1612044279-488d32d5928d2676100d24b84a89d13e (533714), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Эти константы с большой степенью точности и надежности определяются экспериментально.Последним из рассматриваемых нами упрощений моделей сплошной средыбудет отказ от учета эффектов, вызванных наличием вязкости.1.5.10. Идеальная жидкостьВ ряде течений вязкие эффекты, т.е.
эффекты, связанные со свойством жидкостей сопротивляться сдвиговым напряжениям оказываются несущественными. В этих моделях можно положить ν равным нулю. Такие жидкости называются идеальными. В результате мы получаем математическую модельидеальной несжимаемой жидкости:( F4 ) divv = 0 dv 1 dt + ρ ∇p = fЭта система уравнений называется системой уравнений ЭйлераУравнение притока тепла, поскольку, Φ′ =2νD′ : D = 0 , переписывается в видеCVdΘ1=div (κ∇Θ ) .dtρ CνЕсли рассматривать жидкости, в которых коэффициенты κ и CV являютсяконстантами (это предположение выполняется для достаточно широкогокласса жидкостей), то последнее уравнение превращается в обычное уравнение теплопроводности:8dΘ= Κ∆Θ ,dt(1.58)где Κ=κ/(ρCV) называется коэффициентом температуропроводности.Подчеркнем в заключение, что описанные нами модели сплошной среды исторически появлялись в обратном порядке, т.е.
развитие теории сплошныхсред шло, в основном, индуктивно, от частных моделей к более общим.9Equation Chapter 1 Section 1(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)(1.5)(1.6)(1.7)(1.8)(1.9)(1.10)(1.11)(1.12)(1.13)(1.14)(1.15)(1.16)(1.17)(1.18)(1.19)(1.20)(1.21)(1.22)(1.23)(1.24)(1.25)(1.26)(1.27)(1.28)(1.29)(1.30)(1.31)(1.32)(1.33)(1.34)(1.35)(1.36)(1.37)(1.38)(1.39)(1.40)(1.41)(1.42)(1.43)(1.44)(1.45)(1.46)(1.47)(1.48)(1.49)(1.50)(1.51)(1.52)(1.53)(1.54)(1.55)(1.56)(1.57)(1.58)1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041421.6. ПРОСТЕЙШИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ.В этом коротком разделе мы рассмотрим простейшие уравнения механикисплошной среды и простейшие краевые задачи для этих уравнений.1.6.1. О классе уравнений.Дифференциальные уравнения, составляющие ту или иную модель механикисплошной среды, представляют собой, как правило, математический объект,не встречавшийся ранее в университетских курсах – это так называемыедифференциальные уравнения с частными производными (или в частныхпроизводных).
В отличие от случая обыкновенных дифференциальных уравнений, в этих уравнениях неизвестная функция обязательно зависит от нескольких вещественных переменных, и в уравнение входят как значения самой функции, так и ее некоторых частных производных. Типичный пример –уже встречавшиеся уравнения Эйлера и Навье–Стокса, а также уравнение теплопроводности. Эти уравнения, по сравнению с обыкновенными дифференциальными, представляют собой существенно более сложный математический объект.
В зависимости от того, какие частные производные и с какими«коэффициентами» входят в уравнение, они (вернее, их решения) могутпринципиально менять свое поведение. И если линейные уравнения с частными производными еще допускают какую-либо классификацию по типамповедения решений, то нелинейные уравнения демонстрируют настолько индивидуальный нрав, что впору каждое уравнение относить к отдельномуклассу.1.6.2. Краевые задачи.Так же, как обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения с частными производными требуют дополнительных условий, называемых краевыми (некоторые из этих условий называются начальными (ср.
с начальнымиусловиями в задачах Коши для обыкновенных дифференциальных уравненийи краевыми условиями в краевых задачах для таких уравнений). Совокупность уравнения (системы уравнений) и краевых условий для него называются краевой задачей . В зависимости от краевых условий получающиеся краевые задачи могут радикально изменить поведение решений. Например, еслипри одних краевых условиях краевая задача корректна в некотором классе(пространстве) функций, т.е. ее решения существуют, единственны и непрерывно зависят от данных задачи (функций, фигурирующих в уравнении икраевых условиях), то, во-первых, эта же краевая задача в другом классефункций и, во-вторых, другая краевая задача для этого же уравнения могутоказаться некорректными.
Причем корректность может нарушаться даже ввопросе существования решения. При смене вида краевых условий можетполучиться задача, не имеющая ни одного решения в любом мало-мальскиразумном классе функций.Здесь мы рассмотрим лишь два простейших (линейных) уравнения механикисплошной среды, описывающих распространение тепла.1434445461.6.3. Уравнение теплопроводностиРассмотрим процесс теплопередачи в покоящейся идеальной жидкости, занимающей объем Ω∈R3.
Уравнение (1.58), описывающее этот процесс, запишем в видеdu= div (κ∇u ) + f ,dt4748495051525354(1.59)до конца курса сменив обозначение для неизвестной функции (температуры)на u. В этом уравнении κ – коэффициент теплопроводности, f – функция, характеризующая приток тепла извне. В дальнейшем цилиндр Ω×[0,T]∈R3×R соснованием Ω всегда обозначается через D, граница основания ∂Ω – через Γ,а его боковая поверхность Γ×[0,T] – через G.Если среда однородна (т.е.
κ не зависит от (x,t)), то это уравнение (1.59) может быть переписано в видеdu= Κ∆u + f ,dt555657( x, t ) ∈ Ω × [0, T ]( x, t ) ∈ DПоследнее же уравнение заменой переменных, например, t→Κt сводится куравнениюdu=∆u + f ,dt58( x, t ) ∈ D(1.60)59606162(здесь за изменившимися f,T и D мы сохраняем те же обозначения).Уравнение (1.61) является типичным представителем большого класса уравнений в частных производных – т.н. параболических уравнений, или уравнений параболического типа.6364656667681.6.4. Краевые задачи для уравнения теплопроводностиДля того, чтобы выделить из континуума решений уравнения (1.60) единственное нужно задать дополнительные условия (т.е.
рассматривать не уравнение, а краевую задачу). Классическими краевыми задачами для уравнениятеплопроводности являются следующие две. Первая из них (так и называющаяся первой выделяется следующими дополнительными условиями:69=u ( x,0 ) u0 ( x ) , x ∈ Ω70717273747576(1.61)и=u ( x, t ) γ ( x, t ) ,( x, t ) ∈ G(1.62)в которых u 0 и γ – заданные функции. Физический смысл начального условия(1.61) состоит в задании начального (в нулевой момент времени) распределения температуры в сплошной среде, а (первого) краевого условия (1.62) – взадании температуры на границе сплошной среды в течение всего процесса(обмен с окружающей средой).27778Вторая краевая задача получается из первой заменой краевого условия (1.62)на (второе краевое условие∂u ( x, t )= γ ( x, t ) ,∂n79( x, t ) ∈ G(1.63)80818283(здесь n – внешняя к границе Γ нормаль).
Его физический смысл – в заданиипотока температуры на границе в течение всего процесса. Краевые условия(1.62) и (1.63) часто записывают в виде84и85uG =γ∂u=γ .∂n G86878889909192Для уравнения (1.59) заданием начального условия (1.61) и одного из краевых условий (1.62) или (1.63) также формулируются первая и вторая краевыезадачи.Мы будем предполагать, что начально-краевые задачи (1.59), (1.62), (1.63) и(1.60), (1.62), (1.63) однозначно разрешимы и их решения обладают всеминужными производными. Условия, при которых это предположение выполняется, будут приведены в курсе «Уравнения математической физики».9394951.6.5.
Стационарное уравнение теплопроводности.Решение u уравнения (1.59) или уравнения (1.60) называется стационарным,если оно не зависит от времени: u(x,t)≡u(x,0) (мы предполагаем, естественно,96что f также не зависит от t). Для стационарного решения, очевидно,9798Сохраним за функцией x→(x,0) то же обозначение u. Тогда стационарное решение уравнения (1.59) будет удовлетворять уравнению99div (κ∇u ) = − f ( x ) , x ∈ Ω100du≡ 0.dt(1.64)а решение уравнения (1.60) – уравнению101∆u = − f ( x ) , x ∈ Ω102103104105106107108Эти уравнения называются иногда стационарными уравнениями теплопроводности , хотя такие уравнения описывают целый ряд различных процессов.Они (уравнения) также являются представителями широкого класса уравнений в частных производных, а именно, эллиптических уравнений, или уравнений эллиптического типа.Уравнение (1.65) называют также уравнением Пуассона, а в случае, когдаf(x)≡0 –уравнением Лапласа.109110111112(1.65)1.6.6.
Краевые задачи для стационарного уравнения теплопроводности.Поскольку стационарное уравнение теплопроводности описывает равновесное распределение тепла в сплошной среде, естественно не требуется зада3113114115116вать начальные условия, а нужно только задать условия, описывающие теплообмен (также равновесный, стационарный) с окружающей средой, т.е.краевые условия.
Выглядят они, фактически, так же, как и в нестационарномслучае: первое краевое условие117=u ( x) γ ( x), x ∈ Γ118(1.66)илиuΓ =γ(1.67)∂u ( x )= γ , x∈Γ∂n(1.68)123∂u=γ∂n Γ(1.69)124125126127128Краевые задачи (1.64), (1.66) и (1.65), (1.66) называют часто задачами Дирихле, а (1.64), (1.67) и (1.65), (1.67) – задачами Неймана.Условия разрешимости, так же, как и в нестационарном случае, мы приводить не будем, и будем считать, что решения существуют, единственны идостаточно гладки.119120а второе краевое условие121122129130131132133134135136137138139140141142или1.6.7. Замечание о размерностиВ некоторых случаях в вышеописанных задачах можно считать, что областьΩ двух- или одномерна, а ее граница Γ, соответственно, одно- или нульмерна. Например, такая ситуация возникает в случае, когда исходная область Ωпредставляет собой «почти плоскую область» (например, пластину или пленку), лежащую (вернее, «почти лежащую» в плоскости xy).
Тогда изменениемтемпературы в направлении оси z можно пренебречь и считать Ω двумернойобластью. Точно так же, если исходная область «почти линейна» (например,тонкий стержень или нить), то можно считать Ω одномерной областью (интервалом).В последнем случае, например, задача Дирихле для уравнения Пуассона превращается в обычную двухточечную краевую задачу для обыкновенногодифференциального уравнения:u′′ f ( x ) ,=x ∈Ω=( a, b ) ,γ1 .u ( a ) γ==0 , u (b)4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
