1612042556-982ba158b58b4be12dbd311906e4c4c7 (542295), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Îñíîâíàÿ íà÷àëüíàÿ çàäà÷àm è ãëàâíûå öåíòðàëüíûå ìîìåíòû èíåðöèèñòâèå, îïðåäåëÿåìîå êîìïîíåíòàìè ñèëî äâèæåíèè òåëà ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ïî ýòèì âåëè÷èíàì óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òåëàxcn = xcn (t), ϕn = ϕn (t) (n = 1, 2, 3), ïðîèñõîäÿùåãî èç çàäàííîãî íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿct = 0, xcn (0) = xcn0 , ẋcn (0) = vn0, ϕn (0) = ϕon , ω̂n (0) = ω̂no (n = 1, 2, 3).(47.6)Ðåøåíèå çàäà÷è ñâîäèòñÿ ê èíòåãðèðîâàíèþ ñèñòåìû äåâÿòè óðàâíåíèé (47.5) äâåíàäöàòîãî ïîðÿäêà ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ (47.6).
Íà÷àëüíàÿ çàäà÷à èìååò åäèíñòâåííîåðåøåíèå, êîãäà ñèëû è ìîìåíòû ñèë (ïðàâûå ÷àñòè â óðàâíåíèÿõ (47.5)) íåïðåðûâíû ïîccâðåìåíè è ïðèíàäëåæàò êëàññó Ëèïøèöà ïî ïåðåìåííûì x , ẋ , ϕ, ω̂ .3◦Äåéñòâèå ñèë íà òâåðäîå òåëî.Èç äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà (47.5) ñëåäóåò, ÷òî äâèæåíèåòåëà çàâèñèò íå îò âèäà è ðàñïîëîæåíèÿ îòäåëüíûõ ñèë, à îò èõ ñóììàðíûõ õàðàêòåðèñòèê: ãëàâíîãî âåêòîðà è ãëàâíîãî öåíòðàëüíîãî ìîìåíòà. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äâå0ñèñòåìû ñèë {F̄k } è {F̄k } áóäóò îêàçûâàòü íà òåëî îäèíàêîâîå äåéñòâèå, åñëè ó íèõee0ee0ðàâíû ãëàâíûå âåêòîðû è ãëàâíûå öåíòðàëüíûå ìîìåíòû F̄ = F̄ , M̄c = M̄c . Òàêèåñèñòåìû ñèë íàçûâàþò ýêâèâàëåíòíûìè.F̄ , ïðèëîæåííàÿ â òî÷êå Pȳ (Ðèñ.98).
Ïðè ïåðåìåùåíèè ñèëû âäîëü00ëèíèè åå äåéñòâèÿ â òî÷êó P ñ âåêòîð-ðàäèóñîì ȳ íà âåëè0÷èíó ∆ȳ = ȳ − ȳ íè ñàìà ñèëà íè åå ìîìåíò íå ìåíÿþòñÿ:Ïóñòü íà òåëî äåéñòâóåò ñèëàñ âåêòîð-ðàäèóñîìF̄ 0 = F̄ , M̄c0 = ȳ 0 × F̄ 0 =(ȳ + ∆ȳ) × F̄ = ȳ × F̄ = M̄c ,òàê êàêÐèñ. 98∆ȳ × F̄ = 0(47.7)â ñèëó êîëëèíåàðíîñòè âåêòîðîâ. Ñëå-äîâàòåëüíî, äåéñòâèå ñèëû íà òâåðäîå òåëî íå çàâèñèò îòïîëîæåíèÿ ñèëû íà ëèíèè äåéñòâèÿ. Òåì ñàìûì ñèëó, ïðèëîæåííóþ ê òâåðäîìó òåëó, ìîæíî ïåðåíîñèòü âäîëü ëèíèèåå äåéñòâèÿ.Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèå âèäû ñèñòåì ñèë: öåíòðàëüíóþ ñèëó è ïàðó ñèë è âûÿñíèìýôôåêòû èõ âîçäåéñòâèÿ íà òåëî. ÑèëóF̄íàçûâàþò öåíòðàëüíîé, åñëè îíà ïðèëîæåíàâ öåíòðå ìàññ òåëà (Ðèñ.99).Ó öåíòðàëüíîé ñèëû ãëàâíûé âåêòîð ñîâïàäàåò ñ ñàìîé ñèëîé, à ãëàâíûé ìîìåíò îòíîñèòåëüíîöåíòðà ìàññ ðàâåí íóëþ:F̄ e = F̄ , M̄ce = ȳc × F̄ = 0(ȳc = 0).(47.8)Ðèñ.
99Ïàðîé ñèë íàçûâàþò ñèñòåìó äâóõ ðàâíûõ ïî âåëè÷èíå è ïðîòèâîïîëîæíûõ ïî íàïðàâëåíèþ ñèë{F̄ , −F̄ }, ïðèëîæåííûõ â òî÷êàõ P 0 è P è íå ëåæàùèõ íà ïðÿìîéPP0(Ðèñ.100). Î÷åâèäíî, ÷òî ó ïàðû ñèë ãëàâíûé âåêòîð ðàâåí íóëþ,45à ãëàâíûé öåíòðàëüíûé ìîìåíò îòëè÷åí îò íóëÿ è èìååò çíà÷åíèåM̄ ,íå çàâèñÿùåå îòâûáîðà íà÷àëà îòñ÷åòà:F̄ e = F̄ + (−F̄ ) = 0, M̄ce = ȳ × (−F̄ ) + ȳ 0 × F̄ = ∆ȳ × F̄ = M̄ (∆ȳ = ȳ 0 − ȳ).ÂåêòîðM̄(47.9)îðòîãîíàëåí ïëîñêîñòè äåéñòâèÿ ñèë ïàðû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êàæäîìó ìî-ìåíòó ñèëû ìîæíî ñîïîñòàâèòü ñîîòâåòñòâóþùóþ ïàðó ñèë ñ òåì æå ìîìåíòîì.Âûÿñíèì òåïåðü, êàê ïðîÿâëÿåòñÿ äåéñòâèå öåíòðàëüíîé ñèëû è ïàðû ñèë íà òåëî.oÏóñòü íà ïåðâîíà÷àëüíî ïîêîèâøååñÿ òåëî v̄c = 0, ω̄o = 0 ïîäåéñòâîâàëà öåíòðàëü-F̄íàÿ ñèëà(Ðèñ.99).
Òîãäà åå âîçäåéñòâèå íà òåëî îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíàìè (47.8) èäèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òåëà áóäóòmdv̄c= F̄ ,dtÈç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò,÷òîdL̄c= M̄c = 0.dtL̄c = Jc · ω̄ = Jco · ω̄o = 0è êîìïîíåíòû óãëîâîé ñêîP ˆcðîñòè äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ëèíåéíîé îäíîðîäíîé ñèñòåìå óðàâíåíèé:Jmn ω̂n = 0.ncÎïðåäåëèòåëü ñèñòåìû îòëè÷åí îò íóëÿ det(Jˆmn 6= 0) (êàê îäíî èç óñëîâèé ÑèëüâåñòðàP ˆc ˆ ˆïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè êâàäðàòè÷íîé ôîðìûJmn lm ln = Jlc > 0), ñëåäîâàmnòåëüíî, ñèñòåìà èìååò òîëüêî íóëåâîå ðåøåíèå: ω̂1 = ω̂2 = ω̂3 = 0 (ω̄ = 0). Öåíòð æåìàññ íà÷íåò äâèãàòüñÿ:v̄c 6= 0. Òàêèì îáðàçîì, öåíòðàëüíàÿ ñèëà ïðèâîäèò ïîêîèâøååñÿòåëî â ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå.Äîïóñòèì, äàëåå, ÷òî íà ïîêîèâøååñÿ òåëî:(F̄ , −F̄ ) ñ ìîìåíòîì M̄v̄co = 0, ω̄o = 0ïîäåéñòâîâàëà ïàðà ñèë(Ðèñ.100).
Òîãäà åå âîçäåéñòâèå íà òåëî îïðåäåëèòñÿ âåëè÷èíàìè(47.9) è äâèæåíèå òåëà áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ óðàâíåíèÿìèdv̄cdL̄cd(Jc · ω̄)= F̄ e = 0,== M̄ .dtdtdtv̄c = v̄co = 0, óãëîâàÿ æå ñêîðîñòü áóäåòmÎòñþäà ñëåäóåò, ÷òîèçìåíÿòüñÿ:ω̄ 6= 0.Òåìñàìûì ïîä äåéñòâèåì ïàðû ñèë ïîêîèâøååñÿ òåëî íà÷íåò âðàùàòüñÿ âîêðóã íåïîäâèæíîãî öåíòðà ìàññ.Ïóñòü,íàêîíåö,íàïîêîèâøååñÿF̄ ,òåëîv̄co = 0,ïðèëîæåííàÿ âω̄o = 0 ïîäåéñòâîâàëà ñèëàíåêîòîðîé òî÷êå P òåëà (Ðèñ.100) è èìå-åò îòëè÷íûå îò íóëÿ ãëàâíûé âåêòîð è ãëàâíûé ìîìåíò:F̄ e = F̄ , M̄ce = ȳ × F̄ .
Ïðèëîæèì â öåíòðå ìàññ C òåëà äâåðàâíûå, ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûå ñèëû F̄ , −F̄ , ýêâèâàëåíòíûå íóëåâîé ñèñòåìå (Ðèñ.100). Òîãäà ïîëó÷èâøóþñÿF̄ , ïðèëîæåííóþâ òî÷êå C (öåíòðàëüíóþ ñèëó) è ïàðó ñèë (F̄ , −F̄ ), ïðèëîeæåííûõ â òî÷êàõ P è C, ñ ìîìåíòîì M̄ , ðàâíûì M̄c :íàãðóçêó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñèëóÐèñ. 100M̄ = ȳ × F̄ + ȳc × (−F̄ ) = ȳ × F̄ = M̄ce .Äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òåëà ïðèìóò âèämdv̄cd(Jc · ω̄)= F̄ ,= M̄ .dtdtÎòñþäà ÿñíî, ÷òî öåíòðàëüíàÿ ñèëà ñîîáùèò òåëó ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå âìåñòå ñöåíòðîì ìàññ, à ïàðà ñèë âðàùåíèå âîêðóã ýòîãî öåíòðà.
Òàêèì îáðàçîì, ïðîèçâîëüíîïðèëîæåííàÿ ñèëà ñîîáùàåò ïîêîèâøåìóñÿ òåëó äâèæåíèå îáùåãî âèäà.Çàìåíó ïðîèçâîëüíî ïðèëîæåííîé ñèëû öåíòðàëüíîé ñèëîé è ïàðîé ñèë íàçûâàþòïðèâåäåíèåì ñèëû ê öåíòðó ìàññ C.4648Âèäû òðåíèÿ è çàêîíû Êóëîíà.1◦Ñêîëüæåíèå, êà÷åíèå è âåð÷åíèå òåëà.Ðàññìîòðèì äâèæåíèå òåëà T ïî ïîâåðõíîñòè íåïîäâèæíîãî òåëà A, ïîëàãàÿ, ÷òîòåëà îãðàíè÷åíû ïîâåðõíîñòÿìè ñ íåïðåðûâíî èçìåíÿþùåéñÿ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþΠ(Ðèñ.102).Ðèñ. 101Ðèñ. 102 ýòîì äâèæåíèè ðàçëè÷àþò ñëåäóþùèå äâèæåíèÿ: ñêîëüæåíèå ïåðåìåùåíèå òåëà,ïàðàëëåëüíîå ïëîñêîñòèîñèOv ,Π,ïðè íåèçìåííîé îðèåíòàöèè, êà÷åíèå âðàùåíèå âîêðóãëåæàùåé â ïëîñêîñòèïëîñêîñòèΠ.Π,è âåð÷åíèå âðàùåíèå âîêðóã îñèOn,îðòîãîíàëüíîéÑêîëüçÿò, íàïðèìåð, ñàíè, êàòÿòñÿ êîëåñà, âåðòèòñÿ âîë÷åê.Ïîêàæåì, ÷òî â ïðîèçâîëüíîì äâèæåíèè òåëà ïðèñóòñòâóþò âñå ýòè òðè äâèæåíèÿ âêà÷åñòâå ñîñòàâëÿþùèõ äâèæåíèé. íåêîòîðûé ìîìåíò âîçüìåì â òåëå T çà ïîëþñ òî÷êó O êàñàíèÿ òåë è çà P òèïè÷íóþ òî÷êó ñ âåêòîð-ðàäèóñîìOP = ȳè îáîçíà÷èì ÷åðåçóãëîâóþ ñêîðîñòü òåëà.
Ïðåäñòàâèì ýëåìåíòàðíîå ïåðåìåùåíèåv̄o , ω̄ ñêîðîñòü ïîëþñà èdx̄ òî÷êè P â âèäå òðåõñîñòàâëÿþùèõ ïåðåìåùåíèé.Çàïèøåì óãëîâóþ ñêîðîñòü òåëà â âèäå ñóììû äâóõ ñêîðîñòåéðûõ ïåðâàÿ ïðèíàäëåæèò ïëîñêîñòèΠ,ω̄ = ω̄v + ω̄n ,èç êîòî-à âòîðàÿ îðòîãîíàëüíà ê íåé. Òîãäà ñêîðîñòüòèïè÷íîé òî÷êè ïðåäñòàâèòñÿ â âèäåv̄ = v̄o + ω̄ × ȳ = vo + ω̄v × ȳ + ω̄n × ȳ.Óìíîæèâ ýòî ðàâåíñòâî íàdt, ïîëó÷èì ïðåäñòàâëåíèå ýëåìåíòàðíîãî ïåðåìåùåíèÿ òî÷-êè â âèäå ñóììû òðåõ ïåðåìåùåíèédx̄ = v̄dt = v̄o dt + ω̄v dt × ȳ + ω̄n dt × ȳ = dx̄t + dx̄v + dx̄n .(48.1)dx̄t = v̄o dt (ïðè ñìåùåíèè âäîëü îñè t ñî ñêîðîñòüþ v̄o ) íàçûâàþò ñêîëüæåíèåì, ïåðåìåùåíèå dx̄v = ω̄v dt × ȳ (ïðè âðàùåíèè âîêðóã îñè v ñî ñêîðîñòüþ ω̄v ) êà÷åíèåì, à ïåðåìåùåíèå dx̄n = ω̄n dt × ȳ (ïðè âðàùåíèè âîêðóã îñè n ñî ñêîðîñòüþ ω̄n )Ïåðåìåùåíèå âåð÷åíèåì.
Òàêèì îáðàçîì, ïðîèçâîëüíîå ýëåìåíòàðíîå ïåðåìåùåíèå òåëà ïðè äâèæåíèè ïî ïîâåðõíîñòè äðóãîãî òåëà â îêðåñòíîñòè êàæäîãî ìîìåíòà âðåìåíè ñëàãàåòñÿ èçñêîëüæåíèÿ, êà÷åíèÿ è âåð÷åíèÿ.2◦Âèäû òðåíèÿ.Ðåàëüíûå òåëà âîîáùå øåðîõîâàòû è îáëàäàþò ñïîñîáíîñòüþ äåôîðìèðîâàòüñÿ ïîääåéñòâèåì ïðèëîæåííûõ ê íèì íàãðóçîê. Ïîýòîìó ïðè ñîïðèêîñíîâåíèè òåë êàñàíèå47ïðîèñõîäèò íå â îäíîé òî÷êå, à ïî íåêîòîðîé ïîâåðõíîñòèS , îáû÷íî ìàëîé. Ïðè îòíîñè-òåëüíîì äâèæåíèè òåë ýòè äåôîðìàöèè èçìåíÿþòñÿ. Îíè âûçûâàþò êîëåáàíèÿ ìîëåêóëòåë è ñëóæàò èñòî÷íèêîì òåïëîòû è âîçìîæíî äðóãèõ ýôôåêòîâ.
Íà âñå ýòî òðàòèòñÿ÷àñòü ýíåðãèè äâèæóùåãîñÿ òåëà è âîñïðèíèìàåòñÿ èì êàê ñîïðîòèâëåíèå äâèæåíèþ.Ñîïðîòèâëåíèå ñîïóòñòâóåò êàæäîìó ñîñòàâëÿþùåìó äâèæåíèþ òåëà, ïîýòîìó ðàññìàòðèâàþò òðåíèå ñêîëüæåíèÿ, òðåíèå êà÷åíèÿ è òðåíèå âåð÷åíèÿ.Ðåàêöèÿ íà äâèæóùååñÿ òåëî{R̄k },Tñî ñòîðîíû íåïîäâèæíîãî òåëàA ïðåäñòàâëÿåò ñîáîþP S . Äåéñòâèå ýòîé ñèñòåìûíà òåëî îïðåäåëÿåòñÿ äåéñòâèåì åå ãëàâíîãî âåêòîðà R̄ =R̄k è ãëàâíîãî ìîìåíòà Ḡo =kPȳk × R̄k .
 äàëüíåéøåì äåôîðìàöèåé òåë ïðåíåáðåãàþò, íî ïîïðåæíåìó ïîëàãàþò, ÷òîñèñòåìó ñèëðàñïðåäåëåííûõ ïî ïîâåðõíîñòè êàñàíèÿkâîçäåéñòâèå íà òåëîTñâîäèòñÿ ê ñèëåR̄è ïàðå ñèë ñ ìîìåíòîìḠo .Ðàçëîæèì ýòè âåêòîðû íà íîðìàëüíûå è òàíãåíöèàëüíûå ê êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòèΠñîñòàâëÿþùèåḠo = Ḡno + Ḡvo .R̄ = N̄ + Q̄,(48.2)íàçûâàþò íîðìàëüíîé ðåàêöèåé (ñèëîé äàâëåíèÿ), à ñèëó Q̄ òàíãåíöèàëüíîénðåàêöèåé (ñèëîé òðåíèÿ), ñîîòâåòñòâåííî ìîìåíò Ḡo íîðìàëüíûì ìîìåíòîì ðåàêöèév(ìîìåíòîì òðåíèÿ âåð÷åíèÿ), ìîìåíò Ḡo òàíãåíöèàëüíûì ìîìåíòîì ðåàêöèé (ìîìåíÑèëóN̄òîì òðåíèÿ êà÷åíèÿ).
Ïðèíèìàåòñÿ, ÷òî ñîïðîòèâëåíèå ñêîëüæåíèþ îïðåäåëÿåòñÿ ñèëîéòðåíèÿ, à ñîïðîòèâëåíèÿ êà÷åíèþ è âåð÷åíèþ ìîìåíòàìè òðåíèÿ êà÷åíèÿ è âåð÷åíèÿ.3◦Çàêîíû Êóëîíà ïðè äâèæåíèè.Òðåíèå òåë ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíûì ÿâëåíèåì, îïèñûâàþùèì âçàèìîäåéñòâèåòåë ïðè èõ êàñàíèè. Ýòî ÿâëåíèå ñòàíîâèòñÿ äîñòóïíûì äëÿ êîëè÷åñòâåííîãî îïèñàíèÿâ ðàìêàõ ìîäåëè òâåðäîãî òåëà áëàãîäàðÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåííûì çàêîíàìÊóëîíà. Ýòè çàêîíû ôîðìóëèðóþòñÿ äëÿ âñåõ ñîñòàâëÿþùèõ äâèæåíèé òåëà è âûðàæàþòñÿ ðàâåíñòâàìè:Q̄ = −kN t̄ = −kN vv̄oo ,Ḡvo = −δ v N v̄ = −δ v N ω̄ωvv ,(48.3)Ḡno = −δ n N n̄ = −δ n N ω̄ωnn ,ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
