1612044279-488d32d5928d2676100d24b84a89d13e (533714), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

1). В дальнейшем мы будем пользоватьсяобозначением γt(ξ), где ξ∈Ω(s).1.1.4. Аксиома движения.Отображения γt определены для любого t∈R, являютсягомеоморфизмами Ωs на Ωt и отображение t→γt есть изоморфизмаддитивной группы вещественных чисел в мультипликативную, группуотображений в R4. При каждом ξ∈Ω0 отображение t→γt(ξ)непрерывно и кусочно-непрерывно дифференцируемо.Эта аксиома позволяет говорить о движении материальной точки (иличастицы ξ сплошной среды; в частности, кривая {γt(ξ)}: t∈R} называетсятраекторией точки ξ∈Ω0.

Мы часто будем обозначать γt(ξ) через ξ(t).Тот факт, что {γt} – группа означает, что:γ 0 = I;1.2.γ t γ s = γ s +t .Эта же аксиома позволяет ввести понятие движущегося объема, т.е. объема,состоящего в процессе эволюции сплошной среды из одних и тех же частиц:ωt={γt(ξ)}:ξ∈ω0⊂Ω0}.В дальнейшем нам иногда будет удобно писать γ(ξ,t) взамен γt(ξ).Кусочная гладкость траекторий, гарантируемая аксиомой движения,позволяет говорить о скорости частицы ξ в момент времени t:v (ξ , t ) = ∂γ (ξ , t ) ∂t = ξ ′ ( t ) .1.1.5. Лагранжево и эйлерово описания сплошной среды.Как мы уже договорились, описать сплошную среду – это задать ее числовыехарактеристики.

Это можно сделать, но крайней мере, двумя способами:4• привязывать характеристику к частице в данный момент времени и• привязывать характеристику к точке пространства, в которой в данныймомент находится частица.Эти два способа называются, соответственно, лагранжевым и эйлеровымописаниями сплошной среды. Таким образом, в лагранжевом подходе всехарактеристики задаются в переменных (ξ,t)∈Ω0×R, а в эйлеровом – впеременных (x,t)∈{Ωt×{t}: t∈R}. Соответственно, координаты (ξ,t)называются лагранжевыми координатами (или переменными), а (x,t) –эйлеровыми.Эти два описания, разумеется, эквивалентны. Если известна некотораяхарактеристика F в .лагранжевом описании, то можно найти еепредставление в эйлеровом, и наоборот. Например, если vL(ξ,t) и vE(x,t) –лагранжево и эйлерово представления скорости, то, очевидно,vL(ξ,t) = vE(γ(ξ,t),t),и, наоборот,vE(x,t) = vL(γ−1(x,t),t).Чтобы найти движение сплошной среды, т.е.

траектории каждой частицы, вслучае, когда известно поле скоростей в лагранжевом описании, достаточнонайти интеграл от скорости:tt00γ t (ξ ) = ξ ( t ) = ξ ( 0 ) + ∫ ξ ′ ( s ) ds = ∫ υ L (ξ , s ) dsЕсли же поле скоростей задано в эйлеровом описании, то приходится решатьзадачу Коши для обыкновенного дифференциального уравненияξ ′ ( t ) = v E (ξ ( t ) , t ) , ξ ( 0 ) = ξ .Каждое из этих описаний имеет свои преимущества и недостатки. Вчастности, основные дифференциальные уравнения сплошной среды(которые мы выведем ниже) проще в эйлеровом описании.1.1.6.

Силовые и энергетические характеристики сплошной среды.Фундаментальную роль при описании сплошной среды, наряду с массой,играют также следующие числовые характеристики произвольного объема о;сплошной среды: импульс (количество движенияK (ω ) = ∫∫∫ ρ ( x ) v ( x ) dω = ∫∫∫ ρ vdω ,ωωмомент импульса (момент количества движения )H (ω ) = ∫∫∫ ρ ( x ) ( x × v ( x ) ) dω = ∫∫∫ ρ ( x × υ ) dωωωздесь x×v(x) – векторное произведение х на v(x) в R3),кинетическая энергия21Ek (ω ) = ∫∫∫ ρ ( x ) v ( x ) dω2ωи полная энергияE (ω ) = Ek (ω ) + Ei (ω ) .5Если зафиксировать объем сплошной среды ω0⊂Ω0 и рассматривать этихарактеристики на движущемся объеме ωt=γ(t) то они будут функциямитолько времени t.Введенные характеристики являются прямыми обобщениями на сплошнуюсреду известных из теоретической механики понятий импульса системы пnматериальных точек ∑ i =1 mi vi (vi – скорость i-й точки массы mi), моментаимпульса∑ni =1∑ni =1mi ( xi × vi ) (xi – радиус-вектор i-й точки), кинетической12mi vi и полной энергии как суммы кинетической и потенциальной2(внутренней).1.1.7.

Аксиомы баланса.Для любого движущегося объема ωt масса объема неизменна:dM (ω t ) = 0 ,dt(1.3)скорость изменения импульса равна главному вектору силdK (ω t ) = F (ω t ) ,dt(1.4)скорость изменения момента импульса равна главному моменту силdH ( ω t ) = G (ω t ) ,dt(1.5)скорость изменения полной энергии равна вносимой мощностиdE ( ω t ) = N (ω t ) .dt(1.6)Эти аксиомы иногда называют принципом отвердевания, посколькууравнения (1.3)–(1.6) аналогичны уравнениям движения твердого тела. Смыслправых частей равенств (1.3)–(1.6) объясняется в следующих разделах курса.1.1.8.

Анализ сил.Будем рассматривать всего два класса сил, действующих на сплошную среду– внешние массовые и внутренние поверхностные силы.Первая из этих сил Fe(ω) пропорциональна массе объема (типичнымпредставителем таких сил является сила тяжести). Если потребовать, чтобывнешняя сила была непрерывной мерой, то у нее будет существоватьобъемная плотность fe:Fe (ω ) = ∫∫∫ f e ( x ) dω .ωКак и выше, удобно пользоваться массовой плотностьюFe (ω ) = ∫∫∫ ρ ( x ) f ( x ) dω = ∫∫∫ ρ fdω .ωωМомент внешней силы тогда определяется равенствомGe (ω ) = ∫∫∫ ρ ( x × f ) dω .ω6Эксперименты показывают, что кроме сил, действующих на объем (массу),имеются силы, действующие на поверхность дω (например, силы давления,внутреннего трения и т.п.). Разумеется, понятие поверхностных сил условно,поскольку в рамках ньютоновской механики силы могут действовать толькона массу.

Здесь имеется в виду, что рассматриваемые силы приложены кчастицам среды, расположенным в слоях пренебрежимой толщины. Для того,чтобы определить эти силы, рассмотрим сечение σ области Ω на области Ω1 иΩ2 плоскостью Σ. Пусть п – нормаль к σ, направленная, скажем, в сторону Ω2(см.

рис. 2).Рисунок 2.Формулируемая ниже аксиома внутренних поверхностных сил вводит векторсилы Fs(σ), действующей на часть объема Ω1 со стороны части объема Ω2через плоскую область σ. Если предполагать, что Fs(σ) – непрерывнаяплоская мера, то имеет место интегральное представлениеFs (σ ) = ∫ ∫ pn ( x ) dσ(1.7)σВеличина рп(х) называется вектором напряжений внутреннихповерхностных сил. Она позволяет говорить о векторе внутреннихповерхностных сил, действующих на данный объем.1.1.9. Аксиома внутренних поверхностных сил.Внутренняя поверхностная сила определена для любого сечения Sобласти fi и является непрерывной плоской мерой.Эта аксиома гарантирует существование вектора рп(х) напряженийповерхностных сил, с помощью которого главный вектор внутреннихповерхностных сил, действующих на объем ω через его поверхность,определяется формулой (ср.

с (1.7))7Fi (ω ) = ∫∫ pn( x ) ( x ) dσ = ∫∫ pn dσ ,∂ω∂ωгде n(х) – орт нормали к поверхности дω объема ω в точке х.Наличие вектора рп позволяет также определить момент внутреннихповерхностных сил, действующих на ω через дω:Gi (ω ) = ∫∫ ( x × pn( x ) ( x ) ) dσ = ∫∫ ( x × pn ) dσ .∂ω∂ωСледующая аксиома постулирует тот факт, что существование других сил имоментов, кроме рассмотренных выше, в данной модели не предполагается.1.1.10.

Аксиома сил и моментов.В (1.3)F (ω ) = Fe (ω ) + Fi (ω ) = ∫∫∫ ρ fdω + ∫∫ pn dσω∂ωа в (1.5)G (ω ) = Ge (ω ) + Gi (ω ) = ∫∫∫ ρ ( x × f )dω + ∫∫ ( x × pn )dσω∂ωПо аналогии с классической механикой можно ввести понятия мощностей,развиваемых внешними массовыми и внутренними поверхностными силамиN e (ω ) = ∫∫∫ ρ vfdω , N i (ω ) = ∫∫ vpn dσ .ω∂ωКроме того, постулируется существование тепловых потоков.

Они вводятся,с математической точки зрения, полностью аналогично внутреннимповерхностным силам.1.1.11. Аксиома потока тепла.Поток тепла Q(σ) определен для любого сечения Σ области Ω иявляется непрерывной плоской мерой.Если выполнена эта аксиома, то определена поверхностная плотность qnпотока тепла:Q (σ ) = ∫∫ qn dσ ,σа она, в свою очередь, позволяет говорить о потоке тепла в объем ω изобласти Ω\ω границу дω:Q (ω ) = ∫∫ qn( x ) ( x ) dσ = ∫∫ qn dσ .∂ωσωПоследняя аксиома завершает описание механизмов передачи энергии вданной модели.1.1.12.

Аксиома передачи энергии.В (1.6)N (ω ) = N e (ω ) + N i (ω ) + Q (ω ) = ∫∫∫ ρ vfdω + ∫∫ vpn dσ + ∫∫ qn dσω∂ω∂ωТеперь в уравнениях (1.3)–(1.6) определены все величины, и эти уравнения сописанными выше правыми частями составляют рассматриваемую нами8математическую модель сплошной среды: для любого движущегося объемаωt в любой момент времени td dt ∫∫∫ ρ dω = 0, ωtd ∫∫∫ ρ vdω = ∫∫∫ ρ fdω + ∫∫ pn dσ ,dt ω∂ωtωt( IM )  tdρ ( x × v ) dω = ∫∫∫ ρ ( x × f ) dω + ∫∫ ( x × pn ) dσ , dt ∫∫∫∂ωtωtωt1 2d dt ∫∫∫ ρ  2 v + U  dω = ∫∫∫ ρ vfdω + ∫∫ vpn dσ + ∫∫ qn dσ .∂ωt∂ωtωt ωtЭти уравнения называют (интегральными) законами сохранениясоответственно массы, импульса (количества движения), моментаимпульса, (момента количества движения) и энергии.Полученная математическая модель (IM) весьма сложна для исследования (вчастности, в силу ее большой общности).Наша следующая задача – попытаться упростить модель (возможно, за счетсужения рамок ее применимости).

Ниже мы покажем, что если величины,характеризующие сплошную среду, достаточно гладкие, то модель (IM)эквивалентна некоторой системе дифференциальных уравнений в частныхпроизводных, которая допускает более полное исследование развитымиматематическими средствами. Для того, чтобы привести нашу модель ксистеме дифференциальных уравнений, нам потребуются некоторые новыематематические понятия и факты, описанию которых и посвящена Глава 0.9МССДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ._____________________________________________________________________________Equation Chapter 1 Section 1(1.7)1.2 Дифференциальные законы сохраненияКак мы выяснили в разделе 1.1, сплошная среда характеризуется• скоростью v,• плотностью ρ,• удельной внутренней энергией U,• плотностью массовых сил f,• напряжением поверхностных сил pп на элементарной площадке снормалью п• и плотностью потока тепла qn через эту площадку.Ниже мы покажем, что если эти функции достаточно гладкие, тоинтегральная модель (IM) эквивалентна некоторой системедифференциальных уравнений в частных производных, которая и будетявлять собой дифференциальную модель (DM) законов сохранения сплошнойсреды.1.2.1.

Области определения и соглашения о гладкости.Мы предполагаем, что величины v, ρ, U, f, pп и qn заданы в эйлеровомописании, т.е. являются функциями переменных (x,t), изменяющихся нанекотором множестве D⊂R3 × R. Функции рп и qn зависят также и от векторанормали п. Областью изменения переменной п, очевидно, являетсяединичная сфера S = {х∈ R3 :  х  = 1}. Таким образом, область определенияфункций р и q есть D × S.Ниже предполагается, что v, ρ, U а также рп и qn при каждом фиксированномп ∈ S непрерывно дифференцируемы на D, функции р и q непрерывны наD × S а функция f непрерывна на D.1.2.2. Общая схема преобразования интегральных законов.Каждое из уравнений модели (IM) мы перепишем в видеFdω = 0∫∫∫ω(1.8)tПоскольку это равенство должно выполняться для любого движущегосяобъема ωt, отсюда будет вытекать, что на DF ≡0.(1.9)Равенства вида (1.9) и будут составлять дифференциальную модель (DM).Импликация (1.8) ⇒ (1.9) вытекает из следующей леммы.1.2.3. Лемма.

Характеристики

Список файлов лекций