1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Òîãäà åäèíñòâåííûìè âíåøíèìè ñèëàìè, ïðèëîæåííûìè ê íåìó, ÿâëÿþòñÿ åãî âåñP̄è íîðìàëüíàÿ ðåàêèÿN̄ïîâåðõíîñòè. Íîýòè ñèëû íå äàþò ãîðèçîíòàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé è ïîòîìó íå ìîãóò âûçâàòü ïåðåìåùåíèÿ öåíòðà ìàññ ÷åëîâåêà â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè. Åñëè ñ ïîìîùüþ ìûøå÷íîãîóñèëèÿ ÷åëîâåê âûäâèãàåò âïåðåä îäíó íîãó, òî äðóãàÿ åãî íîãà îòîäâèãàåòñÿ íàçàä, ÷òîáû öåíòð ìàññ îñòàâàëñÿ â ïîêîå. Ïîýòîìó íàõîäÿñü íà ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè ÷åëîâåê íåìîæåò íà÷àòü äâèãàòüñÿ (Ðèñ. 85).Åñëè, îäíàêî, ïîâåðõíîñòü îáëàäàåò òðåíèåì, òî ïåðåìåùåíèþ íîãè íàçàä ïðåïÿòñòâóåò ñèëà òðåíèÿF̄ , íàïðàâëåííàÿ âïåðåä(Ðèñ.
85), êîòîðàÿ è äâèãàåò ÷åëîâåêà. Òàêèì îáðàçîì åäèíñòâåííîé ñèëîé, äàþùåéâîçìîæíîñòü äâèæåíèÿ ÷åëîâåêà ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè, ÿâëÿåòñÿ ñèëà òðåíèÿ. Ìûøå÷íîå óñèëèå, ðàçâèâàåìîå ÷åëîâåêîì ïðè õîäüáå, èìååò ñâîåé öåëüþ èíèöèèðîâàòü íåîáõîäèìóþ âíåøíþþ ñèëó - ñèëó òðåíèÿ. Ýòîò ñëó÷àé ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîìÐèñ. 85òîãî, êàê âíóòðåííèå ñèëû - ìûøå÷íûå óñèëèÿ ñêàçûâàþòñÿ íà äâèæåíèè öåíòðà ìàññ÷åðåç ïîñðåäñòâî âíåøíåé ñèëû - ñèëû òðåíèÿ.Èç ñêàçàííîãî ÿñíî, ïî÷åìó ëåãêî õîäèòü, ñêàæåì, ïî àñôàëüòó è ïëîõî - ïî ëüäó. ïåðâîì ñëó÷àå ñèëà òðåíèÿ ïîäîøâ ñ ïîâåðõíîñòüþ äîñòàòî÷íî âåëèêà, âî âòîðîì æåñëó÷àå îíà íåäîñòàòî÷íà.381◦Òåîðåìà î êèíåòè÷åñêîì ìîìåíòå ñèñòåìû.Òåîðåìà î êèíåòè÷åñêîì ìîìåíòå ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîãî öåíòðà.Ïðè äâèæåíèè ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû åå êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò îòíîñèòåëüíî íà÷à-ëà îòñ÷åòà íåïîäâèæíîé ñèñòåìû èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì:L̄0 (t).Òåìï èçìåíåíèÿ ýòîãîìîìåíòà îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùåé òåîðåìîé î êèíåòè÷åñêîì ìîìåíòå: " êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîãîöåíòðà ðàâíà ãëàâíîìó ìîìåíòó âíåøíèõ ñèë ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî òîãî æå öåíòðà"dL̄0= M̄0e .dt16(38.1)Äîêàçàòåëüñòâî.
Áóäåì èñõîäèòü èç àíàëîãè÷íîé òåîðåìû äëÿ òèïè÷íîé òî÷êèPkñèñòåìû, ïðåäñòàâëÿÿ äåéñòâóþùèé íà íåå ñèëîâîé ìîìåíò ÷åðåç âíåøíèé è âíóòðåííèé0e0i0ìîìåíòû: M̄k = M̄k + M̄kdL̄0k= M̄ke0 + M̄ki0dt(k = 1, .., N ).Ñóììèðóÿ ýòè ðàâåíñòâà ïî âñåì òî÷êàì ñèñòåìû è â ëåâîé ÷àñòè ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâàïåðåñòàâëÿÿ îïåðöèè ñóììèðîâàíèÿ è äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, íàéäåìd X 0 X 0e X 0iL̄ =M̄k +M̄k .dt k kkk ýòîì ñîîòíîøåíèè ñóììà â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ êèíåòè÷åñêèì ìîìåíòîìñèñòåìû îòíîñèòåëüíî öåíòðà Î, à ñóììû â ïðàâîé ÷àñòè - ñèëîâûìè ìîìåíòàìè âíåøíèõ è âíóòðåííèõ ñèë îòíîñèòåëüíî òîãî æå öåíòðàXL̄0k = L̄0 ,kXXM̄k0e = M̄0e ,kM̄k0i = M̄0i ,kïîýòîìó ñîîòíîøåíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäådL̄0= M̄0e + M̄0i .dtÏî ñâîéñòâó âíóòðåííèõ ñèë ñèñòåìû èõ ãëàâíûé ìîìåíò îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîãîdL̄˙ 0i= M̄0e , ÷òîöåíòðà ðàâåí íóëþ: M̄0 = 0, ïîýòîìó ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïðèíèìàåò âèädtè äîêàçûâàåò òåîðåìó (38.1).Âíóòðåííèå ñèëû, íå ïðåäñòàâëåííûå â òåîðåìå, íåïîñðåäñòâåííî íå âëèÿþò íà èçìåíåíèå êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà.
Îäíàêî, îíè ìîãóò èçìåíèòü ïîëîæåíèÿ è ñêîðîñòè òî÷åêeñèñòåìû è òåì ñàìûì èçìåíèòü ñèëîâîé ìîìåíò M̄0 . Ñëåäîâàòåëüíî, âíóòðåííèå ñèëûìîãóò âëèÿòü íà èçìåíåíèå êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà ÷åðåç ïîñðåäñòâî âíåøíèõ ìîìåíòîâ.Âåêòîðíîå ðàâåíñòâî (38.1) ýêâèâàëåíòíî òðåì ñêàëÿðíûì ðàâåíñòâàì, âûðàæàþùèìòåîðåìó î êèíåòè÷åñêîì ìîìåíòå â êîìïîíåíòíîé ôîðìådL0k= Mke0dt(k = 1, 2, 3)(38.2)Ñîãëàñíî (38.2) ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà ñèñòåìû âîêðóã íåêîòîðîéêîîðäèíàòíîé îñè ðàâíà ãëàâíîìó ñèëîâîìó ìîìåíòó âíåøíèõ ñèë âîêðóã ýòîé îñè.2◦Èíòåãðàëû ïëîùàäåé.Ñîãëàñíî òåîðåìå î êèíåòè÷åñêîì ìîìåíòå (38.1):L̄˙ 0 = M̄0eèçìåíåíèå êèíåòè÷åñêîãîeeìîìåíòà îáóñëîâëåíî âíåøíèì âîçäåéñòâèåì â âèäå ñèëîâîãî ìîìåíòà M̄0 . Åñëè M̄0 = 0,dL̄0= 0 è èìååò ìåñòî âåêòîðíûé èíòåãðàë (ýêâèâàëåíòíûé òðåìòî ïî ýòîé òåîðåìådtñêàëÿðíûì èíòåãðàëàì)L̄0 = const(L0n = const,n = 1, 2, 3),(38.3)íàçûâàåìûé èíòåãðàëîì ïëîùàäåé è âûðàæàþùèì çàêîí ïîñòîÿíñòâà êèíåòè÷åñêîãîìîìåíòà.17M̄0e 6= 0, íî ðàâíîì íóëþ îäíîé åãî êîìïîíåíòå, íàïðèìåð,dL0= 0, èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà â (38.2): dt3 = M3e0 = 0 ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ áîëåå îáùåì ñëó÷àå ïðèòðåòüåé:M3e0ñëåäóåò îäèí ñêàëÿðíûé èíòåãðàë ïëîùàäåéL03 = const.(38.4)Êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò ñèñòåìû ñâÿçàí ñ ñåêòîðíûìè ñêîðîñòÿìè åå òî÷åê2S̄k = x̄k × v̄kôîðìóëîéL̄0 =XL̄0k =kXx̄k × mk v̄k = 2Xkmk S̄k ,kâ ñèëó êîòîðîé èíòåãðàëû (38.3),(38.4) èìåíóþòñÿ èíòåãðàëàìè ïëîùàäåé.Åñëè ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà íåèçìåíÿåìà è ðàâíîìåðíî âðàùàåòñÿ êàê åäèíîå öåëîåâîêðóã íåïîäâèæíîé îñèOx3 ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω3 , òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ è ñîêðîñòèåå òî÷åê èìåþò çíà÷åíèÿ (Ðèñ.
86)xk1 = hk cos ϕ3 , x2k = hk sin ϕ3 , xk3 = lk = constv1k = ẋk1 = −hk ϕ˙3 sin ϕ3 , v2k = ẋk2 = hk ϕ˙3 cos ϕ3 , v3k = ẋk3 = 0è êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî îñè x3 ïðåäñòàâèìP0mk h2k è óãëîâóþ ñêîðîñòü÷åðåç îñåâîé ìîìåíò èíåðöèè J3 =kω3 â âèäåXL03 =mk (xk1 v2k − xk2 v1k ) = ϕ˙3XkÐèñ. 86mk h2k (cos2 ϕ3 + sin2 ϕ3 ) = J30 ω3k(38.5)0Ôîðìóëà äëÿ L3 àíàëîãè÷íà âûðàæåíèþ òðåòüåé êîìïîíåíòû äëÿ êîëè÷åñòâà äâèæåcíèÿ ñèñòåìû: K3 = mv3 .
Èç ñîïîñòàâëåíèÿ ýòèõ ôîðìóë ñëåäóåò, ÷òî ðîëü ìàññû m ècñêîðîñòè öåíòðà ìàññ v3 ïðè òðàíñëÿöèè ñèñòåìû âäîëü îñè x3 èãðàþò îñåâîé ìîìåíò0èíåðöèè J3 è óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ω3 ïðè ðîòàöèè ñèñòåìû âîêðóã ýòîé îñè.0eÏðè âðàùåíèè íåèçìåíÿåìîé ñèñòåìû âîêðóã îñè x3 , êîãäà M3 = 0, èíòåãðàëó (38.4)â ñèëó ñâîéñòâà (38.5) ìîæíî ïðèäàòü âèä0J30 ω3 = const = J30ω30 .3◦(38.6)Âðàùåíèå ôèãóðèñòà íà ëüäó.Òåîðåìà î êèíåòè÷åñêîì ìîìåíòå ñèñòåìû è èíòåãðàëû ïëîùàäåé ïîçâîëÿþò îáúÿñ-íèòü ðÿä íàáëþäàåìûõ ýôôåêòîâ äâèæåíèÿ. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ÿâëåíèå óáûñòðÿþùåãîñÿâðàùåíèÿôèãóðèñòàíàëüäóâîêðóãâåðòèêàëüíîéâ öåíòðå ìàññòî÷êåO,Cx3 (Ðèñ.
87)P̄ , ïðèëîæåííûéîñèÍà ôèãóðèñòà äåéñòâóþò äâå âíåøíèå ñèëû: âåñè íîðìàëüíàÿ ðåàêöèÿ ëüäàN̄ ,ïðèëîæåííàÿ âïðèíÿòîé çà íà÷àëî îòñ÷åòà. Ïðè âåðòèêàëüíîé îñèx3 ,íàïðàâëåííîé ââåðõ áóäåì èìåòüP1 = P2 = 0, P3 = −P ; N1 = N2 = 0, N3 = Nè ãëàâíûé ñèëîâîé ìîìåíò îòíîñèòåëüíî âåðòèêàëüíîé îñè áóäåòíóëåâûì:Ðèñ. 87M30e = M3P + M3N = (xc1 P2 − xc2 P1 ) + (x01 N2 − x02 N1 ) = 018Òåì ñàìûì áóäåò ñïðàâåäëèâ èíòåãðàë (38.6)0L03 = J30 ω3 = J30ω30 .Óáûñòðÿþùååñÿ âðàùåíèå ôèãóðèñòà â ñèëó (38.6) îáúÿñíÿåòñÿ òåïåðü ñëåäóþùèì îáðàçîì.
 íà÷àëüíûé ìîìåíò t0 ôèãóðèñò, ðàçâåäÿ ðóêè â ñòîðîíû, òîë÷êîì êîíüêà ñîîáùàåò ñâîåìó òåëó íåêîòîðóþ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ω30 . Ïðè ýòîì åãî èíåðöèîííûé ìîìåíò0äîñòàòî÷íî âåëèê. Çàòåì, ïðèæèìàÿ ðóêè ê òåëó è ñîåäèíÿÿ íîãè, îí ðåçêî óìåíüJ3000øàåò ñâîé èíåðöèîííûé ìîìåíò J3 è â ñèëó ïîñòîÿíñòâà L3 ðåçêî óâåëè÷èâàåò ñêîðîñòüâðàùåíèÿ ω3 , ÷òî è íàáëþäàåòñÿ âèçóàëüíî.39Òåîðåìà î êèíåòè÷åñêîì ìîìåíòå îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ.1◦Òåîðåìà î öåíòðàëüíîì êèíåòè÷åñêîì ìîìåíòå.dL̄0Ïðèìåíèì òåîðåìó î êèíåòè÷åñêîì ìîìåíòå ñèñòåìû= M̄0e ê èññëåäîâàíèþdt0 0 0åå äâèæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïîäâèæíûõ îñåé Cx1 x2 x3 ïîñòóïàòåëüíî ïåðåìåùàþùèõñÿ âìåñòå ñ öåíòðîì ìàññ C îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé ñèñòåìû Ox1 x2 x3 (Ðèñ.
88).Êèíåòè÷åñêèå è ñèëîâûå ìîìåíòû ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî öåíòðîâOèCñâÿçàíû ðàíåå óñòàíîâëåííûìèñîîòíîøåíèÿìèL̄0 = x̄c × mv̄c + L̄0c , M̄0e = x̄c × F̄ e + M̄ce .Ïîäñòàíîâêà ýòèõ âåëè÷èí â òåîðåìó ìîìåíòîâ äëÿíåïîäâèæíîãî öåíòðàÐèñ. 88Oäàåòdv̄c dL̄0cdx̄c× mv̄c + x̄c × m+= x̄c × F̄ e + M̄ce .dtdtdtÏåðâîå ñëàãàåìîå ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà ðàâíà íóëþ êàê âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå êîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâdx̄c× mv̄c = v̄c × mv̄c = 0.dtÎñòàâøèåñÿ â ðàâíñòâå ÷ëåíû ìîãóò áûòü çàïèñàíû â âèäå:x̄c × (m ñèëó òåîðåìû î öåíòðå ìàññdL̄cdv̄c− F̄ e ) += M̄ce .dtdtcm dv̄= F̄ edtâûðàæåíèå â êðóãëîé ñêîáêå ëåâîé ÷àñòè îáðà-ùàåòñÿ â íóëü.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì âåêòîðíîå ðàâåíñòâî, âûðàæàþùåå ñëåäóþùóþòåîðåìó î êèíåòè÷åñêîì ìîìåíòå îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ:dL̄0c= M̄ce .dt(39.1)Òåîðåìà ãëàñèò: " êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòàñèñòåìû îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ ðàâíà ãëàâíîìó ìîìåíòó âíåøíèõ ñèë îòíîñèòåëüíîýòîãî öåíòðà".19Òåîðåìà î êèíåòè÷åñêîì ìîìåíòå îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ (39.1) ïî ñòðóêòóðå àíàëîãè÷íà ñîîòâåòñòâóþùåé òåîðåìå äëÿ íåïîäâèæíîãî öåíòðà (38.1) ñ òîé, îäíàêî, ðàç00íèöåé, ÷òî â ìîìåíòå L̄c èñïîëüçóþòñÿ îòíîñèòåëüíûå ñêîðîñòè v̄k , â òî âðåìÿ êàê â L̄0èñïîëüçîâàëèñü àáñîëþòíûå ñêîðîñòè v̄k .Âåêòîðíîå ðàâåíñòâî (39.1) ýêâèâàëåòíî òðåì ñêàëÿðíûì ðàâåíñòâàìdL0cn= Mnecdt(n = 1, 2, 3),(39.2)âûðàæàþùèì òåîðåìó â êîìïîíåíòíîé ôîðìå.2◦Èíòåãðàëû ïëîùàäåé.Êàê è ïðåäûäóùàÿ òåîðåìà (38.1) òåîðåìà (39.1) â ðÿäå ñëó÷àåâ äàåò èíòåãðàëûäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ.
 ÷àñòíîñòè, ïðè îòñóòñòâèè öåíòðàëüíîãîdL̄0ce= 0. Îòêóäà â ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿñèëîâîãî ìîìåíòà M̄c = 0 áóäåì èìåòüdtïîëó÷àåì âåêòîðíûé èíòåãðàë ïëîùàäåéL̄0c = const = L̄0c0 ,(39.3)âûðàæàþùèé çàêîí ñîõðàíåíèÿ öåíòðàëüíîãî êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà.ece áîëåå îáùåì ñëó÷àå, êîãäà M̄c 6= 0, íî M1 = 0, èç ïåðâîãî â (39.2) ðàâåíñòâàdL0c1ïîëó÷àåì óñëîâèå= M1ec = 0, îòêóäà ñëåäóåò ñêàëÿðíûé èíòåãðàë ïëîùàäåé L0c1 =dtconst.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
