1612044279-488d32d5928d2676100d24b84a89d13e (533714), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Формулы Гаусса–Остроградского.Из курса математического анализа известны следующие тождества,называющиеся формулами Гаусса—Остроградского. Пусть f – векторное, F –тензорное непрерывно дифференцируемые поля, ω – область в Rm с кусочногладкой границей ∂ω, n – внешняя нормаль к ∂ω. Тогдаdivfdω∫∫ω f ⋅ ndσ = ∫∫∫ω∂∫∫ω F∂n dσ = ∫∫∫ divFdω∫∫ω f ⋅ F∂ωn dσ = ∫∫∫ divF f dωω0.4.7. Оператор Лапласа.Суперпозиция операций дифференцирования и дивергенции носит специальноеназвание оператор Лапласа. Более подробно, пусть f – скалярное иливекторное поле. Тогда div(∂f) называется значением оператора Лапласа ∆ на∂xполе f и обозначается ∆f. Более подробно в "коэффициентной" записи, если f –скалярное поле, то∂f ∂f∆f = div ( gradf ) = div ( ∇f ) = div  1 ,..., k∂x ∂x2 m ∂ f= ∑2 i =1 ( ∂x i )В самом деле,14 ∂2 f∂x12 ∂f∂f   2,...,∂∂ f∂x1∂xm  ∂ ∂f∂= ∇f ( x ) ==  ∂x2∂x1∂x ∂x ∂x∂x 2 ∂ f ∂x ∂x m 1∂2 f∂x1∂x2∂2 f∂x22∂2 f∂xm∂x2∂2 f ∂x1 ∂xm ∂2 f …∂x2∂xm ∂2 f …∂xm2 …и, следовательно,m∂ ∂f∂2 f ∂f div   = tr.=∑i 2∂x ∂x ∂x i =1 ( ∂x )Аналогично, хотя и более громоздко, показывается, что если f – векторное поле,то m 2 1m∂ f∂2 f m∆f = ( ∆f 1 ,..., ∆f m ) =  ∑,...,∑i 2 i =1 ∂x i 2i =1 ( ∂x )().Здесь же заметим, что если f – векторное поле, то ∂f ∗ div  = ∇ ( divf ) ∂x (0.14)а если, кроме того, F – тензорное поле, то∂f divF f = f ⋅ divF + tr  F∂x (0.15)0.5.

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯЗдесь мы напоминаем теорему о дифференцировании решений обыкновенныхдифференциальных уравнений по начальным данным, которая нам потребуетсяв данном курсе, а также выводим формулу Эйлера.0.5.1. Задача Коши.Пусть f: Rm×R →Rm – непрерывно дифференцируемое отображение.Рассмотрим задачу Кошиx′ = f ( x, t ) , t ≥ 0,x ( 0) = ξ ∈ R m ,(0.16)(0.17)где ξ – векторный параметр.Известно (это утверждение классической теоремы Коши–Пикара), что вэтом случае решение задачи Коши (0.16)–(0.17) на некотором интервале [0,Т]существует и единственно.Если дополнительно потребовать ограниченности производной f по x:∂f ( x, t )m≤ M < ∞ при всех (x,t)∈R ×R, то можно утверждать существование и∂xединственность решения на всей оси R.150.5.2.

Уравнение в вариациях.Обозначим решение задачи Коши (0.16)–(0.17) через x(ξ,⋅).Теорема о дифференцируемости решений по начальным данным утверждает,что отображение (ξ,t)→x(ξ,t) непрерывно дифференцируемо и что функцияt→∂x (ξ , t )при каждом ξ удовлетворяет обыкновенному дифференциальному∂ξуравнениюx′ =∂f ( x, t )x∂x x = x(ξ ,t )(0.18)называемому уравнением в вариациях, т.е.

имеет место тождество (всокращенной записи)d ∂x ∂f ∂x=dt ∂ξ ∂x ∂ξ0.5.3. Формула Эйлера.Здесь описывается дифференциальное уравнение, которому удовлетворяетинвариант J3 отображения∂x∂x, т.е. функция J=J(ξ,t) =det( ). Оказывается,∂ξ∂ξdJ = JdivfdtЭта формула и называется формулой Эйлера.Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть X и F матрицы отображенийбазисе {еi}X ij = ei ⋅∂x (ξ , t )∂f ( x, t )ив∂x∂ξ∂x (ξ , t )∂f ( x, t )e j , F ji = ei ⋅ej .∂ξ∂xВ силу (0.18)d iX j = Fki X kj .dtНам же требуется показать, чтоddet X = det X ⋅ tr F .dtОбозначим через Akj алгебраическое дополнение в матрице X до элемента X kj(обратите внимание на переставленные индексы). Тогда, как известно, X kj Ai j , i = k ,det X = 0, i ≠ k ,или, короче,X kj Ai j = δ ik ⋅ det X .Отсюда следует, что∂ det X= Ai j .∂X ijНо тогда (напомним, что действует соглашение о немых индексах)16md∂ det X d iddet X = ∑⋅ X j = Ai j X ij = Ai j Fki X kj =idt∂X j dtdti, j.= ( X kj Ai j ) Fki = det X ⋅ F jkδ ik = det X ⋅ Fi i = det X ⋅ tr FЧто и требовалось доказать.ЛИТЕРАТУРА1.

Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М: "Наука", 1978.2. Жермен П. Курс механики сплошных сред. М: "Высшая школа", 1983.3. Овсянников Л.В. Введение в механику сплошной среды: Учебное пособие длястудентов НГУ. Новосибирск, ч. 1, 1976; ч. 2, 1977.17Equation Chapter 1 Section 1Глава 1Интегральные моделиПриступим теперь к процессу построения большого класса математическихмоделей – так называемых моделей механики сплошной среды (или, как ихеще иногда называют, моделей сплошной деформируемой среды).Описываемым физическим объектом являются физические тела (массы),заполняющие некоторый объем физического пространства и способныедеформироваться. При этом рассматривается такой класс движений этихтел, в котором можно отвлечься от их молекулярной и атомной структурыи предполагать, что эти тела заполняют пространство непрерывным(сплошным) образом.

Другими словами, мы будем описывать макро-, а немикромир.Построение модели сплошной среды сводится к нахождению (выделению)числовых параметров, ее описывающих, и нахождению количественныхсоотношений (уравнений) между этими параметрами. Кроме того, мы неминуем обычного этапа построения математических моделей – приведенияполученных уравнений к удобному для исследования виду. И, наконец,построение любой математической модели зачастую сопровождаетсяразвитием и совершенствованием математического аппарата (особенно этоотносится к введению новых математических понятий, которые затемначинают жить самостоятельной математической жизнью).

Этот этап намтакже не удастся миновать.1.1. Аксиоматика сплошной средыВ основе механики сплошной среды лежит ряд экспериментальных фактов,которые мы сформулируем в виде аксиом. Именно эти аксиомы позволят намввести числовые параметры, описывающие сплошную среду, и вывестиколичественные соотношения, которые и будут являться одной из еематематических моделей. Разумеется, эти экспериментальные факты вернылишь приближенно, но мы будем считать их выполненными точно.

Точностьрезультатов, которая нам необходима, определяет границы применимостиописываемых моделей.Каждый пункт параграфа начинается с формулировки аксиомы, котораязатем подробно объясняется. Аксиомы описываются в тех и только техпунктах, которые начинаются словом "Аксиома" .Аксиома пространства-времени.Пространство – трехмерное евклидово аффинное пространство,время – одномерное евклидово аффинное пространство. Времяабсолютно.Аффинное пространство – это множество (точек) X, на котором определенопонятие векторов xy с началом х ∈ X и концом в у ∈ X, т.е.

задано1отображение (x, у) → xy из X × X в линейное пространство Е (называемоеприсоединенным), обладающее следующими свойствами:1) для любой фиксированной точки х ∈ X отображение у → xy есть биекция(взаимно однозначное отображение) X на Е;2) xy + yz + zx = 0 для любых х,у,z ∈ X.Таким образом, в аффинном пространстве нулем может быть объявленалюбая точка. Если присоединенное пространство евклидово т.е. в нем заданоскалярное произведение, то пространство X называется евклидовымаффинным.Размерность X, по определению, есть размерность Е.Сцена, на которой разыгрывается наше действие, есть трехмерное евклидовопространство R3, аффинная структура в котором задается отображением(x,у) → y−x. Скалярное произведение в R3 индуцирует в нем норму:х= x ⋅ x . Норма же и скалярное произведение в R3 позволяют определитьдлину вектора и скалярное произведение векторов:  xy =y−x,xy ⋅ uv = ( y − x ) ⋅ ( v − u ) .(Кстати, древние не наделяли окружающий мир аффинной структурой – начало пространстваопределялось геоцентризмом взглядов, а начало времени – сотворением мира).Поясним фразу "Время абсолютно".

Окружающий мир в пространственновременном смысле представляется точками пространства R4 = R3×R,называемых мировыми точками, или событиями.Время есть линейное отображение t: R4 → R мира на "ось времени".Промежуток времени между событиями А, В ∈ R4 есть число t(B−А). Если эточисло равно нулю: t(B−А)=0, то события А и В называются одновременными.Линейность отображения t гарантирует изоморфизм пространстваодновременных событий (ядра отображения) t пространству R3. Наличиеэтого изоморфизма позволяет говорить об абсолютно одновременныхсобытиях (в отличие от различных релятивистских теорий).1.1.2. Аксиома материального континуума.Сплошная среда в каждый момент времени естъ материальныйконтинуум.Это означает, что определены понятия массы и внутренней энергии каждогообъема сплошной среды.

Более подробно. Объемом в R3 называется любаяобласть (открытое связное множество) с кусочно гладкой границей.Предполагается, что определена масса любого объема ω, т.е. задана функциямножества М: ω→M(ω) и эта функция есть мера, т.е. неотрицательная∞∞i =1счетно-аддитивная функция множества: M  ∪ ωi  = ∑ M (ωi ) , если ωi ∩ ω j = ∅ i =1при всех i ≠ j.Более того, предполагается, что функция М непрерывна в следующемсмысле: M(ω)→0 при mes(ω)→0, где mes(ω) – мера Лебега множества ω(понятие меры Лебега будет строго введено в курсе математического2анализа, пока же можно считать, что mes(ω) – это объем области ω в смысле,описываемом в курсе школьной геометрии).

В курсе функциональногоанализа будет доказано, что в этом случае существует неотрицательнаяфункция ρ: R3 → R такая, что для любого объема ΩM ( Ω ) = ∫∫∫ ρ ( x ) dω(1.1)Ωздесь (ω – элементарный объем). Эта функция называется плотностью(удельной массой ) сплошной среды. Можно показать, чтоM  Bε ( x ) ε →04 3πε33где Вε(х) – шар в R3 радиуса ε с центром в х (а πε 3 , разумеется, объем4ρ ( x ) = limmes(Вε(х)) этого шара).

Последнее полностью согласуется со школьнымфизическим определением плотности.Подчеркнем, что переход от массы к плотности в математическом смыслеозначает переход от весьма сложного математического объекта – функциймножества (т.е. функций, заданных на множестве подмножествпространства R3) к существенно более простым математическим объектам –функциям точки. Последние существенно более хорошо изучены. К нимможно применять развитый аппарат математического анализа.Точно так же аксиома материального континуума предполагает наличие укаждого объема внутренней энергии, т.е. существование непрерывной мерыЕi. Наличие представления внутренней энергии вида (1.1) позволяет ввестипонятие удельной объемной энергии еi :Ei ( Ω ) = ∫∫∫ ei ( x ) dω .ΩОбычно удобнее пользоваться удельной внутренней энергиейU ( x ) ≡ ei ( x ) ρ ( x ) (т.е.

энергией, отнесенной к единице массы). Такимобразом,Ei ( Ω ) = ∫∫∫ ρ ( x ) U ( x ) dω = ∫∫∫ ρUdωΩ(1.2)Ω1.1.3. Движение сплошной среды.Прежде, чем описывать следующую аксиому, введем некоторые понятия иобозначения. Обозначим через Ωt конфигурацию сплошной среды в моментвремени t (т.е. множество точек в R3, которые среда заполняет в моментвремени t). Тот факт, что в процессе эволюции сплошная среда состоит изодних и тех же материальных частиц математически описывается введениемсемейства взаимно однозначных отображений γ t ,s : Ωt → Ω s (см. рис.

1).3Рисунок 1.Это семейство называется движением сплошной среды. Отображения γ t ,sпоказывают "сдвиг" частиц за промежуток времени от t до s. Из физическогоопыта ясно, что за нулевое время частицы не должны двигаться: γ t ,t = I (здесьI – тождественное отображение в Ωt) и, кроме того, суммарный результатсдвига за время от t до s, а затем – от s до р, есть результат сдвига за время отt до р: γ s , p γ t ,s = γ t , p (см. рис.

Характеристики

Список файлов лекций