1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Ââîäÿñîãëàñíî ôîðìóëàìω1 = ω1o + x1 , ω2 = x2 , ω3 = x3è èñïîëüçóÿ ñèñòåìó (72.10), äëÿ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ áóäåì èìåòüdx1dt=J2 −J3x 2 x3 ,J1dx2dt=J3 −J1x3 (ω1oJ2+ x1 ),dx3dt=J1 −J2x2 (ω1oJ3+ x1 ).(72.12)Óðàâíåíèÿ äîïóñêàþò ñëåäóþùèå èíòåãðàëû. Óìíîæèâ âòîðîå óðàâíåíèå íàJ1 )2x2 ,òðåòüå íàJ3 (J3 − J1 )2x3J2 (J2 −è ñëîæèâ ðåçóëüòàòû, íàéäåìJ2 (J2 − J1 )2x2dx2dx3+ J3 (J3 − J1 )2x3=dtdt= [(J2 − J1 )(J3 − J1 ) + (J3 − J1 )(J1 − J2 )]2x3 x2 (ω1o + x1 ) = 0.Ïðåäñòàâèâ ýòî ñîîòíîøåíèå â âèäåd[J2 (J2 − J1 )x22 + J3 (J3 − J1 )x23 ] = 0dtè èíòåãðèðóÿ ïî âðåìåíè, ïîëó÷èì èíòåãðàëJ2 (J2 − J1 )x22 + J3 (J3 − J1 )x23 = C1 = const.Àíàëîãè÷íî, ïîñëå óìíîæåíèÿ ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàòðåòüåãî íà2J3 x32J1 (ω1o + x1 ), âòîðîãî íà 2J2 x2 ,è ñëîæåíèÿ ðåçóëüòàòîâ, áóäåì èìåòü2J1 (ω1o + x1 )dx2dx3dx1+ 2J2 x2+ 2J3 x3=dtdtdt= [(J2 − J3 ) + (J3 − J1 ) + (J1 − J2 )]2x3 x2 (ω1o + x1 ) = 0.Çàïèñàâ ýòî ðàâåíñòâî â âèäåd[J2 (ω1o + x1 )2 + J2 x22 + J3 x23 ] = 0dt129è èíòåãðèðóÿ ïî âðåìåíè, íàéäåì äðóãîé èíòåãðàëJ2 (ω1o + x1 )2 + J2 x22 + J3 x23 = C20 = const,êîòîðûé ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåJ1 x21 + J2 x22 + J3 x23 + 2J1 ω1o x1 = C2Ïóñòü îñüCy1(C2 = C20 − J1 ω1o 2 ).ñëóæèò îñüþ íàèìåíüøåãî ìîìåíòà èíåðöèè, òî åñòüJ1 < J2 , J1 < J3 .Âîçüìåì ôóíêöèþ Ëÿïóíîâà â âèäå ñëåäóþùåé êîìáèíàöèè èíòåãðàëîâ:V (x) = J2 (J2 − J1 )x22 + J3 (J3 − J1 )x23 + (J1 x21 + J2 x22 + J3 x23 + 2J1 ω1o x1 )2 .(72.13)Ýòà ôóíêöèÿ çíàêîîïðåäåëåííàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ.
Ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè îò ôóíêöèè â ñèëó óðàâíåíèé (72.12) âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ:V0 =Èòàê, ôóíêöèÿVdVd= (C1 + C22 ) = 0.dtdtóäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû Ëÿïóíîâà îá óñòîé÷èâîñòè äâè-æåíèÿ, ñëåäîâàòåëüíî, âðàùåíèå (72.11) óñòîé÷èâî.Åñëè ïðèíÿòü, ÷òîJ1 > J2 , J1 > J3 , òî, áåðÿ â êà÷åñòâå ôóíêöèè Ëÿïóíîâà ôóíêöèþ(72.13) ñ èçìåíåííûìè çíàêàìè ïåðåä ïåðâûì è âòîðûìè ÷ëåíàìè, âíîâü ïðèäåì ê òîìóæå ðåçóëüòàòó. Òàêèì îáðàçîì, âðàùåíèå òåëà âîêðóã îñåé íàèìåíüøåãî èëè íàèáîëüøåãî ìîìåíòà èíåðöèè óñòîé÷èâû.
×òî êàñàåòñÿ âðàùåíèé âîêðóã îñè ñðåäíåãî ìîìåíòàèíåðöèèOy1 ,òî åñòü ïðèJ2 < J1 < J3èëèJ3 < J1 < J2 ,òî îíî áóäåò íåóñòîé÷èâî. Ýòîòðåçóëüòàò óñòàíàâëèâàåòñÿ äðóãèì ïóòåì (íà îñíîâå ðåçóëüòàòîâ ×àòàåâà).731◦Óñòîé÷èâîñòü ðàâíîâåñèÿ.Ïîñòàíîâêà çàäà÷è.Ðàâíîâåñèå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøèì âèäîì äâèæåíèÿ ñèñòåìû è ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ,êîãäà âî âñå âðåìÿ îïðåäåëÿþùèå âåëè÷èíû ñîõðàíÿþò ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ. Ïîýòîìóèçëîæåííûé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ ïðèìåíèì è ê ðàâíîâåñèþ.Îäíàêî, óñòîé÷èâîñòü ðàâíîâåñèÿ îáëàäàåò ðÿäîì îñîáåííîñòåé.Ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà ïîêîèòñÿ, åñëè îïðåäåëÿþùàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèédyk= Yk (t, y) (k = 1, .
. . , m)dt(73.1)äîïóñêàåò ïîñòîÿííîå ðåøåíèå, êîòîðîå áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü íóëåâûìyk = fk (t) = Ck = 0 (k = 1, . . . , m).(73.2)Äëÿ ýòîãî íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ âîçìóùåíèÿ ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿxk = y k − f k = y k(k = 1, . . . , m),è èñõîäíàÿ ñèñòåìà (73.1) ñîâïàäàåò ñ ñèñòåìîé óðàâíåíèé âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ.Ðàññìîòðèì êîíñåðâàòèâíóþ ñèñòåìó ñnñòåïåíÿìè ñâîáîäû è áóäåì îïðåäåëÿòü ååïîëîæåíèå îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè. Ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ130èç óñëîâèÿ îáðàùåíèÿ â íóëü îáîáùåííûõ ñèë, ðàâíûõ ïðîèçâîäíûì ïî êîîðäèíàòàì îòïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèèΠ(q):Qk = −∂Π= 0 (k = 1, .
. . , n).∂qk(73.3)q 1 = . . . = qn = 0V (0) = 0. Òîãäà âÏðè ýòîì ìîæíî ïîëàãàòü, ÷òî ðàâíîâåñèþ îòâå÷àåò íà÷àëî îòñ÷åòàè ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ â ýòîì ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ ðàâíà 0:ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ áóäóò òîæäåñòâåííî ðàâíû íóëþ âñå ïåðåìåííûå Ëàãðàíæà:qk = 0, q̇k = 0 (k = 1, . . . , n).(73.4)Áóäåì ðàññìàòðèâàòü óñòîé÷èâîñòü ïî îòíîøåíèþ ê êîîðäèíàòàì è ñêîðîñòÿì:(q, q̇).(y) =Èç ëàãðàíæåâûõ óðàâíåíèé, ïðåäñòàâëåííûõ â íîðìàëüíîé ôîðìåX ∂Π Xdq̇kdqk= q̇k ,=−−ãklΓ̃klm q̇l q̇m ,dtdt∂qlllm(73.5)âèäíî, ÷òî (73.4) ÿâëÿåòñÿ åå ðåøåíèåì, òî åñòü ðàâíîâåñèþ îòâå÷àåò íóëåâîå ðåøåíèå,êîòîðîå áóäåì ðàññìàòðèâàòü â êà÷åñòâå íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ. Ïðè ýòîì óðàâíåíèÿ äëÿ âîçìóùåíèé ñîâïàäàþò ñ óðàâíåíèÿìè (73.5).Óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû (73.3) âûðàæàþò ñîáîé íåîáõîäèìûåóñëîâèÿ ýêñòðåìóìà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ.
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òîõàðàêòåð óñòîé÷èâîñòè ðàâíîâåñèÿ çàâèñèò îò òèïà ýòîãî ýêñòðåìóìà.2◦Òåîðåìà Ëàãðàíæà îá óñòîé÷èâîñòè ðàâíîâåñèÿ.Ñïðàâåäëèâà òåîðåìà: "Åñëè â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû ïî-òåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ èìååò ñòðîãèé èçîëèðîâàííûé ìèíèìóì, òî ðàâíîâåñèå óñòîé÷èâî".Äîêàçàòåëüñòâî.
Áóäåì îïèðàòüñÿ íà òåîðåìó Ëÿïóíîâà îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ.Âîçüìåì â êà÷åñòâå ôóíêöèè Ëÿïóíîâà ìåõàíè÷åñêóþ ýíåðãèþE = T + Π.Ýòà ýíåð-ãèÿ â îêðåñòíîñòè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ÿâëÿåòñÿ çíàêîîïðåäåëåííîé ïîëîæèòåëüíîéôóíêöèåé. Äåéñòâèòåëüíî, îïðåäåëåííàÿ ïîëîæèòåëüíîñòü ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñëåäóåò èç óñëîâèÿ åå ñòðîãîãî ìèíèìóìà â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ è ðàâåíñòâà íóëþ ñàìîéýíåðãèè â ýòîì ïîëîæåíèè; îïðåäåëåííàÿ æå ïîëîæèòåëüíîñòü êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèèâ îêðåñòíîñòè ðàâíîâåñèÿ ñëåäóåò èç ñàìîãî îïðåäåëåíèÿ ýòîé âåëè÷èíû. Êðîìå òîãî,äëÿ êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñëóæèò èíòåãðàëîì óðàâíåíèé äâèæåíèÿ (73.5):E = const,òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþòàê ÷òî åå ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè â ñèëó ýòèõ óðàâíåíèéĖ = 0.Òåì ñàìûì ýíåðãèÿEóäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðå-ìû Ëÿïóíîâà, è ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ óñòîé÷èâî. Òåîðåìà äîêàçàíà.Âûøå îòìå÷àëîñü, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè ïðÿìîãî ìåòîäà Ëÿïóíîâà ãëàâíàÿ òðóäíîñòü ñîñòîÿëà â íàõîæäåíèè ôóíêöèè Ëÿïóíîâà.
Ïðè ðàâíîâåñèè ýòîò âîïðîñ ðåøàåòñÿáëàãîäàðÿ òåîðåìå Ëàãðàíæà, ïî êîòîðîé ýòîé ôóíêöèåé ìîæåò ñëóæèòü ìåõàíè÷åñêàÿýíåðãèÿ ñèñòåìû.3◦Ïðèçíàêè íåóñòîé÷èâîñòè ðàâíîâåñèÿ.Òåîðåìà Ëàãðàíæà äàåò òîëüêî äîñòàòî÷íûé êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè ðàâíîâåñèÿ êîí-ñåðâàòèâíîé ñèñòåìû. Ýòî íå èñêëþ÷àåò äðóãèõ óñòîé÷èâûõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ, âêîòîðûõ ôóíêöèÿΠ(q)íå èìååò ñòðîãîãî ìèíèìóìà. Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëî-âèÿ óñòîé÷èâîñòè ðàâíîâåñèÿ ïîêà íå óñòàíîâëåíû.
 ýòîé ñâÿçè ïðåäñòàâëÿþò èíòåðåñ131äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ íåóñòîé÷èâîñòè ðàâíîâåñèÿ. Ïðèâåäåì îáçîð íàèáîëåå èçâåñòíûõðåçóëüòàòîâ. Ëÿïóíîâ ðàññìàòðèâàë ðàçëîæåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè â ðÿä â îêðåñòíîñòè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿq = 0:m ≥ 2,Π(q) = Πm (q) + Πm+1 (q) + . . . ,ãäåΠk (q) (k = m, m + 1, . . .)k -ãî ïîðÿäêà; ðàçëîΠ0 = 0 çà ñ÷åò âûáîðà îäíîðîäíûå ôóíêöèè êîîðäèíàòæåíèå íà÷èíàåòñÿ ñ ÷ëåíîâ ïîðÿäêà íå íèæå âòîðîãî, òàê êàêïðîèçâîëüíîé ïîñòîÿííîé, à(73.6)Π1 = 0 â ñèëó óðàâíåíèé ðàâíîâåñèÿ. Ëÿïóíîâûì äîêàçàíûñëåäóþùèå òåîðåìû.1.
"Åñëè ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿΠ(q)êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû â ïîëîæåíèè ðàâíî-âåñèÿ íå èìååò ìèíèìóìà, è ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ìîæíî óñòàíîâèòü èç ÷ëåíîâΠ2 (q)âðàçëîæåíèè (73.6), òî ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ íåóñòîé÷èâî".2. "Åñëè â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû ôóíêöèÿΠ(q) èìååò ñòðî-ãèé ìàêñèìóì è ýòî îáñòîÿòåëüñòâî óñòàíàâëèâàåòñÿ èç ðàññìîòðåíèÿ ÷ëåíîâ íàèìåíüøåé ñòåïåíè â ðàçëîæåíèè (73.6), òî ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ íåóñòîé÷èâî".×àòàåâûì äîêàçàí ñëåäóþùèé êðèòåðèé íåóñòîé÷èâîñòè ðàâíîâåñèÿ: "Åñëè ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿùåíèéq1 , . . . , qnΠ(q)êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé ôóíêöèåé âîçìó-è â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿq1 = .
. . = qn = 0íå èìååò ìèíèìóìà, òîïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ íåóñòîé÷èâî".4◦Óñòîé÷èâîñòü ðàâíîâåñèÿ ñòåðæíÿ â âåðòèêàëüíîé îêðóæíîñòè.Ðàññìîòðèì ïðèìåð î ðàâíîâåñèè ñòåðæíÿ âíóòðè âåðòèêàëüíîé îêðóæíîñòè. Ïóñòüîäíîðîäíûé ñòåðæåíüðàäèóñàR,ABâåñîìPè äëèíîé2aïîêîèòñÿ âíóòðè ãëàäêîé îêðóæíîñòèðàñïîëîæåííoé â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòèOxy(Ðèñ.123).ϕOC , îïóùåííûì èç öåíòðà îêðóæ-Îïðåäåëèâ ïîëîæåíèå ñòåðæíÿ â ýòîé ïëîñêîñòè óãëîììåæäó ïåðïåíäèêóëÿðîìíîñòè íà ñòåðæåíü, è âåðòèêàëüþ, ïðîâåäåííîé èç ýòîãî öåíòðà, íàéäåì, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñòåðæíÿ ðàâíàΠ = P yc + C = −P hcosϕ + C, h =√R 2 − a2 .Èç óðàâíåíèé ðàâíîâåñèÿ0=Ðèñ. 123∂Π= P hsinϕ (0 ≤ ϕ ≤ 2π)∂ϕñëåäóåò, ÷òî âîçìîæíû äâà ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, â ïåðâîìϕ = 0, à âî âòîðîì ϕ = π .
 îáîèõ ïîëîæåíèÿõñòåðæåíü ãîðèçîíòàëåí, ïðè ýòîì ϕ = 0 ñîîòâåòñòâóåò êðàéíåå íèæíåå åãî ïîëîæåíèåA1 B1 , à ϕ = π êðàéíåå âåðõíåå ïîëîæåíèå A2 B2 (Ðèñ.123).èç êîòîðûõÂòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ðàâíàΠ00 (ϕ) =∂ 2Π= P hcosϕ.∂ϕ2Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî â íèæíåì ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿèìååò èçîëèðîâàííûé ìèíèìóìΠ00 (0) = P h > 0,òî åñòüΠ(ϕ)Π(0) = Πmin .  ñèëó òåîðåìû Ëàãðàíæà, ýòî ïîëîæåíèåΠ00 (π) = −P h < 0, òî åñòüðàâíîâåñèÿ óñòîé÷èâî.  âåðõíåì ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ132ôóíêöèÿΠ(ϕ)èìååò èçîëèðîâàííûé ìàêñèìóì.
Íàëè÷èå ìàêñèìóìà â ýòîì ïîëîæåíèèóñìàòðèâàåòñÿ èç íèçøåãî ÷ëåíà ðàçëîæåíèÿ ýíåðãèè ïî ñòåïåíÿì âîçìóùåíèéΠ(ϕ) =1 001Π (ϕ2 )(ϕ − ϕ2 )2 + . . . = − P h(ϕ − π)2 + . . . .2!2Ïî âòîðîé òåîðåìå Ëÿïóíîâà âåðõíåå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ íåóñòîé÷èâî.74Óñòîé÷èâîñòü ëèíåéíûõ ñèñòåì. ðÿäå ñëó÷àåâ óðàâíåíèå âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ äîïóñêàåò èíòåãðèðîâàíèå.
Òîãäà èññëåäîâàíèå ïîâåäåíèÿ íàéäåííîãî ðåøåíèÿ ïîçâîëÿåò ïðÿìî ðåøàòü âîïðîñ îáóñòîé÷èâîñòè íóëåâîãî ðåøåíèÿ. Ê ÷èñëó òàêèõ ñëó÷àåâ îòíîñÿòñÿ è òàê íàçûâàåìûåëèíåéíûå ñèñòåìû.1◦Èíòåãðèðîâàíèå ëèíåéíûõ óðàâíåíèé äëÿ âîçìóùåíèé.Ïóñòü äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ âîçìóùåíèé (72.3) ëèíåéíû è èìåþò ïî-ñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû.  ìàòðè÷íîé ôîðìå îíè èìåþò âèäd~x= A~x, ~x = (xr ), A = (ars ), ars = const (r, s = 1, . . . , m),dtãäå~x èñêîìûé âåêòîð,A(74.1) ìàòðèöà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè.
Óñòîé÷èâîñòüíåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ óñòîé÷èâîñòüþ íóëåâîãî ðåøåíèÿ~x = 0ýòîéñèñòåìû. ñèëó ëèíåéíîñòè ñèñòåìû åå îáùåå ðåøåíèå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé íåçàâèñèìûõ ÷àñòíûõ ðåøåíèé. ×àñòíîå ðåøåíèå (74.1) áóäåì îòûñêèâàòü â âèäå ñëåäóþùåéýêñïîíåíòû:~x = ~ueλt , ~u = const, λ = const (|~u| > 0).(74.2)Ïîäñòàíîâêà (74.2) â óðàâíåíèå (74.1) ïðèâîäèò ê ëèíåéíîìó îäíîðîäíîìó àëãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþ äëÿ âåêòîðà~uè ÷èñëàλ:(A − λδ)~u = 0, δ = (δkl ),ãäåδ åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, àδkj(74.3) ñèìâîë Êðîíåêåðà.Ïîñêîëüêó ðàçûñêèâàåòñÿ íåíóëåâîå ðåøåíèå, äëÿ ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ â (74.3)îïðåäåëèòåëü äîëæåí ðàâíÿòüñÿ íóëþM (λ) = A − λδ, det(A − λδ) = 0.(74.4)m-é ñòåïåíè äëÿλ, íàçûâàåìîìó õàðàêòåðèñòè÷åñêèì (èëè âåêîâûì) óðàâíåíèåì äëÿ ìàòðèöûÐàñêðûòèå îïðåäåëèòåëÿ ïðèâîäèò ê àëãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþïàðàìåòðàA:∆(λ) = a0 λm + a1 λm−1 + .
. . + am−1 λ + am = 0,ãäå êîýôôèöèåíòûa0 , a1 , . . . , amñîñòàâëåíû èç ýëåìåíòîâ(74.5)akl . Ïðè ðåøåíèè õàðàêòåðè-ñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ìîãóò ïðåäñòàâèòüñÿ ñëó÷àè ïðîñòûõ è êðàòíûõ êîðíåé. òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî êîãäà âñå êîðíè1, . . . , m)λr (r =ïðîñòûå (ðàçëè÷íûå), îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû (74.1) èìååò âèä~x =XCr ~u r eλr t , Cr = const,r133(74.6)ãäåCr~u r ðåøåíèå ñèñòåìû (74.3), ñîîòâåòñòâóþùååP~x = Cr ~u rrÏðè íàëè÷èè êðàòíûõ êîðíåé îáîçíà÷èì ÷åðåç pr êðàòíîñòü êîðíÿ λr . Òîãäà îáùååêîðíþ ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, àλr .Ïîñòîÿííûå îïðåäåëÿþòñÿ íà÷àëüíûì óñëîâèåì:ðåøåíèå ñèñòåìû (74.1) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå~x =XP~ nr eλr t ,(74.7)rãäåP~ nr âåêòîðíûé ïîëèíîì îòíîñèòåëüíî âðåìåíè, ñòåïåíüíèæå êðàòíîñòèprêîðíÿλr ,òî åñòünrêîòîðîãî íà åäèíèöónr = pr − 1:XP~ nr = ~u0r + ~u1r t + . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
