Главная » Просмотр файлов » 1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7

1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295), страница 29

Файл №542295 1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (Лекции) 29 страница1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295) страница 292021-01-31СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

. + ~unrr tnr , ~ukr = const (pr = m).(74.8)r×ëåíû~u1r t + . . . +~unrr tnr , íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàþùèå ñ òå÷åíèåì âðåìåíè, íàçûâàþòâåêîâûìè. ÷àñòíîñòè, åñëè âñå êîðíè ïðîñòûå, òîpr = 1, nr = 0, P~ nr = ~u0r = cr ~u r(r = 1, . .

. , m),è ôîðìóëà (74.7) ñîâïàäàåò ñ ôîðìóëîé (74.6). Ñëåäîâàòåëüíî, (74.7) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáùåå ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (74.1).2◦Êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè ëèíåéíîé ñèñòåìû.Îáùåå ðåøåíèå (74.7) ëèíåéíîé ñèñòåìû (74.1) ïîçâîëÿåò ñóäèòü î õàðàêòåðå óñòîé-÷èâîñòè íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ~x = 0.Ïóñòü âñå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ èìåþò îòðèöàòåëüíûå âåùåñòâåííûå ÷àñòè, òî åñòüλr = µr + ivr , max Re λr = max µr = −α < 0.(74.9)Òîãäà ñ ó÷åòîì óñëîâèélim ts eλr t = 0 (s = 0, . . . , nr )t→∞ïîëó÷èìlim ~x =t→∞0íà÷àëüíûå âîçìóùåíèÿ xk=PXrlim (P~ nr eλr t ) = 0,t→∞Cr urk çà ñ÷åò âûáîðà ïîñòîÿííûõCr ìîæíî ñäåëàòü äîrñòàòî÷íî ìàëûìè, à ñî âðåìåíåì âîçìóùåíèÿ íåîãðàíè÷åííî óáûâàþò, ñëåäîâàòåëüíî,íóëåâîå ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (74.1) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî êàê ïðè îòñóòñòâèè êðàòíûõ êîðíåé, òàê è ïðè èõ íàëè÷èè.Ïóñòü òåïåðü õîòÿ áû îäèí êîðåíüλrèìååò ïîëîæèòåëüíóþ âåùåñòâåííóþ ÷àñòüµr > 0, òîãäà ñèñòåìà (74.1) èìååò ðåøåíèå ~x = Cr ~u r exp(µr +ivr )t, êîòîðîå íåîãðàíè÷åííîâîçðàñòàåò ñî âðåìåíåì, â òî âðåìÿ êàê åãî íà÷àëüíîå çíà÷åíèå ~xo = Cr ~u r ìîæåò áûòüñêîëü óãîäíî ìàëûì çà ñ÷åò ïðîèçâîëüíîãîCr . ýòîì ñëó÷àå íóëåâîå ðåøåíèå ñèñòåìû(74.1) íåóñòîé÷èâî.Íàêîíåö, ïóñòü ñðåäè êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ íåò êîðíåé ñ ïîëîæèòåëüíîé âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ, íî åñòü êîðíè ñ íóëåâûìè âåùåñòâåííûìè ÷àñòÿìè.

Ðàññìîòðèì îäèí èç òàêèõ êîðíåé λr = ivr . Åñëè îí ïðîñòîé, òî åìó ñîîòâåòñòâóåò îãðàíè÷åííîå ðåøåíèå ~x = Cr ~u r eivr t , êîòîðîå ìîæåò áûòü ñäåëàíî ñêîëü óãîäíî ìàëûì çà134Cr . Àíàëîãè÷íî îáñòîèò äåëî è äëÿ êðàòíîãî êîðíÿ, åñëè åìóM (ivr ) íàèíèçøåãî ðàíãà ρr , ðàâíîãî ρr = m−pr .

Åñëè æå êîðåíüðàíã ìàòðèöû M (ivr ) : ρr > m − pr , òî åìó ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèåñ÷åò âûáîðà ïîñòîÿííîéñîîòâåòñòâóåò ìàòðèöàλr = ivrêðàòíûé è~x = (~u0r + ~u1r + . . . + ~unrr tnr )eivr t ,íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàþùåå ñî âðåìåíåì çà ñ÷åò âåêîâûõ ÷ëåíîâ.~x = 0 áóäåò óñòîé÷èâî,µr = 0 áóäóò îòñóòñòâîâàòü âåêîâûå ÷ëåíû,Òàêèì îáðàçîì, â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå íóëåâîå ðåøåíèååñëè â ðåøåíèè (74.7) âî âñåõ ñëàãàåìûõ, ãäåè íåóñòîé÷èâûì â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Îòìåòèì åùå, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå óñòîé÷èâîñòüáóäåò îáû÷íîé, íå àñèìïòîòè÷åñêîé.3◦Óñòîé÷èâîñòü ðàâíîâåñèÿ ãðóçà ñ ïðóæèíîé â ñðåäå ñ ñîïðîòèâëåíèåì.m ìîæåò ñîâåðøàòü ïðÿìîëèíåéíîå ãîðèçîíòàëüíîå äâèæåíèå ïîääåéñòâèåì âîññòàíàâëèâàþùåé óïðóãîé ñèëû, ïðîïîðöèîíàëüíîé îòêëîíåíèþ F = −cy ,è ñèëû âÿçêîãî òðåíèÿ, ïðîïîðöèîíàëüíîé ïåðâîé ñòåïåíè ñêîðîñòè R = −k ẏ . ÈññëåäóåìÏóñòü ãðóç ìàññûóñòîé÷èâîñòü ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.

Âîçüìåì íà÷àëî îòñ÷åòà â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿOè íàïðàâèì îñüyâ íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ (Ðèñ.124). Òîãäà äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâ-íåíèå äâèæåíèÿ áóäåò âèäàmÿ = −cy − rẏ, c = const, r = const.Ýòî óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà ïðåäñòàâèìî â âèäå íîðìàëüíîé ñèñòåìûdy2dy1= y2 ,= −k 2 y1 − 2ny2 ,dtdtãäå ïîëîæåíîy1 = y, y2 = ẏ; k 2 =Ðèñ. 124cr, 2n = .mmÒàê êàê èññëåäóåòñÿ óñòîé÷èâîñòü íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ ïîëîæåíèÿ ðàâíîâå-y1 = f1 (t) = 0, y1 = f2 (t) = 0, òî ïîëó÷åííàÿâ òî æå âðåìÿ ñèñòåìîé äëÿ âîçìóùåíèé (x1 = y1 − f1 = y1 , x2 =ñèñòåìà ëèíåéíîãî òèïà ~y˙ = A~y .

Ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ ïîñòîÿííàñèÿ, êîòîðîìó îòâå÷àåò íóëåâîå ðåøåíèå:ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿy2 − f2 = y2 ).Ýòàè èìååò âèäA=a11 a12a21 a22=012−k −2n.Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå â ýòîì ñëó÷àå áóäåò êâàäðàòè÷íûì: a11 − λa12 a21a22 − λ −λ1= −k 2 −2n − λ = λ2 + 2nλ + k 2 = 0;åãî êîðíè ïðîñòûå è èìåþò çíà÷åíèÿλ1 = −n +√n2 − k 2 , λ = −n −√n2 − k 2 .Òàê êàê îáà êîðíÿ èìåþò îòðèöàòåëüíûå âåùåñòâåííûå ÷àñòè ïðè ëþáîì ðàññìàòðèâàåìîì ñîïðîòèâëåíèè, òî íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.13575Óñòîé÷èâîñòü ïî ëèíåéíîìó ïðèáëèæåíèþ.Óðàâíåíèÿ äëÿ âîçìóùåíèé âîîáùå íåëèíåéíû è â îáùåì ñëó÷àå íå èíòåãðèðóþòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ.

Ïîëó÷èë ïîýòîìó ðàñïðîñòðàíåíèå ìåòîä èññëåäîâàíèÿóñòîé÷èâîñòè íóëåâîãî ðåøåíèÿ ïî óðàâíåíèÿì ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ, ïîëó÷àþùèìñÿ ïóòåì ëèíåàðèçàöèè íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ëÿïóíîâ ïåðâûé óêàçàë íà íåýêâèâàëåíòíîñòü ëèíåéíîé è íåëèíåéíîé çàäà÷ è óñòàíîâèë óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ðåçóëüòàòûëèíåéíîé çàäà÷è ñîõðàíÿþò ñèëó è â íåëèíåéíîì ñëó÷àå.1◦Óðàâíåíèÿ ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ.Âûøå îòìå÷àëîñü, ÷òî â íåëèíåéíûõ óðàâíåíèÿõ äëÿ âîçìóùåíèé (71.7)d~x~= X(t,~x)dt(75.1)ïðàâûå ÷àñòè ñ÷èòàþòñÿ ãîëîìîðôíûìè ôóíêöèÿìè. Ïîëüçóÿñü ýòèì, ðàçëîæèì èõ âðÿäû ïî âîçìóùåíèÿì â îêðåñòíîñòè íà÷àëà îòñ÷åòà, òîãäà ñ ó÷åòîì óñëîâèé~X(t,0) = 0,ãäåA ìàòðèöà ñ êîìïîíåíòàìèakl ,~∂X∂~x!= A(t) = (akl (t)),0ïîëó÷èìd~x= A(t)~x + f~(t, ~x),dtãäå ÷åðåçf~(t, ~x)(75.2)îáîçíà÷åíà ñóììà ÷ëåíîâ âòîðîãî è áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêîâ îòíîñè-òåëüíî âîçìóùåíèé, òàêæå ÿâëÿþùàÿñÿ ãîëîìîðôíîé ôóíêöèåé.Îòáðàñûâàÿ â (75.2) âñå íåëèíåéíûå ÷ëåíûf~,ïîëó÷èì ëèíåéíóþ ñèñòåìó äèôôå-ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéd~x= A(t)~x,dt(75.3)êîòîðóþ íàçûâàþò ëèíåéíûì ïðèáëèæåíèåì äëÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû (75.2).2◦Ñòàöèîíàðíûé è ïåðèîäè÷åñêèé ñëó÷àè.A ïîñòî~~(t, ~x),ÿííà, à âåêòîð f çàâèñèò òîëüêî îò âîçìóùåíèé; âî âòîðîì ñëó÷àå âåëè÷èíû A(t), fÐàçëè÷àþò ñòàöèîíàðíûé è ïåðèîäè÷åñêèé ñëó÷àè: â ïåðâîì èç íèõ ìàòðèöàÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè ñ îäíèì è òåì æå ïåðèîäîì. îáîèõ íàçâàííûõ ñëó÷àÿõ Ëÿïóíîâûì áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî èç àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè èëè íåóñòîé÷èâîñòè ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ ñëåäóåò ñîîòâåòñòâåííî àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü è íåóñòîé÷èâîñòü íåëèíåéíîé ñèñòåìû.

 ñëó÷àå æåîáû÷íîé óñòîé÷èâîñòè ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ ñäåëàòü çàêëþ÷åíèÿ îá óñòîé÷èâîñòèíåëèíåéíîé ñèñòåìû íåëüçÿ. Ýòîò âîïðîñ òðåáóåò äîïîëíèòåëüíîãî ðàññìîòðåíèÿ.Ýòè ðåçóëüòàòû Ëÿïóíîâà èìåþò âàæíîå çíà÷åíèå, ïîñêîëüêó èññëåäîâàíèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì íå âûçûâàþò îñîáûõ çàòðóäíåíèé. äàëüíåéøåì îãðàíè÷èìñÿ èçëîæåíèåì ðåçóëüòàòîâ Ëÿïóíîâà òîëüêî äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ñëó÷àÿ. Ïðåäâàðèòåëüíî èçó÷èì âîïðîñ î ñâîéñòâàõ ëèíåéíîé ñèñòåìû.1363◦Ñâîéñòâà ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ.Ïîäâåðãíåì ëèíåéíóþ ñèñòåìó (75.3):~x˙ = A~xíåâûðîæäåííîìó ïðåîáðàçîâàíèþ ïå-ðåìåííûõ~x = U~z, U = const, detU 6= 0,(75.4)òîãäà ñèñòåìà ïðèìåò âèäUd~z= AU~z.dt(75.5)Óìíîæèì îáå ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà ñëåâà íà îáðàòíóþ ìàòðèöóñâîéñòâU −1 U = δ, δ = (δkl ), δãäåδU −1 ,â èòîãå ñ ó÷åòîìd~zd~z= ,dtdt åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, áóäåì èìåòüd~z= A0~z, A0 = U −1 AU.dtÇäåñüA0(75.6) ïðåîáðàçîâàííàÿ ìàòðèöà.

Ñâîéñòâî õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïðå-îáðàçîâàííîé ìàòðèöû âûðàæàåò ñëåäóþùàÿ ëåììà: "Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ0èñõîäíîé A è ïðåîáðàçîâàííîé A ìàòðèö ñîâïàäàþò äðóã ñ äðóãîì".Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîñòàâèì î÷åâèäíîå ìàòðè÷íîå ðàâåíñòâîA0 − λδ = U −1 AU − λU −1 δU = U −1 (A − λδ)U.Ïåðåõîäÿ â íåì ê îïðåäåëèòåëÿì è ó÷èòûâàÿ, ÷òî îïðåäåëèòåëü ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèöðàâåí ïðîèçâåäåíèþ îïðåäåëèòåëåé ñîìíîæèòåëåé è ÷òî ïðîèçâåäåíèå îïðåäåëèòåëåéîáðàòíîé è ïðÿìîé ìàòðèö ðàâíî åäèíèöå, ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå|A0 − λδ| = U −1 · |A − λδ| · |U | = |A − λδ| · U −1 · |U | = |A − λδ| ,êîòîðîå è äîêàçûâàåò ëåììó.Òàêèì îáðàçîì, õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ìàòðèöû èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíîëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé.Äðóãîå ñâîéñòâî ëèíåéíîé ñèñòåìû âûðàæàåò ñëåäóþùàÿ ëåììà (ïðèâîäèìàÿ áåçäîêàçàòåëüñòâà): "Ëèíåéíàÿ ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïîìîùüþ íåâûðîæäåííîãî ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåìåííûõ ~x = U~z ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê0˙âèäó ~z = A ~z, â êîòîðîì ïðåîáðàçîâàííàÿ ìàòðèöà èìååò òðåóãîëüíûé âèä:a011 a012 .

. . a01m00 a0 21 a22 . . . a2mA0 =  ........ ....000am1 am2 . . . ammãäåλkλ1 b12 . . . a1m  0 λ2 . . . b2m  =  ........  ....0 0 . . . λm õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ÷èñëà ìàòðèöû = B,(75.7)A, ïðè÷åì ìîäóëè íåäèàãîíàëüíûõ ýëåìåí-òîâ ìîãóò áûòü ñêîëü óãîäíî ìàëû". ñèëó ýòîé ëåììû íåâûðîæäåííîå ïðåîáðàçîâàíèåëèíåéíóþ ñèñòåìóâ ñèñòåìóóðàâíåíèé ~x˙ = A~x:dxk X=akl xkldtl~x = U~z(k = 1, . . . , m)ïåðåâîäèò èñõîäíóþ(75.8)~z˙ = B~z:Xdzk= λk zk +bkl zldtk<l137(k = 1, . .

. , m).(75.9)4◦Òåîðåìû îá óñòîé÷èâîñòè ïî ëèíåéíîìó ïðèáëèæåíèþ.Íåëèíåéíàÿ ñèñòåìà âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ â ñòàöèîíàðíîì ñëó÷àå èìååò âèäd~x= A~x + f~(~x), A = const.dt(75.10)Åé ñîîòâåòñòâóåò ñèñòåìà ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿd~x= A~x.dt(75.11)Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè íåëèíåéíîé ñèñòåìû ïî ëèíåéíîìó ïðèáëèæåíèþ âûðàæàåò òåîðåìà: "Åñëè âñå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ äëÿ ëèíåéíîãîïðèáëèæåíèÿ (75.11) èìåþò îòðèöàòåëüíóþ äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü, òî íóëåâîå ðåøåíèåíåëèíåéíîé ñèñòåìû (75.10) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî".Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó óñëîâèÿ òåîðåìû ìîæíî ïîëîæèòümax Re λk = −α < 0 (k = 1, . .

. , m).Îáîçíà÷èì, äàëåå, ÷åðåçA,|~z|ìîäóëü âåêòîð-ñòîëáöà~zè ÷åðåç(75.12)kAk íîðìó ìàòðèöûîïðåäåëèâ èõ ôîðìóëàìèXX|~z| = ( (|zk |2 )1/2 , kAk =(|akl |2 )1/2 .k(75.13)k,l|~xo | < ∆; âñèëó íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ ñèñòåìû (75.10) îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé, |~x| < ∆è íà íåêîòîðîì âðåìåííîì èíòåðâàëå (to , t). Äëÿ çíà÷åíèé ~x èç ýòîé îêðåñòíîñòè áóäåìèìåòü~ f(~x)(75.14) ≤ |~x| ,Ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ ìàëóþãäå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî∆-îêðåñòíîñòüíà÷àëà îòñ÷åòà~x.Ïóñòü ìîæíî âûáðàòü ñêîëü óãîäíî ìàëûì, ïîñêîëüêó â âûðàæåíèåâåêòîð-ñòîëáöà âõîäÿò ìàëûå ÷ëåíû âòîðîãî è áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêîâ.Íà îñíîâàíèè ëåììû ñóùåñòâóåò ëèíåéíîå íåâûðîæäåííîå ïðåîáðàçîâàíèå:ïðèâîäÿùåå ìàòðèöóAê òðåóãîëüíîìó âèäóB~x = U~z,ñî ñêîëü óãîäíî ìàëûìè íåäèàãîíàëü-íûìè ýëåìåíòàìè.

Ïðèìåíÿÿ åãî ê ñèñòåìå (75.10), ïîëó÷èì óðàâíåíèåd~z= B~z + ~g (~z),dtãäåB~gòðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà (75.7),(75.15) âåêòîð-ñòîëáåö, ðàâíûé~g (~z) = U −1 f~(U~z).(75.16) êîìïîíåíòíîì âèäå óðàâíåíèå (75.15) èìååò âûðàæåíèåXdzr= λr zr +brs zs + grdtr<s(r, s = 1, . . . , m).(75.17) ñèëó ýòèõ óðàâíåíèé áóäåì èìåòüz|=|~z| d|~dtz|1 d|~2 dt2=1 d2 dtPzr z̄r =r12Przr dz̄dtr + z̄r dzdtr =(75.18)P ¯=(λr + λr )zr z̄r +12r12Pb̄rs z̄s zr + brs zs z̄r +r<s13812Pr<s(ḡr zr + gr z̄r ) ,ãäå ÷åðòà íàä âåëè÷èíîé îçíà÷àåò çíàê ñîïðÿæåíèÿ.Âîñïîëüçóåìñÿ èçâåñòíûìè íåðàâåíñòâàìèX|zk | ≤ |~z| , |A~z| ≤ kAk |~a| ,|ar | |br | ≤ |~a| |~b|.(75.19)rÒîãäà íåòðóäíî óñòàíîâèòü, ÷òî äëÿ|~g (~z)| ≤ U −1 ãäå ÷èñëî|~g |â ñèëó (75.13), (75.15) è (75.18) áóäåì èìåòü ~ −1 f(U~z) ≤ U |U~z| ≤ U −1 kU k |~z| = β |~z| ,β = kU −1 k kU kìîæåò áûòü ñäåëàíî ñêîëü óãîäíî ìàëûì çà ñ÷åò(75.20).Îïèðàÿñü íà ïðåäûäóùèå ôîðìóëû, ìîæíî ñëåäóþùèì îáðàçîì îöåíèòü ñâåðõó ñëàãàåìûå ïðàâîé ÷àñòè (75.18):12P12P12(λr + λ̄r )zr z̄r =rRe λr |zr |2 ≤ −αPrP|zr |2 = −α |~z|2 ,rP Pb̄rs + |brs | ≤ γ |z|2 , γ =b̄rs z̄s zr + brs zs z̄r ≤ 12 |~z|2|brs | ,r<sr<s(ḡr zr + gr z̄r ) ≤rãäå ÷èñëîPPr<s(75.21)|gr | |zr | ≤ |~g | |~z| ≤ β |~z|2 ,rαγ,êîíå÷íî, à ÷èñëîñîãëàñíî ëåììå, ïîäîáíî ÷èñëóβìîæåò áûòü ñêîëüóãîäíî ìàëî.Èç (75.18) è (75.21) ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâód |~z|≤ (−α + β + γ) |~z| .dtÎòñþäà, ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå è èíòåãðèðóÿ, íàõîäèì|~z| < |~zo | e(−α+β+γ)(t−to ) , ~zo = ~z(to ).Âûáåðåì ìàëûå ÷èñëà0.Òîãäà(75.22)β è γ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî −α+β+γ <èç íåðàâåíñòâà (75.22) ñëåäóåò, ÷òî|~z(t)| < |~zo |Òî åñòü ðåøåíèå~z = 0èlim |~z(t)| = 0.(75.23)t→∞ñèñòåìû (75.15) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.Ïîñêîëüêó âåêòîðûèìåòü ~z = U −1~x è~xè~zñâÿçàíû ëèíåéíûì ïðåîáðàçîâàíèåì~x = U~z,òî áóäåì|~x| ≤ kU k |~z| ≤ kU k |~zo | e(−α+β+γ)(t−to ) ≤ kU k U −1 |~xo | e(−α+β+γ)(t−to ) .Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî|~x(t)| ≤ kU k U −1 |~xo |Ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèå~x = 0èlim |~x(t)| = 0.t→∞ñèñòåìû (75.10) òàêæå àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,93 Mb
Материал
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее