1612044279-488d32d5928d2676100d24b84a89d13e (533714), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Термодинамическое состояние жидкостиописывается пятью параметрами: P = ( ρ ,U , Θ, s, p ) . Следующая аксиома выделяет среди них независимые.1.5.5. Аксиома термодинамического состоянияЖидкости являются двупараметрическими средами.Эта аксиома означает, что из набора P только два параметра независимы, остальные выражаются через них. Обычно пространство (термодинамических)состояний P параметризуется параметрами ρ (удельная плотность) и s(удельная энтропия). Аксиома термодинамического состояния требует, чтобыбыли известны функции выражающие U,Θ и p через ρ и s.

Но если мы знаем3функцию U = u ( ρ , s ) , то в силу основного термодинамического тождества(1.27), которое для идеальных жидкостей (см. (1.52) имеет видθ ds = dU + pdV(*)V = 1 ρ , остальные функции можно выразить через U.Действительно, подставляя U=U(ρ,s) и V = 1 ρ в основное термодинамическое тождество, имеемΘds =∂U ( ρ , s )∂U ( ρ , s )1dρ +ds − p 2 d ρ∂ρ∂sρоткуда, учитывая независимость ρ и sΘ ( ρ, s) =∂U ( ρ , s )∂U ( ρ , s ), p ( ρ, s) = ρ 2∂s∂ρ(1.54)Коэффициент теплопроводности κ также считается функцией ρ и s.Кроме того, нуждаются в описании зависимости коэффициентов ϕi в (1.53) отинвариантов тензора скоростей деформации J=(J1,J2,J3) и параметров состояния ρ, s:ϕi = ϕi ( J , ρ , s )( i = 0,1, 2 ) .(1.55)Отметим, что аксиома идеальности позволяет вычислить ϕ0 при J=0:ϕ 0 ( 0, ρ , s ) = − p .(1.56)1.5.6. Первая замкнутая модель жидкости.Предположим, что из экспериментальных данных или каких-либо теоретических предположений известны функции (1.55), а также функция κ(ρ,s).

Тогдауравнения( F1)d ρ dt + ρ divv = 0, ρ dv = divP +ρ f , dt dU= P : D + div (κ∇Θ ) ,ρ dt P =ϕ 0 I + ϕ1D + ϕ 2 D 2образуют замкнутую модель. В самом деле, после исключения с помощьюпоследнего уравнения тензора P из этой системы получится пять скалярныхуравнений для пяти скалярных неизвестных – трех компонент вектора скорости, удельных плотности и энтропии.Эта модель непомерно сложна для использования, поскольку она, во-первых,весьма и весьма сложна как математический объект, а, во-вторых, требуетзнания большого числа функций состояния (U,κ,ϕi).Эти функции (особенно первые две) для конкретной жидкости есть результатобработки экспериментальных результатов. Разработка и проведение экспе4риментов, результатом которых явится знание этих функций, сама по себесложная и дорогостоящая научная задача.

Поэтому мы попытаемся упростить модель, исходя из дополнительных аксиом, которые хотя и сужаюткласс рассматриваемых жидкостей, тем не менее, с одной стороны, оставляют в классе много типов жидкостей, а с другой стороны, существенно упрощают математическую модель. Одной из таких аксиом является следующая.1.5.7. Аксиома линейностиТензор напряжений P зависит от тензора скоростей деформации Dлинейно.Эта аксиома сразу же влечет три следующих вывода. Во-первых, в (1.53)ϕ2≡0.

Во-вторых, ϕ1 не зависит от инвариантов тензора D. В-третьих, поскольку только один инвариант тензора, а именно, след trD (=divv) линейнозависит от D, ϕ0 зависит только от trD.Таким образом, (здесь мы используем (1.56))ϕ 0 = ϕ 0 ( tr D, ρ , s ) =ϕ 0 ( 0, ρ , s ) + λ ( ρ , s ) tr D = − p ( ρ , s ) + λ ( ρ , s ) divv,defϕ1 = ϕ 1 ( ρ , s ) = 2 µ ( ρ , s ) ,ϕ 2 = 0.ПоэтомуP = ( − p + λ divv ) I + 2 µ D .(1.57)1.5.8. Классическая модель жидкости.Аксиома линейности, вернее, ее следствие (1.57), позволяют вычислить в модели (F1) divP и P:D:divP = −∇p + ∇ ( λdivv ) + div ( 2 µ D )(здесь мы воспользовались очевидным равенством div(ϕ(x)I)=gradϕ, выполненным для любой гладкой функции ϕ:R3→R) Для вычисления P:D введем13девиатор тензора D формулой D′ = D − ( div v ) I и определим диссипативнуюфункцию Φ формулой2 2Φ =  λ + µ  ( divv ) + 2 µ D′ : D .3 Тогда, учитывая, что trD=trD*=divv, а также, что∗112D′ : D = tr  D − ( divv ) I  D D  = tr ( D* D D ) − ( divv ) ,33имеем()P : D = tr ( P ∗ D D ) = tr ( − p + λ divv ) I + 2 µ D  D D =∗= tr ( − pD ) + tr  λ ( divv ) D  + tr ( 2 µ D ∗ D D ) =522222= − pdivv +λ ( divv ) + µ ( divv ) + 2 µ tr ( D ∗ D D ) − µ ( divv ) =332 2= − pdivv +  λ + µ  ( divv ) + 2 µ D′ : D = − pdivv +Φ .3 Дифференцируя основное термодинамическое тождество по t и умножая результат на ρ, получаемdUdsdV= ρΘ − p ρdtdtdtdVвычисляется так:С помощью уравнения неразрывности p ρdtd (1 ρ ) 1  dρ1dVpρ= pρ= − pρ  2 = − p ( − ρ divv ) = pdivv .dtdеρ ρ  dtρПоэтомуρdUds= ρΘ − pdivv .dtdtПодставляя вычисленные выражения в модель (F1), получим следующую такназываемую классическую модель жидкости:( F2 )d ρ dt + ρ divv = 0, dv= −∇p + ∇ ( λdivv ) + div ( 2µ D ) + ρ f ,ρ dtds ρΘ dt = div (κ∇Θ ) + Φ.В этой модели U, λ, µ, κ считаются заданными функциями независимых параметров состояния (ρ,s), а p, ρ, Θ, s связаны соотношениями (1.54).

Модель(F2) вместе с (1.54) составляют пять скалярных уравнений для пяти скалярных неизвестных ρ, v, s. Коэффициенты λ=λ(ρ,s) и µ=µ(ρ,s) называются первым и вторым коэффициентами вязкости.Классическая модель все еще остается достаточно сложной как в математическом плане, так и плане применимости ее к описанию конкретных жидкостей. Последнее связано с необходимостью знать четыре функции состоянияU, λ, µ, κ.

Эти функции могут быть получены только из экспериментальныхили общетеоретических соображений, и их нахождение представляет собойотдельную весьма трудную задачу. Поэтому мы, продолжая двигаться по избранному пути, рассмотрим частные случаи этой модели, сужая класс описываемых ею жидкостей (находясь в классе аксиомы линейности).1.5.9. Несжимаемая жидкость.Опыт показывает, что в довольно широком классе течений многих жидкостейдаже большие изменения давления не приводит к существенному изменениюплотности.

Поэтому в таком классе плотность можно считать константой.Проследим за математическими следствиями предположения ρ=const.6Во-первых, среда сразу же становится в термодинамическом смысле однопараметрической. В качестве независимого параметра в этом случае обычновыбирается абсолютная температура Θ.Далее, давление перестает быть термодинамическим параметром состояния,поскольку перестает участвовать в основном термодинамическом тождестве:ρ = const ⇒ V =1ρ= const ⇒ dV = 0 , и слагаемое pdV исчезает из основного тер-модинамического тождества.

Более того, основное термодинамическое тождество принимает видdU = Θds ,свидетельствующий о том, что приток тепла в среду идет только на увеличение ее внутренней энергии. Это, как мы увидим ниже, позволяет выделитьуравнение притока тепла из модели и решать его независимо.

Пока же мыисключим его из модели.Далее, так как ρ=const, уравнение неразрывности принимает видdivv = 0 ,поэтому вязкость λ перестает играть какую-либо роль в модели (она фигурирует только в уравнении сохранения импульса с множителем divv. Таким образом, остается только вязкость µ. Удобно и принято вместо µ ввести коэффициент кинематической вязкости ν=µ/ρ. В общем случае коэффициент кинематической вязкости может довольно сильно зависеть от температурыν=ν(Θ) (например, в магматических расплавах вязкость в зависимости оттемпературы может отличаться на несколько порядков). Однако в простейшей модели, рассматриваемой нами, мы будем считать, что ν=const. Такоеограничение оставляет класс описываемых жидкостей достаточно широким.Упростим уравнение сохранения импульса.

Для этого достаточно заметить,что∗ ∂v  ∂v div   = ∇ ( divv ) , div   = ∆v ∂x  ∂x (здесь ∆ – оператор Лапласа), и поэтому, в силу постоянства µ, 1  ∂v  ∂v ∗  div ( 2µ D ) = div  2µ  +     = µ∆v . 2  ∂x  ∂x   Уравнение неразрывности и уравнение сохранения импульса (после деленияего на ρ) составляют математическую модель вязкой несжимаемой жидкости:( F3)divv = 0,1 dv dt = − ρ ∇p + ν∆v + f .Эта система уравнений называется системой уравнений Навье–Стокса ипредставляет собой систему из четырех скалярных уравнений для четырехскалярных неизвестных v,p.

Модель (F3) – одна из наиболее широко применяющихся моделей жидкости.7Вернемся к уравнению притока тепла. Тот факт, что приток тепла идет только на изменение внутренней энергии (dU=Θds), означает, что среда обладаетсвойством воспринимать тепловую энергию при неизменном объеме.

Этосвойство называется теплоемкостью и характеризуется величинойCV =∂U ( Θ,V ). Функция CV(Θ) определяется экспериментально и известна для∂Θширокого спектра сред. Таким образом, dU=CVdΘ. Но тогда уравнение притока тепла можно записать в видеρ CνdΘ= div (κ∇Θ ) + 2νρ ( D′ : D )dt(здесь мы учли, что divv=0). Или, после деления на ρCV,dΘ1=div (κ∇Θ ) + Φ′ ,dtρ Cν2νгде диссипативная функция Φ′ = D′ : D . Поэтому тепловые потоки в средеCVне влияют на движение среды и могут быть найдены уже после нахожденияv,p.Построенная модель Навье–Стокса обладает многими достоинствами, обуславливающими ее широкую распространенность. Одним из основных является тот факт, что в ней фигурируют только две константы (не функции!),нуждающиеся в экспериментальном нахождении: это плотность ρ и кинематическая вязкость ν.

Характеристики

Список файлов лекций