1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295), страница 29
Текст из файла (страница 29)
. + ~unrr tnr , ~ukr = const (pr = m).(74.8)r×ëåíû~u1r t + . . . +~unrr tnr , íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàþùèå ñ òå÷åíèåì âðåìåíè, íàçûâàþòâåêîâûìè. ÷àñòíîñòè, åñëè âñå êîðíè ïðîñòûå, òîpr = 1, nr = 0, P~ nr = ~u0r = cr ~u r(r = 1, . .
. , m),è ôîðìóëà (74.7) ñîâïàäàåò ñ ôîðìóëîé (74.6). Ñëåäîâàòåëüíî, (74.7) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáùåå ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (74.1).2◦Êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè ëèíåéíîé ñèñòåìû.Îáùåå ðåøåíèå (74.7) ëèíåéíîé ñèñòåìû (74.1) ïîçâîëÿåò ñóäèòü î õàðàêòåðå óñòîé-÷èâîñòè íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ~x = 0.Ïóñòü âñå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ èìåþò îòðèöàòåëüíûå âåùåñòâåííûå ÷àñòè, òî åñòüλr = µr + ivr , max Re λr = max µr = −α < 0.(74.9)Òîãäà ñ ó÷åòîì óñëîâèélim ts eλr t = 0 (s = 0, . . . , nr )t→∞ïîëó÷èìlim ~x =t→∞0íà÷àëüíûå âîçìóùåíèÿ xk=PXrlim (P~ nr eλr t ) = 0,t→∞Cr urk çà ñ÷åò âûáîðà ïîñòîÿííûõCr ìîæíî ñäåëàòü äîrñòàòî÷íî ìàëûìè, à ñî âðåìåíåì âîçìóùåíèÿ íåîãðàíè÷åííî óáûâàþò, ñëåäîâàòåëüíî,íóëåâîå ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (74.1) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî êàê ïðè îòñóòñòâèè êðàòíûõ êîðíåé, òàê è ïðè èõ íàëè÷èè.Ïóñòü òåïåðü õîòÿ áû îäèí êîðåíüλrèìååò ïîëîæèòåëüíóþ âåùåñòâåííóþ ÷àñòüµr > 0, òîãäà ñèñòåìà (74.1) èìååò ðåøåíèå ~x = Cr ~u r exp(µr +ivr )t, êîòîðîå íåîãðàíè÷åííîâîçðàñòàåò ñî âðåìåíåì, â òî âðåìÿ êàê åãî íà÷àëüíîå çíà÷åíèå ~xo = Cr ~u r ìîæåò áûòüñêîëü óãîäíî ìàëûì çà ñ÷åò ïðîèçâîëüíîãîCr . ýòîì ñëó÷àå íóëåâîå ðåøåíèå ñèñòåìû(74.1) íåóñòîé÷èâî.Íàêîíåö, ïóñòü ñðåäè êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ íåò êîðíåé ñ ïîëîæèòåëüíîé âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ, íî åñòü êîðíè ñ íóëåâûìè âåùåñòâåííûìè ÷àñòÿìè.
Ðàññìîòðèì îäèí èç òàêèõ êîðíåé λr = ivr . Åñëè îí ïðîñòîé, òî åìó ñîîòâåòñòâóåò îãðàíè÷åííîå ðåøåíèå ~x = Cr ~u r eivr t , êîòîðîå ìîæåò áûòü ñäåëàíî ñêîëü óãîäíî ìàëûì çà134Cr . Àíàëîãè÷íî îáñòîèò äåëî è äëÿ êðàòíîãî êîðíÿ, åñëè åìóM (ivr ) íàèíèçøåãî ðàíãà ρr , ðàâíîãî ρr = m−pr .
Åñëè æå êîðåíüðàíã ìàòðèöû M (ivr ) : ρr > m − pr , òî åìó ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèåñ÷åò âûáîðà ïîñòîÿííîéñîîòâåòñòâóåò ìàòðèöàλr = ivrêðàòíûé è~x = (~u0r + ~u1r + . . . + ~unrr tnr )eivr t ,íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàþùåå ñî âðåìåíåì çà ñ÷åò âåêîâûõ ÷ëåíîâ.~x = 0 áóäåò óñòîé÷èâî,µr = 0 áóäóò îòñóòñòâîâàòü âåêîâûå ÷ëåíû,Òàêèì îáðàçîì, â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå íóëåâîå ðåøåíèååñëè â ðåøåíèè (74.7) âî âñåõ ñëàãàåìûõ, ãäåè íåóñòîé÷èâûì â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Îòìåòèì åùå, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå óñòîé÷èâîñòüáóäåò îáû÷íîé, íå àñèìïòîòè÷åñêîé.3◦Óñòîé÷èâîñòü ðàâíîâåñèÿ ãðóçà ñ ïðóæèíîé â ñðåäå ñ ñîïðîòèâëåíèåì.m ìîæåò ñîâåðøàòü ïðÿìîëèíåéíîå ãîðèçîíòàëüíîå äâèæåíèå ïîääåéñòâèåì âîññòàíàâëèâàþùåé óïðóãîé ñèëû, ïðîïîðöèîíàëüíîé îòêëîíåíèþ F = −cy ,è ñèëû âÿçêîãî òðåíèÿ, ïðîïîðöèîíàëüíîé ïåðâîé ñòåïåíè ñêîðîñòè R = −k ẏ . ÈññëåäóåìÏóñòü ãðóç ìàññûóñòîé÷èâîñòü ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
Âîçüìåì íà÷àëî îòñ÷åòà â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿOè íàïðàâèì îñüyâ íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ (Ðèñ.124). Òîãäà äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâ-íåíèå äâèæåíèÿ áóäåò âèäàmÿ = −cy − rẏ, c = const, r = const.Ýòî óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà ïðåäñòàâèìî â âèäå íîðìàëüíîé ñèñòåìûdy2dy1= y2 ,= −k 2 y1 − 2ny2 ,dtdtãäå ïîëîæåíîy1 = y, y2 = ẏ; k 2 =Ðèñ. 124cr, 2n = .mmÒàê êàê èññëåäóåòñÿ óñòîé÷èâîñòü íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ ïîëîæåíèÿ ðàâíîâå-y1 = f1 (t) = 0, y1 = f2 (t) = 0, òî ïîëó÷åííàÿâ òî æå âðåìÿ ñèñòåìîé äëÿ âîçìóùåíèé (x1 = y1 − f1 = y1 , x2 =ñèñòåìà ëèíåéíîãî òèïà ~y˙ = A~y .
Ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ ïîñòîÿííàñèÿ, êîòîðîìó îòâå÷àåò íóëåâîå ðåøåíèå:ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿy2 − f2 = y2 ).Ýòàè èìååò âèäA=a11 a12a21 a22=012−k −2n.Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå â ýòîì ñëó÷àå áóäåò êâàäðàòè÷íûì: a11 − λa12 a21a22 − λ −λ1= −k 2 −2n − λ = λ2 + 2nλ + k 2 = 0;åãî êîðíè ïðîñòûå è èìåþò çíà÷åíèÿλ1 = −n +√n2 − k 2 , λ = −n −√n2 − k 2 .Òàê êàê îáà êîðíÿ èìåþò îòðèöàòåëüíûå âåùåñòâåííûå ÷àñòè ïðè ëþáîì ðàññìàòðèâàåìîì ñîïðîòèâëåíèè, òî íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.13575Óñòîé÷èâîñòü ïî ëèíåéíîìó ïðèáëèæåíèþ.Óðàâíåíèÿ äëÿ âîçìóùåíèé âîîáùå íåëèíåéíû è â îáùåì ñëó÷àå íå èíòåãðèðóþòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ.
Ïîëó÷èë ïîýòîìó ðàñïðîñòðàíåíèå ìåòîä èññëåäîâàíèÿóñòîé÷èâîñòè íóëåâîãî ðåøåíèÿ ïî óðàâíåíèÿì ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ, ïîëó÷àþùèìñÿ ïóòåì ëèíåàðèçàöèè íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ëÿïóíîâ ïåðâûé óêàçàë íà íåýêâèâàëåíòíîñòü ëèíåéíîé è íåëèíåéíîé çàäà÷ è óñòàíîâèë óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ðåçóëüòàòûëèíåéíîé çàäà÷è ñîõðàíÿþò ñèëó è â íåëèíåéíîì ñëó÷àå.1◦Óðàâíåíèÿ ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ.Âûøå îòìå÷àëîñü, ÷òî â íåëèíåéíûõ óðàâíåíèÿõ äëÿ âîçìóùåíèé (71.7)d~x~= X(t,~x)dt(75.1)ïðàâûå ÷àñòè ñ÷èòàþòñÿ ãîëîìîðôíûìè ôóíêöèÿìè. Ïîëüçóÿñü ýòèì, ðàçëîæèì èõ âðÿäû ïî âîçìóùåíèÿì â îêðåñòíîñòè íà÷àëà îòñ÷åòà, òîãäà ñ ó÷åòîì óñëîâèé~X(t,0) = 0,ãäåA ìàòðèöà ñ êîìïîíåíòàìèakl ,~∂X∂~x!= A(t) = (akl (t)),0ïîëó÷èìd~x= A(t)~x + f~(t, ~x),dtãäå ÷åðåçf~(t, ~x)(75.2)îáîçíà÷åíà ñóììà ÷ëåíîâ âòîðîãî è áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêîâ îòíîñè-òåëüíî âîçìóùåíèé, òàêæå ÿâëÿþùàÿñÿ ãîëîìîðôíîé ôóíêöèåé.Îòáðàñûâàÿ â (75.2) âñå íåëèíåéíûå ÷ëåíûf~,ïîëó÷èì ëèíåéíóþ ñèñòåìó äèôôå-ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéd~x= A(t)~x,dt(75.3)êîòîðóþ íàçûâàþò ëèíåéíûì ïðèáëèæåíèåì äëÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû (75.2).2◦Ñòàöèîíàðíûé è ïåðèîäè÷åñêèé ñëó÷àè.A ïîñòî~~(t, ~x),ÿííà, à âåêòîð f çàâèñèò òîëüêî îò âîçìóùåíèé; âî âòîðîì ñëó÷àå âåëè÷èíû A(t), fÐàçëè÷àþò ñòàöèîíàðíûé è ïåðèîäè÷åñêèé ñëó÷àè: â ïåðâîì èç íèõ ìàòðèöàÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè ñ îäíèì è òåì æå ïåðèîäîì. îáîèõ íàçâàííûõ ñëó÷àÿõ Ëÿïóíîâûì áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî èç àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè èëè íåóñòîé÷èâîñòè ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ ñëåäóåò ñîîòâåòñòâåííî àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü è íåóñòîé÷èâîñòü íåëèíåéíîé ñèñòåìû.
 ñëó÷àå æåîáû÷íîé óñòîé÷èâîñòè ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ ñäåëàòü çàêëþ÷åíèÿ îá óñòîé÷èâîñòèíåëèíåéíîé ñèñòåìû íåëüçÿ. Ýòîò âîïðîñ òðåáóåò äîïîëíèòåëüíîãî ðàññìîòðåíèÿ.Ýòè ðåçóëüòàòû Ëÿïóíîâà èìåþò âàæíîå çíà÷åíèå, ïîñêîëüêó èññëåäîâàíèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì íå âûçûâàþò îñîáûõ çàòðóäíåíèé. äàëüíåéøåì îãðàíè÷èìñÿ èçëîæåíèåì ðåçóëüòàòîâ Ëÿïóíîâà òîëüêî äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ñëó÷àÿ. Ïðåäâàðèòåëüíî èçó÷èì âîïðîñ î ñâîéñòâàõ ëèíåéíîé ñèñòåìû.1363◦Ñâîéñòâà ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ.Ïîäâåðãíåì ëèíåéíóþ ñèñòåìó (75.3):~x˙ = A~xíåâûðîæäåííîìó ïðåîáðàçîâàíèþ ïå-ðåìåííûõ~x = U~z, U = const, detU 6= 0,(75.4)òîãäà ñèñòåìà ïðèìåò âèäUd~z= AU~z.dt(75.5)Óìíîæèì îáå ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà ñëåâà íà îáðàòíóþ ìàòðèöóñâîéñòâU −1 U = δ, δ = (δkl ), δãäåδU −1 ,â èòîãå ñ ó÷åòîìd~zd~z= ,dtdt åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, áóäåì èìåòüd~z= A0~z, A0 = U −1 AU.dtÇäåñüA0(75.6) ïðåîáðàçîâàííàÿ ìàòðèöà.
Ñâîéñòâî õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïðå-îáðàçîâàííîé ìàòðèöû âûðàæàåò ñëåäóþùàÿ ëåììà: "Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ0èñõîäíîé A è ïðåîáðàçîâàííîé A ìàòðèö ñîâïàäàþò äðóã ñ äðóãîì".Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîñòàâèì î÷åâèäíîå ìàòðè÷íîå ðàâåíñòâîA0 − λδ = U −1 AU − λU −1 δU = U −1 (A − λδ)U.Ïåðåõîäÿ â íåì ê îïðåäåëèòåëÿì è ó÷èòûâàÿ, ÷òî îïðåäåëèòåëü ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèöðàâåí ïðîèçâåäåíèþ îïðåäåëèòåëåé ñîìíîæèòåëåé è ÷òî ïðîèçâåäåíèå îïðåäåëèòåëåéîáðàòíîé è ïðÿìîé ìàòðèö ðàâíî åäèíèöå, ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå|A0 − λδ| = U −1 · |A − λδ| · |U | = |A − λδ| · U −1 · |U | = |A − λδ| ,êîòîðîå è äîêàçûâàåò ëåììó.Òàêèì îáðàçîì, õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ìàòðèöû èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíîëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé.Äðóãîå ñâîéñòâî ëèíåéíîé ñèñòåìû âûðàæàåò ñëåäóþùàÿ ëåììà (ïðèâîäèìàÿ áåçäîêàçàòåëüñòâà): "Ëèíåéíàÿ ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïîìîùüþ íåâûðîæäåííîãî ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåìåííûõ ~x = U~z ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê0˙âèäó ~z = A ~z, â êîòîðîì ïðåîáðàçîâàííàÿ ìàòðèöà èìååò òðåóãîëüíûé âèä:a011 a012 .
. . a01m00 a0 21 a22 . . . a2mA0 = ........ ....000am1 am2 . . . ammãäåλkλ1 b12 . . . a1m 0 λ2 . . . b2m = ........ ....0 0 . . . λm õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ÷èñëà ìàòðèöû = B,(75.7)A, ïðè÷åì ìîäóëè íåäèàãîíàëüíûõ ýëåìåí-òîâ ìîãóò áûòü ñêîëü óãîäíî ìàëû". ñèëó ýòîé ëåììû íåâûðîæäåííîå ïðåîáðàçîâàíèåëèíåéíóþ ñèñòåìóâ ñèñòåìóóðàâíåíèé ~x˙ = A~x:dxk X=akl xkldtl~x = U~z(k = 1, . . . , m)ïåðåâîäèò èñõîäíóþ(75.8)~z˙ = B~z:Xdzk= λk zk +bkl zldtk<l137(k = 1, . .
. , m).(75.9)4◦Òåîðåìû îá óñòîé÷èâîñòè ïî ëèíåéíîìó ïðèáëèæåíèþ.Íåëèíåéíàÿ ñèñòåìà âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ â ñòàöèîíàðíîì ñëó÷àå èìååò âèäd~x= A~x + f~(~x), A = const.dt(75.10)Åé ñîîòâåòñòâóåò ñèñòåìà ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿd~x= A~x.dt(75.11)Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè íåëèíåéíîé ñèñòåìû ïî ëèíåéíîìó ïðèáëèæåíèþ âûðàæàåò òåîðåìà: "Åñëè âñå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ äëÿ ëèíåéíîãîïðèáëèæåíèÿ (75.11) èìåþò îòðèöàòåëüíóþ äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü, òî íóëåâîå ðåøåíèåíåëèíåéíîé ñèñòåìû (75.10) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî".Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó óñëîâèÿ òåîðåìû ìîæíî ïîëîæèòümax Re λk = −α < 0 (k = 1, . .
. , m).Îáîçíà÷èì, äàëåå, ÷åðåçA,|~z|ìîäóëü âåêòîð-ñòîëáöà~zè ÷åðåç(75.12)kAk íîðìó ìàòðèöûîïðåäåëèâ èõ ôîðìóëàìèXX|~z| = ( (|zk |2 )1/2 , kAk =(|akl |2 )1/2 .k(75.13)k,l|~xo | < ∆; âñèëó íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ ñèñòåìû (75.10) îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé, |~x| < ∆è íà íåêîòîðîì âðåìåííîì èíòåðâàëå (to , t). Äëÿ çíà÷åíèé ~x èç ýòîé îêðåñòíîñòè áóäåìèìåòü~ f(~x)(75.14) ≤ |~x| ,Ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ ìàëóþãäå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî∆-îêðåñòíîñòüíà÷àëà îòñ÷åòà~x.Ïóñòü ìîæíî âûáðàòü ñêîëü óãîäíî ìàëûì, ïîñêîëüêó â âûðàæåíèåâåêòîð-ñòîëáöà âõîäÿò ìàëûå ÷ëåíû âòîðîãî è áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêîâ.Íà îñíîâàíèè ëåììû ñóùåñòâóåò ëèíåéíîå íåâûðîæäåííîå ïðåîáðàçîâàíèå:ïðèâîäÿùåå ìàòðèöóAê òðåóãîëüíîìó âèäóB~x = U~z,ñî ñêîëü óãîäíî ìàëûìè íåäèàãîíàëü-íûìè ýëåìåíòàìè.
Ïðèìåíÿÿ åãî ê ñèñòåìå (75.10), ïîëó÷èì óðàâíåíèåd~z= B~z + ~g (~z),dtãäåB~gòðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà (75.7),(75.15) âåêòîð-ñòîëáåö, ðàâíûé~g (~z) = U −1 f~(U~z).(75.16) êîìïîíåíòíîì âèäå óðàâíåíèå (75.15) èìååò âûðàæåíèåXdzr= λr zr +brs zs + grdtr<s(r, s = 1, . . . , m).(75.17) ñèëó ýòèõ óðàâíåíèé áóäåì èìåòüz|=|~z| d|~dtz|1 d|~2 dt2=1 d2 dtPzr z̄r =r12Przr dz̄dtr + z̄r dzdtr =(75.18)P ¯=(λr + λr )zr z̄r +12r12Pb̄rs z̄s zr + brs zs z̄r +r<s13812Pr<s(ḡr zr + gr z̄r ) ,ãäå ÷åðòà íàä âåëè÷èíîé îçíà÷àåò çíàê ñîïðÿæåíèÿ.Âîñïîëüçóåìñÿ èçâåñòíûìè íåðàâåíñòâàìèX|zk | ≤ |~z| , |A~z| ≤ kAk |~a| ,|ar | |br | ≤ |~a| |~b|.(75.19)rÒîãäà íåòðóäíî óñòàíîâèòü, ÷òî äëÿ|~g (~z)| ≤ U −1 ãäå ÷èñëî|~g |â ñèëó (75.13), (75.15) è (75.18) áóäåì èìåòü ~ −1 f(U~z) ≤ U |U~z| ≤ U −1 kU k |~z| = β |~z| ,β = kU −1 k kU kìîæåò áûòü ñäåëàíî ñêîëü óãîäíî ìàëûì çà ñ÷åò(75.20).Îïèðàÿñü íà ïðåäûäóùèå ôîðìóëû, ìîæíî ñëåäóþùèì îáðàçîì îöåíèòü ñâåðõó ñëàãàåìûå ïðàâîé ÷àñòè (75.18):12P12P12(λr + λ̄r )zr z̄r =rRe λr |zr |2 ≤ −αPrP|zr |2 = −α |~z|2 ,rP Pb̄rs + |brs | ≤ γ |z|2 , γ =b̄rs z̄s zr + brs zs z̄r ≤ 12 |~z|2|brs | ,r<sr<s(ḡr zr + gr z̄r ) ≤rãäå ÷èñëîPPr<s(75.21)|gr | |zr | ≤ |~g | |~z| ≤ β |~z|2 ,rαγ,êîíå÷íî, à ÷èñëîñîãëàñíî ëåììå, ïîäîáíî ÷èñëóβìîæåò áûòü ñêîëüóãîäíî ìàëî.Èç (75.18) è (75.21) ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâód |~z|≤ (−α + β + γ) |~z| .dtÎòñþäà, ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå è èíòåãðèðóÿ, íàõîäèì|~z| < |~zo | e(−α+β+γ)(t−to ) , ~zo = ~z(to ).Âûáåðåì ìàëûå ÷èñëà0.Òîãäà(75.22)β è γ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî −α+β+γ <èç íåðàâåíñòâà (75.22) ñëåäóåò, ÷òî|~z(t)| < |~zo |Òî åñòü ðåøåíèå~z = 0èlim |~z(t)| = 0.(75.23)t→∞ñèñòåìû (75.15) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.Ïîñêîëüêó âåêòîðûèìåòü ~z = U −1~x è~xè~zñâÿçàíû ëèíåéíûì ïðåîáðàçîâàíèåì~x = U~z,òî áóäåì|~x| ≤ kU k |~z| ≤ kU k |~zo | e(−α+β+γ)(t−to ) ≤ kU k U −1 |~xo | e(−α+β+γ)(t−to ) .Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî|~x(t)| ≤ kU k U −1 |~xo |Ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèå~x = 0èlim |~x(t)| = 0.t→∞ñèñòåìû (75.10) òàêæå àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
