîé ñêîðîñòè, àJk îñåâûå ìîìåíòû èíåðöèè.Ðàññìîòðèì óñòîé÷èâîñòü äâèæåíèé òåëà ïî îòíîøåíèþ ê êîìïîíåíòàì óãëîâîé ñêîðîñòè, ïîëàãàÿω1 = y1 , ω2 = y2 , ω3 = y3 .Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñèñòåìà (72.10) äîïóñêàåòðåøåíèåω1 = ω1o = const, ω2 = 0, ω3 = 0,îïðåäåëÿþùåå âðàùåíèå âîêðóã ãëàâíîé îñèâîçìóùåíèÿx1 , x 2 , x 3Cy1 .(72.11)Èññëåäóåì åãî óñòîé÷èâîñòü.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
