1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Äåéñòâèòåëüíî, äâèæåíèå òåëà îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ ÿâëÿåòñÿ0ñôåðè÷åñêèì, â êîòîðîì ñêîðîñòü åãî òèïè÷íîé òî÷êè ðàâíà v̄ = ω̄ × ȳ . Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ñîîòíîøåíèåìȳ × v̄ 0 = ȳ × (ω̄ × ȳ) = y 2 ω̄ − ȳ(ȳ · ω̄) = (y 2 δ − ȳ ȳ) · ω̄(ω̄ = δ · ω̄)(44.4)è âûðàæåíèåì (43.11) äëÿ öåíòðàëüíîãî òåíçîðà èíåðöèè (ïîëàãàÿ ïîëþñ O òåëà ñîâïàäàþùèì ñ öåíòðîì ìàññ C):ZJc =(y 2 δ − ȳ ȳ)dm,m39(44.5)à òàêæå ó÷åñòü, ÷òî óãëîâàÿ ñêîðîñòü òåëà íå çàâèñèò îò åãî òî÷åê, òî öåíòðàëüíûéêèíåòè÷åñêèé ìîìåíò â (44.2) ìîæíî ïðåäñòàâèòü âûðàæåíèåìZZ0ȳ × v̄ dm =L̄c =m(y 2 δ − ȳ ȳ) · ω̄dm = Jc · ω̄, L̂cn =XcJˆnmω̂m ,(44.6)mmãäå êîìïîíåíòû âåêòîðîâ è òåíçîðà âçÿòû â ñîïóòñòâóþùåé ñèñòåìåCy1 y2 y3 .Ñîïóò-ñòâóþùàÿ ñèñòåìà îáëàäàåò òåì ïðåèìóùåñòâîì, ÷òî â íåé êîìïîíåíòû òåíçîðà èíåðöèè ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè âåëè÷èíàìè, ïîñêîëüêó ðàñïîëîæåíèå òåëà â ýòèõ îñÿõ íåìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì.0 0 0Åñëè çà ñîïóòñòâóþùèå îñè âçÿòü ãëàâíûå öåíòðàëüíûå îñè èíåðöèè òåëà Cy1 y2 y3 , òî0câ íèõ ìàòðèöà êîìïîíåíò òåíçîðà èíåðöèè èìååò äèàãîíàëüíûé âèä: (Jˆnm ) = (Jˆn δnm ) èôîðìóëû (44.6) äëÿ êîìïîíåíò êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà ñòàíóò àíàëîãè÷íûìè ôîðìóëàì(44.3) äëÿ êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿL̂0cn =X0c0Jˆnmω̂m=X0(Jˆn δnm )ω̂m= Jˆn ω̂n0m(n = 1, 2, 3).(44.7)mÐàññìîòðèì ñâîéñòâà êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè T òåëà.
Ïðåäñòàâëåíèå òåëà ñèñòåìîéòî÷åê ïîçâîëÿåò ïðèìåíèòü ê ïîñëåäíåé òåîðåìó Êåíèãà:T∗ = Tc∗ +T∗0 ,(T∗ =X v 021 Xk20∆mk )vc∗ , T∗ =∆mk , Tc∗ = (∆mk ).22 k2kX v2kkÏåðåõîäÿ â íåé ê ïðåäåëó ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè ÷èñëà ÷àñòåéλ = max λk → 0, ïîëó÷èì âûðàæåíèå òåîðåìûZ 02Z 21 2vv00dm, Tc = mvc , T =dm).T = Tc + T (T =222óìåíüøåíèè èõ ðàçìåðîâòåëàTcè(44.8)mmÇäåñüN → ∞Êåíèãà äëÿ ýíåðãèÿ ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ âìåñòå ñ öåíòðîì ìàññ, àT0 ýíåðãèÿâðàùåíèÿ âîêðóã ýòîãî öåíòðà.0Ýíåðãèþ T ìîæíî ïðåäñòàâèòü ÷åðåç òåíçîð èíåðöèè èëè îñåâîé ìîìåíò èíåðöèè.Ïðåäñòàâèì êâàäðàò îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè òî÷êè òåëà ñ ó÷åòîì (44.4) â âèäåv 02 = v̄ 0 · (ω̄ × ȳ) = ω̄ · (ȳ × v̄ 0 ) = ω̄ · (y 2 δ − ȳ ȳ) · ω̄ .(44.9)Èñïîëüçóÿ (44.8), à òàêæå íåçàâèñèìîñòü óãëîâîé ñêîðîñòè ω̄ îò òî÷êè òåëà, ïîëó÷èì0äëÿ T ïðåäñòàâëåíèå ÷åðåç öåíòðàëüíûé òåíçîð èíåðöèè Jc (44.5):1T =20Zm11 X ˆcv 02 dm = ω̄ · Jc · ω̄ =J ω̂m ω̂n .22 m,n mn(44.10)0 0 0 ÷àñòíîñòè, äëÿ ñîïóòñòâóþùèõ ãëàâíûõ öåíòðàëüíûõ îñåé Cy1 y2 y3 ìàòðèöà êîìïî0cíåíò òåíçîðà èíåðöèè äèàãîíàëüíà: (Jˆnm ) = (Jˆn δnm ) è ôîðìóëà (44.10) ïðèíèìàåò áîëååïðîñòîé âèäT0 =ãäåJˆm11 X ˆ 02Jm ωm = (Jˆ1 ω102 + Jˆ2 ω202 + Jˆ3 ω302 ),2 m2 ãëàâíûå öåíòðàëüíûå ìîìåíòû èíåðöèè.40(44.11)Åñëè æå âîñïîëüçîâàòüñÿ âûðàæåíèåì óãëîâîé ñêîðîñòè ω̄ ÷åðåç îðò ¯l ìãíîâåííîéîñè âðàùåíèÿ: ω̄ = ω ¯l, ω̂m = ωˆlm , òî ýíåðãèþ T 0 (44.10) ìîæíî ïðåäñòàâèòü ÷åðåç îñåâîécìîìåíò èíåðöèè JlXω 2 X ˆc ˆ ˆ1c ˆ ˆJmn lm ln = Jlc ω 2 , Jlc =Jˆmnlm ln .2 mn2m,nT0 =Òàêèì îáðàçîì, êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñîãëàñíî òåîðåìå Êåíèãà (44.8) ïðåäñòàâèìà ââèäåÎòñþäà, â ÷àñòíîñòè, âèäíî,11T = Tc + T 0 = mvc2 + Jlc ω 2 .22c÷òî Jl åñòü ìåðà èíåðöèè ïðè(44.12)âðàùåíèè, ïîäîáíî ìàññå m ìåðû èíåðöèè ïðè ïîñòóïàòåëüíîì äâèæåíèè.451◦Ìåðû ñèëîâîãî âîçäåéñòâèÿ íà òåëî.Ãëàâíûé âåêòîð, ãëàâíûé ìîìåíò è ãëàâíàÿ ìîùíîñòü ñèë.Äëÿ òâåðäîãî òåëà, êàê è äëÿ ñèñòåìû òî÷åê, äåéñòâóþùèå ñèëû ìîæíî ïîäðàçäå-ëèòü íà âíóòðåííèå è âíåøíèå.
Ïðèáëèæåííî ïðåäñòàâèâ òåëî â âèäå íåèçìåíÿåìîéñèñòåìû åãî ÷àñòåé, íàéäåì, ÷òî ïî ñâîéñòâàì âíóòðåííèõ ñèë íåèçìåíÿåìîé ñèñòåìûáóäóò ðàâíû íóëþ åå ãëàâíûé âåêòîð, ãëàâíûé ìîìåíò è ãëàâíàÿ ìîùíîñòüiF̄∗i = 0, M̄c∗= 0, N∗i = 0.(45.1)Ïîñêîëüêó òâåðäîå òåëî ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíûì ïðåäñòàâëåíèåì íåèçìåíÿåìîé ñèñòåìû, òî åãî ñóììàðíûå ñèëîâûå õàðàêòåðèñòèêè: ãëàâíûå âåêòîð, ìîìåíò è ìîùíîñòü:F̄ i , M̄ci , N i áóäóò ÿâëÿòüñÿ ïðåäåëüíûìè çíà÷åíèÿìè âåëè÷èí (45.1) è îáëàäàòü àíàëîãè÷íûìè ñâîéñòâàìèiF̄ i = lim F̄∗i = 0, M̄ci = lim M̄c∗= 0, N i = lim N∗i = 0.N →∞N →∞N →∞(45.2)Îòíîñèòåëüíî âíåøíåãî ñèëîâîãî âîçäåéñòâèÿ â äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà îáû÷íî ïðè{F̄ke }, ïðèëîæåííûõ â òî÷êàõ Pk òåëà.
Ýòà ñèñòåìà âíåøíèõ ñèë èìååò ñóììàðíûå õàðàêòåðèñòèêè â âèäå ãëàâíîãîeeeâåêòîðà F̄ , ãëàâíîãî ìîìåíòà M̄c è ãëàâíîé ìîùíîñòè N , îïðåäåëÿåìûõ â âèäåíèìàþò, ÷òî îíî ðåàëèçóåòñÿ â âèäå äèñêðåòíîé ñèñòåìû ñèëF̄ e =Xk2◦F̄ke , M̄ce =Xȳk × F̄ke , N e =Xv̄k · F̄ke .(45.3)kkÑâîéñòâà âíåøíèõ ñèë âîçäåéñòâèÿ íà òåëî.Êàæäàÿ èç ñîñòàâëÿþùèõ âíåøíèõ ñèë çàâèñèò îò ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ òî÷êè ïðèPk : F̄ke (t, x̄k , v̄k ), à ȳk = x̄k − x̄ck , òàê ÷òî ñóììàðíûå ñèëîâûå õàðàêòåðèñòèêè(45.3) áóäóò ôóíêöèÿìè ñîñòîÿíèÿ äâèæåíèÿ âñåé ñèñòåìûëîæåíèÿF̄ e = F̄ e (t, x̄1 , . . . , x̄N , v̄1 , .
. . , v̄N ), M̄ce = M̄ce (t, x̄1 , . . . , x̄N , v̄1 , . . . , v̄N ),N e = N e (t, x̄1 , . . . , x̄N , v̄1 , . . . , v̄N ).41Ôóíêöèÿìè ñîñòîÿíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû áóäóò è êîìïîíåíòû ãëàâíîãî âåêòîðà è ãëàâíîãî ìîìåíòàkkFne = Fne (t, xkm , vm), Mce = Mce (t, xkm , vm)(k = 1, . . . , N ; m, n = 1, 2, 3).(45.4)Îäíàêî, äëÿ òî÷åê òâåðäîãî òåëà â ñèëó êèíåìàòè÷åñêèõ ôîðìóë êîîðäèíàòû è ñêîðîñòèòî÷åê ïðèëîæåíèÿ ñèë Pk ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è îáîáùåííûõccñêîðîñòåé òåëà x , ϕ, ẋ , ϕ̇:xkm = xcm +Xkylk Ãlm (ϕ), vm= ẋcm +Xl(Ãlm )ãäåylk Ã̇lm (ϕ, ϕ̇),l ìàòðèöà ïîâîðîòîâ òåëà.
Ïîýòîìó ôóíêöèÿìè êîîðäèíàò è ñêîðîñòåé òåëàáóäóò è êîìïîíåíòû ñóììàðíûõ ñèëîâûõ âåëè÷èí (45.4):Fne = Fne (t, xc , ϕ, ẋc , ϕ̇), Mce = Mce (t, xc , ϕ, ẋc , ϕ̇).46(45.5)Îáùèå òåîðåìû äèíàìèêè äëÿ òâåðäîãî òåëà.Îáùèå òåîðåìû äèíàìèêè äëÿ òåëà ìîæíî óñòàíîâèòü èç ñîîòâåòñòâóþùèõ òåîðåìäëÿ íåèçìåíÿåìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû. Äåéñòâèòåëüíî, ïðèáëèæåííî ïðåäñòàâèâ òåëî íåèçìåíÿåìîé äèñêðåòíîé ñèñòåìîé òî÷åêPkñ ìàññàìè∆mk ,çàïèøåì äëÿ ñèñòåìûîáùèå òåîðåìû äèíàìèêèdL̄c∗dT∗dK̄∗e= F̄∗e ,= M̄c∗,= N∗edtdtdt(ãäå ó÷òåíî, ÷òî äëÿ íåèçìåíÿåìîé ñèñòåìûN∗i = 0),(46.1)êîòîðûå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü âêà÷åñòâå ïðèáëèæåííûõ ïðåäñòàâëåíèé îáùèõ òåîðåì äèíàìèêè äëÿ òåëà.Âûðàæàÿ ëåâûå ÷àñòè ýòèõ ðàâåíñòâ â ïîäðîáíîì âèäå è ìåíÿÿ â íèõ ïîðÿäîê äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è ñóììèðîâàíèÿ, ïîëó÷èì ôîðìóëûX dv̄kXdK̄∗d Xāk ∆mk ,=v̄k ∆mk =∆mk =dtdt kdtkkXXdL̄c∗d X=(ȳk × v̄k0 )∆mk =(v̄k0 × v̄k0 + ȳk × ā0k )∆mk =(ȳk × ā0k )∆mk ,dtdt kkkX d v̄k · v̄kXd X vk2dT∗=∆mk =()∆mk =v̄k · āk ∆mk ,dtdt k 2dt2kkñ ó÷åòîì êîòîðûõ ïðåäñòàâèì ðàâåíñòâà (46.1) â âèäåXāk ∆mk = F̄∗e ,XXe(ȳk × ā0k )∆mk = M̄c∗,v̄k · āk ∆mk = N∗e .kk(46.2)kÏðèáëèæåíèå (46.2) òåì òî÷íåå, ÷åì íà áîëüøåå ÷èñëî ÷àñòåé ðàçáèòî òåëî è ÷åììåíüøå èõ ðàçìåðû.
Ïîýòîìó çà âûðàæåíèÿ îáùèõ òåîðåì äèíàìèêè äëÿ òåëà ïðèíèìàþò ïðåäåëüíûå âûðàæåíèÿ ðàâåíñòâ (46.2) ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè ÷èñëàðàçáèåíèé òåëà(N → ∞)è ñîîòâåòñòâåííûì óìåíüøåíèåì èõ ðàçìåðîâ(max λk → 0),ò.å. âûðàæåíèÿZeZ(ȳ × ā )dm =ādm = F̄ ,m0mM̄ce ,Zm42v̄ · ādm = N e .(46.3)Ëåâûå ÷àñòè ýòèõ ðàâåíñòâ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñêîðîñòåé èçìåíåíèÿ ìåð äâèæåíèÿ òåëà (44.2):ZK̄ =Zȳ × v̄ dm, T =v̄dm, L̄c =mZ0mv2dm.2(46.4)mÄëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî èñïîëüçîâàòü êèíåìàòè÷åñêèå ôîðìóëûā =dv̄ 0ddȳddv̄, ȳ × ā0 = ȳ ×= (ȳ × v̄ 0 ) −× v̄ 0 = (ȳ × v̄ 0 ),dtdtdtdtdtv̄ · ā = v̄ ·dv̄d v̄ · v̄d v2==,dtdt 2dt 2ïðåäñòàâëÿþùèå ïîäèíòåãðàëüíûå ôóíêöèè â (46.3) â âèäå ïðîèçâîäíûõ (ãäå ó÷òåíî,dȳ÷òî× v̄ 0 = v̄ 0 × v̄ 0 = 0), è ó÷åñòü íåçàâèñèìîñòü ïåðåìåííûõ m è t, ïîçâîëÿþùóþdtìåíÿòü ìåñòàìè äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî âðåìåíè è èíòåãðèðîâàíèå ïî ìàññå:ZZādm =mZddv̄dm =dtdtmZ0(ȳ × ā )dm =mZv̄dm =mdd(ȳ × v̄ 0 )dm =dtdtmZZ(ȳ × v̄ 0 )dm =dL̄c,dtmZv̄ · ādm =mdK̄,dt2dd v( )dm =dt 2dtZv2dTdm =.2dtmmÂíîñÿ ýòè âûðàæåíèÿ â (46.3), ïîëó÷èì îáùèå òåîðåìû äèíàìèêè òåëà â òîì æå âèäå,÷òî è äëÿ ñèñòåìû òî÷åê (46.1):dK̄dL̄cdT= F̄ e ,= M̄ce ,= N e,dtdtdt(46.5)ñ òåì, îäíàêî, ñóùåñòâåííûì îòëè÷èåì, ÷òî ìåðû äâèæåíèÿ òåëà îïðåäåëÿþòñÿ îïðåäåëåííûìè èíòåãðàëàìè (46.4), â òî âðåìÿ êàê ìåðû äâèæåíèÿ ñèñòåìû êîíå÷íûìèñóììàìè.47Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òåëà. êèíåìàòèêå ïîêàçàíî, ÷òî äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà îòíîñèòåëüíî èíåðöèàëüíîécñèñòåìû îòñ÷åòà Ox1 x2 x3 îïðåäåëÿåòñÿ øåñòüþ ôóíêöèÿìè âðåìåíè: xn (t), ϕn (t) (n =1, 2, 3), âûðàæàþùèõ çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè êîîðäèíàò ïîëþñà C è ýéëåðîâûõ óãëîâ.Ïåðâûå èç íèõ îïðåäåëÿþò ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå òåëà âìåñòå ñ ïîëþñîì, à âòîðûå âðàùåíèå âîêðóã ïîëþñà.
Ïîëó÷èì òåïåðü ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿíàõîæäåíèÿ ýòèõ ôóíêöèé, âçÿâ çà ïîëþñ öåíòð ìàññ òåëà.1◦Âûâîä óðàâíåíèé.Áóäåì èñõîäèòü èç òåîðåì î êîëè÷åñòâå äâèæåíèÿ è î öåíòðàëüíîì êèíåòè÷åñêîììîìåíòå äëÿ ñâîáîäíîãî òåëà:dL̄cdK̄= F̄ ,= M̄cdtdt(F̄ = F̄ e , M̄c = M̄ce ).43Ïðåäñòàâèâ êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ òåëà ÷åðåç ìåðó äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ, à àáñîëþòíóþïðîèçâîäíóþ êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà ÷åðåç îòíîñèòåëüíóþ ïðîèçâîäíóþ:K̄ = mv̄c = md˜L̄cdx̄c dL̄c,=− L̄c × ω̄,dtdtdtáóäåì èìåòümd˜L̄cd2 x̄c− L̄c × ω̄ = M̄c .=F̄,dt2dt(47.1)Ïåðâîå èç ýòèõ âåêòîðíûõ óðàâíåíèé â ïðîåêöèÿõ íà îñè íåïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàòOx1 x2 x3äàåò òðè ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèÿmd2 xcn= Fndt2(n = 1, 2, 3).(47.2)Âòîðîå â (47.1) óðàâíåíèå óäîáíåå ïðîåêòèðîâàòü íà îñè ñîïóòñòâóþùåé ñèñòåìû êîîðäèíàòCy1 y2 y3 , ñîâïàäàþùåé ñ ãëàâíûìè öåíòðàëüíûìè îñÿìè èíåðöèè, â êîòîðûõ êîìL̂cn = Jˆn ω̂n , Jˆn =ïîíåíòû öåíòðàëüíîãî êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìèconst:dω̂n− (Jˆn+1 − Jˆn+2 )ω̂n+1 ω̂n+2 = M̂ncJˆndt(n = 1, 2, 3,èíä.≤ 3).(47.3)Çàìåòèì, ÷òî â (47.2) è (47.3) êîìïîíåíòû ñèë è ìîìåíòîâ ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè âðåìåíè, êîîðäèíàò è ñêîðîñòåé òåëàFn = Fn (t, xc , ϕ, ẋc , ϕ̇), M̂nc =XMkc (t, xc , ϕ, ẋc , ϕ̇)Γnk (ϕ),k÷òî è îáúåäèíÿåò ýòè óðàâíåíèÿ â åäèíóþ ñèñòåìó.Òåïåðü ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðèñîåäèíèâ ê (47.2), (47.3) êèíåìàòè÷åñêèå ôîðìóëû Ýéëåðàω̂n =XΛ̂nk (ϕ)ϕ̇k(n = 1, 2, 3),(47.4)kïîëó÷èì çàìêíóòóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ ôóíêöèéxcn (t), ϕn (t), îïèñûâàþùèõ äâèæå-íèå ñâîáîäíîãî òåëà:2 cm ddtx2n = Fn (t, xc , ẋc , ϕ, ω̂),Jˆn dω̂dtn − (Jˆn+1 − Jˆn+2 )ω̂n+1 ω̂n+2 = M̂nc (t, xc , ẋc , ϕ, ω̂),dϕndt=PΛ̂0nk (ϕ)ω̂k(47.5)(n = 1, 2, 3),kãäå â êîìïîíåíòàõ ñèë è ìîìåíòîâ àðãóìåíòûîáîçíà÷åíà ìàòðèöà, îáðàòíàÿ ìàòðèöåΛ̂,ϕ̇ â ñèëó (47.4) çàìåíåíû íà ϕ, ω̂ , à ÷åðåç Λ̂0ñòðóêòóðà êîòîðîé èçâåñòíà.
Ýòà çàìêíóòàÿñèñòåìà îïðåäåëÿåò ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü "Àáñîëþòíî òâåðäîå òåëî". ñèñòåìå (47.5) óðàâíåíèÿ ïîñòóïàòåëüíîé è âðàùàòåëüíîé ÷àñòåé äâèæåíèÿ òåëàâçàèìîñâÿçàíû. Ýòà ñâÿçü ðåàëèçóåòñÿ ÷åðåç ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé. Ïðè ýòîì íàëè-Fn ñðåäè àðãóìåíòîâ âåëè÷èí ϕ, ω̂ îïðåäåëÿåò âëèÿíèåM̂nc âåëè÷èí xc , ẋc âëèÿíèå òðàíñëÿöèè íà ðîòàöèþ.÷èå â êîìïîíåíòàõòðàíñëÿöèþ, à âðîòàöèè íàÒàêèì îáðàçîì, åñëè äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îïèñûâàëîñü ñèñòåìîé óðàâíåíèé øåñòîãî ïîðÿäêà, òî äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà ñèñòåìîé óðàâíåíèé äâåíàäöàòîãîïîðÿäêà.442◦Íà÷àëüíàÿ çàäà÷à äëÿ òåëà.Äëÿ òâåðäîãî òåëà îáû÷íî ñ÷èòàþò çàäàííûìè èíåðöèîííûå õàðàêòåðèñòèêè: ìàññóJˆ1 , Jˆ2 , Jˆ3 , à òàêæå âíåøíåå ñèëîâîå âîçäåéFn è ìîìåíòîâ M̂nc .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
