1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295), страница 7
Текст из файла (страница 7)
 äàííîì ñëó÷àå äëèíààêòèâíîãî ó÷àñòêà (42.14) áóäåò ðàâíàx∗ = x0 + v0 t∗ +ur t∗(Z − 1 − ln Z),Z −130Z=m0> 1.m∗ äðóãîì ÷àñòíîì ñëó÷àå ïðè äâèæåíèè ðàêåòû ñ ïîñòîÿííûì ðåàêòèâíûì óñêîðåíèåì:Φ2= const = −λurm(λ = const > 0)ur dm= −λur èëè m1 dm= −λ. Ïîñëå ðàçäåm dtdtëåíèÿ ïåðåìåííûõ è èíòåãðèðîâàíèÿ ïðè íà÷àëüíîì óñëîâèè t = 0, m = m0 íàéäåì,−λt÷òî çàêîí èçìåíåíèÿ ìàññû áóäåò ýêñïîíåíöèàëüíûì: m = m0 e, à äëèíà àêòèâíîãîäëÿ ôóíêöèèm(t)áóäåì èìåòü óðàâíåíèåó÷àñòêà (42.14) ðàâíîéx0∗ = x0 + v0 t∗ +Îáîçíà÷èâ ÷åðåç0, v0 = 0).ur t∗ln z.2µ îòíîøåíèå ýòèõ ïóòåé (ïðè x0 =µ(z)Ïîëó÷èì ôóíêöèþµ=x∗11−),=2(x0∗ln Z z − 1(42.15)ãðàôèê êîòîðîé óêàçàí íà ðèñ.93.Èç ýòîãî ðèñóíêà âèäíî, ÷òî äëÿ âñåõZ µ < 1,ò.å.ïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì çàêîíå èçìåíåíèÿ ìàññû ïðîõîÐèñ.
93äèìûé ðàêåòîé àêòèâíûé ïóòü áîëüøå, ÷åì ïðè ëèíåéíîì çàêîíå. Äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ ïîëó÷åíèÿ áîëüøåãî àêòèâíîãî ïóòè âûãîäíåå áûñòðåå ñæèãàòü ãîðþ÷åå.5◦Äâèæåíèå ìåæïëàíåòíîé ðàêåòûÐàññìîòðèì âåðòèêàëüíûé ïîäúåì ðàêåòû ñ çåìíîé ïîâåðõíîñòè â ïîëå òÿãîòåíèÿ è óñòàíîâèì óñëîâèå, ïðè êîòîðîì îíà ïîêèíåò Çåìëþ (ðèñ. 94).Äâèæåíèå ðàêåòû áóäåì ðàññìàòðèâàòü â ñâÿçàííîé ñÇåìëåé ñèñòåìå êîîðäèíàòöåíòðå Çåìëè, à îñüOzOxyz ,íà÷àëî êîòîðîé âçÿòî âíàïðàâëåíà ïî âåðòèêàëè ââåðõ, ïðèñëåäóþùèõ äîïóùåíèÿõ. Ðàêåòà äâèæåòñÿ ïîñòóïàòåëüíî,åå ìàññà óáûâàåò ýêñïîíåíöèàëüíî, à ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿãàçîâ ïîñòîÿííà è íàïðàâëåíà ïî âåðòèêàëè ïî íàïðàâëåíèþ ê öåíòðó Çåìëè; ñèëà ïðèòÿæåíèÿ èçìåíÿåòñÿ ñîãëàñíîçàêîíó âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ, à ñèëîé ñîïðîòèâëåíèÿ àòìîÐèñ.
94ñôåðû è âðàùåíèåì Çåìëè ïðåíåáðåãàåì.  ýòèõ óñëîâèÿõðàêåòó ìîæíî ìîäåëèðîâàòü òî÷êîéCïåðåìåííîé ìàññû,äâèæóùåéñÿ ïî âåðòèêàëè ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿãîòåíèÿ èðåàêòèâíîé ñèëû ñîãëàñíî çàêîíó Ìåùåðñêîãîmd~v= F~ + Φ~2 ,dtm = m0 e−λt ,µm ~xF~ = − 2 ,x xdmΦ~2 =u~r ,dt(42.16)λ = const > 0, u~r = const, µ - ãàóññîâà ïîñòîÿííàÿ Çåìëè, ~x - âåêòîð-ðàäèóñ öåíòðàC ðàêåòû.
Èç óñëîâèÿ ñîâïàäåíèÿ ñèë òÿæåñòè è òÿãîòåíèÿ íà çåìíîé ïîâåðõíîñòè:mg0 = µm, ãäå R - ðàäèóñ Çåìëè, à g0 -óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ, ãàóññîâà ïîñòîR22ÿííàÿ îïåðåäåëÿåòñÿ â âèäå µ = g0 R . Èç çàêîíà èçìåíåíèÿ ìàññû ðàêåòû ñëåäóåò, ÷òîñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ìàññû ïðîïîðöèîíàëüíà ìàññå: ṁ = −λm. Íàêîíåö, ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ ãàçîâ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå u~r = −ur e~z , ãäå e~z - îðò îñè Oz . Òàêèì îáðàçîì,ãäåìàññ31ñèëó òÿãîòåíèÿ è ðåàêòèâíóþ ñèëó ìîæíî ïðåäñòàâèòü ôîðìóëàìèµmF~ = − 2 e~z ,zΦ~2 = λmur e~z ,Ïðîåêòèðóÿ óðàâíåíèå Ìåùåðñêîãî íà âåðòèêàëüµ = g0 R2 .Oz ,ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíîåóðàâíåíèå äâèæåíèÿ ïîñëå óïðîùåíèÿ â âèäåmµmdv= − 2 + λmur ,dtzµdv= − 2 + λur .dtz(42.17)Òðåáóåòñÿ íàéòè ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì íà÷àëüíûìóñëîâèÿì:t = 0,z(0) = R,ż(0) = 0.(42.18)Äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ (42.17) ïðåäñòàâèì óñêîðåíèå, à çàòåì è óðàâíåíèå â âèäådv dzdv1 dv 2dv==v=,dtdz dtdz2 dzd v2µ( − λur z − ) = 0.dz 2zÈíòåãðèðîâàíèå ñ ó÷åòîì íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ (42.18) äàåò èíòåãðàë ýíåðãèèv2µµ− λur z − = c1 = −λur R − .2zR(42.19)Ýòà ôîðìóëà îïðåäåëÿåò âåëè÷èíó ñêîðîñòè ðàêåòû â çàâèñèìîñòè îò âûñîòû íà àêòèâíîì ó÷àñòêå òðàåêòîðèè â âèäårv=112λ(z − R) + 2µ( − ),z Rµ = g0 R2 .(42.20)dz, ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå è èíòåãðèðóÿ, íàõîäèì óðàâíåíèå äâèdtæåíèÿ ðàêåòû íà àêòèâíîì ó÷àñòêå òðàåêòîðèè:Îòñþäà, ïîëàãàÿv =Zzt=Rdzq.112λ(z − R) + 2µ( z − R )Ïóñòü t∗ - âðåìÿ ðàáîòû äâèãàòåëÿ,z∗(42.21)v∗ - ñêîðîñòü ðàêåòû ât ≥ t∗ (ïàññèâíîå äâèæåíèå) ïðîèñõîäèò- äîñòèãíóòàÿ âûñîòà, àêîíöå àêòèâíîãî ó÷àñòêà.
Äâèæåíèå ðàêåòû ïðèïîä äåñòâèåì îäíîé ëèøü ñèëû òÿãîòåíèÿ ê Çåìëå. Ïðè ýòîì òàêæå ñóùåñòâóåò èíòåãðàëýíåðãèè, ïîëó÷àþùèéñÿ èç èíòåãðàëà (42.19) ïðèλ = 0:v2µv2 µ− = c2 = ∗ − .2z2z∗(42.22)Çäåñü ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ îïðåäåëåíà ïî ïàðàìåòðàì â êîíöå àêòèâíîãî ó÷àñòêàòðàåêòîðèè.Èç ðàâåíñòâà (42.22) ìîæíî íàéòè ñâÿçü ìåæäó ïàðàìåòðàìèv∗ , z∗ ,ïðè êîòîðîéðàêåòà áóäåò ñïîñîáíà óéòè èç ñôåðû çåìíîãî ïðèòÿæåíèÿ. Äëÿ ýòîãî ñëåäóåò ñ÷èòàòü,v∞ = 0 ïðè z → ∞.c∞ , ïîëó÷èì ðàâåíñòâî äëÿ÷òî ðàêåòà îñòàíîâèòñÿ òîëüêî íà íåîãðàíè÷åííî áîëüøîé âûñîòå:Ïðèìåíÿÿ èíòåãðàë (42.22) ê áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êåîïðåäåëåíèÿ èñêîìîé ïàðàáîëè÷åñêîé ñêîðîñòèvp = v∗ :v∗2µµv2−= ∞−= 0.2z∗2z∞32(42.23)Ïàðàìåòðûv∗ , z∗óäîâëåòâîðÿþò òàêæå èíòåãðàëó (42.19), ïðèìåíåííîìó ê êîíöó àê-òèâíîãî ó÷àñòêàv∗2µµ− λur z∗ −= −λur R − .2z∗R(42.24)Óðàâíåíèÿ (42.23), (42.24) ñ ó÷åòîì çíà÷åíèÿ ãàóññîâîé ïîñòîÿííîéµ = g0 R 2îïðåäå-ëÿþò ýòè ïàðàìåòðû â âèäåz∗ = R(1 +1),nv∗2 = 2g0 RÏîäñòàâèâ íàéäåííîå çíà÷åíèå âûñîòûäåì âðåìÿ ðàáîòû äâèãàòåëÿt∗ ,z∗n,n+1n=λur.g0(42.25)â âåðõíèé ïðåäåë èíòåãðàëà â (42.21), íàé-à ïî íåìó âû÷èñëèì ìàññó ðàêåòûm∗ïîñëå âûãîðàíèÿòîïëèâàZz∗t∗ =Rdzp,2λur (z − R) + 2g0 R2 (1/z − 1/R)m∗ = m0 e−λt∗(42.26)Ôîðìóëû (42.25) è (42.26) îïðåäåëÿþò âûñîòó, íà êîòîðîé ðàêåòà äîñòèãíåò ïàðàáîëè÷åñêîé ñêîðîñòè, âåëè÷èíó ýòîé ñêîðîñòè, à òàêæå ïîòðåáíîå âðåìÿ ïîëåòà è îñòàòî÷íóþ ìàññó ðàêåòû. ÷àñòíîñòè, ïóñòü ïàðàìåòðû çàäà÷è èìåþò çíà÷åíèÿ:λ = 6.54 · 10−3 ,g0 = 9.81 ì/c2 ,Òîãäà ëåãêî ïîäñ÷èòàòü, ÷òî ïàðàìåòðn=1z∗ = R(1 + ) = 1.5R,nãäåvp0 = 11.2ur = 3000λurg0v∗ ==2pì/c,R = 6.37 · 106ì.è ïîëó÷åííûå ôîðìóëû äàþòr2g0 Rn= 0.816vp0 ,n+1êì/c ïàðàáîëè÷åñêàÿ ñêîðîñòü íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè.
Òàêèì îáðàçîì,â ýòîì ñëó÷àå âòîðàÿ êîñìè÷åñêàÿ (ïàðàáîëè÷åñêàÿ) ñêîðîñòü äîñòèãàåòñÿ íà âûñîòå âïîëîâèíó ðàäèóñà íàä çåìíîé ïîâåðõíîñòüþ, è ýòà ñêîðîñòü ñîñòàâëÿåò ïðèìåðíî 82%îò ñîîòâåòñòâóþùåé ñêîðîñòè íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè.Ïàðàìåòðnèìååò ïðîñòîé ìåõàíè÷åñêèé ñìûñë. Èç ôîðìóëûn=λur m0Φ20λur==g0g0 m0F0ÿñíî, ÷òî îí ðàâåí îòíîøåíèþ ðåàêòèâíîé ñèëû ê âåñó ðàêåòû â ìîìåíò åå ñòàðòà. Âðàññìîòðåííîì ñëó÷àå ñòàðòîâàÿ ðåàêòèâíàÿ ñèëà âäâîå ïðåâûøàåò ñòàðòîâûé âåñ.Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà â (42.26) äàåò äëÿ âðåìåíèt∗ = 720ñåê= 12t∗çíà÷åíèåìèí.Ñëåäîâàòåëüíî, ÷òîáû ïîêèíóòü Çåìëþ, ðàêåòíûé äâèãàòåëü ïðèn = 2 äîëæåí ðàáîòàòüâñåãî 12 ìèíóò. Îäíàêî, ðàñõîä òîïëèâà çà ýòî âðåìÿ áóäåò âåñüìà âåëèê.
Äåéñòâèòåëüíî,λt∗ = 4.71è âòîðàÿ ôîðìóëà â (42.26) äàåòm∗= e−4.71 ≈ 0.006 = 0.6%.m0Ýòîò ðåçóëüòàò ïîêàçûâàåò, ÷òî â ðàññìîòðåííîì ñëó÷àå âûëåò â êîñìè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî âîçìîæåí â ñëó÷àå, êîãäà âåñ ðàêåòû áåç òîïëèâà íå ïðåâûøàåò 0.6% îò ñòàðòîâîãîâåñà.
 ÷àñòíîñòè, ïðè ñòàðòîâîé ìàññåm0 = 100000êã ýòè 0.6% ñîñòàâëÿþò 600 êã.Îòñþäà ÿñíû òå ñåðüåçíûå êîíñòðóêòèâíûå òðóäíîñòè, êîòîðûå âñòàþò íà ïóòè ðåàëèçàöèè ìåæïëàíåòíîãî ïîëåòà. Ýòè òðóäíîñòè óäàåòñÿ íåñêîëüêî îñëàáèòü ïóòåì ñîçäàíèÿ ìíîãîñòóïåí÷àòîé ðàêåòû. Òîãäà ïåðâûå ñòóïåíè ïîñëå âûãîðàíèÿ â íèõ òîïëèâàîòáðàñûâàþòñÿ è íå òðåáóþò çàòðàò ýíåðãèè íà èõ äàëüíåéøåå óñêîðåíèå.  ýòîì ñëó÷àåóäàåòñÿ ïîñëàòü â êîñìîñ ñóùåñòâåííî áîëüøóþ ìàññó.33Ãëàâà. Äèíàìèêà àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëà.Ìàòåðèàëüíûì òåëîì íàçûâàþò ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, íåïðåðûâíûì îáðàçîì çàïîëíÿþùèõ íåêîòîðûé îáúåì. Ïðè ýòîì òåëî íàçûâàþò àáñîëþòíî òâåðäûì, åñëèðàññòîÿíèÿ ìåæäó åãî òî÷êàìè íå ìåíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì. Àáñîëþòíî òâåðäîå òåëî ÿâëÿåòñÿ ìîäåëüþ ðåàëüíûõ òåë; îíî òåì òî÷íåå îòðàæàåò ñâîéñâà ðåàëüíîãî òåëà, ÷åììåíüøå òåëî ñïîñîáíî äåôîðìèðîâàòüñÿ ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííûõ ñèë.Òâåðäûå òåëà èãðàþò âàæíóþ ðîëü â åñòåñòâîçíàíèè è òåõíèêå.
Òåîðèÿ äâèæåíèÿòàêèõ òåë áóäåò ïîñòðîåíà íà îñíîâå äèíàìèêè ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì.431◦Èíåðöèîííûå õàðàêòåðèñòèêè òâåðäîãî òåëà.Ïëîòíîñòü, ìàññà, öåíòð ìàññ è îñåâîé ìîìåíò èíåðöèè òåëà.Ðàñïðåäåëåíèå ìàññ â òåëå õàðàêòåðèçóåòñÿ ñêàëÿðíîé âåëè÷èíîéρ,íàçûâàåìîéïëîòíîñòüþ, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Âîçüìåì â òåëå âîêðåñòíîñòè òèïè÷íîé òî÷êè P íåêîòîðóþ ÷àñòü ñ ìàññîé∆mè îáúåìîì∆V .Îòíî-øåíèå ìàññû ê îáúåìó îáîçíà÷àþò ÷åðåç ρ∗ è íàçûâàþò ñðåäíåé ïëîòíîñòüþ îáúåìà:. Ñðåäíÿÿ ïëîòíîñòü ïðèáëèæåííî õàðàêòåðèçóåò ðàñïðåäåëåíèå ìàññ âρ∗ (P ) = ∆m∆Vîêðåñòíîñòè òî÷êè P. Ýòî ïðèáëèæåíèå òåì òî÷íåå ê ðåàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ, ÷åììåíüøå âçÿòûé îáúåì. Ïîýòîìó çà ïëîòíîñòü òåëà â òî÷êå P ïðèíèìàþò ïðåäåëρ,êêîòîðîìó ñòðåìèòñÿ ñðåäíÿÿ ïëîòíîñòü ïðè ñòðåìëåíèè ê íóëþ îáúåìàdm∆m=.∆V →0 ∆VdVρ = lim(43.1)Òàêèì îáðàçîì, ïëîòíîñòü ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíîé âåëè÷èíîé, çàâèñÿùåé îò ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè (èëè å¼ êîîðäèíàò â ñîïóòñòâóþùåé ñèñòåìåCy1 y2 y3 ): ρ(P ) = ρ(y1 , y2 , y3 ).Êîãäà ïëîòíîñòü â ðàçíûõ òî÷êàõ òåëà ðàçëè÷íà, òåëî íàçûâàþò íåîäíîðîäíûì; êîãäà îíà âî âñåõ òî÷êàõ îäèíàêîâà îäíîðîäíûì.
Äëÿ òåëà ïëîòíîñòü îáû÷íî ñ÷èòàþòçàäàííîé âåëè÷èíîé.Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïëîòíîñòè (43.1) ýëåìåíò ìàññû ìîæíî ïðåäñòàâèòü ÷åðåçïëîòíîñòü è ýëåìåíò îáúåìà â âèäådm = ρdV.(43.2)Èíåðöèîííûå õàðàêòåðèñòèêè òåëà: ìàññó è îñåâîé ìîìåíò èíåðöèè ìîæíî ââåñòèïóòåì îáîáùåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ âåëè÷èí äëÿ ñèñòåìû òî÷åê.
Ïðåäñòàâèì òåëî â âèäåìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû N òî÷åê{Pk },ðàçáèâ åãî êàêèì-ëèáî îáðàçîì íà N ÷àñòåé ñòðàêòóåìûõ êàê ìàòåðèàëüíûå òî÷êè Pk . Èíåðöèîííûå õàðàêòåðèñòèêè∗0∗ïîëó÷èâøåéñÿ ñèñòåìû: ìàññà m∗ , öåíòð ìàññ x̄c è ìîìåíò èíåðöèè Jlîòíîñèòåëüíîîñè l:Pìàññàìè∆mk ,m∗ =Xk∆mk ,x̄k ∆mk,k ∆mkx̄∗c = PkJlo∗ =Xh2k ∆mk(43.3)kìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïðèáëèæåííûå èíåðöèîííûå õàðàêòåðèñòèêè òåëà. Ýòè âåëè÷èíû òåì òî÷íåå îòðàæàþò ñâîéñòâà èíåðöèè òåëà, ÷åì áîëüøå ÷àñòåé òåëà è ÷åìoìåíüøå èõ ðàçìåðû. Çà ìàññó m, öåíòð ìàññ c è îñåâîé ìîìåíò Je òåëà ïðèíèìàþò ïðåäåëû, ê êîòîðûì ñòðåìÿòñÿ ïðèáëèæåííûå âåëè÷èíû (43.3), êîãäà ÷èñëî ðàçáèåíèé Níåîãðàíè÷åííî óâåëè÷èâàåòñÿ, à ðàçìåðû ÷àñòåé (èõ äèàìåòðû) íåîãðàíè÷åííî óìåíüøàþòñÿ; ýòè ïðåäåëû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîþ îïðåäåëåííûå èíòåãðàëû ïî ìàññå èëè â ñèëó34(43.2) ïî îáúåìó òåëà:Pm = lim∆mk =N →∞ kPk x̄k dmPk dmN →∞PN →∞ k2◦dm =mx̄c = limJlo = limR=ρdV,VRx̄dmRmm dmh2k ∆mk =RR=Rx̄ρdVRVV ρdVRh2 dm =m,(43.4)h2 ρdV.VÑâîéñòâà îñåâûõ ìîìåíòîâ èíåðöèè òåëà.Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðèáëèæåííûì ïðåäñòàâëåíèåì òåëà â âèäå ñèñòåìû ìàòåðè0àëüíûõ òî÷åê {Pk } è ðàññìîòðåòü ïàðàëëåëüíûå îñè l, l , ïðîõîäÿùèå ÷åðåç íåïîäâèæíûé öåíòð O è öåíòð ìàññ C, òî äëÿ ñèñòåìû áóäåò ñïðàâåäëèâà òåîðåìà Ãþéãåíñà2coØòåéíåðà: Jl∗ = Jl∗ + m∗ d èëè â ïîäðîáíîì âèäåXh2k ∆mk =Xkhk , h0kãäå2h02k ∆mk + dk ðàññòîÿíèÿ òî÷êèPkX∆mk ,(43.5)käî îñåélèl0 ,à d ðàññòîÿíèå ìåæäó îñÿìè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
