1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ñèñòåìå ìàòåðèàëüíûõ òî÷åêÐèñ. 80{Pν } ñîïîñòàâëÿþò ãåîìåòðè÷åñêóþ òî÷êó C, îïðåäåëÿåìóþPmk x̄kkP,(35.2)x̄c =mkâåêòîð-ðàäèóñîìkêîòîðóþ íàçûâàþò öåíòðîì ìàññ ñèñòåìû (Ðèñ. 81). Ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ îòíîñèòåëüíî äðóãèõ òî÷åê ñèñòåìû íå çàâèñèò îò âûáîðà ñèñòåìû êîîðäèíàò.5Ìîìåíòîì èíåðöèè ñèñòåìûJl0îòíîñèòåëüíî îñè l, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî îòñ÷åòàmνO, íàçûâàþò ñóììó ïðîèçâåäåíèé ìàññ òî÷åêíà êâàäðàòû èõ ðàññòîÿíèéhνäî îñè(Ðèñ. 80)Jlν =Xmk h2k .(35.3)k0c0Ìîìåíòîì èíåðöèè Jl , Jl îòíîñèòåëüíî ïàðàëëåëüíûõ îñåé l è l , îòñòîÿùèõ äðóã îòäðóãà íà ðàññòîÿíèè d è ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç öåíòðû O è C (Ðèñ.
81), ñâÿçàíû ðàâåíñòâîìJ0l = Jcl + md2 ,(35.4)âûðàæàþùåì òåîðåìó Ãþéãåíñà Øòåéíåðà.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåäåì ÷åðåç òèïè÷íóþ òî÷êó ñèñòåìû Pkx̄k , x̄0k åå âåêòîð0ðàäèóñû îòíîñèòåëüíî öåíòðîâ O è C è ÷åðåç hk , hk - ðàññòîÿíèÿ00 ¯äî îñåé l è l . Òîãäà äëÿ âåêòîðîâ ðàññòîÿíèé h̄k , h̄k , d áóäåì èìåòüñîîòíîøåíèÿ (Ðèñ. 81):ïëîñêîñòü, îðòîãîíàëüíóþ îñÿì, îáîçíà÷èì ÷åðåç2¯ 0h̄k = d¯ + h̄0k , h2k = h̄k · h̄k = h02k + d + 2d · h̄k .ÏîëàãàÿÐèñ. 81d¯ ⊥ x̄kl ),h̄0k = x̄0k − x̄0klè ó÷èòûâàÿ óñëîâèåd¯ · x̄0kl = 0(35.5)(ââèäóïðåäñòàâèì ïîñëåäíèé ÷ëåí â (35.5) â âèäå2d¯ · h̄0k = 2d¯ · x̄0k − 2d¯ · x̄0kl = 2d¯ · x̄0k .(35.6)Òåïåðü ëåãêî âèäåòü, ÷òî ââèäó (35.5) è (35.6) îñåâîé ìîìåíò ïðåäñòàâèì ñóììîé òðåõñëàãàåìûõJl0 =Xmk h2k =Xmk h02k +XXmk d¯ · x̄0k .kkkkmk d2 + 2Ýòè ñëàãàåìûå èìåþò âûðàæåíèÿXcmk h02k = Jl ,kXmk d2 = d2Xkmk = md2 , 2Xmk d¯ · x̄0k = 2d¯ ·òàê êàê ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ öåíòðà ìàññ è óñëîâèÿXmk x̄0k = 0,kkkXx̄0c = 0áóäåì èìåòümk x̄0k = mx̄0c = 0.kÏîäñòàíîâêà çíà÷åíèé ñëàãàåìûõ â èñõîäíîå ðàâåíñòâî äàåò ñîîòíîøåíèåJl0 = Lcl + md2 ,äîêàçûâàþùåå òåîðåìó (35.4).
Èç òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ñîâîêóïíîñòè ïàðàëëåëüíûõîñåé èíåðöèîííûé ìîìåíò ìèíèìàëåí äëÿ òîé èç íèõ, êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòðìàññ.2◦Ìåðû äâèæåíèÿ ñèñòåìûÊîëè÷åñòâîì äâèæåíèÿK̄ñèñòåìû íàçûâàþò âåêòîðíóþ ñóìì êîëè÷åñòâ äâèæåíèÿåå òî÷åêK̄ =XK̄k =kXk6mk v̄k(35.7)Êîëè÷åñòâîì äâèæåíèÿK̄ñèñòåìû îïðåäåëÿåò ìåðó äâèæåíèÿ,êîòîðûì îáëàäàåò ñèñòåìà.Íàðÿäó ñ íåïîäâèæíîé ñèñòåìîé îòñ÷åòà Ox1 x2 x3 ðàññìîòðèìCx01 x02 x03 , äâèæóùóþñÿ ïîñòóïàòåëüíî âìåñòåñ ýòèì öåíòðîì, òàê ÷òî åå îñè âñå âðåìÿ îñòàåòñÿ ïàðàëëåëüíû0ìè ñîîòâåòñòâóþùèì íåïîäâèæíûì îñÿì: Cxn k Oxn (Ðèñ. 82).ïîäâèæíóþ ñèñòåìóÓñòàíîâèì ñâÿçü ìåæäó êîëè÷åñòâàìè äâèæåíèÿ â íåïîäâèæíîéÐèñ.
82è ïîäâèæíîé ñèñòåìàõ. ñîîòâåòñòâèè ñ (Ðèñ. 82) ó òî÷êè{Pk }ñèñòåìû âåêòîð-ðàäèóñû è ñêîðîñòè â íåïîäâèæíîé è ïîäâèæíîé ñèñòåìàõ ñâÿçàíû ðàâåíñòâàìèx̄k = x̄c + x̄0k , v̄k = v̄c + v̄k0 ,(35.8)ñëåäîâàòåëüíî êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû â íåïîäâèæíûõ îñÿõ áóäåòðàâíîK̄ =Xmk v̄k =kãäåK̄cXmk (v̄c + v̄k0 ) = K̄c + K̄ 0 ,(35.9)k- êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ, àK̄ 0- îòíîñèòåëüíîå êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ,îïðåäåëÿåìûå âûðàæåíèÿìèK̄c =XXmk )v̄c = mv̄c ,mk v̄c = (kkK̄ 0 =Xkd Xdmk x̄0k = mx̄0c = 0,mk v̄k0 =dt kdt0òàê êàê x̄c = 0.
Òî åñòü êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ ñèñòåìû â ïîäâèæíûõ îñÿõ, ñâÿçàííûõ ñöåíòðîì ìàññ, ðàâíî íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëà (35.9) ïðèíèìàåò âèäK̄ = mv̄c ,(35.10)ò. å. êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ ñèñòåìû â íåïîäâèæíûõ îñÿõ ñîâïàäàåò ñ êîëè÷åñòâîì äâèæåíèÿ åå öåíòðà ìàññ, íàäåëåííîãî ìàññîé ñèñòåìû.Êèíåòè÷åñêèì ìîìåíòîì ñèñòåìûL̄0 îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîãî öåíòðà Î íàçûâàþòâåêòîðíóþ ñóììó êèíåòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ åå òî÷åê îòíîñèòåëüíî òîãî æå öåíòðà:L̄0 =XL̄0k =Xkx̄k × mk v̄k .(35.11)kÊèíåòè÷åñêèé ìîìåíò îòíîñèòåëüíî öåíòðà Î âûðàæàåò ìåðó âðàùåíèÿ ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî ýòîãî öåíòðà.Ñóùåñòâóåò îïðåäåëåííîå ñîîòíîøåíèå ìåæäó êèíåòè÷åñêèìè ìîìåíòàìèL̄0èL̄cîòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîãî è ïîäâèæíîãî öåíòðîâ. Äëÿ óñòàíîâëåíèÿ åãî âèäà ïðåîáðàçóåìL̄0 =L̄0Xñ ó÷åòîì (35.8):(x̄c + x̄0k )×mk (v̄c + v̄k0 ) =kXx̄c ×mk v̄c +Xkx̄c ×mv̄k0 +kÏðåîáðàçóåì ñëàãàåìûå ïðàâîé ÷àñòè ñ ó÷åòîì óñëîâèÿXx̄c × mk v̄c = x̄c × (Xkk7Xx̄0k ×mk v̄c +kx̄0c = 0:mk )v̄c = x̄c × mv̄c ,Xkx̄0k ×mk v̄k0 .XXx̄c × mv̄k0 = x̄c ×kmk v̄k0 = x̄c ×kXd Xdmk x̄0k = x̄c × (mx̄0c ) = 0,dt kdtXx̄0k × mk v̄c = (mk x̄0k ) × v̄c = mx̄0c × v̄c = 0,kkXx̄0k × mk v̄k0 = L̄0c .kÑëåäîâàòåëüíî, ñâÿçü ìåæäó êèíåòè÷åñêèìè ìîìåíòàìè èìååò âèäL̄0 = x̄c × mv̄c + L̄0c .(35.12)Êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé Ò ñèñòåìû íàçûâàþò ñóììó êèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé åå òî÷åêT =XX mk v 2kTk =kk2.(35.13)Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðíîé ìåðîé äâèæåíèÿ ñèñòåìû, îïðåäåëÿþùåé ìåðó ïåðåõîäà ýíåðãèè äâèæåíèÿ â äðóãèå ôîðìû ýíåðãèè.
Ïîäîáíî êèíåòè÷åñêîìóìîìåíòó êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ñâÿçàíà ñ ýíåðãèåé öåíòðà ìàññ. Äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ýòîé ñâÿçè ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå (35.13) äëÿTñ ó÷åòîì ïðåäñòàâëåíèÿ ñêîðîñòè(35.8). Òîãäà äëÿ êâàäðàòà ñêîðîñòè òî÷êè ñèñòåìû ïîëó÷èì ôîðìóëóvk2 = v̄k · v̄k = (v̄c + v̄k0 ) · (v̄c + v̄k0 ) = vc2 + vk02 + 2v̄c · v̄k0 ,è çàïèøåì êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ñèñòåìû â âèäå ñóììû òðåõ ñëàãàåìûõT =X mk v 2k2kÇäåñü ñ ó÷åòîì óñëîâèÿX mk v 2ckX2=X mk v 2ckx̄0c = 0mk v̄c · v̄k0 = v̄c ·k=2X mk v 02k+k2+Xmk v̄c · v̄k0 .kñëàãàåìûå èìåþò çíà÷åíèÿX mk v 02vc2 Xmvc2kmk == Tc ,= T 0,2 k22kXmk v̄k0 = v̄c ·kd Xdmk x̄0k = v̄c · (mx̄0c ) = 0,dt kdtè êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïîëó÷àåò âûðàæåíèåT = Tc + T 0 =mvc2 X mk vk02+.22k(35.14)Ñâîéñòâî (35.14) êèíèòè÷åñêîé ýíåðãèè íàçûâàþò òåîðåìîé ʼíèíãà: "Êèíåòè÷åñêàÿýíåðãèÿ ñèñòåìû ðàâíà ñóììå êèíèòè÷åñêîé ýíåðãèè åå öåíòðà ìàññ, íàäåëåííîãî ìàññîé ñèñòåìû, è ýíåðãèè äâèæåíèÿ îòíîñèòåëüíî îñåé, ïîñòóïàòåëüíî ïåðåìåùàþùèõñÿâìåñòå ñ öåíòðîì ìàññ".83◦Ìåðû ñèëîâîãî âîçäåéñòâèÿ íà ñèñòåìó.Íà ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê{Pk } äåéñòâóåò ñèñòåìà ñèë {F̄k }, õàðàêòåðèñòèêàìèêîòîðîé ñëóæàò ãëàâíûé âåêòîð, ãëàâíûé ìîìåíò è ãëàâíàÿ ìîùíîñòü.F̄Ãëàâíûì âåêòîðîìñèñòåìû ñèë íàçûâàþò âåêòîðíóþ ñóììó ñèëF̄ =XF̄k ,(35.15)kà ãëàâíûì ìîìåíòîì ñèëM̄0îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîãî öåíòðà Î - âåêòîðíóþ ñóììóìîìåíòîâ ñèë îòíîñèòåëüíî ýòîãî öåíòðàM̄0 =XM̄k0 =XkÃëàâíûå ìîìåíòûx̄k × F̄k .(35.16)kM̄0 , M̄c îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîãî öåíòðà Î è ïîäâèæíîãî öåíòðàÑ ñâÿçàíû ðàâåíñòâîìM̄0 = x̄c × F̄ + M̄c .(35.17)Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî (35.16) è (35.8) èìååìM̄0 =Xx̄k × F̄k =XXXx̄0k × F̄k(x̄c + x̄0k ) × F̄k = x̄c × (F̄k ) +kkkkÒàê êàê ñëàãàåìûå âåêòîðà ïðàâîé ÷àñòè ðàâíûx̄c ×XXF̄k = x̄c × F̄ ,kkòî âûðàæåíèå ìîìåíòàM̄0x̄0k × F̄k = M̄c .ñîâïàäàåò ñ (35.17)Ãëàâíîé ìîùíîñòüþ N ñèñòåìû ñèë íàçûâàþò ñóììó ìîùíîñòåé ñîñòàâëÿþùèõ ñèë:N=XNk =XkF̄k · v̄k .(35.18)kÃëàâíàÿ ìîùíîñòü ñèë îáëàäàåò ñâîéñòâîìN = N̄c + N 0 , N 0 =XF̄k · v̄k0 , Nc = F̄ · v̄c(35.19)kÄåéñòâèòåëüíî, íà îñíîâàíèè (35.18) è (35.8) èìååì ñîîòíîøåíèåN=XkF̄k · v̄k =XF̄k · (v̄c + v̄k0 ) = (XkF̄k ) · v̄c +XkF̄k · v̄k0 = F̄ · v̄c + N 0 ,kèç êîòîðîãî ñëåäóåò ñâîéñòâî (35.19)4◦Âíóòðåííèå ñèëû è èõ ñâîéñòâà.Äåéñòâóþùèå íà òî÷êóPkòàê ÷òî ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëàñèëû ïîäðàçäåëÿþò íà âíåøíþþF̄kF̄keè âíóòðåííþþF̄ki ,áóäåò ðàâíà èõ âåêòîðíîé ñóììåF̄k = F̄ke + F̄ki(k = 1, .., N ).9(35.20)iF̄kmîáóñëîâëåíû âçàèìîäåéñòâèåì ìåæäó òî÷êàìè Pk è Pm ñèñòåeìû, à âíåøíèå ñèëû F̄kr - âçàèìîäåéñòâèÿ òî÷êè ñèñòåìû Pk ñ òî÷êàìè Pr , â ñèñòåìó íåâõîäÿùèìè; ðåçóëüòèðóþùèå ñèëû, ïðèëîæåííûå ê òî÷êå Pk , áóäóò ðàâíûXXieF̄ki =F̄km, F̄ke =F̄kr.Âíóòðåííèå ñèëûmrÂíóòðåííèå ñèëû ñèñòåìû îáëàäàþò ðÿäîì ñâîéñòâ.Äëÿ äâóõ òî÷åêPk , Pmñèñòåìû âíóòðåííèå ñèëûiiF̄km, F̄mk(Ðèñ.
83) ñîãëàñíî òðåòüåìó çàêîíó Íüþòîíà îáëàäàåò ñâîéñòâîìii= 0 (k, m = 1, .., N ).+ F̄mkF̄km(35.21)Íà îñíîâå ýòèõ ðàâåíñòâ óñòàíîâèì äëÿ âíóòðåííèõ ñèë ñâîéñòâà ãëàâíîãî âåêòîðà, ãëàâíîãî ìîìåíòà è ãëàâíîé ìîùíîñòè.Ãëàâíûé âåêòîð âíóòðåííèõ ñèë ìîæíî âû÷èñëèòü ðàçíûìèiñïîñîáàìè. Âçÿâ çà îñíîâó ñèëó F̄k , ïðèëîæåííóþ ê òî÷êå Pk ,iïðåäñòàâèì ãëàâíûé âåêòîð F̄ â âèäåXF̄ i =Ðèñ.
83F̄ki =XXkF̄ i =XF̄mi =XXmmmkÅñëè æå çà îñíîâó âçÿòü ñèëóiF̄km.F̄mi ,òî äëÿF̄ iáóäåì èìåòüiF̄mk.kÑëîæåíèå ýòèõ äâóõ ðàâåíñòâ è ó÷åò (35.21) äàþò ïåðâîå ñâîéñòâî2F̄ i =Xii(F̄km+ F̄mk) = 0, F̄ i = 0,(35.22)k,mò. å. ãëàâíûé âåêòîð âíóòðåííèõ ñèë ñèñòåìû ðàâåí íóëþ.F̄ki ,Ãëàâíûé ìîìåíò âíóòðåííèõ ñèë âû÷èñëèì ðàçíûìè ñïîñîáàìè.
Áåðÿ çà îñíîâó ñèëóiïðèëîæåííóþ â òî÷êå Pk , ãëàâíûé ìîìåíò M̄0 çàïèøåì â âèäåM̄0i =Âçÿâ çà îñíîâó ñèëóâèäåx̄m = x̄k + x̄kmM̄0i =Xmx̄m × F̄mi =Xx̄k × F̄ki =Xx̄k ×XiF̄km=mkkF̄mi ,ïðèëîæåííóþ â òî÷êó(Ðèñ. 83), ãäåx̄km k F̄mk ,Xix̄k × F̄km.kmPmè ïðåäñòàâèâ åå âåêòîð-ðàäèóñ âïîëó÷èìXXXXXiiii=x̄k × F̄mk+x̄km × F̄mk=x̄k × F̄mk(x̄k + x̄km ) ×F̄mkmkmkmkmkÑëîæåíèå ýòèõ ðàâåíñòâ è ó÷åò (35.21) äàþò âòîðîå ñâîéñòâî ñèë:2M̄0i =Xiix̄k × (F̄km+ F̄mk) = 0, M̄0i = 0,(35.23)kmò.
å. ãëàâíûé ìîìåíò âíóòðåííèõ ñèë ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîãî íåïîäâèæíîãîöåíòðà Î ðàâåí íóëþ.Íàêîíåö, âû÷èñëèì ðàçíûìè ñïîñîáàìè ãëàâíóþ ìîùíîñòü âíóòðåííèõ ñèë. ÂîçüìåìF̄ki â òî÷êå Pk , èìåþùåé ñêîðîñòü v̄k , òîãäà ãëàâíàÿ ìîùíîñòü N i áóäåò ðàâíàçà îñíîâó10Ni =XNki =XkXiNm=mXXXXii(F̄km) · v̄k =F̄km· v̄k .kÏîìåíÿâ ðîëÿìè òî÷êèNi =P̄ki · v̄k =PkèF̄mi · v̄m =mmkPmè ó÷òÿ ðàâåíñòâîk,mv̄m = v̄k − x̄˙ mkáóäåì èìåòüXXXXiii(F̄mk)(v̄k − x̄˙ mk ) =F̄mk· v̄k −F̄mk· x̄˙ mk .mkmkmkÑëîæåíèå äâóõ ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèé è ó÷åò (35.21) äàþò2N i =Xii) · v̄k −+ F̄mk(F̄kmXi· x̄˙ mk = −F̄mkmkkmXi· x̄˙ mk .F̄mkmkÏðåîáðàçóåì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
