1612044279-488d32d5928d2676100d24b84a89d13e (533714), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Закон сохранения импульса.Имеет место следующее уравнение импульса:ρdv= divP + ρ fdt(1.19)Доказательство. В силу основной теоремы∫∫ω p ( ) (x, t )dσ = ∫∫ω P(x, t ) n(x ) dσ ,n x∂∂ttили, в сокращенной записи,∫∫ p dσ = ∫∫ω P n dσ .n∂ω t∂tВ силу же теоремы Гаусса–Остроградского∫∫ P∂ωtn dσ = ∫∫∫ divPd ω .ωtПоэтому интегральный закон сохранения импульса может быть переписанв виде (см. формулу (1.13))  dv ρ  − f  − divP  dω = 0 .∫∫∫ω   dtt6МССДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ._____________________________________________________________________________Теперь уравнение импульса (1.19) следует из леммы 1.2.3. ■Для вывода закона сохранения момента импульса введем для любого х∈R3линейное (антисимметричное) отображение A(х) из R3 в R3, позволяющеепредставить векторное произведение x×а в виде A(х)〈а〉.

Как нетрудно видеть,его можно задать следующей матрицей в произвольном ортонормированномбазисе {ei}. 0A ( x ) =  x3 − x2− x30x1x2 − x1  , x = x i ei .0 1.2.9. Закон сохранения момента импульса.Имеет, место следующее уравнение момента импульсаdv ρ  x ×  = div ( A ( x ) D P ) + ρ ( x × f )dt (1.20)Доказательство. В самом деле, преобразуем поверхностный интеграл винтегральном законе сохранения момента импульса в объемный:∫∫  x × p ( ) ( x, t )  d σ = ∫∫  x × P ( x, t ) n ( x )  d σ =n x∂ωt∂ωtd σ = ∫∫∫ div ( A ( x ) D P ) d ω .∫∫ A ( x ) D P n ( x )∂ωtωtПоэтому его (закон сохранения момента импульса) можно, используяформулу (1.12), переписать в видеdv ρ  x × dω − ∫∫∫ div( A( x ) D P )dω − ∫∫∫ ρ ( x × f )dω = 0 .∫∫∫dt ωωωtttПрименение леммы 1.2.3 к последнему равенству приводит к уравнению(1.20).

■Если теперь, воспользовавшись уравнением импульса (1.19), подставить в(1.20) divP+ρf вместо ρмомента импульса:dv, то получится более простая форма уравненияdtdiv ( A ( x ) D P ) = x × divP .(1.21)Оказывается, уравнение (1.21) эквивалентно симметричности тензоранапряжений.1.2.10. Теорема о симметричности тензора напряжений.Уравнение (1.21) выполнено в том и только том случае, когда тензорнапряжений Р симметричен: Р=Р*.Доказательство: Пусть выполнено уравнение (1.21), а {еi} – произвольныйортонормальный базис.

Используя определение дивергенции тензора,свойства дифференцирования композиции отображений и определение А,преобразуем левую часть равенства (1.21):div ( A ( x ) D P ( x, t ) ) =(dA ( x + sei ) D P ( x + sei , t ) eids)=s =07МССДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ._____________________________________________________________________________dd=  A ( x + sei )  P ( x, t ) ei + A ( x )  P ( x + sei )  ei =s =0 s =0  ds ds= A ( ei ) P ( x, t ) ei+ A ( x ) divP ( x, t ) = ei × P ei + x × divP .Поэтому, в силу (1.21) еi×Р〈еi〉=0.

Последнее возможно только в случаесимметричности тензора P. В самом деле,0 = ei × P ei = A ( ei ) P ei= 0 0 0   p11   0 0 1   p21   0 −1 0   p31   p23 − p32     =  0 0 −1  p12  +  0 0 0   p22  +  1 0 0   p32  =  p31 − p13  = 0 0 1 0   p   −1 0 0   p   0 0 0   p   p − p 21   13    23    33   12что означает симметричность P.Поскольку все преобразования и рассуждения в приведенном вышедоказательстве обратимы, обратное заключение также верно. ■Таким образом уравнение (1.21) и условие симметричности тензоранапряжений эквивалентны.

Поэтому в результирующую систему уравнений,которую мы выводим, обычно вставляют не уравнение (1.21), а требованиесимметричности тензора напряжений. Наконец, обратимся к законусохранения энергии (последнему уравнению в интегральной модели (IM)).Рассуждения здесь в большой мере аналогичны. Следующая теорема вводит«энергетический аналог» тензора напряжений – вектор потока тепла.1.2.11. Теорема о существовании вектора потока тепла.Существует векторное поле q: D→R3 такое, что в каждой точке(x,t)∈D для любой нормали п∈S плотность qn потока тепла черезэлементарную площадку с нормалью п задается формулойqn ( x , t ) = − q ⋅ n(1.22)Доказательство представляет собой почти дословное повторениедоказательства теоремы 1.2.7. Изменения связаны только с тем фактом,что qn, в отличие от pn является скалярной, а не векторной функцией.Кроме того, в определении вектора потока тепла (1.22) фигурирует знак«–», который, очевидно, не влияет на доказательство и взят лишь для того,чтобы вектор q показывал истинное направление переноса тепловойэнергии: n – орт внешней нормали к границе ∂ω объема ω, в которыйвносится поток тепла с плотностью qn.

■Наличие вектора потока тепла позволяет, как и выше, преобразоватьуравнение баланса энергии к дифференциальной форме. Для его описаниянам потребуется новое понятие.1.2.12. Тензор скоростей деформации.Тензором скоростей деформации данной сплошной среды называетсяследующий тензор второго ранга8МССДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ._____________________________________________________________________________∗1  ∂v  ∂v  D =  +  .2  ∂x  ∂x  Этот тензор, наряду с тензором напряжений, играет фундаментальную роль вмеханике сплошной среды и будет более подробно изучаться позднее.1.2.13.

Уравнение притока тепла.Имеет место следующее уравнение притока теплаdU= P : D − divqdtДоказательство: В силу (1.22) и формулы Гаусса—Остроградского∫∫ qn d σ = − ∫∫ qn ⋅ nd σ = −∫∫∫ divqd ωρ∂ωt∂ωt(1.23)ωtаdiv P v∫∫ω v ⋅ p dσ = ∫∫∫ωn∂tdωtПоэтому, с помощью (1.12), интегральный закон сохранения энергиипереписывается в виде d 1∫∫∫ ρ dt  2 vωt2+ U  − div ( P v ) − ρv ⋅ f + divq  d ω = 0Применение леммы 1.2.3 к последнему равенству приводит к уравнениюρd 1 2 v + U  − div ( P v ) − ρv ⋅ f + divq = 0 .dt  2(1.24)Теперь воспользуемся тем, чтоd 2dvv = 2v ⋅dtdtadiv ( P v ) = v ⋅ divP + P:DДокажем последнее равенство.

Как легко видеть,∂ (P v∂x)=∂v( x, t )∂P( x, t )v ( x , t ) + P ( x, t ) D∂x∂xДалее (напомним, что тензор Р симметричен),jjjji∂v 1  ∂v  1  ∂v 1  ∂v  1  ∂v  ∂v tr  P D  = Pji   = Pji   + Pji   = Pji   + Pi j   =∂x  ∂x i 2  ∂x i 2  ∂x i 2  ∂x i 2  ∂x  jjjii∗∗jj1 i  ∂v  1 ∗ i  ∂v  1 i  ∂v  1 i  ∂v  = Pj   + ( P )    = Pj   + Pj    =j2  ∂x i 22  ∂x i 2  ∂x   ∂x  ji1 i  ∂v  ∂v  Pj  +    = Pji Di j = ( P∗ ) Di j = P : D ,j2  ∂x  ∂x  i∗аd ∂Pv  = ei ⋅  P ( x + sei ) vtr  ∂x ds i dv = = e ⋅  P ( x + sei )s =0 s =0 ds9МССДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ._____________________________________________________________________________dd= v ⋅  P∗ ( x + sei )ei  = v ⋅  P ( x + sei )ei  = v ⋅ divP .s =0s =0 ds dsТаким образомdiv ( P v ) = v ⋅ divP + P:D .Остается исключить из (1.24) с помощью уравнения импульса (1.19)ρdv:dtdU= P : D − divq .■dt1.2.14.

Дифференциальная модель.Если выполнены предположения гладкости, описанные в п. 1.2.1, то на Dопределены тензорное поле P симметричных тензоров напряжений ивекторное q потока тепла такие, что интегральная модель (IM) эквивалентнаследующей дифференциальной модели dρ dt + ρdivv = 0,dv( DM ) ρ = divP + ρf , dt dUρ dt = P : D − divq.1.2.15. Замыкание математической модели сплошной среды.Построенная модель дифференциальная модель (DM) обладает двумясущественными недостатками. Во−первых, она все еще непомерно сложна,поскольку описывает очень широкий класс сплошных сред – от газов дотвердых тел.

При таком уровне общности вряд ли возможно вывестисколько−нибудь содержательные утверждения о сплошной среде. И,во−вторых, что еще более существенно, данная модель незамкнута в томсмысле, что число уравнений в ней меньше числа неизвестных. В самом деле,в данной модели пять скалярных уравнений.

В то же время она содержит двескалярные неизвестные (ρ и U), две векторные (трехмерные) неизвестные (vи q) и одну тензорную неизвестную величину Р. В силу требованиясимметричности тензора Р, описывается шестью скалярными параметрами.Таким образом, модель (DM) содержит 14 скалярных неизвестных. Поэтомуона необходимо должна быть дополнена уравнениями, учитывающимиконкретные свойства той или иной сплошной среды. Такие уравненияназываются определяющими. Их изучению и посвящены следующие двапараграфа.1.3 Термодинамика сплошной средыДля того, чтобы научиться выводить определяющие уравнения, мы должнынаучиться описывать термодинамические характеристики сплошной среды.Кроме изученных выше параметров, характеризующих энергетическиевзаимодействия в сплошной среде.

К их изучению мы приступаем.10МССДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ._____________________________________________________________________________1.3.1. Термодинамические эффекты в сплошных средах.Физический опыт показывает, что сплошные среды не представляют собойчисто механическое явление. В частности, в процессе эволюции сплошнойсреды (изменения параметров, ее характеризующих) происходятпревращения одних видов энергии в другие (например, удлинение металловпри нагревании, нагревание газов при сжатии и т.п.) Термодинамика – этораздел физики, в котором изучаются связи между тепловой и другимивидами энергии. В первую очередь, нас будут интересовать связи междутепловой и механической энергиями.

Если быть более точными, то мы будемзаниматься изучением не термодинамики, а термостатики, поскольку напервом этапе будем11Equation Chapter 1 Section 11.3. Термодинамика сплошной среды.Для того чтобы научиться выводить определяющие уравнения, мы должнынаучиться описывать термодинамические характеристики сплошной среды.Кроме изученных выше параметров, сплошную среду описывает также рядпараметров, характеризующих энергетические взаимодействия в сплошнойсреде.

Характеристики

Список файлов лекций