1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Òåî-ðåìà äîêàçàíà.Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà: "Åñëè õîòÿ áû îäèí êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ èìååò ïîëîæèòåëüíóþ äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü, òî íóëåâîå ðåøåíèå íåëèíåéíîé ñèñòåìû íåóñòîé÷èâî".1395◦Êðèòåðèé àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè.Âûøå óñòàíîâëåíî, ÷òî â ñòàöèîíàðíîì ñëó÷àå íóëåâîå ðåøåíèå íåëèíåéíûõ óðàâ-íåíèé äëÿ âîçìóùåíèé àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî, åñëè âñå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãîóðàâíåíèÿ ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ∆(λ) = a0 λm + a1 λm−1 + . .
. + am−1 λ + am = 0, a0 > 0(75.24)èìåþò îòðèöàòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè. Îòñþäà ÿñíà ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòüêðèòåðèåâ, ïðè êîòîðûõ èìååò ìåñòî îòìå÷åííîå ñâîéñòâî êîðíåé. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå:00Íåîáõîäèìûì óñëîâèåì îòðèöàòåëüíîñòè äåéñòâèòåëüíûõ ÷àñòåé êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîñòü åãî êîýôôèöèåíòîâa1 > 0, a2 > 0, . . . , am > 0 00 .(75.25)Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü â óðàâíåíèè (75.24) d êîðíåé λk (k = 1, . . . , d) âåùåñòâåííû êîìïëåêñíî ñîïðÿæåíû, ïðè÷åì èõè m − d êîðíåé λe = re ± isee = 1, . . .
, m−d2äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè îòðèöàòåëüíû:λk < 0 (k = 1, . . . , d), re < 0Òîãäà äëÿ ìíîãî÷ëåíà∆(λ)∆(λ) = a0m−de = 1, . . . ,2.(75.26)áóäåò ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèåQ(λ − λk )Q(λ − re − ise ) (λ − re + ise ) =ek(75.27)= a0Q(λ − λk )kQ2(λ − 2λre +re2+s2e ) .e ñèëó íåðàâåíñòâ (75.26) êàæäûé ìíîæèòåëü â (75.27) èìååò ïîëîæèòåëüíûå êîýôôèöèåíòû, ïîýòîìó áóäóò ïîëîæèòåëüíû êîýôôèöèåíòû è ïîëèíîìà∆(λ).Ïðåäëîæåíèåîáîñíîâàíî.×òî êàñàåòñÿ íåîáõîäèìûõ è äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé "óñòîé÷èâîñòè"ìíîãî÷ëåíà∆(λ),òî îíè óñòàíàâëèâàþòñÿ áîëåå ñëîæíûì ïóòåì, è èìåþò ñëåäóþùèé âèä.Óñëîâèÿ Ðàóñà-Ãóðâèöà: "×òîáû âñå êîðíè óðàâíåíèÿ∆(λ) = 0 èìåëè îòðèöàòåëüíûåäåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè, íåîáõîäèìà è äîñòàòî÷íà ïîëîæèòåëüíîñòü ñëåäóþùèõ îïðåäåëèòåëåé Ãóðâèöà, ñîñòàâëåííûõ èç êîýôôèöèåíòîâ ýòîãî óðàâíåíèÿ": a∆1 = a1 > 0, ∆2 = 1a2a3 >0,...,∆=ma2a1 a3 a5 .
. . a2m−1a0 a2 a4 . . . a2m−20 a1 a3 . . . a2m−3...........000...Ïðè ýòîì, åñëè â îïðåäåëèòåëå ïîÿâëÿåòñÿ êîýôôèöèåíòap....am > 0.ñ èíäåêñîì, áîëüøèì(75.28)m (p >m), òî åãî ñëåäóåò çàìåíèòü íóëåì. Ïðè ÷èñëîâûõ êîýôôèöèåíòàõ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãîóðàâíåíèÿ óñëîâèÿ (75.28) ëåãêî ïðîâåðÿþòñÿ.
Çàòðóäíåíèÿ âîçíèêàþò â ñëó÷àÿõ, êîãäàêîýôôèöèåíòû ñîäåðæàò ïàðàìåòðû, ïðè âû÷èñëåíèè îïðåäåëèòåëåé âûñîêîãî ïîðÿäêà.Ïðåäñòàâëÿþò ïîýòîìó èíòåðåñ áîëåå ïðîñòûå óñëîâèÿ (ñîäåðæàùèå ìåíüøå äåòåðìèíàíòíûõ íåðàâåíñòâ), íàçûâàåìûå óñëîâèÿìè Ëüåíàðà-Øèïàðà: "×òîáû âñå êîðíè óðàâ-∆(λ) = 0 èìåëè âñå êîðíè ñ îòðèöàòåëüíûìè âåùåñòâåííûìè ÷àñòÿìè, íåîáõîäèìîäîñòàòî÷íî, ÷òîáû âñå êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ ∆(λ) = 0 áûëè ïîëîæèòåëüíûíåíèÿèa1 > 0, a2 > 0, . . . , am > 0,140(75.29)è áûëè âûïîëíåíû äåòåðìèíàíòíûå íåðàâåíñòâà∆m−1 > 0, ∆m−3 > 0, . .
. ,ãäå, êàê è ðàíåå, ÷åðåç∆k(75.30)îáîçíà÷åí îïðåäåëèòåëü Ãóðâèöà ïîðÿäêàk".Ìàëûå êîëåáàíèÿ.Òåîðèÿ ìàëûõ êîëåáàíèé ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåííîé òåîðèåé, îïèñûâàþùåé äâèæåíèåìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì âáëèçè óñòîé÷èâîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ èëè óñòîé÷èâîãî äâèæåíèÿ. Îíà èìååò ïåðâîñòåïåííîå çíà÷åíèå âî ìíîãèõ îáëàñòÿõ íàóêè è òåõíèêè. Íà÷àëî ðàçâèòèÿ ñîâðåìåííîé òåîðèè êîëåáàíèé ñâÿçàíî ñ ðàáîòàìè Ãþéãåíñà, Íüþòîíà,Ëàãðàíæà. Òåïåðü ýòî øèðîêî ðàçâèòàÿ òåîðèÿ ñ ìíîãî÷èñëåííûìè ïðèëîæåíèÿìè. Âîñíîâå òåîðèè ëåæàò ïðèáëèæåííûå ìåòîäû îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ.
Ïðåäïîëîæåíèå î ìàëîñòè âîçìóùåíèé ïîçâîëÿåò ëèíåàðèçîâàòü îáùèå íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ, ñâåäÿ èõ êëèíåéíûì óðàâíåíèÿì, ÷òî ñóùåñòâåííî óïðîùàåò èññëåäîâàíèå çàäà÷è.76Ìàëûå êîëåáàíèÿ êîíñåðâàòèâíûõ ñèñòåì.Áóäåì ðàññìàòðèâàòü äâèæåíèå êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû â îêðåñòíîñòè óñòîé÷èâîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Óñòàíîâèì ëèíåàðèçîâàííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé äâèæåíèÿ èïîêàæåì, ÷òî îíà îïðåäåëÿåò ìàëûå êîëåáàíèÿ.1◦Óðàâíåíèÿ ìàëûõ êîëåáàíèé.Ïîëàãàåì, ÷òî â ïîëîæåíèè óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ ðàâíû íóëþ îáîáùåííûå êîîð-äèíàòû è ñêîðîñòè:q = 0, q̇ = 0.Òîãäà, ïî îïðåäåëåíèþ óñòîé÷èâîñòè, ýòè âåëè÷èíûîñòàþòñÿ ìàëûìè â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè|q(t)| < , |q̇(t)| < .Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîç-âîëÿåò ñîõðàíèòü â óðàâíåíèÿõ Ëàãðàíæà âòîðîãî ðîäà òîëüêî ÷ëåíû, ëèíåéíûå îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàò è ñêîðîñòåé, îòáðîñèâ äðóãèå ìàëûå ÷ëåíû áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà.Òå æå ëèíåàðèçîâàííûå óðàâíåíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü áîëåå ïðîñòûì ïóòåì, åñëè ïðåäâàðèòåëüíî óïðîñòèòü âûðàæåíèå êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèé, à çàòåì ïîíèì ñîñòàâèòü îáû÷íûå ëàãðàíæåâû óðàâíåíèÿ.
Ýòè ýíåðãèè äëÿ êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû ñnñòåïåíÿìè ñâîáîäû îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç êîîðäèíàòû è ñêîðîñòè â âèäåT =1Xars (q)q̇r q̇s , Π = Π(q),2 rs(76.1)ars (q), Π(q) ãîëîìîðôíûå ôóíêöèè. Ïðåäñòàâèì T è Π â êâàäðàòè÷íîì ïðèáëèæåíèè ïî q è q̇ , ïîëàãàÿ, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ îáðàùàåòñÿâ íóëü: Π(0) = 0.Ðàçëàãàÿ â ðÿäû êîýôôèöèåíòû â êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ars , è îãðàíè÷èâàÿñü äëÿãäåíèõ íóëåâûì ïðèáëèæåíèåìars (q) =aors+X ∂ars t∂qtqt + .
. . ≈ aors = const (r, s = 1, . . . , n),0T ðàâíà1X oT ≈ T∗ (q̇) =a q̇r q̇s .2 r,s rsóñòàíîâèì, ÷òî â êâàäðàòè÷íîì ïðèáëèæåíèè141(76.2)Ðàçëîæèì â ðÿä ïî ñòåïåíÿì êîîðäèíàò è ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ â îêðåñòíîñòèíà÷àëà îòñ÷åòàΠ = Π0 +X ∂Π ∂qrr1Xqr +2 r,s0∂ 2Π∂qr ∂qsqr qs + . . . .0Ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ è îïðåäåëåíèþ ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿΠ0 = 0,∂Π∂qr= −Q0r = 0 (r = 1, . . . , n),0òî â êâàäðàòè÷íîì ïðèáëèæåíèè ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ áóäåò ïðèáëèæåííî ðàâíà1X oΠ ≈ Π∗ (q) =c qr qs , crs =2 r,s rs∂Π∂qr ∂qs.(76.3)0Òàêèì îáðàçîì, êèíåòè÷åñêàÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèè ïðèáëèæåííî ïðåäñòàâèìûâ âèäå êâàäðàòè÷íûõ ôîðì ñ ïîñòîÿííûìè ñèììåòðè÷íûìè ìàòðèöàìè êîýôôèöèåíòîâaors = aosr , crs = csr (r, s = 1, .
. . , n).Èç ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ñëåäóåò, ÷òî T∗ > 0 (T∗ = 0 òîëüêîP oïðè q̇ = 0), ñëåäîâàòåëüíî, êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà 2T∗ =ars q̇r q̇s ïîëîæèòåëüíî îïðåäår,sP2Π∗ =crs qr qs , òî åå ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäår,sëåííîñòü ñëåäóåò èç íàëè÷èÿ ìèíèìóìà â íà÷àëå îòñ÷åòà è ðàâåíñòâà å¼ íóëþ â ýòîìëåíà. ×òî êàñàåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ôîðìûíà÷àëå.Ïîëüçóÿñü âûðàæåíèÿìè (76.2) è (76.3) äëÿT∗èΠ∗ , óñòàíàâëèâàåì, ÷òî ïðèáëèæåí-íûå ëàãðàíæåâû óðàâíåíèÿ â ýòîì ñëó÷àåd ∂T∗ ∂Π∗+= 0 (k = 1, .
. . , n)dt ∂ q̇k∂qk(76.4)ïðèíèìàþò âèä ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèéX(aokl q̈k + ckl ql ) = 0 (k = 1, . . . , n).(76.5)l ýòèõ óðàâíåíèÿõ âåëè÷èíûaklíàçûâàþò èíåðöèîííûìè êîýôôèöèåíòàìè, àckl êîýôôèöèåíòàìè æåñòêîñòè. Ïåðâûå èç íèõ îïðåäåëÿþò èíåðöèîííûå, à âòîðûå êâàçèóïðóãèå ñâîéñòâà ñèñòåìû.Çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ äâèæåíèÿ â îêðåñòíîñòè óñòîé÷èâîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ,òàêèì îáðàçîì, ñâåëàñü ê èññëåäîâàíèþ ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïîêàæåì, ÷òî ýòè óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿþò ìàëûåêîëåáàíèÿ.2◦Ãëàâíûå êîëåáàíèÿ.Ââîäÿ â ðàññìîòðåíèå êâàäðàòíûå ìàòðèöû(ckl ), ~q = (ql ),A, Cè âåêòîð-ñòîëáåö~q : A = (aokl ), C =çàïèøåì äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ (76.5) â ìàòðè÷íîé ôîðìåA~q¨ + C~q = 0.142(76.6) ñèëó ëèíåéíîñòè ýòîé ñèñòåìû åå îáùåå ðåøåíèå ïðåäñòàâèìî â âèäå ëèíåéíîéêîìáèíàöèè íåçàâèñèìûõ ÷àñòíûõ ðåøåíèé.
×àñòíûå ðåøåíèÿ îòûñêèâàåì â âèäå~q = ~u sin(kt + ν), ~u = (ul ) = const, k = const, ν = const,ãäå~u âåêòîð-ñòîëáåö ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè, àkèν(76.7) ïàðàìåòðû; òî åñòü~qïðåäñòàâëåíû â âèäå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ñ ðàçëè÷íûìè àìïëèòóäàìè, íî ñ îäíèìèè òåìè æå äëÿ âñåõ êîîðäèíàò ÷àñòîòîé è ôàçîé.Ïîäñòàíîâêà âûðàæåíèé (76.7) â óðàâíåíèÿ (76.6) ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåé ñèñòåìåàëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé äëÿ àìïëèòóä è ÷àñòîòû:(C − λA)~u = 0, λ = k 2 .(76.8)Ïîñêîëüêó îòûñêèâàåòñÿ íåíóëåâîå ðåøåíèå ñèñòåìû (76.8), äîëæåí îáðàùàòüñÿ âíóëü åå îïðåäåëèòåëüdet(C − λA) = 0.(76.9)Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åíî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèåìn-ãî ïîðÿäêà, ñëóæàùèì äëÿ íàõîæäåíèÿ ÷àñòîò.
Ñâîéñòâà êîðíåéýòîãî óðàâíåíèÿ âûðàæàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:"Êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (76.9) âåùåñòâåííû è ïîëîæèòåëüíû".λÄîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü êîìïëåêñíûé êîðåíü. Òîãäà åìó, ñîãëàñíî (76.8) áóäåòñîîòâåòñòâîâàòü àìïëèòóäíûé âåêòîð-ñòîëáåö~uñ êîìïëåêñíûìè ýëåìåíòàìèul ,îïðå-äåëÿåìûìè èç ñèñòåìûX(ckl − λaokl )ul = 0 (k = 1, . . . , n).(76.10)lÓìíîæèì êàæäîå èç ýòèõ óðàâíåíèé íà ñîîòâåòñòâóþùèé ýëåìåíòñîïðÿæåííûé ýëåìåíòóλ,ukūk ,êîìïëåêñíî-è ïðîñóììèðóåì ðåçóëüòàòû.  èòîãå ïîëó÷èì óðàâíåíèå äëÿîïðåäåëÿþùåå åãî â âèäåX(ckl −λaokl )ul ūkklPckl ūk ul.= 0, λ = P 0akl ūk ul(76.11)Ïåðåõîäÿ â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè ê ñîïðÿæåííûì âåëè÷èíàì, èìåÿ â âèäó âåùåñòâåííîñòü ìàòðèöAèC,ïîëó÷èìPckl uk ūlλ̄ = P 0.akl uk ūl(76.12) ñèëó ñèììåòðèè ìàòðèö ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâàXa0kl ūk ul =Xa0kl uk ūl ,Xckl ūk ul =ïîýòîìó èç âûðàæåíèé (76.11) è (76.12) ñëåäóåò óñëîâèåXckl uk ūl ,λ = λ̄,âûðàæàþùåå äåéñòâè-òåëüíîñòü êîðíåé.λ ñèñòåìà (76.10) îïðåäåëÿåò âåùåñòâåííûé àìïëèòóäíûéūk = uk (k = 1, .
. . , n). Íî òîãäà èç (76.11) ñ ó÷åòîì ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåí-Äëÿ âåùåñòâåííîãî êîðíÿâåêòîðíîñòè ôîðìXaokl uk ul > 0,ñëåäóåò ïîëîæèòåíëüíîñòü ýòîãî êîðíÿ:Xλ > 0.143ckl uk ul > 0Òåîðåìà äîêàçàíà.n ïîëäîæèòåëüíûõ êîðλ1 , . . . ,√λn . Êàæäîìó êîðíþ λr ñîîòâåòñòâóåò äåéñòâèòåëüíàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ÷àñòîòà kr =λr , íàçûâàåìàÿ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé ñèñòåìû (ïîýòîìó âåêîâîå óðàâíåíèåíàçûâàþò åùå óðàâíåíèåì ÷àñòîò), è äåéñòâèòåëüíûé àìïëèòóäíûé âåêòîð ~u r , îïðåäåÒàêèì îáðàçîì, õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (76.9) èìååòíåéëÿåìûé óðàâíåíèåì(C − λr A)~u r = 0 (èëèX(ckl − λr aokl )url = 0 (k = 1, . .
. , n))(76.13)lïî ôîðìóëàì âèäàëèòåëÿ|C − λr A|,url = Cr ∆l (λr ) (l = 1, . . . , n), Cr = const,ãäå∆l (λr ) ìèíîð îïðåäå-è òåì ñàìûì, ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (76.6) èìååò âèä:~q r = ~u r sin(kr t + νr ), kr =pλr .(76.14)Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé, êîãäà âñå êîðíè óðàâíåíèÿ ÷àñòîò ðàçëè÷íû. Ïîêàæåì,÷òî ïðè ýòîì âñån÷àñòíûõ ðåøåíèé âèäà (76.14) áóäóò íåçàâèñèìû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
