1612044279-488d32d5928d2676100d24b84a89d13e (533714), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

К их изучению мы приступаем.1.3.1. Термодинамические эффекты в сплошных средах.Физический опыт показывает, что сплошные среды не представляют собойчисто механическое явление. В частности, в процессе эволюции сплошнойсреды (изменения параметров, ее характеризующих) происходятпревращения одних видов энергии в другие (например, удлинение металловпри нагревании, нагревание газов при сжатии и т.п.).Термодинамика – это раздел физики, в котором изучаются связи междутепловой и другими видами энергии. В первую очередь нас будутинтересовать связи между тепловой и механической энергиями.Если быть более точными, то мы будем заниматься изучением нетермодинамики, а термостатики, поскольку на первом этапе будемописывать на языке математики лишь термодинамически равновесные (неизменяющиеся со временем) состояния сплошной среды.Для описания неравновесных тепловых процессов мы с помощьюспециальной аксиомы позволим термодинамическим параметрам изменятьсяво времени.1.3.2.

Параметры состоянияОсновное понятие, которым оперирует термодинамика, – понятие состояниясплошной среды. Математически оно описывается введением параметровсостояния. С некоторыми из этих параметров мы уже сталкивались. Это,например, удельная плотность ρ и внутренняя энергия U.Ниже мы встретимся с абсолютной температурой, энтропией и давлением.Разумеется, набор параметров зависит от рассматриваемых сред, моделей изадач исследования. Например, в некоторых случаях удобно считатьпараметром состояния тензор напряжений или тензор скоростей деформациии т.д.Если состояние среды характеризуется набором параметров состоянияP={p1,…,pn}, то множество P всех допустимых наборов P, в которых можетнаходиться среда называется пространством состояний.

Обычнопространство состояний – это многообразие. Его размерность dimP (т.е.минимальное количество числовых параметров, с помощью которых этомногообразие может быть параметризовано) определяет фактическое числопараметров состояния сплошной среды: если dimP=k, то среда называется kпараметрической. Таким образом, мы считаем, что (при соответствующей1параметризации) конкретная сплошная среда полностью характеризуетсянабором P параметров состояния.Для любых P1,P2∈P обозначим через CP(P1,P2) множество всех путей(ориентированных (направленных) кривых, лежащих в P), ведущих из P1 вP2, а через CP=∪{CP(P1,P2): P1,P2∈P} множество всех путей на P.

В CPвыделяется некоторое подмножество EP путей, называемых процессами.Процессы отвечают физически реализуемым процессам перехода сплошнойсреды из состояния P1 в состояние P2. Процесс ε(P1,P2)∈EP называетсяобратимым, если путь ε(P2,P1), идущий по той же кривой (впротивоположном направлении), также есть процесс. В противном случаепроцесс ε(P1,P2) необратим. Например, процесс диффузии тепла пометаллическому стержню, нагретому с одного конца, необратим, а процесссжатия газа в цилиндре обратим.1.3.3. Количество теплоты.Такая характеристика среды, как количество теплоты Q, или тепловаяэнергия, определяется как энергия броуновского движения молекул вфизическом теле. Эту характеристику нельзя считать параметром состояния,так как количество теплоты Q, полученное или выделенное сплошной средойпри переходе из состояния P1 в P2 по пути ε(P1,P2), зависит от этого пути.Приток тепла в обратимом процессе может быть задан дифференциальнойформойkdQ (P) = ∑ B j (P ) d p jj =1и тогда приток тепла при переходе из состояния P1 в P2 по путиε(P1,P2)={P(s): s∈[0,1]}={(p1(s),…,pk(s)): s∈[0,1], P(0)=P1, P(1)=P2} задаетсякриволинейным интегралом1 kQ = ∫ ε P1 ,P2 dQ (P) = ∫ ∑ B j p1 ( s ) ,..., pk ( s )  p′j ( s ) ds( )0j =1(1.25)Физический смысл дифференциальной формы dQ есть элементарный притоктеплоты при элементарном процессе dP.1.3.4.

Абсолютная температура и энтропия.Причиной зависимости притока тепла Q при переходе из состояния P1 всостояние P2 от пути ε(P1,P2) заключается в том, что функция dQ(P), стоящаяв правой части интеграла (1.25), не является полным дифференциаломнекоторой функции. Оказывается, существует такой параметр состояния θ,называемый абсолютной температурой, такой, что отношение dQ/θ длялюбого обратимого процесса уже является полным дифференциаломнекоторой функции S, также являющейся параметром состояния иназываемой энтропией. Тогда для любого обратимого процессаS2 − S1 = S (P2 ) − S (P1 ) = ∫dQ(1ε P ,P2) θ21.3.5. Первое начало термодинамики.Рассмотрим элементарный процесс dP.

В этом процессе сплошной средесообщается количество теплоты dQ, при этом оно совершает некоторуюэлементарную механическую работу dA и получает приращение внутреннейэнергии dU.Первое начало (или закон термодинамики) выражается равенствомdQ = dU + dAи является термодинамическим аналогом всеобщего закона сохраненияэнергии.

Физически этот закон объявляет эквивалентность тепловой имеханической энергий.1.3.5. Второе начало термодинамики.Наш физический опыт показывает, что не все тепловые процессы возможны(например, процесс, обратный к вышеописанной диффузии тепла вметаллическом стержне, нагретом с одного конца).Второе начало (или закон термодинамики выделяет возможные тепловыепроцессы. Он гласит:«Если сплошная среда теплоизолирована (т.е.

отсутствует внешнийприток или отвод тепла), то энтропия этой среды не убывает».Математически это выражается неравенствомθ dS ≥ dQ(1.26)Для полноты коллекции приведем историческую эволюцию формулировокэтого физического закона.1850 г., Клаузиус:Невозможен процесс, единственным результатом которого являетсяпередача тепла от холодного тела к более горячему.1851 г., Кельвин:Невозможен процесс, единственным результатом которого являетсяпревращение теплоты в работу.1909 г., Каратеодори:В любой окрестности любого состояния P1 существует состояние P2,которое не может быть конечным состоянием процесса ε(P1,P2) снулевым притоком тепла.Для обратимых процессов из второго начала термодинамики вытекает, чтоθ dS = dQили, что то же (основное термодинамическое тождество):θ dS = dU + dA(1.27)Термодинамические требования к сплошной среде представляют собойновую аксиому.1.3.6. Аксиома термодинамикиДля сплошной среды выполнены первое и второе началатермодинамики.31.3.7. Термодинамические процессы.Описанное выше понятие процесса, безусловно, является идеализацией,поскольку непрерывная последовательная смена равновесных (неизменяющихся во времени) состояний сплошной среды может бытьреализована лишь приближенно.

Однако, для описания неравновесныхтепловых процессов можно воспользоваться понятиями, введенными длятермодинамически равновесных состояний.Мы аксиоматически определим понятия энтропии и абсолютнойтемпературы сплошной среды.Энтропией сплошной среды называется непрерывная мера на R3: для любогообъема ωt определено число S(ωt).

Как и ранее, это гарантируетсуществование удельной энтропии, т.е. такой функции s: D →R, что длялюбого объема ωtS (ω t ) = ∫∫∫ s ( x, t ) ρ ( x, t ) dω = ∫∫∫ s ρ dω(1.28)ωtωtКроме того предполагается существование неотрицательной функцииΘ : D→R+, называемой абсолютной температурой.Предположим, что наша среда термостатически полностью описана, т.е.известно ее пространство состояний P, в котором лежат наборы P=(p1,…,pk)параметров состояния, полностью характеризующих равновесные состояниясреды.

Это означает, в частности, что удельная внутренняя энергия U,плотность ρ, удельная энтропия s, абсолютная температура Θ и т.д. являютсязаданными функциями параметров состояния P=(p1,…,pk).Возможность перехода от термостатического описания ктермодинамическому постулирует следующая аксиома.1.3.8. Аксиома локального равновесия.Состояние любой частицы x сплошной среды в любой момент времениt полностью характеризуется параметрами P=(p1,…,pk), причем всетермодинамические параметры частицы (U, ρ, s, Θ и т.д.)определяются по P теми же самыми функциями, что и втермостатическом описании.}На интутивном уровне эта аксиома означает, что каждая частица сплошнойсреды в каждый момент времени отождествляется с равновеснойтермодинамической системой, описываемой параметрами состоянияP=(p1,…,pk).1.3.9.

Неравенство Клаузиуса–Дюгема.Второе начало термодинамики (1.26) (в динамическом, а не в равновесномслучае) в этих терминах может быть выражено по разному. Например,предполагается выполненным неравенствоdq⋅nS (ωt ) ≥ − ∫∫dσdtΘ∂ωt(1.29)4В самом деле, если считать объем ωt теплоизолированным, т.е. предполагать,что q⋅n=0 на ∂ωt, тоdS (ωt ) ≥ 0 , что полностью совпадает сdt«термостатическим» вторым началом термодинамики (см. начало п. 1.3.6.).Если заменить в (1.29) S по формуле (1.28), а затем, как это неоднократноделалось выше, применить формулу (1.12) дифференцирования под знакоминтеграла и формулу Гаусса–Остроградского, то получим неравенствоdsq ρ + div  dω ≥ 0∫∫∫Θdtω tПрименение же аналога леммы 1.2.3 приводит к так называемомунеравенству Клаузиуса–Дюгема, являющемуся локальным (не интегральным)эквивалентом второго начала термодинамикиρdsq+ div ≥ 0Θdt(1.30)Следующая аксиома позволяет выразить в уравнении сохранения энергии(1.23) вектор потока тепла через абсолютную температуру.1.3.10 Аксиома Фурье.Вектор потока тепла пропорционален градиенту температуры:q = − k ∇Θ(1.31)где κ – (неотрицательный) параметр состояния, называемыйкоэффициентом теплопроводности.Аксиома Фурье представляет собой математический эквивалент физическогозакона Фурье, полученного как результат обобщения физическихнаблюдений.

Характеристики

Список файлов лекций