1612044279-488d32d5928d2676100d24b84a89d13e (533714), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Пусть непрерывная в области D⊂Rm функция F: D → Rkтакова, что∫ F ( x ) dω = 0Bна любом шаре B = В(х,r) ⊂ D радиуса r с центром в х.Тогда F(х) = 0 в D.1МССДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ._____________________________________________________________________________Доказательство. Поскольку интеграл от функции со значениями вконечномерном пространстве определяется покоординатно, достаточнодоказать утверждение леммы для скалярных функций (т.е. для случаяk = 1). В предположении противного найдется точка x0∈ D такая, чтоF(x0) ≠0.

Пусть, для определенности, F(x0) > 0. В силу непрерывности Fнайдется r > 0 такое, что F(x) − F(x0)≤ ½F(x0). Но тогдаF(x) = F(x0) − [F(x0) − F(x)]≥ F(x0) − F(x0) − F(x) ≥ ½F(x0) при всехх∈В(x0,r) =В. Поэтому11∫ F ( x ) dω ≥ 2 ∫ F ( x ) dω = 2 F ( x ) ⋅ mes B > 0 ,0B0Bчто противоречит условиям леммы. ■1.2.4. Полная производная.Пусть v = v(x,t) – поле скоростей сплошной среды, а f = fE(x,t) – скалярная,векторная или тензорная функция (здесь индекс Е подчеркивает, чтофункция задана в эйлеровых переменных).Полной производной функции f называется функция(x, t ) 6 ∂f (x, t ) + ∂f (x, t ) v(x, t ) .∂t∂xОбозначается полная производнаяd∂f ( x, t ) (не путать сf ( x, t ) или f ( x, t ) .dt∂tПусть fL(ξ,t) – представление функции f в лагранжевых переменных:f L (ξ , t ) = f E γ (ξ , t ) , t  = f γ (ξ , t ) , t  .Дифференцирование по t этого тождества (напомним, что х = γ(ξ,t), а v =∂γ)∂tприводит к следующей формуле, выражающей полную производную впеременных Лагранжа:∂df ( x, t ) =f∂tdtL(ξ , t ) .1.2.5.

Перестановка дифференцирования и интегрирования.В этом пункте мы покажем, чтоd dF+ F ⋅ divv  dωF ( x, t ) dω = ∫∫∫ ∫∫∫dt ωtdtωt (1.10)для любой функции F(x,t).Формула (1.10) является многомерным аналогом формулыдифференцирования интеграла с переменным верхним пределом.В самом деле, сделаем в интеграле, стоящем в левой части равенства (1.10),замену переменных х = γ(ξ,t) Эта замена переводит область ωt в область ω0, и,таким образом, область интегрирования перестает зависеть от времени t:ddF ( x, t )dω = ∫∫∫ F L (ξ , t )J L (ξ , t )dω ,∫∫∫dt ωtdt ω 02МССДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ._____________________________________________________________________________где J – якобиан замены х →ξ: J(ξ,t) = det(∂x/∂ξ).

Поскольку теперь областьинтегрирования не зависит от t, дифференцирование можно внести под знакинтеграла. Последующее дифференцирование подынтегрального выраженияс использованием формулы ЭйлераdJ∂J L= J div v или, что то же,= J L div v L ,∂tdtдает следующую цепочку равенств:d∂F L J L dω = ∫∫∫ ( F L J L ) dω =∫∫∫∂tdt ω0ω0L ∂F L L ∂F L LL ∂J +ω=JFdJ + F L J Ldivv L  dω = ∂∫∫∫∫∫∫∂t ∂ttω0 ω0  ∂F LLL L ∂ + F divv  J dω∫∫∫tω0 Обратная замена переменных ξ → х доказывает равенство (1.10): ∂F L dFLL L+ Fdivv  dω . ∂ + F divv  J dω = ∫∫∫ ∫∫∫tdtω0 ωt 1.2.6.

Уравнение неразрывности.Подстановка в (1.10) вместо F функции ρ приводит к тождествуd dρρ ( x, t ) dω = ∫∫∫ + ρ divv  dω∫∫∫dt ωtdtωt Поскольку левая часть этого тождества равна нулю в силу (интегрального)закона сохранения массы, dρ∫∫∫dtω t+ ρ divv  dω = 0для любого движущегося объема ωt. В частности, при любом фиксированномt, если в качестве ω0 взять прообраз при отображении γt произвольного шараB: ω0 = γ t−1 ( B ) , то ωt = B при данном t. Отсюда следует, что при каждом tпоследнее тождество выполняется на любом шаре.

Применение леммы 1.2.3приводит к так называемому уравнению неразрывности:dρ+ ρ divv = 0 ,dt(1.11)являющемуся дифференциальным аналогом закона сохранения массы.Если теперь в (1.10) вместо функции F подставить функцию ρF ипредполагать выполненным уравнение неразрывности, то мы получимследующую формулу дифференцирования интегралов вида ∫∫∫ ρ Fdω :ωtddFρ Fdω = ∫∫∫ ρdω∫∫∫dt ωtdtωt(1.12)Точно так же, интегральный закон сохранения импульса с помощьюформулы (1.12) легко переписывается в виде3МССДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ._____________________________________________________________________________ dvpn dσ = ∫∫∫ ρ  − f  dω(1.13)∫∫dt∂ωtωtТеперь нам нужно научиться преобразовывать в интегральных законахсохранения поверхностные интегралы в объемные, чтобы затем, действуя поописанной схеме, получить дифференциальные формы остальных законовсохранения.

Для этого сначала найдем представление вектора рп напряженийвнутренних поверхностных сил.1.2.7. Основная теорема механики сплошной среды.Существует тензорное поле Р: D→T2(R3) такое, что при всех(x,t,п)∈D × Spn ( x , t ) = P ( x , t ) n .(1.14)Доказательство.

Зафиксируем произвольный ортонормированный базис{ei} в R3 и точку (x,t)∈D. Если мы покажем, что для любого ν =νiei∈Spν = ν i pe(1.15)(мы опускаем аргументы (x,t) у функции рν(x,t)), то на S искомый тензор Рможно определить равенством (и опять (x,t) опускается)P ν = ν i pe ,а после этого продолжить Р с S на все R3 по линейности:iiP a = aPa.aДокажем справедливость соотношения (1.15).

Для этого мы используеминтегральный закон сохранения импульса, переписанный в виде (1.13).Покажем сначала, что для любого ν∈Spν = − p−ν .(1.16)Пусть Σ – плоскость, проходящая через точку х∈Ωt с нормалью ν,у∈Σ∩Ωt, B=B(у,ε) – шар в R3 с центром в у радиуса ε, целиком лежащий вΩt, B1, B2 − части этого шара, на которые он разбивается плоскостью Σ (B2и ν лежат по одну сторону от Σ), β=∂B1∩∂B2=B∩Σ (см. рис. 2.1).Рисунок 2.1.4МССДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ._____________________________________________________________________________Запишем соотношение (1.13) для объемов B1, B2, В, сложим первые два изполучившихся тождеств и вычтем третье: ∫∫ + ∫∫ − ∫∫ ∂B∂B2∂B 1 pn dσ =  ∫∫∫ + ∫∫∫ − ∫∫∫ BB2B3 1  dν− f  dω = 0ρ  dtВ левой части этого равенства интегралы по границе шара В взаимноуничтожаются, а в оставшихся интегралах по β: в первом интеграле,очевидно, рп = рν, а во втором – рп = р−ν.

Таким образом,∫∫  pν ( y, t ) + p−ν ( y, t ) dσ = 0 .βПоскольку β – произвольный круг, целиком лежащий в Ωt∩Σ, а функцияpν(y,t)+p−ν(y,t) непрерывна, из леммы 1.2.3 следует (1.16).Теперь докажем (1.15). Пусть ν =νiei таков, что все νi отличны от нуля и,более того, положительны. Обозначим через ∆ε тетраэдр, высекаемый изкоординатного угла (с началом в точке х) плоскостью, проходящей черезконец вектора х+εν ортогонально ν, а также координатными плоскостямибазиса, начало которого помещено в точку х (см. рис. 2.2).Рисунок 2.2.Пусть σε – грань тетраэдра, перпендикулярная ν, а σεi – грани,перпендикулярные векторам ei , соответственно.

При достаточно малых εэтот тетраэдр целиком лежит в Ωt. Применяя формулу (1.13) на ∆ε,получаем3 ∫∫ + ∑ ∫∫σi =1 σ ε i ε dv pn dσ = ∫∫∫ ρ  − dt∆εf  dωили, учитывая, что п = ν на σε и п = −ei на σεI,3 dv+pdσp− ei dσ = ∫∫∫ ρ  −∑ν∫∫∫∫ dti =1 σ ε iσε∆εf  dω(1.17)Как легко видеть,mesσ ε = ε 2 ⋅ mesσ 1 , mesσ ε i = ε 2 ⋅ mesσ 1i , mes∆ε = ε 3 ⋅ mes∆1 ,(1.18)5МССДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ._____________________________________________________________________________где mes σ – мера Лебега множества σ (в первых двух случаях плоская, т.е.площадь, а в последнем – объемная). Применим к (1.17) теорему о среднемзначении:3  dvpν (θε , t ) ⋅ mesσ ε + ∑ p− ei (θε i ,t ) ⋅ mesσ ε i =  ρ  − f   (ϑε , t ) ⋅ mes∆εi =1  dtгде Θε∈σε, Θεi∈σεi, a ϑε∈∆ε. Подставим (1.18) в последнее равенство,разделим на ε2 и перейдем к пределу при ε→0, учитывая, чторν(Θε,t)→рν(x,t), а p− e ( Θε i , t ) → p− e ( x, t ) при ε→0 (поскольку Θε, Θεi, ϑε →хпри ε→0).

Получимii3mesσ 1 pν + ∑ mesσ 1i p− ei = 0 ,i =1или, учитывая (1.16),3mesσ 1 pν − ∑ mesσ 1i pei = 0i =1Остается заметить, что mes σ1i= mes σ1 cos(ν,ei) = mes σ1 (ν,ei) = mes σ1νi, иi(1.15) в случае ν >0 доказано.Остальные случаи, когда νi≠0 разбираются аналогично. Наконец, в случае,когда один или два коэффициента νi обращаются в нуль, равенство (1.15)следует из уже доказанного и непрерывности p. ■Тензор P, существование которого утверждается в теореме, играетфундаментальную роль в механике сплошной среды и называется тензоромнапряжений. Саму теорему иногда называют теоремой Коши осуществовании тензора напряжений. Существование этого тензорапозволяет преобразовать поверхностный интеграл в законе сохраненияимпульса и момента импульса в объемный.1.2.8.

Характеристики

Список файлов лекций