1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Âíóòðåííþþ ñèëó ïðåäñòàâèì ÷åðåç ìîäóëü èîðòii= ±FmkF̄mkx̄mk,xmkãäå çíàê "ïëþñ"ñîîòâåòñòâóåò ñèëå ïðèòÿæåíèÿ, à çíàê "ìèíóñ"− ñèëå îòòàëêèâàíèÿ.Òîãäà äëÿ ìîùíîñòè ïîëó÷èì âûðàæåíèå2N i = ∓XiFmkmkx̄mk· x̄˙ mk .xmkÅñëè åùå ó÷åñòü ñîîòíîøåíèå1xmkx̄mk · x̄˙ mk =1 dx2mk12xmk ẋmk = ẋmk ,=2xmk dt2xmkòî ïîëó÷èì îêîí÷àòåëüíîå ðàâåíñòâî, âûðàæàþùåå òðåòüå ñâîéñòâî âíóòðåííèõ ñèëNi = ∓1X iF ẋmk .2 mk mk(35.24)ò. î. â îáùåì ñëó÷àå ãëàâíàÿ ìîùíîñòü âíóòðåííèõ ñèë îòëè÷íà îò íóëÿ. ÷àñòíîì ñëó÷àå íåèçìåíÿåìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, êîãäà ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ååòî÷êàìè ñîõðàíÿåòñÿ, âíóòðåííÿÿ ìîùíîñòü îáðàùàåòñÿ â íîëü:xmk = const, ẋmk = 0, N i = 0.(35.25) äðóãîì ÷àñòíîì ñëó÷àå - ñëó÷àå âíóòðåííèõ ñèë, çàâèñÿùèõ îò ðàññòîÿíèé ìåæäóiiòî÷êàìè ñèñòåìû: Fmk (xmk ), ìîæíî ââåñòè ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ V ýòèõ ñèë â âèäå1XV =±2 mkiZiFmk(xmk )dxmk .(35.26)Òîãäà âíóòðåííÿÿ ìîùíîñòü áóäåò ðàâíà âçÿòîé ñî çíàêîì ìèíóñ ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò ýòîé ýíåðãèè:Ni = −dV i.dtÄåéñòâèòåëüíî,dV i1X d−=∓(dt2 mk dxmkZiFmk(xmk )dxmk )11dxmk1X i=∓F (xmk )ẋmk = N i .dt2 mk mk(35.27)Èçëîæåííûå ñâîéñòâà âíóòðåííèõ ñèë íàõîäÿò ïðèìåíåíèå, â ÷àñòíîñòè, â îáùèõ òåîðåìàõ äèíàìèêè ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì.Îáùèå òåîðåìû äèíàìèêè ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ âàæíûìè ñëåäñòâèÿìè åå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.
Ýòè òåîðåìû óñòàíàâëèâàþò ñâÿçè ìåæäó ìåðàìè äâèæåíèÿ ñèñòåìû è ìåðàìè ñèëîâîãî âîçäåéñòâèÿ. Ïðè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ íà ñèëûîíè ïîçâîëÿþò óñòàíîâèòü çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ìåð äâèæåíèÿ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ èíòåãðàëàìè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ è ñëóæàò äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ñâîéñòâäâèæåíèÿ.361◦Òåîðåìà î êîëè÷åñòâå äâèæåíèÿ ñèñòåìû.Ôîðìû òåîðåìû.Ïðè äâèæåíèè ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû åå êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ ïîä äåéñòâèåì ïðèëî-æåííûõ ñèë èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåìK̄(t).Òåìï ýòîãî èçìåíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþ-ùåé òåîðåìîé î êîëè÷åñòâå äâèæåíèÿ: " êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ñêîðîñòü èçìåíåíèÿêîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ñèñòåìû ðàâíà ãëàâíîìó âåêòîðó äåéñòâóþùèõ íà íåå âíåøíèõñèë"dK̄= F̄ e .dt(36.1)Äîêàçàòåëüñòâî.
Áóäåì èñõîäèòü èç àíàëîãè÷íîé òåîðåìû, äîêàçàííîé ðàíåå äëÿ òèïè÷íîé òî÷êèPkñèñòåìû, â êîòîðîé äåéñòâóþùàÿ ñèëàeiè âíóòðåííþþ ñîñòàâëÿþùèå: F̄k = F̄k + F̄kdK̄k= F̄ke + F̄ki ,dtF̄kK̄k = mk V̄kïðåäñòàâëÿåòñÿ ÷åðåç âíåøíþþ(k = 1, .., N ).(36.2)Ïðîñóììèðóåì ïî÷ëåííî ýòè ðàâåíñòâà ïî âñåì òî÷êàì ñèñòåìû, â èòîãå ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå:X dK̄kkdt=XF̄ke +XkF̄ki .kËåâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà ïîñëå èçìåíåíèÿ ïîðÿäêà ñóììèðîâàíèÿ è äèôôåðåíöèðîâàíèÿ äàåò ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ñèñòåìû, à ñóììû, ñòîÿùèå âïðàâîé ÷àñòè, âûðàæàþò ñîáîé ãëàâíûå âåêòîðû âíåøíèõ è âíóòðåííèõ ñèë:X dK̄kkdt=Xd XdK̄ X eK̄k =,F̄k = F̄ e ,F̄ki = F̄ i .dt kdtkkÏîýòîìó ðàâåíñòâó ìîæíî ïðèäàòü âèädK̄= F̄ e + F̄ i .dtÏîñêîëüêó ïî ñâîéñòâó âíóòðåííèõ ñèë èõ ãëàâíûé âåêòîð ðàâåí íóëþ:F̄ i = 0,ýòîðàâåíñòâî óïðîùàåòñÿ è ïðèíèìàåò âèä (36.1), ÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó.Èç òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî èçìåíåíèå êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ñèñòåìû ìîæåò ïðîèñõîäèòü òîëüêî ïîä äåéñòâèåì âíåøíèõ ñèë.
Âíóòðåííèå æå ñèëû íåïîñðåäñòâåííî íå âõîäÿò â òåîðåìó. Ýòîò ôàêò íå îçíà÷àåò, îäíàêî, ÷òî âíóòðåííèå ñèëû âîîáùå íå ìîãóòâëèÿòü íà èìåíåíèå êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ.  îáùåì ñëó÷àå ñîãëàñíî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ ñèñòåìûmk x̄¨k = F̄k (t, x̄r , x̄˙ r ) = F̄ke (t, x̄r , x̄˙ r ) + F̄ki (t, x̄r , x̄˙ r )12(k, r = 1, .., N )âíóòðåííèå ñèëû èçìåíÿþò ïîëîæåíèåx̄rè ñêîðîñòèx̄˙ ròî÷åê ñèñòåìû è òåì ñàìûìèçìåíÿþò è ãëàâíûé âåêòîð âíåøíèõ ñèë, çàâèñÿùèé îò ýòèõ âåëè÷èí.
Òàêèì îáðàçîì, âëèÿíèå âíóòðåííèõ ñèë íà èçìåíåíèå êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ìîæåò ñêàçûâàòüñÿ íåíåïîñðåäñòâåííî, à ÷åðåç âíåøíèå ñèëû.Íàðÿäó ñ äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìîé (36.1) òåîðåìó ìîæíî ïðåäñòàâèòü è â èíòåeãðàëüíîé ôîðìå. Äëÿ ýòîãî çàïèøåì åå â âèäå dK̄ = F̄ dt è ïðîèíòåãðèðóåì â ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðåäåëàõ.  èòîãå ïîëó÷èì èíòåãðàëüíóþ ôîðìó òåîðåìûZtK̄ − K̄0 =F̄ e dt,(36.3)t0K̄, K̄0ãäå- êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ñèñòåìû â ìîìåíò âðåìåíè t èt0 .Ñîãëàñíî òåîðåìåâ ýòîé ôîðìå: "Èçìåíåíèå êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ñèñòåìû çà íåêîòîðûé ïðîìåæóòîêâðåìåíè ðàâíî èìïóëüñó ãëàâíîãî âåêòîðà âíåøíèõ ñèë çà ýòîò ïðîìåæóòîê."Âåêòîðíûå ðàâåíñòâà (36.1) è (36.3) â êîìïîíåíòíîé ôîðìå ýêâèâàëåíòíû ñîîòíîøåíèÿì, êîòîðûå âûðàæàþò òåîðåìó î êîëè÷åñòâå äâèæåíèÿ ñèñòåìû è ïðè åå äâèæåíèèâäîëü êîîðäèíàòíûõ îñåé:dKn= Fne (n = 1, 2, 3),dtZ t0K n − Kn =Fne dt (n = 1, 2, 3).(36.4)(36.5)t0 ñîîòâåòñòâèè ñ ðàâåíñòâàìè (36.4) ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ñèñòåìûâäîëü êàêîé-ëèáî êîîðäèíàòíîé îñè ðàâíà êîìïîíåíòå ãëàâíîãî âåêòîðà âíåøíèõ ñèëâäîëü ýòîé îñè.
Òî÷íî òàê æå ñîãëàñíî (36.5) ïðèðàùåíèå êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ñèñòåìûâäîëü êàêîé-ëèáî êîîðäèíàòíîé îñè çà íåêîòîðûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ðàâíî èìïóëüñóãëàâíîãî âåêòîðà âíåøíèõ ñèë âäîëü ýòîé îñè çà òîò æå ïðîìåæóòîê.2◦Èíòåãðàëû êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ.Ïðè íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ íà äåéñòâóþùèå ñèëû òåîðåìà î êîëè÷åñòâå äâèæåíèÿ äàåòèíòåãðàëû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñèñòåìû.Ïóñòü ãëàâíûé âåêòîð âíåøíèõ ñèë ñèñòåìû ðàâåí íóëþ, òîãäà êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿñèñòåìû ñîõðàíÿåòñÿ íåèçìåííûì, ò. å. èìååò ìåñòî âåêòîðíûé èíòåãðàë êîëè÷åñòâàäâèæåíèÿF̄ e = 0,K̄ = K̄0 .(36.6)Äåéñòâèòåëüíî, èç ôîðìóëû (36.1) íàõîäèì:ïðèF̄ e = 0dK̄= F̄ e = 0,dtK̄ = const = K̄0 .Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ðàâåíñòâî (36.6) âûðàæàåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ êîëè÷åñòâàäâèæåíèÿ.ÓñëîâèåF̄ e = 0âûïîëíÿåòñÿ, â ÷àñòíîñòè, äëÿ òàê íàçûâàåìûõ çàìêíóòûõ ñèñòåì,ó êîòîðûõ îòñóòñòâóåò âçàèìîäåéñòâèå ñ âíåøíèìè òåëàìè.e áîëåå îáùåì ñëó÷àå, êîãäà F̄ 6= 0, íî ðàâíà íóëþ åãî êàêàÿ-ëèáî, íàïðèìåð, ïåðâàÿêîìïîíåíòà èç ïåðâîãî â (36.4) ðàâåíñòâà áóäåì èìåòü:ïðèF1e = 0dK1= F1e = 0,dtK1 = const = K10(36.7)ò.
å. áóäåò ñïðàâåäëèâ ñêàëÿðíûé èíòåãðàë êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ, âûðàæàþùèé çàêîíñîõðàíåíèÿ êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ñèñòåìû ïðè äâèæåíèè âäîëü ïåðâîé êîîðäèíàòíîéîñè.133◦Äàâëåíèå ñòðóè íà ïðåãðàäó.Ïóñòü ñòðóÿ æèäêîñòè âûòåêàåò èç íàêîíå÷íèêà øëàíãàñ ïëîùàäüþ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ S, èìåÿ ñêîðîñòüïðàâëåííóþ ïîä óãëîìαv̄ ,íà-ê ãîðèçîíòó, è äâèæåòñÿ â âåðòè-êàëüíîé ïëîñêîñòè (Ðèñ. 84). Íàéäåì ñèëó íîðìàëüíîãî äàâëåíèÿ ñòðóè íà âåðòèêàëüíóþ ñòåíêó, ïðåíåáðåãàÿ åå ñæàòèåì è èñêðèâëåíèåì è ñ÷èòàÿ äâèæåíèå óñòàíîâèâøåìñÿ.
Âïëîñêîñòè äâèæåíèÿ ñòðóè âîçüìåì ñèñòåìó îòñ÷åòà Oxy ñíà÷àëîì â òî÷êå Î ñòåíêè è íàïðàâèì îñü Ox ïî ãîðèçîíòàëè âïðàâî, à îñü Oy - ïî âåðòèêàëè ââåðõ. Ïðèìåíèì ïåðâîåèç óðàâíåíèé òåîðåìû â ôîðìå (36.5) ê ìàññå æèäêîñòè, çàêëþ÷åííîé â ìîìåíòt0â êðóãîâîì öèëèíäðå îñíîâàíèÿ Sè âûñîòîé h, ðàâíîé ðàññòîÿíèþ îò íàêîíå÷íèêà äî ñòåí-Ðèñ. 84êè, ê ïðîìåæóòêó âðåìåíè∆t = t1 − t0 ,ãäåt1- ìîìåíòäîñòèæåíèÿ ñòåíêè ÷àñòèöàìè äîíûøêà öèëèíäðà (òàê ÷òîh = v∆t)K11−K10Zt1=F1e dt.(36.8)t0 íà÷àëüíûé ìîìåíòt0ìàññà öèëèíäðà ïî óñëîâèþ èìååò êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿK10 = mv10 = (ρSh)v 0 cos α = (ρSv∆t)v cos α = ρSv 2 cos α∆t,ρ - ïëîòíîñòü æèäêîñòè.  êîíå÷íûé ìîìåíò t1 ìàññà æèäêîñòè ðàñïîëàãàåòñÿ âäîëü11ñòåíêè, è ñêîðîñòü v̄ åå öåíòðà ìàññ C1 îðòîãîíàëüíà îñè Ox: v1 = 0 (Ðèñ.
84). Êîëè÷å1ñòâî äâèæåíèÿ K1 ðàññìàòðèâàåìîé ìàññû âäîëü ýòîé îñè ðàâíî íóëþ:ãäåK11 = mv11 = (ρSh)v11 = 0.Âíåøíèìè ñèëàìè, ïðèëîæåííûìè ê ÷àñòèöàì æèäêîñòè âûáðàííîãî îáúåìà, ÿâëÿþòñÿ èõ âåñ è ðåàêöèÿ ñòåíêè (äàâëåíèåì íà âûáðàííûé îáúåì ñî ñòîðîíû îñòàëüíîéeñòðóè ïðåíåáðåãàåì, ïîëàãàÿ åãî ìàëûì): F̄ = P̄ + N̄ . Ïåðâàÿ èç ýòèõ ñèë âåðòèêàëüíà,à âòîðàÿ ãîðèçîíòàëüíà. Ïîýòîìó ãîèçîíòàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðà âíåøíèõ ñèëeáóäåò ïîñòîÿííîé: F1 = P1 + N1 = −N = const âñëåäñòâèå óñòàíîâèâøåãîñÿ õàðàêòåðàäâèæåíèÿ.
×òî êàñàåòñÿ èìïóëüñÿ âíåøíèõ ñèë, òî îí èìååò çíà÷åíèåZt1t0F1e dtZt1(−N )dt = −N ∆t.=t0Ïîäñòàíîâêà â (36.8) óñòàíîâëåííûõ çíà÷åíèé ðàññìàòðèâàåìûõ âåëè÷èí ïðèâîäèò êñîîòíîøåíèþ−ρSv 2 cos α∆t = −N ∆t,îïðåäåëÿþùåìó äàâëåíèå ñòðóè íà ñòåíêó â âèäåN = ρSv 2 cos α.Òàêèì îáðàçîì, äàâëåíèå ñòðóè ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó åå ñêîðîñòè.14(36.9)371◦Òåîðåìà î äâèæåíèè öåíòðà ìàññ ñèñòåìû.Ðàçíûå ôîðìû òåîðåìû.
Ïåðâûå èíòåãðàëû.Îñíîâûâàÿñü íà ñâîéñòâå êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ñèñòåìûK̄ = mv̄c ,òåîðåìå î êîëè-÷åñòâå äâèæåíèÿ ñèñòåìû (36.1)dK̄= F̄ edtìîæíî ïðèäàòü äðóãóþ ôîðìómāc = F̄ e ,(37.1)âûðàæàþùóþ ñëåäóþùóþ òåîðåìó î äâèæåíèè öåíòðà ìàññ ñèñòåìû: "Öåíòð ìàññ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê äâèæåòñÿ êàê ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà, íàäåëåííàÿ ìàññîé ñèñòåìû,ïîä äåéñòâèåì ñèëû, ðàâíîé ãëàâíîìó âåêòîðó âíåøíèõ ñèë".Èç òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî èçìåíåíèå äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ ñèñòåìû ïðîèñõîäèò òîëüêî ïîä äåéñòâèåì âíåøíèõ ñèë. Âíóòðåííèå æå ñèëû íåïîñðåäñòâåííî íà öåíòð ìàññ íåäåéñòâóåò, îäíàêî èõ âëèÿíèå ìîæåò ñêàçûâàòüñÿ ÷åðåç âíåøíèå ñèëû.
Äåéñòâèòåëüíî,ãëàâíûé âåêòîð âíåøíèõ ñèë çàâèñèò îò êîîðäèíàò è ñîêðîñòåé âñåõ òî÷åê ñèñòåìûF̄ e = F̄ e (t, x̄1 , .., x̄N , x̄˙ 1 , .., x̄˙ N ),(37.2)à âíóòðåííèå ñèëû ñîãëàñíî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ ñèñòåìûmk x̄¨k = F̄ke (t, x̄r , x̄˙ r ) + F̄ki (t, x̄r , x̄˙ r )(k, r = 1, ..N )(37.3)âëèÿþò íà èçìåíåíèå âåëè÷èí, ÿâëÿþùèõñÿ åãî àðãóìåíòàìè. ñèëó (37.2) óðàâíåíèå (37.1):mx̄¨c = F̄ e (t, x̄1 , .., x̄N , x̄˙ 1 , .., x̄˙ N )íå îáðàçóåò çàìêíóòîé ñèñòåìû (îíî ñîäåðæèò N+1 íåèçâåñòíóþ ôóíêöèþ(37.4)x̄1 , .., x̄N , x̄c ).Èíòåãðèðîâàíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò ïðîèçâîäèòü ñîâìåñòíî ñ óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ ñèñòåìû (37.3).Ñóùåñòâóþò, îäíàêî, ÷àñòíûå ñëó÷àè, êîãäàôóíêöèè è åå ïðîèçâîäíîéx̄c (t), x̄˙ c .F̄ eçàâèñèò òîëüêî îò îäíîé âåêòîðíîéÒîãäà óðàâíåíèå (37.4) ïðèíèìàåò âèämx̄¨c = F̄ e (t, x̄c , x̄˙ c )(37.5)è åãî èíåãðèðîâàíèå ìîæíî ïðîèçâîäèòü íåçàâèñåìî îò äðóãèõ óðàâíåíèé.
Ýòî áóäåò, íàïðèìåð, â ñëó÷àå, êîãäà âåêòîðíûå àðãóìåíòû â (37.2) âõîäÿò íå ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì,à â âèäå êîìáèíàöèé:Prmr x̄r = mx̄c ,Pmr x̄˙ r = mx̄˙ c .rF̄ e (t, x̄1 , .., x̄N , x̄˙ 1 , .., x̄˙ N ) = F̄ e (t, mx̄c , mx̄˙ c ).Ìîæíî îòìåòèòü òàêæå ñëó÷àé, êîãäà ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà íå èçìåíÿåìà è äâèæåò˙ r = x̄˙ c è âåêòîð F̄ e áóäåò ôóíêöèåéñÿ ïîñòóïàòåëüíî. Òîãäà x̄r = x̄c + c̄r , c̄r = const; x̄âèäàF̄ e (t, x̄1 , .., x̄N , x̄˙ 1 , .., x̄˙ N )) = F̄ e (t, x̄c + c̄1 , ..., x̄c + c̄N , x̄˙ c ).Âåêòîðíîå ðàâåíñòâî (37.4) ýêâèâàëåíòíî òðåì ñêàëÿðíûì ðàâåíñòâàìmẍcn = Fne(n = 1, 2, 3),15(37.6)âûðàæàþùèì òåîðåìó î äâèæåíèè öåíòðà ìàññ ñèñòåìû â êîìïîíåíòíîé ôîðìå.
Èç ýòîéôîðìû òåîðåìû, â ÷àñòíîñòè, ëåãêî âèäåòü, ÷òî òåîðåìà ìîæåò äàâàòü ïåðâûå èíòåãðàëûóðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñèñòåìû.Ïóñòü, íàïðèìåð, ðàâíà íóëþ ïåðâàÿ êîìïîíåíòà ãëàâíîãî âåêòîðà âíåøíèõ ñèë:eF1 = 0. Òîãäà èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ â (37.6): mẋc1 = F1e = 0 ñëåäóåò ïåðâûé èíòåãðàëẋc1 = v1c = const. Ò. å. ïðè îòñóòñòâèè ó ãëàâíîãî âåêòîðà âíåøíèõ ñèë êîìïîíåíòû âäîëüêàêîé-ëèáî îñè, öåíòð ìàññ ñèñòåìû äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî âäîëü ýòîé îñè.2◦Ñèëû, îáóñëàâëèâàþùèå äâèæåíèå ÷åëîâåêà.Ðàññìîòðèì ñèëû, îáóñëàâëèâàþùèå äâèæåíèå ÷åëîâåêà. Ïóñòü ÷åëîâåê ñòîèò íåïî-äâèæíî íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
